Chapitre 2
Séries numériques
Table des matières
1 Compléments d’algèbre linéaire 1
1.1 Produit et somme d’espaces vectoriels . . . . 2
1.1.1 Produit d’un nombre fini de sev . . . . 2
1.1.2 Rappels de première année : somme de deux sevs . . . . 3
1.1.3 Somme finie de sevs . . . . 5
1.2 Matrices par blocs et sous-espaces stables . . . . 7
1.3 Déterminants . . . . 9
1.3.1 Déterminants par blocs . . . . 9
1.3.2 Déterminant de Vandermonde . . . . 10
1.4 Matrices semblables et trace . . . . 11
1.4.1 Trace d’une matrice carrée . . . . 11
1.4.2 Matrices semblables . . . . 12
1.5 Projecteurs et symétries (Rappels de première année) . . . . 12
1.5.1 Projecteurs . . . . 12
1.5.2 Symétries . . . . 14
1.6 Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes HORS PROGRAMME . . . . 16
Les paragraphes??,??,??,??et??sont des rappels de première année.
2.1 Définitions
DÉFINITION2.1 ⋆ Série
On considère une suite(un)n∈Nà valeurs réelles (ou complexes). On lui associe la suite dessommes partielles(Sn)n∈N
définie par
∀n∈N, Sn= Xn k=0
uk
— On appellesériede terme généralun, la suite(Sn)de terme généralSn que l’on notePun.
— On dit que lasériePun convergesi et seulement s’il existeS∈Rtel queSn−−−−−→n
→+∞ S. Sinon, on dit que la série Pun diverge.
— Lorsque la sériePunconverge, on dit queSest lasomme de la sérieet l’on note S=
+∞X
n=0
un
Remarque 2.1 Ne pas confondre les notations, on peut parler d’une sériePun même si la série ne converge pas. Par contre, la notation+∞X
n=0
un désigne la somme d’une série qui n’a de sens que si la série converge. Cette notation représente unelimiteet non pas une somme « infinie » . . .
Remarque 2.2 Il se peut que la suite(un)ne soit définie qu’à partir d’un rangn0. On parle également de la sériePun, les sommes partielles n’étant définies qu’à partir du rangn0:
Sn= Xn k=n0
uk
et si la suite(Sn)nÊn0 converge, on note sa limite +∞X
n=n0
un
Remarque 2.3 Étudier lanatured’une sériePun consiste à préciser si la série converge ou diverge.
Remarque 2.4 Une série n’est pas autre chose qu’une suite. On peut donc lui appliquer les résultats vus en première année concernant les suites réelles ou complexes.
PROPOSITION2.1 ⋆⋆⋆ Espace vectoriel des séries convergentes L’ensemble des suitesE={(un)∈KN|P
un converge}est unK-espace vectoriel. L’application
S :
E −→ K
(un)n∈N 7−→
+∞X
n=0
un
est une forme linéaire surE.
Démonstration Remarquons queEest un sous-ensemble deKN. Pour montrer queEest unK-espace vectoriel, il suffit de montrer que c’est un sous-espace vectoriel deKN.
L’ensembleEdes séries convergente est non vide car il comporte la série de terme général nul.
SoientPun,P
vn∈Edeux séries convergentes. Pourn∈N, on noteSnetTn la nième somme partielle respectivement associée à Pun etPvn. Soient aussiα,β∈K. Dire quePun,P
vn sont convergentes revient à dire que(Sn)n∈Net(Tn)n∈Nsont des suites convergentes. Mais alors par théorème sur les suites,α(Sn)n∈N+β(Tn)n∈N=(αSn+βTn)n∈Nest aussi une suite convergente. Donc X ¡αun+βvn¢est convergente. On note+∞X
n=0
¡αun+βvn¢sa somme.
De plus, siS=lim Sn=+∞X n=0
unet siT=lim Tn=+∞X n=0
vn alorsαSn+βTn−−−−−→
n→+∞ αS+βT, ce qui s’écrit aussiα+∞X n=0
un+β+∞X n=0
vn= +∞X
n=0
¡αun+βvn¢.
Remarque 2.5 En particulier, siPun etPvn sont convergentes de somme respectivesSetTalors pour toutα,β∈K, la sérieαP
un+βP
vn est convergente de sommeαS+βT. Attention 2.1 On ne peut écrireP∞n=0(un+vn)=P∞
n=0un+P∞
n=0vn qu’après avoir vérifier que les sériesP(un+vn), PunetPvnsont convergentes.
PROPOSITION2.2
Une série à termes complexes converge si et seulement si les séries partie réelle et partie imaginaire associées convergent.
Démonstration Laissée en exercice.
THÉORÈME2.3 ⋆ Séries grossièrement divergentes
Il y a un lien important entre la suite(un)et la suite des sommes partielles(Sn):
∀nÊ1, un=Sn−Sn−1
On en déduit que
Xun CV =⇒ un−−−−−→n
→+∞ 0
Lorsque la suite(un)ne converge pas vers0, on dit que la sériePun estgrossièrement divergente.
Démonstration (
Sn =u0+ ··· +un−1+un Sn−1 =u0+ ··· +un−1
En faisant la différence,un=Sn−Sn−1. Si la sériePun converge, il existeS∈Rtel queSn−−−−−→n
→+∞ S, mais alorsSn−1−−−−−→n
→+∞ S et par les théorèmes généraux,
un=Sn−Sn−1−−−−−→n
→+∞ S−S=0 Remarque 2.6 Il ne suffit pas queun−−−−−→n
→+∞ 0pour que la série converge. On verra que la sériePn1 diverge et pourtant
1 n −−−−−→
n→+∞ 0.
Remarque 2.7 Pour étudier la nature et calculer la somme d’une sériePun, il est intéressant de trouver une suite(vn) telle que
∀n∈N, un=vn+1−vn
Alors le télescopage permet de calculer explicitement la somme partielle : Sn=
Xn k=0
uk= Xn k=0
(vk+1−vk)=vn+1−v0
La sériePunconverge si et seulement si la suite(vn)converge et dans ce cas,
+∞X
n=0
un= lim
n→+∞vn−v0
Remarque 2.8 Pour étudier unesuite(vn), il peut être également intéressant d’étudier la convergence de la sériePtn
oùtn=(vn−vn−1). En effet,
vn=(vn−vn−1)+(vn−1−vn−2)+ ··· +(v1−v0)+v0=v0+ Xn k=1
tk
Par conséquent,
la suite(vn)converge ⇐⇒ la sérieXtn converge
PROPOSITION2.4 ⋆ On ne modifie pas la nature d’une série en modifiant un nombre fini de termes
Si(un)et(vn)sont deux suites telles qu’il existen0∈Navec∀nÊn0,un=vn, alors les sériesPun etPvn sont de même nature.
Démonstration Introduisons les sommes partielles des deux séries :
∀n∈N, Sn= Xn k=0
uk Tn= Xn k=0
vk
Alors pournÊn0,
Tn= n0−1
X k=0
vk+ Xn k=n0
vk
= Xn k=0
uk+³n0−1 X k=0
vk−uk´
=Sn+C
oùCest une constante ne dépendant pas den. Par conséquent, la suite(Tn)converge si et seulement si la suite(Sn)converge.
DÉFINITION2.2 ⋆ Reste d’une série convergente
Soit une sériePun convergente. Notons(Sn)n∈N la suite de ses sommes partielles etS=+∞X
n=0
un sa somme. On appelle reste d’ordrende la sériePun, la suite de terme généralRn=S−Sn notée
Rn= +∞X
k=n+1
uk
On aRn−−−−−→n
→+∞ 0et la relation
∀n∈N, Sn+Rn=
+∞X
n=0
un
Remarque 2.9 On veut calculer une valeur approchée de la somme d’une sériePun: S=
+∞X
k=0
uk
On décide de prendre comme valeur approchée de cette somme, la somme partielle de la série : Sn=
Xn k=0
uk
PuisqueSn+Rn=S, l’erreur commise dans cette approximation est le reste de la série :
|S−Sn| = |Rn|
On peut écrire la procédure Python suivante qui prend en argument une fonctionf telle queun=f(n), un entiern et calcule la somme partielleSnde la série :
Python
✞ ☎
1 # p r e m i è r e p o s s i b i l i t é
2 def somme_partielle(f,n):
3 S=0
4 for i in range(0,n+1):
5 S+=f(i)
6 return(S)
7
8 # s e c o n d e p o s s i b i l i t é
9 sum([f(i) for i in range(0,n+1)])
✡✝ ✆
Le problème consiste à déterminer la valeur denpour être sûr queSn soit une valeur approchée àεprès deL. On résout ce problème si l’on sait majorer simplement le resteRn. Si par exempleRnÉ 1
n, pour obtenir une valeur approchée à 10−pprès, ilsuffitque 1
nÉ10−p, c’est-à-direnÊ10p. THÉORÈME2.5 ⋆ Séries géométriques
Soitz∈C. La sériePzn s’appelle unesérie géométriquede raisonz. 1. La sériePzn converge si et seulement si|z| <1.
2. On connaît explicitement les sommes partielles, la somme et le reste d’une série géométrique :
Sn= Xn k=0
zk=
1−zn+1
1−z siz6=1 n+1 siz=1 Si|z| <1,
+∞X
n=0
zn= 1
1−z Rn=
+∞X
k=n+1
zk=zn+1 1−z
Démonstration
1. On suppose queXzn est convergente. On noteSnLa nième somme partieelle associée à cette série, on a :
Sn= Xn k=0
zk=
1−zn+1
1−z si z6=1 n+1 si z=1 .
AlorsXznconverge si et seulement si(Sn)n∈Nconverge c’est-à-dire si et seulement si(zn)n∈Nconverge, ce qui est équi- valent à|z| <1.
2. Si|z| <1, alors
+∞X n=0
zn=lim Sn= 1 1−z. On en tire que, pour toutn∈N:
Rn=S−Sn=zn+1 1−z.
Remarque 2.10 Les séries géométriques sont d’un usage fondamental en Analyse. Les formules précédentes sont à connaître par coeur.
2.2 Séries à termes positifs
2.2.1 Convergence des séries à termes positifs
Dans cette section, on considère une suite(un)n∈N àtermes positifs ou nuls. Si tous les termes de(un)sont négatifs, puisque les sériesPun etP(−un)sont de même nature, on se ramène au cas d’une série à termes positifs.
0| S|0
| S1
| S2
S
+
3ut
L u0 u1 u2 u3
FIGURE2.1 – Série à termes positifs
THÉORÈME2.6 ⋆ Convergence d’une série à termes positifs On suppose que∀n∈N,unÊ0. Alors :
1. La suite des sommes partielles(Sn)n∈N estcroissante.
2. la sériePunconverge si et seulement si la suite(Sn)n∈Nest majorée.
Démonstration a. Soitn∈N,
Sn+1−Sn=un+1Ê0 ce qui montre que la suite(Sn)est croissante.
1. C’est le théorème de la limite monotone.
Remarque 2.11 Dans ce cas,+∞X
n=0
un=sup
n∈N
Sn et pour toutn∈N,SnÉ
+∞X
n=0
un=sup
n∈N
Sn.
Exemple 2.2
1. Montrer que∀nÊ2, 1
n2É 1 n(n−1). 2. En déduire que la sérieP 1
n2 converge.
Solution :
1. Cette inégalité est triviale.
2. On remarque que
1
n(n−1)= 1 n−1−1
n donc par un télescopage
Xn k=1
1 k2É1+
Xn k=2
µ 1 k−1−1
k
¶
=2− 1 n+1É2
donc les sommes partiellesSndeP1/n2sont croissantes et majorées. Alors la sérieP1/n2converge.
2.2.2 Critères de comparaison
THÉORÈME2.7 ⋆ Critère d’inégalité des séries positives SoientPun etPvndeux séries.
H1 Les deux séries sont àtermes positifs:∀n∈N,unÊ0etvnÊ0.
H2 ∀n∈N,unÉvn. Alors :
1. Si la sériePvnconverge, alors la sériePunconverge également et+∞X
n=0
unÉ
+∞X
n=0
vn. 2. Si la sériePundiverge, alors la sériePvn diverge également.
Démonstration Considérons les sommes partielles de ces séries : Sn=
Xn k=0
uk Vn= Xn k=0
vk D’après l’hypothèse, pour toutn∈N,
SnÉVn
1. SiPvnconverge, d’après le théorème??, pour toutn∈N, SnÉVnÉ+∞X
n=0 vn
La suite(Sn)étant majorée et croissante, la série à termes positifsPunconverge d’après le théorème de la limite monotone.
2. Puisque pour toutn∈N,VnÊSnet queSn−−−−−→n
→+∞ +∞, alorsVn−−−−−→n
→+∞ +∞et donc la sériePvnest divergente.
Exemple 2.3 Étudions la convergence dePn2lnnn. La série est bien à termes positifs. La suite³lnnn´tend vers0en l’infini donc il existeM>0tel que :∀n∈N∗, 0Én2lnnnÉ2Mn et la série de terme général2Mn étant convergente, il en est de même de la série initiale.
2.2.3 Comparaison avec une intégrale
k−1 k k+1 f(k)
FIGURE2.2 –Zk+1
k
f(t) dtÉf(k)É Zk
k−1
f(t) dt
THÉORÈME2.8 ⋆ Comparaison avec une intégrale
Soitf : [a,+∞[7→Rune fonction continue par morceaux (a∈N). On suppose que :
H1 f est à valeurspositives.
H2 f estdécroissante.
Alors la sériePf(n)et la suite¡Ranf(t)dt¢
sont de même nature. De plus, si elles convergent : Z+∞
a+1
f(t)dtÉ
+∞X
k=a+1
f(k)É Z+∞
a
f(t)dt .
Démonstration
On effectue la démonstration dans le cas oùa=0. Commef est décroissante, il vient
∀x∈[n,n+1] , f(n+1)Éf(x)Éf(n) et en passant à l’intégrale, on obtient :
f(n+1)É Zn+1
n
f(t)dtÉf(n)
donc les séries positives de termes générauxf(n)etRnn+1f(t)dtsont de même nature d’après le théorème de comparaison.
Remarque 2.12 On utilise en général ce théorème aveca=0oua=1.
Remarque 2.13 Sif est positive et continue sur[a,+∞], alors on montre facilement que la fonctionFdéfinie pour tout xÊaparF(x)=Rx
a f(t)dtest croissante. En effet, pour touty>xÊa,F(y)−F(x)=Ry
x f(t)dtÊ0. Le théorème de la limite monotone permet alors d’affirmer que soitFconverge vers une limite finie en+∞(siFest bornée), soitFadmet une limite infinie en∞(siFn’est pas bornée).
On note(un)la suite de terme généralun=Rn
a f(t)dt. On a alors équivalence entre :
— Fest bornée ;
— (un)est bornée.
En effet, siFest bornée alors(un)=(F(n))aussi. Réciproquement, si(un)est bornée alors il existeM∈Rtel queunÉM pour toutnÊaet pourxÊa, on aF(x)ÉF(⌊x⌋ +1)ÉMcarFest croissante. DoncFest bornée.
On montre ainsi que¡Ranf(t)dt¢
etFsont de même nature en+∞.
Prenant un peu d’avance avec le chapitre??, on dit qu’une intégrale de la formeRaxf(t)dt qui admet une limite quand x→ ∞est uneintégrale convergente(et divergente sinon).
Le theorème précédent peut alors se reformuler sous la forme compacte suivante.
THÉORÈME2.9 ⋆ Comparaison avec une intégrale
Soitf : [a,+∞[7→Rune fonction continue par morceaux (a∈N). On suppose que :
H1 f est à valeurspositives.
H2 f estdécroissante.
Alors la sériePf(n)et l’intégraleRa+∞f(t)dtsont de même nature. De plus, si elles convergent :
∀n∈N,
Z+∞
n+1 f(t)dtÉ
+∞X
k=n+1
f(k)É Z+∞
n f(t)dt .
Remarque 2.14 La comparaison série/intégrale est un outil très classique et est en général utilisée pour obtenir des résultats asymptotiques avec des séries. On propose un exemple très classique avec la série harmonique qu’il faut complètement maîtriser.
Exemple 2.4 Pour toutn∈N, on noteHn = Xn n=1
1
k la nième somme partielle de la série harmonique. Montrons que Hnn ∼
→+∞lnn.
Commef :t7→1t est décroissante, positive et continue surR∗+, pour toutkÊ2, on a : Zk+1
k
f(t)dtÉ1 k É
Zk k−1
f(t)dt ce qui amène pour toutnÊ2:
Xn k=2
Zk+1 k
f(t)dtÉ Xn k=2
2 k É
Xn k=2
Zk k−1
f(t)dt.
Par la relation de Chasles, on calcule alors que : 1+
Zn+1 2
f(t)dtÉHnÉ1+ Zn
1
f(t)dt.
On obtient1+ln(n+1)−ln 2ÉHnÉ1+ln(n)ce qui s’écrit aussi 1+1−ln 2+ln¡
1+n1¢
lnn É Hn
lnnÉ1+ 1 lnn et doncHn ∼
n→+∞lnn.
THÉORÈME2.10 ⋆⋆⋆ Comparaison avec une intégrale, version avec contrôle de l’erreurHors programme en PC
Soitf : [a,+∞[7→Rune fonction continue par morceaux (a∈N). On suppose que :
H1 f est à valeurspositives.
H2 f estdécroissante.
On note pournÊa+1,
wn= Zn
n−1f(t) dt−f(n) Alors :
1. La sériePwn est convergente.
2. La sériePf(n)converge si et seulement si la fonction f est intégrable sur[a,+∞[. Dans ce cas :
+∞X
n=a
wn= Z+∞
a f(t)dt−
+∞X
n=a
f(n) .
Démonstration En interprétantf(n)comme l’aire de deux rectangles (voir la figure??), et puisque la fonctionf est décroissante,
on a l’encadrement : Z
n
n+1f(t) dtÉf(n)É Zn
n−1f(t) dt d’où l’on tire que
0ÉwnÉ Zn
n−1f(t) dt− Zn+1
n f(t) dt et donc en notantWn=
Xn k=a+1
wketuk= Zk+1
k f(t) dt, 0ÉWnÉ
Xn k=a+1
£uk−1−uk¤
=ua−un= Za+1
a f(t) dt− Zn+1
n f(t) dtÉ Za+1
a f(t) dt La suite des sommes partielles est donc majorée et alors la sériePwnconverge.
Ensuite, pournÊa+1,
Xn k=a+1
f(k)= Zn
a f(t) dt− Xn k=a+1
wk
Puisque la sériePwkconverge, la sériePf(k)converge si et seulement si la suite de terme généralZn
a f(t) dtpossède une limite lorsquen→ +∞, c’est-à-dire si et seulement si la fonctionf est intégrable sur[a,+∞[.
f(a)
n−1 n wn
f(n)
a p−1 q
f(a)
1
0É Xq n=p
wnÉf(a)
Exercice 2.2.1 ⋆
Montrer qu’il existe un réelγ(constante d’Euler) tel que
Hn= Xn k=1
1
k =lnn+γ+o(1)
Solution : Considérons la fonctionf :
( [1,+∞[ −→ R
t 7−→ 1
t
. Elle est continue, positive et décroissante sur l’intervalle [1,+∞[. On sait alors, par le théorème de comparaison série-intégrale, que la série de terme général
wn= Zn
n−1
dt t −1
n (nÊ2)
est convergente. Donc il existe un réelL∈Rtel queWn= Xn k=2
wk−−−−−→n
→+∞ L. Calculons la somme partielle :
Wn= Xn k=2
wk= Zn
1
dt t −
Xn k=2
1
k =lnn− Xn k=2
1 k Alors∀nÊ1,
Xn k=1
1
k−lnn=1−Wn−−−−−→
n→+∞ 1−L Il suffit de poserγ=1−L.
Exemple 2.5 Étudions la nature de la sérieP 1
n(lnn)β oùβ>0.
Solution : Considérons la fonctionf :
[2,+∞[ −→ R
t 7−→ 1
t(lnt)β
. Elle est continue, positive et décroissante sur l’inter- valle[2,+∞[. D’après le théorème de comparaison série-intégrale, la sériePf(n)converge si et seulement si la fonction f est intégrable sur[2,+∞[. Mais on calcule pourxÊ2,
F(x)= Zx
2
(lnt)−β t dt=
h(lnt)−β+1
−β+1 ix
2=(lnx)−β+1−(ln 2)−β+1
1−β si β6=1
[ln (lnt)]x2=ln (ln(x))−ln (ln(2)) si β=1 Par conséquent, la fonctionf est intégrable si et seulement si1−β<0c’est-à-dire β>1 .
Remarque 2.15 Lorsque la fonctionf estcroissante, on obtient également un encadrement def(n)par deux intégrales qui peut être intéressant comme le montre l’exercice suivant.
Exemple 2.6 Montrer queln(n!)n ∼
→+∞nlnn.
l n(n!)= Xn k=2
ln(k)
Introduisons la fonction
f :
½ [1,+∞[ −→ R t 7−→ lnt
Elle estcroissanteet positive sur[1,+∞[. SoitkÊ2, on dispose de l’encadrement : Zk
k−1
ln(t) dtÉlnkÉ Zk+1
k
ln(t) dt En sommant, on en déduit l’encadrement :
Zn
1 ln(t) dtÉln(n!)É Zn
1 ln(t) dt+lnn− Z2
1 ln(t) dt Et puisqueZn
1 ln(t) dt=nln(n)−n, en divisant parnlnn, on trouve que 1Éln(n!)
nlnn É1+1 n− C
nlnn et en utilisant le théorème des gendarmes, on obtient queln(n!)
nlnn −−−−−→n
→+∞ 1.
Un application essentielle de ce théorème est le suivant.
THÉORÈME2.11 ⋆ Séries de Riemann
Soitα∈R. On appellesérie de Riemannla série
X
nÊ1
1 nα
— Siα>1, la série de Riemann converge.
— SiαÉ1, la série de Riemann diverge.
Démonstration
— Le casα=1correspond à la série harmonique dont on a déjà prouvé la divergence. On suppose dans la suite queα6=1.
— SiαÉ0alors la suite(un)ne converge par vers0et doncXunest grossièrement divergente.
— Siα>0etα6=1, introduisonsf:t7→1/tαet considérons(un)la suite de terme généralun=Rn
1 f(t)dtqui est bien définie car f est continue sur[1,n]. De plus f est continue, positive et décroissante sur[1,+∞]. Par théorème de comparaison série-intégrale, on sait alors que la sérieXun et la suite¡R1nf(t)dt¢
sont de même nature.
PournÊ1, on calcule que
un=
· 1 1−α
1 tα−1
¸n 1= 1
1−α µ 1
nα−1−1
¶
qui est bien définie carα6=1.
De plus, on obtient ainsi le terme général d’une suite convergente siα>1et divergente siα<1, d’où le théorème.
Exemple 2.7
— Montrons la convergence de la sériePnÊ1 1
n2+1. Pour toutnÊ1, 1
n2+1Én12. Les deux sériesPnÊ1 1
n2+1etPnÊ1 1
n2
sont à termes positifs et par comparaison à une série de Riemann, cette dernière converge donc PnÊ1 1 n2+1
converge.
— La sériePnÊ1n+1 np
n diverge. En effet, pour toutnÊ1, nnp+1
n Ênnpn =p1n. Les deux sériesPnÊ1n+1 np
n etPnÊ1 1 pn
sont à termes positifs et cette dernière est de Riemann et divergente doncPnÊ1n+1 np
n diverge.
2.2.4 Encore des critères de comparaison
COROLLAIRE2.12 ⋆ Critère de domination des séries positives SoientPun etPvn deux séries. On suppose que :
H1 les séries sont à termes positifs :∀n∈N,unÊ0etvnÊ0.
H2 un= O
n→+∞(vn)(ouun= o
n→+∞(vn)) Alors :
— siPvn converge, la sériePun converge également.
— siPun diverge, la sériePvndiverge également.
Démonstration Siun= O
n→+∞(vn), il existeC>0etn0∈Ntel que :∀nÊn0,unÉCvn.
On ne change pas la nature d’une série en modificant un nombre fini de ses termes donc on peut supposer que pour toutn∈N, on a unÉCvn.
SiXvn est convergente, alors il en est de même deXCvnet par critère d’inégalité sur séries à terme général positif, on sait que Xunest convergente.
De la même façon, on montre que siXun est divergente, alorsXCvn est aussi divergente, ce qui implique la divergence deXvn. Enfin, siun= o
n→+∞(vn), alorsun= O
n→+∞(vn)et donc siPvnconverge,Punconverge aussi.
Dans la pratique, on utilise souvent la règle suivante qui découle directement du corollaire précédent.
THÉORÈME2.13 ⋆ Règlenαun
On considère une sériePun. On suppose que :
H1 La série est à termes positifs :∀n∈N,unÊ0.
H2 Il existe α>1 tel queun= o
n→+∞
¡ 1
nα
¢, c’est-à-dire nαun−−−−−→n
→+∞ 0 .
Alors la sériePun est convergente.
Si par contre :
H1 La série est à termes positifs :∀n∈N,unÊ0.
H2 Il existe βÉ1 tel que 1
nβ= o
n→+∞(un), c’est-à-dire nβun−−−−−→n
→+∞ +∞ . Alors la sériePun est divergente.
Exemple 2.8 Montrons que la série Pn3
2n converge. Par croissances comparées entre suites usuelles, on sait que n5/2n −−−−−→n
→+∞ 0, c’est-à-dire quen3/2n = o
n→+∞
¡1/n2¢. Les sériesPn3 2n etP 1
2n sont à termes positifs. La seconde converge donc la première aussi.
THÉORÈME2.14 ⋆ Critère d’équivalence des séries positives Soient deux sériesPun etPvn. On suppose que :
H1 unn ∼
→+∞vn.
H2 À partir d’un certain rang,vnÊ0.
Alors à partir d’un certain rang,unÊ0et les sériesPun etPvn sont de même nature.
Démonstration Puisqueunn ∼
→+∞vn, il existe un rangN∈Ntel que pour toutn∈N, sinÊNalors : 1
2vnÉunÉ3 2vn. Doncun= O
n→+∞(vn)etvn= O
n→+∞(un). D’après les hypothèses, il existe un rangN′∈Ntel que pour toutnÊN′,vnÊ0. Alors pour toutnÊN′,unÊ1
2vnÊ0et on utilise alors le critère de domination pour les séries à terme général positif.
PLAN2.1 : Plan d’étude d’une sériePunàtermes positifs
1. Chercher un équivalent simple(vn)de la suite(un)(on peut utiliser les développements limités).
2. L’équivalent permet de déduire le signe deun à partir d’un certain rang.
3. Vérifier que la sériePvnest à termes positifs à partir d’un certain rang.
4. Utiliser les séries de référence (séries de Riemann, séries géométriques) ou la règlenαvnpour trouver la nature de la sériePvn.
5. Les sériesPunetPvnsont de même nature.
Exemple 2.9 Étudions la nature de la sériePln
¡1+n21pn
¢ sin(1/n) . Puisqueunn ∼
→+∞
1
n3/2 et que(un)est positive, la série converge.
2.2.5 Comparaison logarithmique
THÉORÈME2.15 ⋆ Comparaison logarithmique
On considère deux sériesPun etPvn. On suppose que :
H1 ∀nÊn0,un>0etvn>0.
H2 ∀nÊn0, un+1 un Évn+1
vn . Alors :
1. un= O
n→+∞(vn)
2. SiPvn converge, alorsPunconverge.
3. SiPun diverge, alorsPvndiverge.
Démonstration PournÊn0,
un+1 vn+1Éun
vn Par conséquent, la suite³un
vn
´est décroissante. Donc pour toutnÊn0, un
vn Éun0
vn0 =CdoncunÉCvn
par positivité de(un)et de(vn)On conclut grâce aux critères de comparaison.
COROLLAIRE2.16 ⋆ Critère de d’Alembert Soit une sériePun à termes strictement positifs.
1. S’il existe un rangn0∈Ntel que∀nÊn0,un+1
un Ê1, alors la sériePun diverge.
2. S’il existe un rangn0∈Net une constantek<1telle que∀nÊn0,un+1
un Ék, alors la sériePunconverge.
Démonstration
1. Puisque pour toutnÊn0,unÊun0>0, la suite(un)ne converge pas vers0. La sériePundiverge grossièrement.
2. On utilise le critère de comparaison logarithmique avec une suite géométrique :vn=kn. En effet,
∀nÊn0, un+1
un Ék=vn+1 vn
et puisque0Ék<1, la série géométriquePvnconverge.
Remarque 2.16 En pratique, on utilise plutôt la règle de d’Alembert suivante :
THÉORÈME2.17 ⋆ Règle de d’Alembert
Soit une sériePun. On suppose que :
H1 ∃n0∈N: ∀nÊn0, un>0.
H2 un+1
un −−−−−→n
→+∞ k∈R
+(=[0,+∞]).
Alors
1. Si0Ék<1, la sériePun converge.
2. Sik>1, la sériePun diverge.
3. Sik=1, on ne peut rien dire en général.
Démonstration
1. Si0Ék<1, en posantk′=1+k
2 , on ak<k′<1. Puisqueun+1
un converge versk, il existe un rangn1Ên0tel que∀nÊn1, un+1
un Ék′. Puisquek′<1, en utilisant le corollaire précédent, la sériePun converge.
2. Sik>1, en posant k′= 1+k
2 , on a1<k′<k. Puisque un+1 un −−−−−→n
→+∞ k, il existe un rangn1Ên0 tel que∀nÊn1, un+1
un Êk′. Commek′>1, d’après le corollaire précédent, la sériePun diverge.
Remarque 2.17 Dans le cas oùk=1, on ne peut rien dire comme le montrent les exemples suivants :
— un=1 n,un+1
un −−−−−→n
→+∞ 1etPundiverge.
— un= 1 n2,un+1
un −−−−−→n
→+∞ 1etPunconverge.
Remarque 2.18 La règle de d’Alembert est indiquée pour étudier la nature d’une sériePun lorsque le terme général un est un produit (factorielles, . . .). Dans ce cas, un+1
un
est souvent simple.
Exemple 2.10
— Pourx>0, étudions la nature de la sérieP(2n)!n! xn. La série est à termes positifs et uun+1
n =(2n+n2)(2n+1 +1)x ∼
n→+∞
x
4n−−−−−→n
→+∞ 0donc, d’après la règle de d’Alembert, la série converge.
— Pourx>0 etα∈R, étudions la nature de la sériePnαxn. On a uun+1
n =¡n+1
n
¢α
x=¡ 1+n1¢α
x−−−−−→n
→+∞ x. Donc, d’après la règle de d’Alembert, la série converge six<1et diverge six>1. Six=1, la série converge d’après le critère de Riemann si et seulement siα< −1.
