Idup / décembre 21
MED / Démographie appliquée Contrôle continu n°2 – sur 10 pts
Calcul de l’âge conjoncturel moyen de départ à la retraite pour la période 2013-2017 Corrigé
À partir des données du tableau 1, calculez l’âge conjoncturel moyen de départ à la retraite pour la période 2013-2017.
Taux d’activité par groupe d’âges révolus les 1er janvier 2013 et 2018 Groupe d’âges
révolus
Taux d’activité 1/1/2013
Taux d’activité 1/1/2018
15 à 19 ans 18% 17%
20 à 24 ans 68% 66%
25 à 29 ans 90% 89%
30 à 34 ans 91% 91%
35 à 39 ans 92% 92%
40 à 44 ans 92% 92%
45 à 49 ans 91% 91%
50 à 54 ans 87% 89%
55 à 59 ans 74% 80%
60 à 64 ans 23% 32%
65 à 69 ans 3% 3%
70 à 74 ans 0% 0%
Source : Insee, RP2013 et RP 2018 exploitation principale
Démarche :
1) [1 pt] Représentez les données sur un diagramme de Lexis à partir de 45-49 ans révolus.
Identifiez sur le diagramme les différents groupes de générations concernées.
Corrigé :
Figure 1. Représentation des taux d’activité par groupe d’âges révolus les 1er janvier 2013 et 2018 sur un diagramme de Lexis
Pour identifier les générations :
- Par exemple, les personnes âgées de 45 ans révolus le 1er janvier de l’année 2013 ont fêté leur 45e anniversaire l’année précédente, soit en 2012. Ces personnes sont donc nées en : 2012-45 = 1967
- Pour ce même groupe de générations, les personnes âgées de 49 ans révolus le 1er janvier 2013 vont fêter leur 50e anniversaire en 2013. Elles sont donc nées en : 2013-50 = 1963
80
75
G. 1943-1947
70
0% 0% G. 1948-1952
65
3% 3% G. 1953-1957
60
23% 32% G. 1958-1962
55
74% 80% G. 1963-1967
50
87% 89%
45
91% 91%
01/01/2013 01/01/2018
Les personnes âgées de 45-49 ans révolus le 1er janvier 2013 appartiennent donc au groupe de générations 1963-1967.
2) [3 pts] Calculez les probabilités de cesser d’être actif (= probabilité de partir en retraite) à partir de 45-49 ans pour chacun de ces groupes de générations entre les premiers janvier 2013 et 2018. En déduire la série des personnes encore actives de la table prospective de fin d’activité (= table de départ en retraite). On prendra comme racine 10 000 personnes âgées de 45-49 ans.
De quel type de table s’agit-il ? Justifiez brièvement votre réponse.
Corrigé :
Pour chaque groupe de générations d’actifs en 2013, on calcule la probabilité d’être encore actif (1-r) cinq ans plus tard, soit en 2018, à partir des taux d’activité. On considère pour cela que le taux d’activité est, pour un groupe de générations, la proportion de personnes n’étant pas parties en retraite entre les âges x,x+4 révolus et x+5,x+9 ans révolus (par exemple entre 45-49 ans et 50-54 ans ; cf. diagramme de Lexis).
La série des taux d’activité est décroissante à partir de 45-49 ans en 2013 et 2018. Pour chaque groupe de générations âgées d’au moins 45-49 ans le 1er janvier 2013, le taux d’activité en 2018 est toujours inférieur au taux d’activité en 2013. On fait l’hypothèse que la différence est assurée par des sorties définitives de la population active, que l’on assimile à des départs en retraite : 1 − 𝑟5 𝑥,𝑥+4=𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é𝑥+5,𝑥+9;2018𝐺
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é𝑥,𝑥+4;2013𝐺
On déduit de cette probabilité de rester actif la probabilité complémentaire, celle de partir en re- traite (r) :
𝑟𝑥,𝑥+4=
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é𝑥+5,𝑥+9;2018𝐺
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é𝑥,𝑥+4;2013𝐺
On applique ce calcul à chacun des groupes de générations : 𝑟45−49 =
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é50−54;2018𝐺 1963−1967
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é45−49;2013𝐺 1963−1967 = 1 −89
91= 0,024 = 2,4%
𝑟50−54=
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é55−59;2018𝐺 1958−1962
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é50−54;2013𝐺 1958−1962= 1 −80
87= 0,088 = 8,8%
𝑟55−59=
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é60−64;2018𝐺 1953−1957
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é55−59;2013𝐺 1953−1957= 1 −32
74= 0,558 = 55,8%
𝑟60−64=
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é65−69;2018𝐺 1948−1952
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é60−64;2013𝐺 1948−1952= 1 − 3
23= 0,862 = 86,2%
𝑟65−69=
5 1 −𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é70−74;2018𝐺 1943−1947
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é65−69;2013𝐺 1943−1947= 1 −0
3= 1,000 = 100,0%
On considère maintenant que chacune de ces probabilités de départ en retraite est constante dans le temps. On va donc les appliquer à une cohorte fictive de 10 000 actifs âgés de 45-49 ans et estimer le rythme auquel cette population d’actifs s’éteint si les probabilités de départ en retraite
à chaque âge pour cette génération fictive étaient les mêmes que celles observées au cours de la période 2013-2017.
Pour déterminer la série des personnes encore actives selon le groupe d’âges révolus, il n’est pas nécessaire de déterminer la série des départs en retraite de la table. En effet :
𝑍𝑥+5,𝑥+9= 𝑍𝑥,𝑥+4× (1 − 𝑟5 𝑥,𝑥+4) Exemple :
𝑍50−54= 𝑍45−49× (1 − 𝑟5 45−49)
𝑍50−54= 10 000 × (1 − 0,024) = 10 000 × 0,976 = 9 760
Tableau 1. Série des survivants de la table perspective de départs en retraite (Série des actifs) Groupe d’âges
révolus
Actifs de la table
45-49 10 000
50-54 9 760
55-59 8 901
60-64 3 934
65-69 543
70-74 0
Il s’agit d’une table démographique transversale, de type perspectif. En effet, on applique à une cohorte fictive une série de probabilités de départ en retraite observées à différents âges, auprès de plusieurs générations, au cours d’une même période (ici 2013-2017). Ces probabilités sont calculés entre deux groupes d’âges révolus, ce qui conduit à des probabilités de type perspectif.
3) [3 pts] En déduire la série des personnes encore actives de la table classique de fin d’ac- tivité (= table de départ en retraite). On prendra 10 000 comme racine à 50 ans exacts. Calculez l’espérance d’activité à partir de 50 ans exacts et en déduire l’âge moyen conjoncturel de départ à la retraite.
Corrigé :
Pour estimer cette table, on pose l’hypothèse selon laquelle les départs en retraite sont répartis régulièrement au cours de deux groupes d’âges. Les « survivants » de la table aux différents âges exacts sont donc obtenus en faisant la moyenne arithmétique des survivants aux âges révolus qui encadrent cet âge exact :
𝑆𝑥+5 =𝑍𝑥,𝑥+4+ 𝑍𝑥+5,𝑥+9 2
Exemple :
𝑆55=𝑍50−54+ 𝑍55−59
2 =9 760 + 8 901
2 = 9 330,5
On considère également qu’il n’y a aucun départ en retraite avant 50 ans. On considère donc que les départs en retraite entre 45-49 ans et 50-54 ans sont donc tous concentrés entre 50 ans exacts et 50-54 ans révolus.
Figure 2. Représentation graphique du passage d’une table perspective à une table classique de départ en retraite
Tableau 2. Série des survivants de la table classique de départs en retraite (Série des actifs) Âge exact
x
Actifs de la table
50 10 000
55 9 331
60 6 418
65 2 239
70 272
75 0
À partir de cette série, il est possible de calculer l’espérance d’activité à partir de 50 ans : 𝑒50=2,5 × (𝑆50− 𝑆55) + ⋯ + 22,5 × (𝑆70− 𝑆75)
𝑆50 =2,5 × 𝑆50+ 5 × ∑70𝑥=55𝑆𝑥− 22,5 × 𝑆75 𝑆50
= 2,5 +5 × ∑70𝑥=55𝑆𝑥
𝑆50 = 2,5 +5 × (9 331 + 6 418 + 2 239 + 272)
10 000 = 11,6 𝑎𝑛𝑠
À partir de 50 ans, la durée moyenne d’activité est de 11,6 ans. Si l’on considère qu’aucun actif ne part en retraite avant 50 ans, dans les conditions de départ en retraite observées au cours de la période 2013-2018, l’âge conjoncturel moyen de départ en retraite est de 61,6 ans.
75 Âge
0
70 272
0
65 2 239 543
60 6 418 3 934
55 9 331 8 901
50 10 000 9 760
45 10 000
Remarque :
Il est possible que cette valeur sous-estime l’âge moyen au départ en retraite. En effet, la dé- marche de calcul des « survivants » (au départ en retraite) aux âges exacts de la table repose sur une hypothèse de répartition uniforme des départs en retraite entre deux groupes d’âges révolus.
Or il est possible que les départs en retraite se concentrent davantage dans les triangles du haut plutôt que dans ceux du bas, surtout avant 65 ans. Si cela était confirmé, le résultat du calcul effectué ci-dessus sous-estimerait la « réalité ». Au-delà de 65 ans, la même hypothèse pourrait en revanche avoir l’effet inverse. Il est possible que les effets de cette hypothèse se compensent selon les âges. Une même démarche, mais réalisée à partir de taux par âge révolu détaillés serait plus précise et souhaitable dans le cas présent. C’est le calcul qui est précisément fait par la DREES à partir de données très détaillées (cf. document sur l’EPI). Pour l’année 2015, soit l’année médiane de la période 2013-2017, l’âge conjoncturel moyen de départ en retraite calculé par la DREES est de ... 61,6 ans !
4) [2 pts] En une phrase ou deux, donnez une définition de l’âge moyen conjoncturel de dé- part en retraite. Quel est l’intérêt de cet indicateur par rapport :
- à l’âge moyen à la retraite calculé à partir du dénombrement des personnes parties en retraite au cours d’une période déterminée ?
- à l’âge moyen de départ en retraite déterminé à partir d’une table de génération ?
NB : Précisez bien les hypothèses éventuelles que vous posez pour effectuer vos calculs. Elles font partie de la notation.
Corrigé :
L’âge conjoncturel moyen de départ en retraite pour la période 2013-2018 correspond à l’âge moyen au départ en retraite d’actifs âgés de 50 ans dont les probabilités de départ en retraite selon l’âge correspondraient à celles observées entre 50 et 75 ans au cours de la période 2013- 2018.
Cet indicateur est indépendant de la structure par âge de la population active à partir de 50 ans puisqu’il ne dépend que des probabilités de partir en retraite à chaque âge. Ce n’est pas le cas de l’âge moyen des personnes parties en retraite au cours d’une année ou d’une période. En effet, l’âge au départ en retraite est dans ce cas la moyenne des âges de départ pondérée par le poids des différents âges ou groupes d’âges au sein de la population des personnes parties en retraite.
Or, le poids de chaque âge ou groupe d’âges dépend du poids des générations qui lui-même dépend, d’une part, de l’effectif initial de chacune de ces générations augmenté ou diminué du solde migratoire et, d’autre part, de l’effet de la mortalité qui touche une partie de la population active.
L’âge conjoncturel moyen de départ en retraite présente en outre l’opportunité de donner une mesure correspondant aux conditions présentes de départ en retraite. L’âge longitudinal de départ en retraite tient compte à la fois des effets de génération et de période, ce qui complique son analyse. Il est en revanche utile et intéressant pour comparer des générations entre elles. Mais il faut attendre que les membres d’une même génération aient atteint au moins 65 ans pour propo- ser une mesure robuste, dont la valeur synthétique pour mesurer une situation particulière reste limitée.
