L A H O U I L L E B L A N C H E 213 — On voit ainsi que les stations à l'est du Rhône, où la
moyenne d'excédent pluvial par mètre d'altitude, atteint im/ra,07 au lieu de o™/m,83 à l'ouest, reçoivent beaucoup plus de pluie que le plateau de l'Ardèche, brûlé par le soleil faute de bois. Le nombre des jours de pluie, atteignant
i35 à Lente, n'est en moyenne que de 81 dans l'Ardèche et s'y abaisse à 65 et 66 pour quelques stations. La répartition des pluies entre les saisons, est également plus favorable à l'est du Rhône, où Lente reçoit plus d'eau pendant la période de végétation (ier avril au 3o septembre), que le reste de l'année, tandis que l'inverse a lieu dans l'Ardèche.
Le rétablissement du revêtement végétal donne ainsi le moyen de sortir du cercle vicieux- signalé par M . Salvador :
« D'une part, l'eau indispensable au plein développement de la forêt, est devenue trop rare pour permettre ce déve- loppement ; d'autre part, cette rareté tient à la disparition de la forêt qui, seule, est capable de redonner au climat local l'humidité qui lui fait défaut » Dans la montagne dénudée c o m m e dans les régions désertiques, le reboise- ment est difficile parce que l'air y est trop sec, et l'air est trop sec parce que l'arbre y fait défaut. Mais l'homme n'est pas enfermé pour cela dans u n cercle vicieux, puisque l'em- broussaillement et l'enherbement lui donnent le moyen de fournir aux jeunes plants, non seulement u n abri, mais des conditions hygrométriques favorables à leur croissance (2).
L'Association Centrale pour l'Aménagement des Monta- gnes sera reconnaissante, aux groupements et aux particu- liers qui se livreraient à ce genre d'études, de lui en com- muniquer les rés.uîtats à son siège social (Bordeaux, i/j2,rue de Pessac) et de seconder ainsi ses recherches entreprises d'accord avec l'administration forestière pour fixer les lois des condensations occultes, dont l'abondance est mainte- nant un fait acquis. Mais ce serait une imprévoyance impar- donnable d'ajourner le gros effort nécessaire au reboise- ment des montagnes, sous prétexte d'attendre l'achèvement de ces laborieuses études, car on sait aujourd'hui (3) que le renforcement des forces hydrauliques est pour la France une question de vie ou de mort. Aussi les initiatives dé- vouées à l'Aménagement du Rhône se préoccupent-elles d'y faire contribuer le reboisement : « Pourquoi donc a-t-il perdu cette activité régulière ? dit M . Herriot. . J'imagine qu'il faut attribuer cette décadence au déboisement qui a de m ê m e appauvri la Tunisie. S'il en était ainsi, notre pro- gramme d'aménagement du Rhône devrait s'accroître d'un programme de reboisement » (4)
Paul DESCOMBES,
Ingénieur en chef honoraire des Manufactures de l'Etat.
(1) G. SALVADOR. —. La Forêt de la Saute-Baume (Revue des Eaux et forêts, juin 1921).
(2) Les Condensations occultes et l'atténuation de la sécheresse aux grandes altitudes (Bois et résineux, 18 mai 1919).
(3)Un Méfait du déboisement (Revue des Deux-Mondes du i5 sep- tembre).
__(4) E. HERRIOT. — L'Avenir du Rhône (Les Annales politiques et littê-
r<>™s, 30 o c t o b r e
M É T H O D E G É N É R A L E D E CALCUL
DES
ENVELOPPES CYLINDRIQUES
A SECTION NON CIRCULAIRE
Celte question a déjà été étudiée dans un précédent numéro de la Houille Blan- che, mais seulement dans le cas parti- culier d'une enveloppe de section elliptique et d'épaisseur uniforme.
Le présent article expose une méthode de calcul beaucoup plus générale puis- qu'elle s'applique à des enveloppes dont la section peut être quelconque et dont l'épaisseur peut être variable en tous les points de la section.
Cette méthode est précieuse pour l'étude des corps de robinets vannes, elle est du reste utilisée' couramment dans une importante maison de construction hy- draulique.
Elle permet de déterminer la fatigue du métal en tous les points d'un robinet vanne donné ; on arrive ainsi, en renfor- çant les parties qui fatiguent beaucoup et en réduisant les autres, à obtenir une utilisation rationnelle du métal et à réa-
liser le minimum de poids pour une fatigue maximum déterminée,
G É N É R A L I T É S
Lorsqu'une enveloppe cylindrique, de section non cir- culaire, se trouve soumise à une pression intérieure, elle tend :
I \ éclater ;
2° A se déformer pour se rapprocher de la section cir- culaire.
L e métai est donc soumis à des efforts d'extension et à des efforts de flexion (il y a aussi des efforts de cisaille- ment, c o m m e nous le verrons plus loin).
II est difficile d'évaluer, à priori, ces efforts de flexion qui peuvent être considérables ; la méthode que nous allons exposer permet de les calculer avec précision.
Cette méthode n'est, du reste, pas nouvelle ; elle est, croyons-nous, appliquée dans le calcul des coques de sous- marins.
O n remarquera, en passant, que le calcul d'enveloppes soumises, c o m m e ces coques, à des pressions extérieures, présente une difficulté supplémentaire provenant du fait que la déformation de l'enveloppe l'éloigné de la forme circulaire ce qui augmente la fatigue d u métal ; il y a ainsi à craindre une instabilité de l'enveloppe analogue au flambage des pièces longues comprimées.
D a n s les enveloppes soumises à une pression intérieure, les seules que nous ayons en vue dans cet article, ce phé- n o m è n e n'est pas à craindre, car la déformation de l'en- veloppe la rapproche de la forme circulaire et diminue la fatigue. ,
N o u s bornerons notre étude a u cas ou la section de l'enveloppe présente deux-axes de symétrie, c'est le cas le plus fréquent dans la pratique.
L a méthode que nous allons exposer peut être généra- lisée pour, l'étude des enveloppes de action non symê-
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1921047
— 214
LA HOUILLE BLANCHE
trique, mais cette généralisation nous entraînerait trop loin.
Considérons donc une enveloppe cylindrique de section non circulaire présentant deux axes de symétrie (Fig. 1).
L'épaisseur de l'enveloppe peut être variable le -long de la section, tout en respectant la symétrie ; l'enveloppe peut aussi être munie de nervures, perpendiculaires aux génératrices.
Considérons une certaine longueur I, de l'enveloppe, considérons u n point M (fig. 1) et une section normale à la paro| intérieure, ou, plus exactement, à la fibre neutre, ce qui revient pratiquement au m ê m e .
Cette section présente une surface SM et u n m o m e n t d'inertie R„, m o m e n t d'inertie calculé par rapport à u n axe parallèle aux génératrices de l'enveloppe et passant par le centre de gravité de la section SM •
FIG. 1
Nous calculerons facilement les fatigues en tous les points de la section SM si nous arrivons à déterminer :
1° L a résultante RM des actions moléculaires dévelop- pées dans cette section ;
2° L e couple résultant CM de ces m ê m e s actions molé- culaires.
C A L C U L D E L A R É S U L T A N T E R „ D E S A C T I O N S M O L É C U L A I R E S
Par raison de symétrie, aux points A et B (fig. 2) situés sur les axes de symétrie, les résultantes RA et RB sont normales aux axes.
N o u s pouvons calculer facilement RA et RB.
L'équilibre de la portion d'enveloppe
ANMB A'N'M'B'
entraîne :
R
A= p X L x O Â
RB =
p
X L XÔB
Pour calculer la résultante RM en un point M , nous considérerons les conditions d'équilibre de la portion d'en- veloppe A N M A ' N ' M ' .
O n a, en projetant les efforts sur Ox : X = p X L X M m et en projetant sur O y :
Y = RA — p X L X Â m = p X L x Ô À - p X L X A m
Y = p x L x Ô m
Il en résulte que les triangles O M m et M RMY sont sem- blables et que :
RMe s t normal à
OM
et a pour valeur R3 I =p x L x O M
Cet effort RM r"se décompose en deux efforts :
1° EM composante tangentielle donnant la fatigue d'ex- tension le long du contour
ÇEXT.
,SM
2° T „ composante transversale donnant la fatigue de cisaillement
- s ;
FIG 2
C A L C U L D U C O U P L E R É S U L T A N T D E S A C T I O N S M O L É C U L A I R E S
Soit CMi ce couple dans la section M ; soient CA et CB les couples dans les sections A et B.
L'équilibre d u tronçon A M nous donne, en prenant les m o m e n t s par rapport à O :
(1)
s CA + CM + RA x O A — RM X O M + M o m e n t résultant l des efforts élémentaires phdl — 0.
Pour évaluer le m o m e n t résultant des efforts élémen- taires pL dl, considérons le prisme liquide A M O A'M'O'.
Il est en équilibre et on peut écrire, en prenant les mo- ments par rapport à O :
^ M o m e n t résultant des efforts élémentaires phdl
+ p X L x O T x f - p X L x Ô M x f = 0.
L'équation (1) devient :
O A 2
OM
2„
C
A+ C
M+ R
Ax O A - R
Mx O M - p x L X ~ + p
XL x ^ - = 0 .
2or RA = p
x
L X O A ; d'où :RM = p x L
X
O MCA + CM +
p
XL
X O A2 T O M2 np
XL
X-g- =
0.d'où
C„ = — C + p x L x
O M2 T O A22 f x L x T (3) Cette relation ne suffit pas à elle seule pour donner C»
puisque nous ne connaissons pas C. „
L A H O U I L L E B L A N C H E 215 — Pour avoir une autre équation, nous écrirons que : dans
la déformation de l'enveloppe, les sections A et B restent perpendiculaires entre elles, ainsi que cela résulte de la svmétrie.
" Un élément de longueur dl autour d'un point N (fig. 2) subit une flexion et ses deux faces extrêmes tournent, l'une par rapport à l'autre, d'un angle d6
C
NdD = dl E IN
(E étant le coefficient d'élasticité d u métal, I„ le m o - ment d'inertie de la section en N ) .
Si nous intégrons entre A et B nous devons avoir :
'C
NdZ
/ do = 0 = /
C'A
Ja
e ik
En remplaçant CN par sa valeur tirée de (3), il vient :
BÔ M2d Z
(4) -(C. + p x L x -
rj /
AE I - + V . (
Considérons la quantité
/'B dl
E L , 0.
f - r» dl
Jk E IM
p est une longueur analogue à u n rayon de giration, c'est une grandeur géométrique qui peut être calculée indépendamment des efforts mis en jeu dans l'enveloppe.
L'équation (4) peut s'écrire :
^ X ^ C 1 + P X L X ^
d'où CA =
(
p« _ ÔS») =
p~ (ÔÂ + ?) (05
?) (5)en portant cette valeur dans (3) il vient :
cv pL pL O M
2 pL O A2^ (OM*_ p») = ^ (OM + p) (ÔM -
P)
ou C , = ^ x M P x M Q
(Kg- 2)Les fatigues de flexion sont ensuite faciles à calculer puisqu'on connaît le m o m e n t fléchissant C„ et le m o m e n t d inertie IM.
R É S U M E
Pour étudier les fatigues a u x différents points d'une en-
veloppe
cylindrique, de section non circulaire mais ayant deux axes de symétrie, il faut considérer d'abord le centre«e symétrie O (fig. 3).
Calculer ensuite la quantité p telle que :
y 9Ml2<£ E étant le coefficient d'élasticité du
?
2= J±L_
métal-
V ÊL I étant le m o m e n t d'inertie de la E l section M .
Ce calcul se fait facilement en considérant dans le con-
tour de l'enveloppe~dcs sections équidistantes. O n cherche d'abord le centre, de gravité de ces sections, puis leur m o - m e n t d'inertie I par rapport à u n axe passant par ce centre de gravité et parallèle aux génératrices de l'enveloppe.
On'calcule ensuite -T puis — e t | o n obtient : I I
1
O M2 C2J =
5 4
Fig. 3
Tracer ensuite le cercle de rayon p et de centre O.
1° L a résultante des efforts moléculaires dans une section M est normale à O M et, pour une tranche d'enve- loppe de longueur L sa valeur est :
R„ = L x p Ô M
2° Le couple résultant des actions moléculaires dans une section M a pour valeur :
CM =
t-lp
X M P XM Q
M P et. M Q étant les deux distances de M au cercle de centre O et de rayon p.
Connaissant RM et CM, il est facile de calculer toutes les fatigues.
O n remarquera que cette méthode de vérification des fatigues s'applique avec la m ê m e facilité aux enveloppes à épaisseur constante, aux enveloppes à épaisseur variabb et aux enveloppes renforcées par des nervures de dimen- sions constantes ou variables.
A P P L I C A T I O N
N o u s allons appliquer cette méthode à la vérifica- tion des fatigues dans l'enveloppe elliptique d'épaisseur constante, étudiée, à titre d'exemple, par M . Prudon, dans u n précédent numéro deJa Houille Blanche.
Cette en\eloppe avait pour demis axes 0m,45 et 0m, 9 0 ; pour épaisseur 0m,17, et, sous une pression de 20 kgs par c m2, la fatigue m a x i m u m calculée atteignait 800 kgs par c m2.
Considérons une tranche d'enveloppe de 1 c m de lon- gueur , toutes les sections normales à l'enveloppe et pas- sant uar des génératrices sont identiques ; leur surface
1 73 - est S — 1 7 c m2; leur m o m e n t d'inertie 1 = 1 X ^ = 4 1 0 .
- 216 L A H O U I L L E B L A N C H E L e calcul de p, rayon du cercle des m o m e n t s fléchissants
est ici facile, en divisant le contour en éléments d'égale longueur, en mesurant pour chacun O M m o y e n , puis en prenant la m o y e n n e des O M2 nous trouvons
p2 = 4480 d'où p = 67 c / m
L'épure de la figure 4 permet alors de calculer la rcsuî"
tante RM des efforts dans une section quelconque, le cou- ple CM dans cette m ê m e section, et par suite les fatigues d'extension, de cisaillement et de flexion en tous les points de cette section.
L e tableau ci-après rébume ce calcul :
F O R M E R A T I O N N E L L E D E S E N V E L O P P E S ELLIPTIQUES (Corps.de robinet-vannes).
L a considération des fatigues obtenues dans l'exemple ci-dessus conduit à employer des nervures afin de mieux résister aux efforts de flexion qui sont, de beaucoup, les plus importants.
O n arrive ainsi à une disposition représentée fig, 5, L'épaisseur en ab est plus petite qu'en de.
Les nervures sont disposées de façon à travailler à la compression. C o m m e1 les points les plus éloignés de la fibre neutre et, par conséquent, les plus fatigués sont à la
O M R M
= p X Ô M T effort cisaillement
E effort extension
M P M Q
C M k g X c m
Cisail.
Fatig Ext.
lies en kg,
Flex. Résultante
Section 1
c/m 45
kg 900
kg 0
kg 900
c/m
— 22
c/ m
112 24.600 0 0,53 5,10 A, : 4,6 çomp kg
900
kg 0
kg 900
c/m
— 22
c/ m
112 24.600 0 0,53 5,10
B, : 5,6 ext.
Section 2 47 940 200 900 - 20 1 U 22 800 0,12 0,53 4,75 A2 : 4 ,2 comp. | B2 : 5,3 ext.
Section 3 .... 53 1.060 480 960 — 13 121 15.800 0.28 0,56 3,50 Aa : 2,9 comp.
B3 : i,1 ext.
64 1.280 800 1.010 - 3 131 3.930 0,47 0,60 0,62 A4 : 0.
B4 : 1,2 ext.
Section 5 75,5 1.510 990 1.170 9 143 12.800 0,58 0,69 2,67 A5 : 3,5 ext.
75,5 1.510 990 1.170 9 143 12.800 0,58 0,69 2,67
B5 : 2 comp.
Section 6 ... 86,5 1.730 750 1.504 19 153 29.000 0,44 0,89 6,00 A6 : 6,9 ext.
BG : 5,1 comp
Section 7 90 1.800 0 1.800 23 157 36.000 0 1,06 7,50 A , : 8,7 ext.
B7 : 6,5 comp,
N O T A . - Il y aurait encore'à considérer une fatigue d'extension le long d'une génératrice ; dans l'exemple choisi, cette fatigue serait 0k,35 par m/m'.
Fig. h
O n voit, par cet exemple, que l'emploi d'une épaisseur constante conduit à une très mauvaise utilisation d u métal. '
Fig. 5
partie extérieure des nervures, on arrive à obtenir que les fatigues les plus élevées soient des compressions, tandis, qu'avec f'épaisseur constante, c'est l'inverse qui se produit.
Par exemple, dans u n corps de robinet-vanne en fonts aciérée, on s'arrangera pour que les fatigues en a et en d'- extensions) soient de 5 kgs par m / m2, et que les fatigues;; en c et / (compressions) soient de 10 kgs par m / m2. f
Ces conditions de fatigue assurent à la pièce le minimum de poids pour u n coefficient de sécurité donné.
P. C A Y È R E ,
Ingénieur A. M. et I. E. G.,
Ingénieur aux Etablissements Neyret-Beylier et Piccard-PiW
