EXAMEN DE FIN D’ANNEE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EXAMEN DE FIN D’ANNEE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Présentation et orthographe : 4 points

Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.

1. PARTIE NUMERIQUE : 16 POINTS

Exercice 1

Calcule les expressions en écrivant les étapes intermédiaires :

A = 3 - 5 × 9 + 7 B = (3 - 5) × (-9) + 7 C = 3 - 5 × (9 + 7) D = 3 - (5 × 9 + 7) E = 4 - [6 - (1 - 8)] F = [(-18) + 9] × (-3)

Exercice 2

Calcule et donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

G = 2

5 7 4 7

6 − × H =

2 1 9 4 2 3 3

2 − × +

J = 



 

  +

 ÷



 

  −

6 5 5 3

2 1 K =

5 2

−

Exercice 3

1. Ecrire les nombres suivants sous la forme d’une seule puissance : A = 2

× 2 ; B = (-4,5)

× (-4,5)

× (-4,5)

; C = ( ) ³

^;

D = ( ) ⁵

^{× 5} ; E = 3 3

7

4

; F = 5 5

6

9

; G = 2

× 0,5

2. Mettre les nombres suivants sous forme scientifique :

106

725

a

= × ;

=

×

;

;

=

×

Exercice 4

1. Réduire les expressions suivantes :

A = x + 4 - 2x + 1 ; B = 6 - a + 9 - b - 12 + a ; 2. Développer et réduire les expressions suivantes :

C = - 3(x + 4) + 5(x - 7) ; D = 5(x + 2) - 2x - 2(x + 4) ; E = (4a + 3)(3a + 5) ;

F = (- 3a + 2)(5a - 4) ;

3. a) Voici un programme de calcul : « Pense à un nombre. Ajoute 7 à ce nombre. Multiplie le résultat par 3. Retranche 20 au résultat. Retranche le triple du nombre auquel tu as pensé. Divise le résultat par 2. Combien trouves-tu ? »

Ecrire toutes les étapes de ce programme à partir d’un nombre choisi au départ et calculer le résultat.

b) Démontrer que quel que soit le nombre que tu choisis au départ, le résultat trouvé est le même.

2. PARTIE GEOMETRIQUE : 10 POINTS

Exercice 1

1) Construis un triangle ABC tel que : AB = 14 cm, AC = 10 cm et BC = 12 cm.

2) Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.

3) Place le point G centre de gravité du triangle, le centre de son cercle circonscrit O, le centre de son cercle inscrit I et H son orthocentre.

4) Construis son cercle circonscrit et son cercle inscrit.

Exercice 2

1) Enonce les trois propriétés de la droite des milieux. Tu les noteras P

, P

et P

(l’ordre est sans importance).

2) a) Reproduis la figure ci-dessous en vraie grandeur.

Pour les trois questions suivantes, il faut utiliser P

, P

et P

b) Soit J le milieu de [AC] et I le milieu de [AB]. Démontre que les droites (JI) et (CB) sont parallèles (considère le triangle ABC).

c) La parallèle à (BD) passant par I coupe (AD) en K. Démontre que K est le milieu de [AD] (considère le triangle ABD).

d) Calcule IJ et IK en justifiant (considère ABC puis ABD).

Exercice 3

(C) est un cercle de 2,5 cm de rayon.

Le segment [AB] est un diamètre de ce cercle.

D est un point de ce cercle tel que AD = 3.

1. Construire la figure.

2. Démontrer que le triangle ABD est rectangle.

3. Calculer la longueur DB.

3. PROBLEME : 10 POINTS

A, B, C sont trois points distincts d’un cercle de centre O et [AD] un diamètre de ce cercle.

On complètera la figure fournie en annexe au fur et à mesure de la résolution du problème.

A

B

D C O

1) Quelle est la nature des triangles ABD et ACD ?

2) La parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) en E. Démontrer que (CE) est une hauteur du triangle ABC.

3) La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe le cercle en A et J, la droite (CE) en H et la droite (BC) en I.

- Que représente H pour le triangle ABC ?

- En déduire que (BH) est perpendiculaire à (AC).

- Montrer que (BH) est parallèle à (CD).

4) Démontrer que BHCD est un parallélogramme. On appelle K le point d'intersection de ses diagonales.

- Que représente K pour le segment [HD] ?

5) a) Quelle est la nature du triangle ADJ ? En déduire que (CI) et (DJ) sont parallèles.

b) Montrer que I est le milieu de [HJ] (on pourra utiliser le triangle HDJ, après avoir précisé la position de K sur le segment [HD].

Remarque : On pourra s’aider du tableau suivant pour construire une démonstration .

Données Conclusion

A, B, C ∈ C (O ; r) [AD] diamètre de C (CE) parallèle à (BD) (AI) perpendiculaire à (BC) K intersection des diagonales

1) ABD et ACD rectangle 2) (CE) hauteur de ABC 3) H orthocentre de ABC (BH) perpendiculaire à (AC) (BH) et (CD) sont parallèles.

4) BHCD parallélogramme.

K milieu de [HD]

5) ADJ rectangle (CI) et (DJ) parallèles I milieu de [HJ]

Nom : Prénom :

ANNEXE

Feuille à rendre avec la copie

Troisième Partie (Problème) : Figure à compléter