J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 4 LA H O U I L L E B L A N C H E 5 7
U n e x e m p l e d e calcul précis
d e la p é r i o d e o p t i m a d e r e m p l a c e m e n t d ' u n m a t é r i e l
Remplacement des roues de turbines dans une installation hydroélectrique
C a l c u l a t i n g t h e m o s t e c o n o m i c a l w o r k i n g l i f e o f a h y d r a u l i c t u r b i n e r u n n e r
P A R M. D A N I E L
I N G É N I E U R E N C O N S T R U C T I O N S C I V I L E S D I P L Ô M É P A U L ' É T A T A U D I T E U R A U C O N S E R V A T O I R E N A T I O N A L D E S A R T S E T M É T I E R S C H A I R E E T L A B O R A T O I R E D ' É C O N O M I E I N D U S T R I E L L E E T S T A T I S T I Q U E
L'usure des roues de turbines hydrauliques abaisse notablement leur rendement : il en résulte soit des perles d'énergie, soit un gaspil- lage d'eau. Leur remplacement se traduit par des frais et des pertes d'énergie. — Calcul de la période optimum de remplacement, dans le cas où l'eau est surabondante, puis dans celui où elle doit être économisée. — Exemple de calcul pratique de la période optimum; esti- mation du préjudice causé par une erreur d'appréciation.
Wear of hydraulic turbine runners greatly reduces their efficiency, either from losses of energy or from losses of. water. Replacing them involves expense and losses of energy.
Calculation of the optimum period for replace- ment in the two cases rvhere water is either superabundant or must be conserved. Example of practical calculation; estimale of losses caused by an error in calculating the optimum period before replacement.
D a n s s o n c o u r s d ' H y d r a u l i q u e g é n é r a l e d e 1942-43, M. E Y D O U X , p r o f e s s e u r à l'Ecole N a t i o - n a l e d e s P o n t s et C h a u s s é e s , a p r è s a v o i r m o n t r é la p e r t e a n n u e l l e c o n s i d é r a b l e q u i p e u t r é s u l t e r d e l ' e m p l o i d ' u n e r o u e de t u r b i n e a y a n t u n r e n - d e m e n t d e 70 % , a u lieu d ' u n e r o u e à r e n d e m e n t d e 8 5 % , s ' e x p r i m e c o m m e s u i t :
« D ' a u t r e p a r t , les r o u e s p e u v e n t , d a n s cer- t a i n s c a s , s ' u s e r t r è s vite, p a r f o i s e n 400 j o u r s , et le r e n d e m e n t d i m i n u e r a p i d e m e n t a v ec l ' u s u r e . O r , p o u r le c h a n g e m e n t d ' u n e r o u e , il f a u t c o m p t e r , e n p l u s d e la p e r t e c o r r e s p o n d a n t à u n j o u r p e r d u , u n e s o m m e d e 30 à 50.000 F p o u r d e s t u r b i n e s m o y e n n e s , p a r f a i t e m e n t n é g l i g e a - b l e a u r e g a r d de la p e r t e q u ' o c c a s i o n n e r a i t u n e
m a r c h e p r o l o n g é e à faible r e n d e m e n t p a r s u i t e d e l ' u s u r e d e la r o u e .
« P o u r t o u t e s ces r a i s o n s , on v o i t q u ' i l faut f ai r e d e s m e s u r e s s é r i e u s e s de r e n d e m e n t a u d é - b u t p o u r ê t r e s û r d ' o b t e n i r les chiffres d e g a - r a n t i e et q u ' e n o u t r e il f a u t f a i r e d e s vérifica- t i o n s f r é q u e n t e s d u r e n d e m e n t e n c o u r s d ' e x - p l o i t a t i o n ; il e s t i n t é r e s s a n t d e les f a i r e a v e c le m a x i m u m de p r é c i s i o n p o s s i b l e , s u r t o u t e n ce q u i c o n c e r n e les e s s a i s de r é c e p t i o n , c a r u n g a i n d e 1 % s u r le r e n d e m e n t e n t r a î n e d a n s l ' e x e m p l e p r é c é d e n t u n bénéfice a n n u e l de 75.000 F . »
A la l e c t u r e de ce p a s s a g e , l'idée n o u s est v e n u e de f a i r e u n c a l c u l é c o n o m i q u e p o u r d é - Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954023 fi
t e r m i n e r r a t i o n n e l l e m e n t la p é r i o d e o p l i m a de r e m p l a c e m e n t d ' u n e r o u e de t u r b i n e p o u r c a u s e d ' u s u r e . Ce c a l c u l p e u t a v o i r e n effet u n g r a n d i n t é r ê t p o u r les r o u e s s ' u s a n t r a p i d e m e n t : r o u e s P e l t o n ( h a u t e s c h u t e s ) ou r o u e s - h é l i c e s ( b a s s e s c h u t e s ) et d a n s les c a s d ' e a u c h a r g é e . D a n s les a u t r e s c a s , la q u e s t i o n n ' e s t p e u t - ê t r e j a m a i s n é g l i g e a b l e .
Le v i e i l l i s s e m e n t de la t u r b i n e d û à l ' u s u r e de celle-ci n ' a p a s les m ê m e s c o n s é q u e n c e s d a n s les u s i n e s an fil d e l ' e a u et d a n s les u s i n e s à r é - s e r v o i r .
D a n s le p r e m i e r c a s , l ' e a u n o n t u r b i n é c au p a s s a g e est p e r d u e p a r d é v e r s e m e n t . Il s ' a g i t a l o r s , p o u r c h a q u e t u r b i n e e n s e r v i c e , d ' u t i l i s e r a u m a x i m u m l'eau q u i l u i e s t offerte à c h a q u e i n s t a n t p a r le c o u r s d ' e a u . L a b a i s s e de p r o d u c - tion é l e c t r i q u e e s t s e u l e en c a u s e , t o u t à fait i n d é p e n d a m m e n t de la c o n s o m m a t i o n d ' e a u , celle-ci é t a n t g r a t u i t e .
D a n s le s e c o n d c a s ( r é s e r v o i r à n i v e a u v a r i a - ble), l'eau n o n u t i l i s é e p a r la t u r b i n e d e m e u r e s t o c k é e d a n s le r é s e r v o i r où elle r e p r é s e n t e u n e é n e r g i e d i s p o n i b l e . Le d é b i t d u r é s e r v o i r e s t r é - glé r a t i o n n e l l e m e n t et, en p r e m i è r e a p p r o x i m a - tion, i n d é p e n d a m m e n t de l ' u s u r e d e s t u r b i n e s , p a r m o d i f i c a t i o n d u n o m b r e d e s t u r b i n e s en s e r - v i c e ; d ' a u t r e p a r t , le d é b i t d e c h a q u e t u r b i n e en s e r v i c e est r é g l é , p a r m a n œ u v r e a u t o m a t i q u e d u d i s t r i b u t e u r et q u e l q u e f o i s d e s a u b e s , de m a n i è r e à d o n n e r l ' o p t i m u m , c ' e s t - à - d i r e ici le m a x i m u m d e r e n d e m e n t h y d r a u l i q u e . L e v o l u m e d ' e a u p a r k W h p r o d u i t , c o n s o m m é en p l u s , d u fait de
A . — C a s o ù l ' e a u
C'est en p r i n c i p e l e c a s d e s u s i n e s a u fil d e l ' e a u . N o u s a v o n s v u q u e d a n s ce c a s le r e n d e - m e n t t e c h n i q u e n ' a p a s d ' i m p o r t a n c e , p u i s q u e l a q u a n t i t é d ' e a u c o n s o m m é e n e c o m p t e p a s . Ce q u i c o m p t e , c'est la q u a n t i t é d ' é n e r g i e f o u r n i e a u r é s e a u e t q u i s e r a d i m i n u é e d u fait d e l ' u s u r e d e la r o u e . A q u e l l e v a r i a b l e p e u t - o n r a t t a c h e r le d e g r é d ' u s u r e d e la r o u e ? E n g é n é r a l , ce d e g r é d ' u s u r e s e m b l e ê t r e s u r t o u t u n e f o n c t i o n d u dé- b i t c u m u l é t u r b i n é p a r ia r o u e . O n p e u t a d m e t - t r e q u ' i l e s t s e u l e m e n t f o n c t i o n d u t e m p s l o r s - q u e la h a u t e u r de c h u t e v a r i e p e u e t q u e la t u r - b i n e e s t c o n s t a m m e n t u t i l i s é e a u m a x i m u m . Ce q u i e s t u n e c o n d i t i o n s u f f i s a m m e n t r é a l i s é e en fait : e n effet, d a n s u n e i n s t a l l a t i o n a u fil d e l ' e a u , on se c o n t e n t e s o u v e n t , p o u r s ' a d a p t e r au r é g i m e d u fleuve, d e m o d i f i e r le n o m b r e d e s t u r b i n e s en m a r c h e s a n s faire v a r i e r l e u r r é - g i m e , lequel est a i n s i m a i n t e n u au m a x i m u m
l ' u s u r e , c o r r e s p o n d d o n c à u n e p e r l e d ' é n e r g i e d u e u n i q u e m e n t à la p e r l e de r e n d e m e n t t e c h n i - q u e . L a d i s t i n c t i o n e n t r e les d e u x c a s n ' e s t d ' a i l - l e u r s p a s si n e t t e q u ' o n p o u r r a i t le c r o i r e à la l e c t u r e de ce q u i p r é c è d e . C e r t a i n e s u s i n e s a u fil d e l ' e a u p e u v e n t ' e n etl'et, e n p é r i o d e d ' é t i a g e , t r a - v a i l l e r à h a u t e u r d e c h u t e v a r i a b l e , le b a r r a g e m o b i l e é t a n t c o m p l è t e m e n t f e r m é . Cette réflexion n o u s c o n d u i t à d i s t i n g u e r , ici, a u lieu d e s d e u x c a s c o n c r e t s d u b a r r a g e r é s e r v o i r et de l ' u s i n e a u fil d e l ' e a u , les d e u x c a s t h é o r i q u e s s u i v a n t s : A ; L ' e a u e s t s u r a b o n d a n t e . E l l e n e r e p r é s e n t e
p a s u n e é n e r g i e à é c o n o m i s e r ;
13 : L ' e a u e s t s t o c k é e . E l l e r e p r é s e n t e u n e é n e r - gie à é c o n o m i s e r p o u r les b e s o i n s f u t u r s . N o u s r e m a r q u e r o n s en p a s s a n t q u e la t e c h n i - q u e d e la c o n s t r u c t i o n d e s t u r b i n e s , t o u t o r i e n - tée p a r la n o t i o n d u r e n d e m e n t m a x i m u m , s e m - b l e ê t r e l'aile u n i q u e m e n t p o u r le s e c o n d c a s . O n p o u r r a i t c e p e n d a n t i m a g i n e r , p o u r les i n s t a l -
l a t i o n s t r a v a i l l a n t e n d é v e r s o i r a u fil d e l ' e a u , u n e t e c h n i q u e d e c o n s t r u c t i o n b a s é e s u r la p l u s g r a n d e p u i s s a n c e a u m o i n d r e i n v e s t i s s e m e n t . N o t a m m e n t c e r t a i n e s u s i n e s i n s t a l l é e s t r è s a u - d e s s o u s d ' u n g r a n d fleuve ou d ' u n l a c n e p r e n - n e n t q u ' u n e f a i b l e p a r t i e d u d é b i t et o n t u n e h a u t e u r d e c h u t e p r a t i q u e m e n t c o n s t a n t e . D a n s la c o n s t r u c t i o n d e s t u r b i n e s , il p e u t a l o r s p a r a î - t r e a v a n t a g e u x d e s u b o r d o n n e r le r e n d e m e n t q u i p e u t ici, e n s o m m e , ê t r e q u e l c o n q u e à l ' é c o n o - m i e d u c o û t d e c o n s t r u c t i o n , e n p a r t i c u l i e r à la s i m p l i f i c a t i o n d u profil d ' a u b e (*).
e s t s u r a b o n d a n t e
s a u f p o u r l ' u n e d ' e l l e s q u ' o n r è g l e , en p é r i o d e d e b a s s e s e a u x , d e m a n i è r e à u t i l i s e r t o u t le flux d ' e a u d i s p o n i b l e s a n s f a i r e b a i s s e r la h a u t e u r d e la r e t e n u e m a i n t e n u e d e m a n i è r e à o b t e n i r la p u i s s a n c e m a x i m u m d e s a u t r e s t u r b i n e s .
E n définitive, n o u s p r e n d r o n s p o u r v a r i a b l e r a t t a c h é e a u d e g r é d ' u s u r e u n e q u a n t i t é s ( s e r - vice d e la t u r b i n e ) q u i p o u r r a ê t r e , s u i v a n t les cas, soit le t e m p s , soit l e d é b i t c u m u l é l e q u e l n ' a p a s b e s o i n d ' ê t r e c o n n u a v e c p r é c i s i o n , soit e n - c o r e , ce q u i p a r a i t le p l u s s i m p l e , l ' é n e r g i e c u - m u l é e f o u r n i e , l o r s q u e celle-ci e s t s u f f i s a m m e n t p r o p o r t i o n n e l l e a u d é b i t c u m u l é , c ' e s t - à - d i r e l o r s -
( ' ) C e l t e s i m p l i f i c a t i o n d u t r a c é d e s p r o f i l s p a r a î t p o u - v o i r ê t r e c o n ç u e d a n s ce c a s , n o n s e u l e m e n t e n v u e d ' u n e r é d u c t i o n d e la d é p e n s e d e f a ç o n n a g e , m a i s a u s s i , é v e n - t u e l l e m e n t , e n v u e d ' u n e r é d u c t i o n d e l a v i t e s s e d ' u s u r e , d u f a i t d ' u n m o i n d r e f r o t t e m e n t d e l ' e a u s u r l e s a u b e s .
J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E 5 9
q u e le r é g i m e d e l a r i v i è r e esl tel q u e la h a u t e u r d e c h u t e s o i t s u f f i s a m m e n t c o n s t a n t e ( a b s t r a c - t i o n f a i t e d e t r è s c o u r t e s p é r i o d e s d e g r o s s e c r u e o u d ' é t i a g e ) .
C A L C U L D E L A P E R T E
Si l ' o n a p p e l l e U0 l ' é n e r g i e f o u r n i e i n i t i a l e m e n t p a r la t u r b i n e p o u r u n a c c r o i s s e m e n t u n i t a i r e d e l a v a r i a b l e s, s é t a n t l a v a r i a b l e i n d é p e n d a n t e c h o i s i e ( t e m p s d e f o n c t i o n n e m e n t écoulé, ou d é - b i t c u m u l é ou e n c o r e é n e r g i e c u m u l é e f o u r n i e ) , la p e r t e i n s t a n t a n é e d ' é n e r g i e , p o u r u n e v a l e u r s de la v a r i a b l e , s e r a r e p r é s e n t é e p a r :
f / E = U0a ( s]) ds
a é t a n t u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e d e s r e p r é s e n t a n t la p e r t e d e p u i s s a n c e d u e à l ' u s u r e .
B . — C a s o ù l ' e a u
Ici, c h a q u e m è t r e c u b e d ' e a u s t o c k é e r e p r é - s e n t e u n e é n e r g i e q u ' i l i m p o r t e de n e p a s g a s - p i l l e r . L a p u i s s a n c e f o u r n i e n ' e s t p a s en g é n é r a l la p u i s s a n c e m a x i m u m q u e p e u t f o u r n i r l ' i n s t a l - l a t i o n . U n e u s i n e à r é s e r v o i r j o u r n a l i e r p e u t a v o i r à f o u r n i r les p o i n t e s et à a s s u r e r la d e n - telle d u d i a g r a m m e à la d e m a n d e d u r é s e a u . L e d é b i t d o i t d o n c s ' a d a p t e r t r è s r a p i d e m e n t à la d e m a n d e d e p u i s s a n c e d u r é s e a u et à la h a u t e u r d e c h u t e d e m a n i è r e à m a i n t e n i r u n e t e n s i o n s e n - s i b l e m e n t c o n s t a n t e a u x b o r n e s de l ' a l t e r n a t e u r . C e t t e a d a p t a t i o n se fait p a r la m a n œ u v r e a u t o - m a t i q u e d u d i s t r i b u t e u r d ' e a u d o n t le s e r v o - m o t e u r e s t c o m m a n d é p a r de faibles v a r i a t i o n s d e t e n s i o n é l e c t r i q u e . L a p u i s s a n c e f o u r n i e d e - m e u r e d o n c la m ê m e q u e si la r o u e n e s ' u s a i t p a s , m a i s le r e n d e m e n t d e celle-ci d i m i n u a n t , la c o n s o m m a t i o n d ' e a u a u g m e n t e , et c'est c e t t e a u g - m e n t a t i o n d e c o n s o m m a t i o n à v a l e u r d o n n é e de la p u i s s a n c e d e m a n d é e q u i r e p r é s e n t e la p e r t e e n c o u r u e d u fait d e l ' u s u r e d e s a u b e s . L e c a l - c u l n e s e r a d o n c p a s , e n p r i n c i p e , le m ê m e q u e d a n s le c a s A.
D ' a u t r e ' p a r t , la h a u t e u r de c h u t e é t a n t ici v a - r i a b l e , il n ' y a p a s e n g é n é r a l c o r r é l a t i o n e n t r e le t e m p s ou le d é b i t c u m u l é et l ' é n e r g i e f o u r n i e . C e p e n d a n t n o u s r e m a r q u e r o n s q u e si l ' u s i n e e s t p l a c é e t r è s b a s , c e t t e v a r i a t i o n de h a u t e u r p e u t n ' ê t r e q u ' u n e faible f r a c t i o n de la h a u t e u r de c h u t e , e n s o r t e q u e la v a r i a t i o n r e l a t i v e d e m e u r e faible, p l u s faible m ê m e s o u v e n t q u e p o u r u n e u s i n e a u fil d e l ' e a u où le n i v e a u aval p e u t v a -
L a v a l e u r e n f r a n c s d e c e t t e p e r l e i n s t a n t a n é e d ' é n e r g i e s e r a :
d n = JD U0 a (s) ds
p é t a n t le p r i x de v e n t e d u k W h a u x s e r v i c e s de d i s t r i b u t i o n .
Cette p e r t e est n priori i m p u t a b l e à t r o i s c a u s e s :
1. Le v i e i l l i s s e m e n t d e la r o u e ;
2. Le v i e i l l i s s e m e n t de la c o n d u i t e d ' a m e n é e ; 3. L e v i e i l l i s s e m e n t d e l ' a l t e r n a t e u r .
M a i s d a n s le l a p s de t e m p s d e l ' u s u r e d e la r o u e , les c a u s e s ( 2 ) et ( 3 ) s o n t n é g l i g e a b l e s v i s - à-vis d e ( 1 ) .
e s t m i s e e n r é s e r v e
r i e r b e a u c o u p , l a h a u t e u r d e c h u t e a l l a n t m ê m e j u s q u ' à s ' a n n u l e r e n c a s d e c r u e .
N o u s a d m e t t r o n s d o n c (il n e s ' a g i t q u e d ' u n d é g r o s s i s s a g e d u p r o b l è m e ) q u e la h a u t e u r d e c h u t e e s t c o n s t a n t e e l é g a l e à la m o y e n n e d e s h a u t e u r s r é e l l e s ; la p e r t e d ' é n e r g i e p o u r r a a l o r s , ici e n c o r e , ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e e x c l u s i v e m e n t f o n c t i o n de l a v a r i a b l e s, p a r l ' i n t e r m é d i a i r e , c e t t e fois, d u r e n d e m e n t t e c h n i q u e .
C A L C U L D E L A P E R T E
L a p e r t e de r e n d e m e n t p o u r la v a l e u r .v, d e la v a r i a b l e s e r a r e p r é s e n t é e p a r fi (s), p é t a n t u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e d e ( sx) .
L a p e r t e d ' é n e r g i e i n s t a n t a n é e e s t : d E = U0 P (s) ds
Cette f o r m u l e n e diffère d e celle d u c a s A q u e p a r la s u b s t i t u t i o n d e la f o n c t i o n (3 à la f o n c - t i o n a.
O n en d é d u i r a la p e r t e i n s t a n t a n é e en f r a n c s : d * == p U„ p (s) ds
T a n d i s q u e d a n s le c a s A, a r e p r é s e n t a i t u n coefficient d e c h u t e d e p u i s s a n c e , d a n s le c a s B, P r e p r é s e n t e u n coefficient d e c h u t e d e r e n d e - m e n t .
C. — R e c h e r c h e d e l ' o p t i m u m
N o u s v o y o n s q u e d a n s les c a s A et B, l ' e x p r e s - s i o n de la p e r t e é l é m e n t a i r e d ' é n e r g i e d u e à l ' u s u r e de l a r o u e a la m ê m e f o r m e a n a l y t i q u e à la s i g n i f i c a t i o n p r è s d u coefficient de p e r t e : P r e m i e r c a s A :
dn =p\Jç,«.(.s) ds ( 1 )
D e u x i è m e c a s B :
d K = p Un p (s) ds ( 2 )
N o u s c o n t i n u e r o n s le c a l c u l avec la f o r m u l e : d = p U0 a (s) ds
é t a n t e n t e n d u q u e , d a n s le c a s B, a. d o i t ê t r e r e m p l a c é p a r (3.
L a p e r t e d -K e s t é v i d e m m e n t d ' a u t a n t p l u s p e - t i t e q u e le r e m p l a c e m e n t est p l u s f r é q u e n t . M a i s cet a v a n t a g e d u r e m p l a c e m e n t f r é q u e n t e s t c o m - p e n s é p a r l e s f r a i s et s u j é t i o n d u d i t r e m p l a - c e m e n t .
Soit A le s e r v i c e t o t a l d e l ' e x p l o i t a t i o n c o n s i - d é r é c o m m e d o n n é et N le n o m b r e d e r e m p l a c e - m e n t s , q u e n o u s s u p p o s e r o n s ê t r e u n n o m b r e e n - t i e r a s s e z g r a n d . Si o n d é s i g n e p a r S le s e r v i c e a c c o m p l i p a r c h a q u e r o u e , e n t r e s a p o s e e t son r e m p l a c e m e n t , on a :
A. = N S
L a p e r t e e s t u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e d e S, la d é p e n s e t o t a l e d e r e m p l a c e m e n t est p r o p o r t i o n - n e l l e à N = A / S .
Il s ' a g i t d e d é t e r m i n e r S de t e l l e s o r t e q u e le t o t a l d e la d é p e n s e d e r e m p l a c e m e n t et d e la p e r t e en k W h soit m i n i m u m .
P o u r u n e r o u e m a i n t e n u e en e x p l o i t a t i o n j u s - q u ' a u s e r v i c e S, l a d é p e n s e c o m p r e n d :
— D e s f r a i s d ' e x p l o i t a t i o n ( s u r v e i l l a n c e , g r a i s - s a g e ) , q u ' o n p e u t s u p p o s e r p r o p o r t i o n n e l s a u t e m p s , q u i s o n t e n t o u t c a s i n d é p e n - d a n t s de l ' é t a t d ' u s u r e de la r o u e ; il n ' y a p a s à e n t e n i r c o m p t e ;
— L a d é p e n s e d ' a c h a t de la r o u e E ;
— L a d é p e n s e d e d é p o s e et d e r e p o s e F . D a n s le c a s A, il f a u t y a j o u t e r la v a l e u r G d u n o m b r e de k W h n o n p r o d u i t s p e n d a n t le t e m p s d ' i m m o b i l i s a t i o n de l ' i n s t a l l a t i o n d u fait d u r e m - p l a c e m e n t d e la r o u e .
P o u r c a l c u l e r la d é p e n s e g l o b a l e a f f é r e n t e à la r o u e , il f a u d r a i t , e n t o u t e r i g u e u r , t e n i r c o m p t e d u fait q u e , en r a i s o n de l ' i n t é r ê t d e l ' a r g e n t , u n e d é p e n s e faite à u n e é p o q u e n ' e s t p a s é q u i - v a l e n t e à l a m ê m e d é p e n s e , f a i t e à u n e a u t r e é p o q u e . E n l'ait, si l a d u r é e d e s e r v i c e d e la r o u e e s t a s s e z f a i b l e (ce q u ' o n p e u t a d m e t t r e , m ê m e p o u r les t u r b i n e s à s e r v i c e i n t e r m i t t e n t ) , on p e u t n é g l i g e r la c o n s i d é r a t i o n d e s i n t é r ê t s .
L a d é p e n s e t o t a l e (y c o m p r i s les p e r t e s ) affé- r e n t e à la r o u e e s t a l o r s s u p p o s é e f a i t e à u n m o - m e n t q u e l c o n q u e d u t e m p s de s e r v i c e d e la r o u e , et elle e s t é g a l e à la s o m m e d e s d é p e n s e s é l é - m e n t a i r e s :
D = E + F + G
P o u r le c a l c u l , n o u s s u p p o s e r o n s l i n é a i r e la loi d ' u s u r e a (s) q u i d e v i e n t a S; on t r o u v e a l o r s p o u r e x p r e s s i o n d e D , e n p o s a n t , p o u r s i m p l i f i e r l ' é c r i t u r e , E -f- F -f- G = 6 et /> U0 a = K :
/•s K S2
D = b + K / sds = b+
Jo 2 é t a n t e n t e n d u q u e S r e p r é s e n t e , s u i v a n t la v a -
r i a b l e a d o p t é e , soit la d u r é e d u s e r v i c e d e la r o u e , soit l a q u a n t i t é d ' e a u t u r b i n é e p a r elle p e n - d a n t c e t t e d u r é e , s o i t la q u a n t i t é d ' é n e r g i e c o r - r e s p o n d a n t e ; q u e l l e q u e s o i t la s i g n i f i c a t i o n a t t r i - b u é e à c e t t e q u a n t i t é S, n o u s l a d é s i g n e r o n s p a r le m o t « p é r i o d e ». D u m o m e n t q u e n o u s f a i - s o n s a b s t r a c t i o n d e s i n t é r ê t s , n o u s p o u v o n s a u s s i b i e n c o n s i d é r e r c e t t e d é p e n s e D c o m m e u n i f o r - m é m e n t r é p a r t i e le l o n g d e la p é r i o d e , a v e c u n e v a l e u r m o y e n n e p a r u n i t é d e la v a r i a b l e s, é g a l e à :
D b , K S
L e r é g i m e d e r e m p l a c e m e n t o p t i m u m e s t c e - l u i q u i c o r r e s p o n d a u m i n i m u m d e S. O n p e u t e x p l i q u e r ce fait, a s s e z i n t u i t i f , e n c o n s i d é r a n t q u e 8 n ' e s t a u t r e q u e le c o û t m o y e n p a r u n i t é de s e r v i c e fait. O n p e u t a u s s i , p l u s e x p l i c i t e - m e n t , r a i s o n n e r c o m m e s u i t : soit, à u n e é p o q u e q u e l c o n q u e d e l ' e x p l o i t a t i o n d e l ' i n s t a l l a t i o n , 2 u n e q u a n t i t é d e s e r v i c e f a i t q u e l q u e p e u s u p é - r i e u r e à l a p é r i o d e d e r e n o u v e l l e m e n t . Si c e t t e p é r i o d e e s t S', le c o û t s e r a :
D ' = S ' S' + 5' (S — S') = B' S.
Si la p é r i o d e e s t S", le c o û t s e r a : D " = 8" S " + 8" ( 2 — S") = 8" 2
J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 4 LA H O U I L L E B L A N C H E 6 1
s u p é r i e u r ou i n f é r i e u r au p r é c é d e n t , selon q u e
S " § S ' .
L e m i n i m u m c o r r e s p o n d bien au m i n i m u m de 3 d o n n é i m m é d i a t e m e n t p a r l ' é q u a t i o n :
do dS
_b_
S<r
7K 0
ou / 2 b
S
°
=V
a v e c K~
p u°
a 0 1 1 p u° ^
s e l o n le c a s . L o r s q u e l a v a r i a b l e s d é s i g n e le t e m p s , la for- m u l e c i - d e s s u s d o n n e i m m é d i a t e m e n t les é p o - q u e s d e r e m p l a c e m e n t d e s r o u e s . P o u r le c a s où la v a r i a b l e d é s i g n e le d é b i t t u r b i n é , n o u s s a v o n s q u e d e s é t u d e s t r è s s o i g n é e s o n t été faites i n d i - q u a n t p o u r les u s i n e s u n p r o g r a m m e r a t i o n n e l d e t u r b i n a g e d a n s le t e m p s . C'est à l'aide de ce p r o g r a m m e q u e l'on p o u r r a i t p r é c i s e r les é p o - q u e s d e r e m p l a c e m e n t des r o u e s .
Si a u l i e u d e r e m p l a c e r la r o u e t o u s les S„
o n la r e m p l a c e s e u l e m e n t en m o y e n n e t o u s les Si > S0 (le r e m p l a c e m e n t d ' u n e r o u e t r o p tôt s e m b l e p e u p r o b a b l e h o r s d u c a s d ' a c c i d e n t ) , on
a u n e p e r t e m o y e n n e d ' a r g e n t p a r a c c r o i s s e m e n t u n i t a i r e d e l a v a r i a b l e s é g a l e à :
~ - S i2 + b ^~ S0s + b Sx
= s, — s„
Ks, s„
Si l'on se t r o m p e de 100 n % s u r la p é r i o d e d e r e m p l a c e m e n t , on a :
S, = S( > (1 + n ) et la p e r t e u n i t a i r e e s t :
p U0 a b
n S o [ ~ -
(1 + n ) S„ 2 .
et la f r a c t i o n d u chiffre d'affaires q u e r e p r é s e n t e c e t t e p e r t e e s t :
n S„
pV„
P U n a t
1
2 (1 + n) S( 1-
J
D . — D é t e r m i n a t i o n d e s v a l e u r s d e s i e t ?
N o u s n e s a v o n s p a s si les f o n c t i o n s de d é - c r o i s s a n c e d e p u i s s a n c e a et de r e n d e m e n t p d u fait d e l ' u s u r e de l a r o u e o n t d é j à fait l'objet de m e s u r e s p r é c i s e s . Il s e r a i t u t i l e , s'il e x i s t e à t o u t le m o i n s u n e loi m o y e n n e , d e c o n n a î t r e la c o u r b e d e c e t t e loi.
L e coefficient a e s t u n coefficient d e r é d u c t i o n d e p u i s s a n c e . P o u r le d é t e r m i n e r en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , on p o u r r a p a r e x e m p l e p r o c é d e r c o m m e il s u i t :
O n m e s u r e r a la p u i s s a n c e é l e c t r i q u e i n i t i a l e d a n s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s de m a r c h e : n i v e a u a m o n t , n i v e a u a v a l . O n d é b i t e r a s u r d e s r é s i s - t a n c e s l i q u i d e s (car la c o n s o m m a t i o n d u r é s e a u e s t t r o p v a r i a b l e p o u r p e r m e t t r e u n e m e s u r e ) . C'est la m e s u r e d e U„ à l ' é p o q u e t„ et p o u r la v a - l e u r sr t d e la v a r i a b l e i n d é p e n d a n t e .
A l ' é p o q u e t± d e f o n c t i o n n e m e n t on s'efforcera d ' a v o i r l e s m ê m e s n i v e a u x a m o n t et a v a l ou b i e n l'on f e r a si p o s s i b l e les c o r r e c t i o n s n é c e s s a i r e s . O n o b t i e n d r a u n e n o u v e l l e m e s u r e XJX :
D e Ut = U0 (1 — a S )
o n t i r e a.
( 3 )
L a d é t e r m i n a t i o n d u coefficient p est p l u s d é l i c a t e . Il s ' a g i t d ' u n coefficient d e b a i s s e d u r e n d e m e n t t e c h n i q u e .
E n a p p e l a n t P la p u i s s a n c e é l e c t r i q u e a u x b o r - n e s d e l ' a l t e r n a t e u r , q le d é b i t i n s t a n t a n é , ? le r e n d e m e n t de l a r o u e , 0 le r e n d e m e n t d e l ' a l t e r - n a t e u r , H la h a u t e u r de c h u t e n e t t e , o n a, a u d é b u t de l ' i n s t a l l a t i o n d ' u n e r o u e .
P„ = H <7„ ?„ 0
A u n a u t r e m o m e n t , en a d m e t t a n t c o n s t a n t le r e n d e m e n t de l ' a l t e r n a t e u r , la p u i s s a n c e p o u r la m ê m e h a u t e u r de c h u t e H s e r a :
d ' o ù :
P , = H r/, f-, 0
m a i s ?! = ?u (1 — P S ) , de s o r t e q u ' o n a : P i = P o- J ~ d — P S )
7 0
(4) é q u a t i o n d ' o ù on t i r e r a p, S é t a n t l ' a c c r o i s s e m e n t d e la v a r i a b l e i n d é p e n d a n t e d a n s l ' i n t e r v a l l e
Il n e suffit d o n c p a s d e f a i r e les m e s u r e s élec- t r i q u e s de P( > et de P , , il f a u t a u s s i m e s u r e r q0 e t qx. Ce s o n t d e s m e s u r e s d e d é b i t , p l u s diffi- ciles et m o i n s p r é c i s e s (on a d m e t ± 2 % d ' e r -
r e u r m a x i m u m ) . C'est u n e o b j e c t i o n q u i s e m b l e i m p o r t a n t e p o u r l ' u t i l i s a t i o n d e s c a l c u l s , c a r l'er- r e u r est de. l ' o r d r e de la différence d e s q u a n t i t é s à m e s u r e r . O n p e u t i m a g i n e r q u e d e s m e s u r e s s o i g n é e s e n l a b o r a t o i r e s u r m o d è l e s r é d u i t s p u i s - s e n t d o n n e r de b o n s r é s u l t a t s g r â c e à la p r o - p r i é t é d e s t u r b i n e s s e m b l a b l e s d ' a v o i r le m ê m e r e n d e m e n t . L a difficulté s e r a i t d ' o b t e n i r la s i m i - l i t u d e de l ' u s u r e m a i s elle n e p a r a î t p a s i n s u r - m o n t a b l e p u i s q u ' o n fait d e s é t u d e s d ' é r o s i o n s u r m o d è l e s r é d u i t s .
C e p e n d a n t , il s e r a i t b e a u c o u p p l u s é l é g a n t d ' é v i t e r t o u t e m e s u r e de d é b i t e t la c h o s e p a r a î t p o s s i b l e à l ' a i d e d ' u n e é t u d e de c o r r é l a t i o n . E n effet, u n e t u r b i n e é t a n t d o n n é e et f o n c t i o n n a n t s o u s u n e h a u t e u r n e t t e H, o n fait d é b i t e r l ' a l t e r - n a t e u r s u r u n e r é s i s t a n c e l i q u i d e bien c o n n u e . La t u r b i n e t o u r n a n t à sa v i t e s s e de r é g i m e a u t o - m a t i q u e m e n t r é g l é e a b s o r b e u n d é b i t q0 s o u s u n e o u v e r t u r e <o0, l ' a l t e r n a t e u r f o u r n i s s a n t u n e p u i s s a n c e P( >. O r la v i t e s s e é t a n t c o n s t a n t e , il y a c o r r é l a t i o n s i m p l e e n t r e le d é b i t et l ' o u v e r t u r e <*>
s o u s u n e h a u t e u r n e t t e d o n n é e d e s o r t e q u ' i l
e x i s t e u n e c o u r b e o u v e r t u r e - d é b i t c a r a c t é r i s t i q u e d e la t u r b i n e . U n g r o u p e d e t e l l e s c o u r b e s p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e H p a r a î t m ê m e p o u v o i r ê t r e t r a c é a u m o i n s e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n à l ' é t u d e d e la t u r b i n e , de s o r t e crue la s i m p l e lec- t u r e d e l ' o u v e r t u r e ( p o s i t i o n d u d i s t r i b u t e u r ) d o n n e r a i t le d é b i t c o m m e u n e l e c t u r e s u r les a p - p a r e i l s é l e c t r i q u e s d o n n e la p u i s s a n c e f o u r n i e .
P0 e t P , , <]„ et qx é t a n t l u s p o u r d e s v a l e u r s d e l a v a r i a b l e i n d é p e n d a n t e différent de S, la f o r m u l e (4) d o n n e [3.
L ' a p p l i c a t i o n d u p r o c é d é p e u t p e r m e t t r e , p a r la m u l t i p l i c i t é , d e s m e s u r e s , d e s o b s e r v a t i o n s d e n a t u r e à p r é c i s e r les c o u r b e s < / = / (<») et $=g(s).
Cette d e r n i è r e r e l a t i o n r é s o u d le p r o b l è m e e n - t i è r e m e n t p u i s q u ' u n s i m p l e c a l c u l d o n n e e n s u i t e la p é r i o d e o p t i m a de r e m p l a c e m e n t .
On peut encore, comme nous l'avons déjà dit, calculer pour une hauteur nette donnée, et une résistance liquide donnée, la puissance à la fin d'une période optima et remplacer la roue quand cette puissance est atteinte.
E. — C o m p a r a i s o n d e s v a l e u r s d e a e t ?
S u p p o s o n s q u ' o n p r e n n e le t e m p s p o u r v a r i a - b l e et q u ' o n f a s s e d e s m e s u r e s P0 et P1 ( q0 et qt à u n a n d ' i n t e r v a l l e (t — 1 ) . O n m e s u r e , p a r e x e m p l e :
Pt = 0,98 P0 L a f o r m u l e (3) (cas A) d o n n e :
0 , 9 8 P& = P0( 1 — a) d ' o ù a = 0,02.
O r , s u p p o s o n s q u ' e n t r e les d e u x m e s u r e s , et d u fait de l ' u s u r e et d e s t o u r b i l l o n s , le d é b i t i n s t a n - t a n é a i t d i m i n u é d e telle façon q u e qjq0 = 0,99.
L a f o r m u l e (2) (cas 13) d o n n e a l o r s : 0,98 PU = P 0 X 0 , 9 9 ( 1 — p S ) ,
ou, si l'on p r e n d p o u r u n i t é d e S la q u a n t i t é d ' e a u t u r b i n é e d a n s l ' a n n é e :
d ' o ù :
0,98 P0 = P0 X 0,99 (1 — P) 0,98
0,99 = 0,01
L ' é c a r t e n t r e p et a e s t d u s i m p l e a u d o u b l e et l a p é r i o d e d e r e m p l a c e m e n t c a l c u l é e s e r a t r è s d i f f é r e n t e . L e s d e u x coefficients n e s o n t d o n c p a s d u t o u t é q u i v a l e n t s .
A u s s i la f o r m u l e (1) c o n v i e n t - e l l e a u x u s i n e s où l ' e a u e s t g r a t u i t e , t a n d i s q u e la f o r m u l e (2) c o n v i e n t a u x u s i n e s à r é s e r v o i r o ù l ' e a u s t o c k é e é q u i v a u t à l ' é n e r g i e en r é s e r v e .
F. — A p p l i c a t i o n n u m é r i q u e
N o u s p r e n d r o n s u n e t u r b i n e d u b a r r a g e d e R i v i è r e s - s u r - T a r n q u i est u n e i n s t a l l a t i o n a u fil de l ' e a u . C'est u n e t u r b i n e K a p l a n (H = 17 m ) , la v i t e s s e r e l a t i v e d e l ' e a u e s t élevée. Cette t u r b i n e a u n e p u i s s a n c e d e 11.000 k W et p r o d u i t en a n n é e m o y e n n e (4.100 h ) u n e é n e r g i e d e 45 m i l - l i o n s d e k W h .
N o u s a d m e t t r o n s , p o u r fixer les i d é e s , u n e c h u t e d e p u i s s a n c e d e 1 % a u b o u t d ' u n a n , chif- fre q u i p a r a î t m o d e s t e . O n a d o n c :
a = 0,01
O n a d m e t t r a u n p r i x d e v e n t e d u k W h d e
J A N V I E R - F É V R I K R 1 9 5 4 LA H O U I L L E B L A N C H E 63
5 f r a n c s a u x b o r n e s de l ' u s i n e h y d r o - é l e c t r i q u e e l p o u r p r i x d ' a c h a t d ' u n e r o u e n e u v e 510.000 fr.
( r o u e u s é e d é d u i t e ) . Ce s o n t d e s o r d r e s d e g r a n - d e u r d e 1 9 5 2 .
1° C A L C U L D U C O E F F I C I E N T K :
K = / J P0 a — 5 X 4 5 X1 0 ° X 0,01 == 2 , 2 5 . 1 0( 1 fr.
2 " C O U T b D E « E M P L A C E M E N T D ' U N E R O U E :
O n a d m e t t r a t r e n t e h e u r e s d ' a r r ê t , soit :
4.100 - L b o . l U t i . soit a u t o t a l , p o u r l ' a c h a t et la m i s e en p l a c e :
b = 510.000 + 1.050.000 = 2 , 1 6 . 1 0( i fr.
3° O n t r o u v e a l o r s , p o u r p é r i o d e o p l i m a d e r e m p l a c e m e n t d e la r o u e :
r p / 2 X 2,16.10" / . , ,0
l n =
V
" 2 7 2 5 7 . 0 ^— V /
1 , 9 2soit seize m o i s e n v i r o n . 1,38
4" S u p p o s o n s q u ' o n c o m m e t t e u n e e r r e u r d e 50 % e n m o y e n n e s u r la p é r i o d e d e r e m p l a c e - m e n t . Ce chiffre p a r a î t m ê m e o p t i m i s t e si l'on a e f f e c t i v e m e n t o m i s d e c a l c u l e r c e t t e p é r i o d e .
Il e n r é s u l t e u n e p e r t e p a r a n d e :
(S, — S„) K b
0,5
X
1,38Si s„
2 , 2 5 . 1 0! ! 2 , 1 6 . 1 0 ' ' 1,5.1,38-
= 254.000 fr.
L ' é n e r g i e p r o d u i t e r e p r é s e n t e :
5 X 4 5 . 1 0( î = 225 m i l l i o n s d e f r a n c s , d ' o ù la p e r t e e n % d u chiffre d'affaires :
0,113 % 0,254
2 2 5 "
Avec u n e e r r e u r d e 100 % s u r la p é r i o d e d e r e m p l a c e m e n t , o n a u r a i t u n e p e r t e d e :
1,38 2,25.10« 2 , 1 6 . 1 0 °
2 2 . 1 , 3 8 770.000 fr.
p a r a n soit : 0 , 7 7 / 2 2 5 = 0,34 % d u chiffre d'affaires, ce q u i e s t i m p o r t a n t .
Si a = 0,02 a u lieu d e 0,01 avec u n e e r r e u r d e 100 % s u r la p é r i o d e d e r e m p l a c e m e n t , la p e r t e r e p r é s e n t e u n e f r a c t i o n d u chiffre d'affaires d e :
1,38 2 2 5 . 1 0 "
2 , 2 5 . 1 0 " X 2 2 , 1 6 . 1 0 "
2
X
1,38 . = 1,03Ces chiffres i n t é r e s s e n t a u p r e m i e r chef le p r o - d u c t e u r d ' é I e c l r i ci l é.
P o u r l ' é c o n o m i e g é n é r a l e d u p a y s , il s'agit d ' u n e p e r l e d e k \ V h q u ' i l a u r a i t pu a v o i r en p l u s . N o u s v e n o n s d ' a p p r é c i e r le g a i n financier, m a i s e n é c o n o m i e réelle, la v a l e u r d e s k W h p e r - d u s p a r a î t s u p é r i e u r e à c e s chiffres p u r e m e n t c o m m e r c i a u x q u e n o u s a v o n s e s s a y é d ' é t a b l i r .
E n effet, n o n s e u l e m e n t le c o û t d e la f a b r i c a - t i o n d e s r o u e s u t i l i s é e s en p l u s g r a n d n o m b r e p e u t se t r o u v e r a b a i s s é , m a i s s u r t o u t les K i l o w a t t s r é c u p é r é s p r o c u r e n t u n gain t e c h n i q u e q u i fait b o u l e d e n e i g e , c e s k i l o w a t t s é t a n t a u s s i t ô t e m - p l o y é s à l a p r o d u c t i o n . O n a u g m e n t e la p u i s - s a n c e p r o d u c t r i c e d u p a y s . Cela e s t q u a l i t a t i v e - m e n t bien s u p é r i e u r a u gain f i n a n c i e r r é a l i s é s u r la v e n t e d e s k i l o w a t t s , s u r t o u t à u n e é p o q u e de p é n u r i e d ' é n e r g i e .
