Cours de math´ematiques
Fonction exponentielle
D´efinition 1. On appelle fonction exponentiellela fonctionexp :x7→exp(x) d´efinie surRpar exp(x) =y avec ln(y) =x.
y= exp(x) e
On note exp(x) =ex.
Propri´et´e 1. La fonction exp est d´erivable et exp′(x) = exp(x), elle est de plus croisssante et strictement positive.
Propri´et´e 2. On a ln(ex) =x pour tout r´eel x et eln(x) =x pour tout r´eel x >0.
Propri´et´e 3. La fonction exp v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y et pour tout entier relatif n :
1. ex+y =exey
2. e−x= 1 ex 3. ex−y = ex
ey 4. enx= (ex)n
Propri´et´e 4. Si u est une fonction d´erivable, alors la fonction x 7→ eu(x) est d´erivable et (eu(x))′ =u′(x)eu(x).
D´efinition 2. Soit a un nombre r´eel strictement positif, on appelle fonction exponentielle de basea la fonction d´efinie sur R parx7→ax=exln(a).
Propri´et´e 5. Pour tout nombre r´eel astrictement positif et pour tous r´eels x et y, on a : 1. ax+y =axay
2. a−x= 1 ax 3. ax−y = ax
ay 4. axy = (ax)y
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