ANALYSE COMPLEXE
Département de Mathématiques Faculté des Sciences
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mentaires, théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, équi- valence entre holomorphie et analyticité, zéros de fonctions holo- morphes, espace des fonctions holomorphes, théorème d'inversion locale, théorème de l'application ouverte, principe du maximum, lemme de Schwarz, automorphismes, séries de Laurent, points singuliers, fonction méromorphes, théorème des résidus et application au calcul intégral, théorème de Rouché, fonctions harmoniques, égalité de la moyenne, noyau de Poisson. Si le temps le permet, d'autres notions complémentaires seront données.
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Table des matières
1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 4 1.1 Préliminaires . . . 4 1.2 Fonctions diérentiables, fonctions holomorphes, équation de
Cauchy-Riemann, intégration des fonctions holomorphes . . . . 8 1.3 Théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème de
Moréra, équivalence entre holomorphie et analyticité . . . 12 1.4 Exercices . . . 17 2 Propriétés des fonctions holomorphes et harmoniques 22 2.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouville et de d'Alembert . 22 2.2 Principe du prolongement analytique et principe des zéros isolés 23 2.3 Propriété de la moyenne, principe du maximum, lemme de Schwarz 24 2.4 Fonctions harmoniques, formule et noyau de Poisson, problème
de Dirichlet pour le disque . . . 25 2.5 Théorème d'inversion locale, transformations conformes, appli-
cations géométriques, théorème de l'application ouverte, auto- morphismes Aut(C), Aut(P1(C)),Aut(D(0,1)),Aut(H) . . . . 26 2.6 Exercices . . . 31
3 Fonctions méromorphes 37
3.1 Séries de Laurent, points singuliers, théorème de Casorati-Weierstrass, théorèmes de Picard . . . 37 3.2 Fonctions méromorphes, théorème des résidus . . . 40 3.3 Nombre de pôles et zéros d'une fonction méromorphe, principe
de l'argument, théorème de Rouché . . . 42 3.4 Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales et
la somme de certaines séries . . . 42 3.5 Exercices . . . 50 4 Suites et produits innis(compléments) 57
4.1 Suites de fonctions holomorphes, séries de fonctions holomorphes, théorème de Weierstrass . . . 57
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24.2 Espace des fonctions holomorphes, théorème de Montel et ses conséquences . . . 58 4.3 Séries de fonctions méromorphes, théorème de Mittag-Leer . . 61 4.4 Produits innis de fonctions holomorphes . . . 62 4.5 Fonctions dénies par une intégrale, fonctions gamma et bêta
d'Euler, transformée de Laplace . . . 64 4.6 Exercices . . . 69
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Chapitre 1
Fonctions holomorphes, fonctions analytiques
1.1 Préliminaires
Soient Ω un ouvert deC'R2 et
f : Ω−→C, z 7−→f(z) = w,
une fonction complexe d'une variable complexez =x+iy, (x, y ∈R).
Dénition 1 On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de z ne correspond qu'une seule valeur de w. Sinon, elle est dite multiforme.
Exemples de fonctions uniformes :
a) La fonction linéaire :w=az+b, (a, b∈C).
b) La fonction exponentielle : w=ez. Par dénition, on a ez =ex(cosy+isiny).
Lorsquez est réel c'est-à-direz =x, nous retrouvons la fonction exponentielle ez =ex. La fonction ez est périodique, de période2πi. En outre, on a
ez1ez2 =ez1+z2. En écrivant
z =r(cosθ+isinθ) =reiθ, oùr=|z| etθ = argz, on obtient la formule de Moivre
zn =rneinθ,
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4et les formules d'Euler
cosy= eiy+e−iy
2 , siny= eiy−e−iy 2i .
c) Les fonctions circulaires. Par extension des dénitions dans le cas réel, on pose
cosz = eiz+e−iz
2 , sinz = eiz −e−iz 2i , et de là
tanz = sinz
cosz, cotz = cosz sinz.
Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas com- plexe. Les fonctionscosz etsinz sont périodiques, de période 2π. Elles ont les mêmes zéros que les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonc- tions cosz etsinz ne sont pas bornées.
d) Les fonctions hyperboliques. Nous les dénirons par extension du cas réel, en posant
coshz = ez+e−z
2 , sinhz = ez−e−z 2 , et de là
tanhz = sinhz
coshz, coth z = coshz sinhz.
Les fonctions coshz etsinhz sont périodiques, de période2πi et sont, respec- tivement, paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliques réelles s'étendent au cas complexe.
Remarque 2 On peut dénir les fonctions ez,cosz,sinz,coshz,sinhz, par leurs développements en série entière qui convergent dans tout le plan com- plexe :
ez = 1 +z+ z2 2! + z3
3! +· · · cosz = 1−z2
2! + z4 4! − · · · sinz = z−z3
3! + z5 5! − · · · coshz = 1 + z2
2! +z4 4! +· · · sinhz = z+z3
3! +z5 5! +· · ·
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 6 Exemples de "fonctions" multiformes :
a) La fonction racine carrée : w=√
z. Considérons f :C−→C, z7−→w:w2 =z.
Il est clair quef n'est pas une fonction : à chaque valeur de z 6= 0, correspond deux valeurs dew. Lorsque l'on tourne autour du point z = 0, par exemple le long d'un cercle centré en0, alorsw change de signe. En eet, soit
z =reiθ, w =√ reiθ2,
où r = |z| et θ = argz. On veut tourner autour de z = 0, donc r sera petit et θ variera entre 0 et 2π. Si θ = 0, alors w = √
re0 = √
r. Si θ = 2π, alors w = √
reπi = −√
r. On peut utiliser le fait que l'argument θ d'un nombre complexez est déni à2kπ près. On pose θ =θ0+ 2kπ et dès lors la fonction w=√
z prend deux valeurs distinctes w1 et w2 pour chaque valeur dez 6= 0 : w1 = √
reiθ20, w2 =√
rei(θ20+π) =−w1. On dit que la fonction w =√
z a deux branches ou déterminations. Donc siz décrit un cercle entourant0, la fonction
√z est multiforme et passe de manière continue d'une branche à l'autre ; de w= √
r à w= −√
r. Si on refait de nouveau un tour complet c'est-à-dire de θ= 2πàθ = 4π,alors on obtient√
rc'est-à-dire la valeur de départ. On dit que le point z = 0 est un point de branchement ou de ramication de la fonction w= √
z. A distance nie, le point z = 0 est le seul point de branchement de
√z, car la considération de tout cercle autour d'un point z 6= 0 ne conduit à aucun changement de branches de√
z.On peut rendre la fonction√
zuniforme en faisant une coupure le long de la demi droite issue de z = 0.
b) Logarithme complexe. Soit z ∈ C. Sous forme trigonométrique z s'écrit sous la forme
z =reiθ =r(cosθ+isinθ), r >0
PosonsZ =X+iY. L'équation eZ =z, s'écriteXeiY =reiθ ou sous la forme eX(cosY +isinY) = r(cosθ+isinθ).
D'où,eX =r et Y =θ+ 2kπ, k∈Z. Dès lors,
Z = logz = lnr+iθ+ 2kπi, k ∈Z
La fonctionlogz est dénie comme étant la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On montre que la fonction logz est multiforme, à une innité de déterminations. La détermination principale de logz est dénie pour tout z∈C∗ par
logz = lnr+iθ, −π≤θ < π.
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La détermination principale du logarithme est une bijection deC∗sur la bande horizontale 4 du plan complexe, dénie par Z = X +iY ∈ 4 ⇐⇒ −π ≤ Y < π. Au lieu de choisir θ ∈ [−π, π[, on peut prendre θ dans un intervalle quelconque semi-ouvert à droite ou à gauche et d'amplitude2π, c-à-d.,[a, a+ 2π[ ou ]a, a+ 2π]. Soit Z = X +iY ∈ 4. On a eZ = eX(cosY +isinY), le module de eZ est donc r = eX et θ = Y est l'argument satisfaisant à
−π ≤θ ≤π. Dès lors,
logeZ = lnr+iθ= lneX +iY =X+iY =Z,
où eX désigne l'exponentielle réelle. Ainsi une détermination quelconque du logarithme, notée loga : C∗ −→ {z : Im z ∈ [a, a+ 2π[}, est l'inverse de la fonction exponentielle exp : {z : Im z ∈ [a, a+ 2π[} −→ C∗, ∀a ∈ R. Une telle détermination prolonge la fonction logarithme réelle (dénie surR∗+) avec la condition 0 ∈ [a, a+ 2π[ car si z ∈ R∗+, z = |z|(cosθ+isinθ) avec θ = 0 comme seule valeur. Notons que l'expression logz1z2 = logz1+ logz2 ne sera pas toujours vraie siz1, z2 ∈C,alors que ez1+z2 =ez1ez2 est toujours vraie. En fait, on a
logz1z2 = logz1+ logz2 (mod 2πi),
il sut d'appliquer la formule :logz = lnr+iθ,−π ≤θ < π car si on n'a pas
−π ≤θ1+θ2 < π la formule en question n'est vraie qu'à 2πiprès. La formule ci-dessus fournit également les logarithmes des nombres strictement négatifs.
Soit, par exemple,z =−e. On a r=e, θ=−π et donc ln(−e) = 1−πi. c) La fonction puissance zα(α∈C). Elle est dénie par
zα =eαlnz. La fonctionzα est :
- uniforme si α est entier.
- multiforme, àq déterminations, si α =±pq,oùp etq sont des entiers positifs premiers entre eux.
- multiforme, à une innité de déterminations, siα=a+ib (a et b non nuls). Remarque 3 Une théorie plus avancée (surfaces de Riemann) permet de dé- crire de manière rigoureuse le procédé d'uniformisation .
Soit
f : Ω−→C, z 7−→f(z), une fonction uniforme et z0 ∈Ω.
Dénition 4 On dit que f(z) tend vers une limite l lorsque z tend vers z0 et on écrit
z→zlim0f(z) = l,
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 8 si et seulement si
∀ε >0, ∃δ >0 :|z−z0|< δ =⇒ |f(z)−l|< ε.
Quand la limite d'une fonction existe, elle est unique. Les propriétés clas- siques concernant la limite d'une somme, d'un produit ou d'un rapport de deux fonctions, s'étendent du cas réel au cas complexe.
Remarque 5 La fonctionf(z)tend vers sa limite indépendamment de la ma- nière dont le pointz tend vers z0. En d'autres termes, si la limite existe, alors lorsque z tend vers z0 suivant une loi quelconque (par exemple suivant une courbe), f(z) tend vers cette limite.
Le point à l'inni∞est déni par l'image de l'origine par la transformation t= 1z. Par dénition :
z→∞limf(z) =l si ∀ε >0,∃δ >0 :|z|> δ =⇒ |f(z)−l|< ε.
z→zlim0
f(z) =∞ si ∀ε >0,∃δ0 :|z−z0|< δ =⇒ |f(z)|> ε.
Notons que si lim
z→z0
f(z) =l, alors lim
z→z0
f(z) = l. Il en résulte que
z→zlim0
Ref(z) =Re(l), lim
z→z0
Imf(z) = Im(l). La réciproque est également vraie.
Dénition 6 Soit z0 un point où la fonction f prend la valeur f(z0). On dit quef(z) est continue en z0 si et seulement si
z→zlim0f(z) = f(z0).
La fonction f(z) est continue dans Ω si et seulement si elle est continue en tout point de Ω.
Les propriétés classiques concernant la somme, le produit et le rapport de fonctions continues s'étendent du cas réel au cas complexe.
1.2 Fonctions diérentiables, fonctions holomorphes, équation de Cauchy-Riemann, intégration des fonctions holomorphes
Dénition 7 On dit que f(z) est dérivable au point z ∈Ω si et seulement si
h→0lim
f(z+h)−f(z)
h =f0(z),
existe, indépendamment de la façon dont h tend vers 0 dans C. Cette limite, notée f0(z), est appelée dérivée de f en z.
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Dénition 8 La fonction f est diérentiable en z si et seulement si il existe un nombre complexe f0(z) tel que
∀h∈C, f(z+h) = f(z) +f0(z)·h+o(|h|).
Les règles de dérivation (somme, produit, quotient) sont les mêmes que celles utilisées en analyse réelle.
Proposition 9 La fonction f : Ω −→ C est dérivable en z si et seulement si elle est diérentiable en z et f0(z) a la même signication dans les deux dénitions précédentes.
Dénition 10 La fonctionf est dite holomorphe dans Ω si elle est dérivable en tout point de Ω.
Posons z = x+iy, h = ∆x+i∆y et soit f(z) = u(x, y) +iv(x, y), où u(x, y) = Ref(z) et v(x, y) = Imf(z), sont des fonctions réelles de deux variables réellesx ety.
Théorème 11 La fonction f(z) = u(x, y) +iv(x, y) est holomorphe dans Ω si et seulement siu etv sont diérentiables dans Ωet satisfont aux conditions (ou équations) de Cauchy-Riemann :
∂u
∂x = ∂v
∂y, ∂u
∂y =−∂v
∂x. En outre, on a
f0(z) = ∂u
∂x +i∂v
∂x = ∂u
∂x −i∂u
∂y = ∂v
∂y −i∂u
∂y = ∂v
∂y +i∂v
∂x.
Remarque 12 Si u et v ne sont pas diérentiables, alors les conditions de Cauchy-Riemann sont nécessaires mais pas susantes.
Proposition 13 Considérons les deux opérateurs
∂
∂z = 1 2
∂
∂x −i ∂
∂y
, ∂
∂z = 1 2
∂
∂x +i ∂
∂y
. Les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l'équation
∂f
∂z = 0.
En outre, on a
f0(z) = ∂f
∂z(z).
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 10 Remarque 14 On désigne parH(Ω) (ou parfois O(Ω)), l'ensemble des fonc- tions holomorphes sur un ouvert Ω⊂C. On montre que : H(Ω) est un espace vectoriel, un anneau (car stable pour la somme et le produit), une sous-algèbre de C1(Ω) et un sous-module fermé de C1(Ω). La composée de deux fonctions holomorphes est holomorphe, l'application réciproque d'un diéomorphisme ho- lomorphe est holomorphe et si une fonction holomorphe possède un logarithme alors celui-ci est holomorphe.
Dénition 15 On appelle chemin C1 par morceaux une application continue γ : [a, b]−→C, dénie sur un intervalle femé[a, b]deRet telle qu'il existe une subdivision : a=α1 < α2 < . . . < αn =b, de [a, b] pour laquelle la restriction deγ à chaque intervalle [αk−1, αk] (1 ≤k≤n)soit de classe C1. On dit que le cheminγ est fermé (ou un circuit, ou encore un lacet) si γ(a) = γ(b).
Dénition 16 Soient f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b] −→ C un cheminC1 par morceaux. On appelle intégrale def le long deγ l'expression
Z
γ
f(z)dz = Z b
a
f(γ(t))γ0(t)dt=
n
X
k=1
Z αk
αk−1
f(γ(t))γ0(t)dt.
Remarque 17 Une autre façon de dénir l'intégrale ci-dessus, est la sui- vante : partageons γ en n morceaux, au moyen des points z0, z1, ..., zn. De plus, choisissons un point ξk sur chaque arc joignant zk−1 à zk (1≤k ≤n).
On dénit la somme
Sn=
n
X
k=1
f(ξk) (zk−zk−1).
La limite obtenue en faisant croître le nombre n de subdivisions, de façon que
1≤k≤nmax |zk−zk−1|tende vers zéro, est appelée intégrale curviligne def(z)le long de γ et est notée R
γf(z)dz.
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Proposition 18 Si f(z) = u(x, y) +iv(x, y) et γ(t) =x(t) +iy(t), alors Z
γ
f(z)dz = Z
γ
(u(x, y)dx−v(x, y)dy) +i Z
γ
(u(x, y)dy+v(x, y)dx). La formule ci dessus, est une combinaison linéaire d'intégrales curvilignes réelles. Les propriétés habituelles de ces dernières sont donc conservées.
Si on change le sens du parcours du chemin γ : [a, b] −→ C, l'intégrale change de signe
Z
γ−
f(z)dz =− Z
γ
f(z)dz,
oùγ(t) =γ(a+b−t),t ∈[a, b]; le chemin γ− se déduit de γ par un change- ment d'orientation :
Si le chemin γ admet la représentation paramétrique x=ϕ(t), y =ψ(t),
aveca < t < b, alors on a Z
γ
f(z)dz = Z b
a
f[u(ϕ(t), ψ(t)) +iv(ϕ(t), ψ(t))] (ϕ0(t) +iψ0(t))dt.
Proposition 19 Si f est holomorphe, alors Z
γ
f0(z)dz =f(γ(b))−f(γ(a)), où γ : [a, b]−→C est un chemin C1 par morceaux.
Proposition 20 (formules de majoration). Soit f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b]−→C un chemin C1 par morceaux. Alors
Z
γ
f(z)dz
≤ Z
γ
|f(z)| |dz|= Z b
a
|f(γ(t))| |γ0(t)|dt,
et
Z
γ
f(z)dz
≤M L, oùM est une borne supérieure de|f(z)|surγetL=Rb
a|γ0(t)|dtest la longueur du chemin γ.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 12 Théorème 21 Soient γ : [a, b] −→ C un chemin fermé et ∆ le complémen- taire de l'image de γ, c'est-à-dire ∆ = Ic où I = {z :∃t∈[a, b], z =γ(t)}. Pour tout z ∈∆, on a
1 2πi
Z
γ
dζ
ζ−z =indγ(z),
où indγ(z) est un entier dépendant du point z. Il est égal au nombre de tours que faitγ autour dez. La fonction z 7−→indγ(z)est constante sur toute partie connexe de ∆ et s'annule sur l'unique composante connexe non bornée de ∆. Dénition 22 On dit queindγ(z) est l'indice de γ par rapport à z.
Pourγ ci-dessous, on a indγ(z) = 2 :
Exemple 23 Soit γ le cercle (orienté positivement) de centre a et de rayon r, déni par
γ(t) = a+reit, t ∈[0,2π]
Le complémentaire du cercle |z −a| = r (support de γ) se divise en deux parties : le disque |z−a < r et la couronne |z−a| > r. D'après le théorème précédent, l'indice indγ(a) est constant dans le disque et il sut de le calculer au point a,
indγ(a) = 1 2πi
Z
γ
dz
z−a = r 2π
Z 2π
0
eit
reitdt= 1.
Par ailleurs, dans la couronne, l'indice est nul. Par conséquent, on a indγ(a) =
1 si |z−a|< r 0 si |z−a|> r
1.3 Théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème de Moréra, équivalence entre holomorphie et analyticité
Dénition 24 Soient
γ1 : [a, b]−→C, t 7−→γ1(t), γ2 : [a, b]−→C, t7−→γ2(t),
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deux chemins dénis sur le même intervalle [a, b], ayant mêmes extrémités γ1(a) = γ2(a) et γ1(b) = γ2(b). On dit que γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω⊂C s'il existe une application continue
ϕ : [a, b]×[0,1]−→Ω, (t, s)7−→ϕ(t, s), telle que :
ϕ(t,0) = γ1(t), ∀t ∈[a, b], ϕ(t,1) = γ2(t), ∀t ∈[a, b],
ϕ(a, s) = γ1(a) = γ2(a), ∀s∈[0,1], ϕ(b, s) = γ1(b) =γ2(b), ∀s ∈[0,1].
L'application ϕ est dite une homotopie entre γ1 et γ2. Si γ1 et γ2 sont fermés, alors les deux dernières conditions seront remplacées par celle-ci :
ϕ(a, s) = ϕ(b, s), ∀s∈[0,1].
Intuitivement, γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω si on peut déformer continû- ment, tout en restant dans Ω, l'un des chemins en l'autre.
Dénition 25 Un domaine est un ensemble ouvert connexe.
Dénition 26 On dit qu'un domaine Ω est simplement connexe si tout che- min fermé γ inclus dans Ω est homotope à un point. Autrement dit, si tout chemin fermé γ inclus dans Ω peut être réduit à un point par déformation continue, sans quitterΩ.
Donc un ouvert Ω est simplement connexe s'il est connexe ainsi que son complémentaire. De façon imagée, un ouvert est simplement connexe s'il est connexe et sans trou.
Exemple 27 Un disque est simplement connexe. Par contre, le disque privé de son centre n'est pas simplement connexe. Une couronne circulaire n'est pas simplement connexe. Le planC\R− est simplement connexe. Un ouvert étoilé1 est simplement connexe.
Théorème 28 (Cauchy). a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un do- maine simplement connexe Ω⊂C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω.
Alors Z
γ
f(z)dz = 0.
1Un ouvertΩest dit étoilé par rapport à un pointasi pour toutx∈Ω, le segment[a, x]
est inclus dansΩ.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 14 b) Soitf(z)une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω⊂C, sauf enz1, z2, ..., zket soitγ un chemin fermé contenu dansΩentourant tous ces points. Siγj (1≤j ≤k)est un chemin fermé contenu dans le domaine intérieur à γ entourant zj et n'entourant pas les autres zl (l6=j), alors
Z
γ
f(z)dz =
k
X
j=1
Z
γj
f(z)dz.
Remarques 29 a) Si le domaine Ω n'est pas simplement connexe et si γ est homotope à zéro, alors on peut trouver un domaine simplement connexe∆⊂Ω contenant γ et le résultat reste inchangé.
b) Si γ a des points doubles alors on décompose le chemin γ de telle façon qu'il n'y plus d'ambiguité et dès lors
Z
γ
f(z)dz = Z
γ1
f(z)dz+ Z
γ2
f(z)dz.
c) Dans le langage des formes diérentielles, le théorème de Cauchy s'énonce comme suit : sif(z)est holomorphe dansΩ, alors la forme diérentielle f(z)dz est fermée dans Ω.
Nous allons étudier quelques conséquences du théorème précédent.
Propriété 30 Soitγ un chemin d'extrémitésa etb, et contenu dans Ω. Alors, l'intégrale R
γf(z)dz ne dépend que des extrémités a et b de γ. On pose
Z
γ
f(z)dz = Z b
a
f(z)dz.
Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D'après la propriété précédente, on peut dénir dans Ω une fonction uniforme (dénie à une constante près, dépendant du choix du point z0),
F(z) = Z z
z0
f(ζ)dζ, z0 ∈Ω.
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Proposition 31 F(z) est holomorphe dans Ω et on a F0(z) = f(z), sur Ω. Dénition 32 La fonction F(z) est dite primitive de f(z).
Remarques 33 a) Dans la proposition précédente, on suppose quef est holo- morphe mais dans la démonstration seule la propriété de continuité de f sera utilisée.
b) On montre de façon similaire que si Ω est un ouvert étoilé par rapport à un de ses points, alors toute fonction holomorphe dans Ω y admet une pri- mitive holomorphe. Ceci correspond au théorème de Poincaré : toute forme diérentielle fermée dans un ouvert étoilé y est exacte.
c) Notons que si F est une primitive de f, alors Rb
a f(z)dz =F(b)−F (a). d) La formule d'intégration par partie ainsi que celle du changement de variables restent valables.
Théorème 34 Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit γ un chemin fermé contenu dans Ω et soit∆ le domaine simplement connexe ayant γ pour frontière. Alors
a) Pour tout z∈∆, on a la formule intégrale de Cauchy : f(z) = 1
2πi Z
γ
f(ζ) ζ−zdζ.
b) La fonctionf est indéniment dérivable dans∆et on a, pour toutz ∈∆, f(n)(z) = n!
2πi Z
γ
f(ζ) (ζ−z)n+1dζ.
(γ étant parcouru dans le sens positif, c-à-d., anti-horlogique).
Une version plus générale de la formule intégrale de Cauchy valable pour toutes les fonctions de classe C∞ est fournie par le théorème suivant :
Théorème 35 Soient Ω un ouvert de C, D ⊂ Ω un disque fermé et f une fonction de classe C∞ sur Ω. Alors, pour tout z ∈intD, on a
f(z) = 1 2πi
Z
∂D
f(ζ)
ζ−zdζ+ 1 2πi
Z
D
∂f
∂ζ(ζ)dζ∧dζ ζ−z .
Evidemment lorsque f est holomorphe sur Ω, alors ∂f∂ζ = 0 et la formule ci-dessus entraîne la formule précédente. L'intégrale 2πi1 R
D
∂f
∂ζ.dζ∧dζζ−z est une intégrale singulière. Elle est égale à
limε→0
1 2πi
Z
ε≤|ζ|≤1
∂f
∂ζ.dζ∧dζ ζ−z ,
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 16 et cette limite existe car ζ 7−→ ζ−z1 ∈L1. Par ailleurs, on montre que si f est une fonction de classeC∞ ayant un support compact sur C, alors il existe une fonction g de classe C∞ sur C telle que : ∂g∂z = f. La fonction g est unique et est dénie à l'addition d'une fonction holomorphe près.
Le théorème suivant n'est rien d'autre que la réciproque du théorème de Cauchy (ou plus précisément une réciproque du théorème de Goursat qui dit que si f(z) est holomorphe dans Ω, alorsf0(z) est continue dansΩ).
Théorème 36 (Moréra). Si f(z) est continue dans un domaine simplement
connexe Ω et si Z
γ
f(z)dz = 0,
pour tout chemin ferméγ de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.
Dénition 37 SoitΩun ouvert de C. On dit qu'une fonctionf : Ω−→C est analytique au point z0 ∈ Ω si elle admet un développement en série entière2 dont le rayon de convergence r n'est pas nul. On dit que f est analytique sur Ωsi elle l'est en tout point z0 ∈Ω. On écrit
f(z) =
∞
X
k=0
ak(z−z0)k, z ∈Ω, où |z−z0|< r et (ak) est une suite de nombres complexes.
Théorème 38 Soit Ω un ouvert de C et f : Ω −→ C une fonction complexe d'une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si et seulement si elle est holomorphe dans Ω.
Remarque 39 La réciproque du théorème précédent est fausse en général pour les fonctions réelles. En eet, une fonction f possédant des dérivées de tout ordre en z0, n'est pas nécessairement égale à la série entière
∞
X
k=0
f(k)(z0)
k! (z−z0)k,
correspondante. Il sut de considérer la fonction f :R−→R dénie par f(x) =
e−x12 si x6= 0 0 si x= 0
On vérie aisément qu'elle est de classe C∞, mais qu'elle n'est pas égale à la série entière correspondante.
2Pour un rappel sur les propriétés des séries entières, voir appendice 9.1
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1.4 Exercices
Exercice 1.4.1 Montrer que la fonction cosinus complexecos : C−→C,n'est pas bornée.
Exercice 1.4.2 a) Montrer que la fonctionlogz est multiforme, à une innité de déterminations.
b) Montrer que la détermination principale du logarithme est une bijection de C∗ sur la bande horizontale 4 du plan complexe, dénie par
Z =X+iY ∈ 4 ⇐⇒ −π ≤Y < π.
c) Que peut-on dire de la continuité et la dérivabilité de ces déterminations ? Exercice 1.4.3 Montrer que la fonction puissance zα est uniforme si α est entier, multiforme à q déterminations si α = ±pq où p et q sont des entiers positifs premiers entre eux et multiforme à une innité de déterminations si α=a+ib (a et b non nuls).
Exercice 1.4.4 Montrer que lim
z→0
z
z n'existe pas.
Exercice 1.4.5 Montrer que La fonction f(z) = u(x, y) +iv(x, y) est holo- morphe dansΩsi et seulement si uetv sont diérentiables dansΩet satisfont aux équations de Cauchy-Riemann :
∂u
∂x = ∂v
∂y, ∂u
∂y =−∂v
∂x. En déduire que
f0(z) = ∂u
∂x +i∂v
∂x = ∂u
∂x −i∂u
∂y = ∂v
∂y −i∂u
∂y = ∂v
∂y +i∂v
∂x. Exercice 1.4.6 Considérons les deux opérateurs
∂
∂z = 1 2
∂
∂x −i ∂
∂y
, ∂
∂z = 1 2
∂
∂x +i ∂
∂y
.
Montrer que les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l'équation
∂f
∂z = 0, et en déduire que : f0(z) = ∂f∂z (z).
Exercice 1.4.7 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f est holomorphe si et seulement si la forme diérentielleω =f dz est fermée dansΩ.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 18 Exercice 1.4.8 Soit f(z) = u(x, y) +iv(x, y), une fonction complexe d'une variable complexe z =x+iy.
a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω, on peut l'y exprimer au moyen dez seul.
b) Comment trouver formellement l'expression deu(x, y)+iv(x, y)au moyen de z seul ?
c) On suppose que u et v soient diérentiables. Montrer que si la fonction f(z) s'exprime au moyen de z seul, alors elle est holomorphe.
d) Supposons que la fonction f soit holomorphe et que f0(z) 6= 0. Posons g(z) = P(x, y) +iQ(x, y). Montrer que g est holomorphe si et seulement si df∧dg= 0.
Exercice 1.4.9 Exprimer la fonction xy− i
2(x2−y2), au moyen de z seul.
Exercice 1.4.10 Montrer que la règle de l'Hospital reste valable dans le cas complexe, à savoir, si f(z0) =g(z0) = 0 alors :
z→zlim0
f(z)
g(z) = f0(z0) g0(z0), sig0(z0) est non nul et si f et g sont dérivables en z0.
Exercice 1.4.11 Soit f : C −→ C, une fonction holomorphe, z = x+iy et posons f(z) = u(x, y) + iv(x, y). On suppose qu'il existe trois nombres réels a, b, c non tous nuls et tels que : au+bv=c. Montrer que f est constante.
Exercice 1.4.12 Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas holomorphes.
a) f(z) =Re(z). b) g(z) = z.
Exercice 1.4.13 Montrer que la fonction f(z) = i√
xy, z = x+iy, x ≥ 0, y ≥ 0, satisfait aux équations de Cauchy-Riemann au point z = 0 mais n'est pas dérivable en ce point.
Exercice 1.4.14 Soit f une fonction holomorphe dans Ω ⊂ C. Déterminer une condition nécessaire pour que f soit aussi holomorphe dans Ω⊂C.
Exercice 1.4.15 Soient f(z) =u(x, y) +iv(x, y) et γ(t) =x(t) +iy(t). Mon- trer que :
Z
γ
f(z)dz = Z
γ
(u(x, y)dx−v(x, y)dy) +i Z
γ
(u(x, y)dy+v(x, y)dx).
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Exercice 1.4.16 CalculerR
γz2dz où γ est le segment de droite reliant le point z0 =−i au point z1 = 2 +i, orienté de z0 à z1.
Exercice 1.4.17 Montrer que si f est holomorphe, alors Z
γ
f0(z)dz =f(γ(b))−f(γ(a)), où γ : [a, b]−→C est un chemin C1 par morceaux.
Exercice 1.4.18 a) Soitf : Ω−→Cune fonction continue et γ : [a, b]−→C un chemin C1 par morceaux. Alors
Z
γ
f(z)dz
≤ Z
γ
|f(z)| |dz|= Z b
a
|f(γ(t))| |γ0(t)|dt,
et
Z
γ
f(z)dz
≤M L,
où M est une borne supérieure de |f(z)| sur γ et L = Rb
a |γ0(t)|dt est la longueur du chemin γ.
b) Appliquer la formule de majoration ci dessus au cas de l'intégrale R
γ
dz z2 où γ est un arc de cercle de centre 0, de rayon R et d'angle au centre θ. Exercice 1.4.19 Soient γ : [a, b]−→ C un chemin fermé (C1 par morceaux) et∆le complémentaire de l'image deγ, c-à-d., ∆ =C\Im γ ou encore∆ =Ic où I = {z : ∃t ∈ [a, b], z = γ(t)}. Pour tout z ∈ ∆, on pose (indice de γ par rapport à z)
1 2πi
Z
γ
dζ
ζ−z =indγ(z).
a) Montrer que l'intégrale ci-dessus a bien un sens.
b) Montrer que indγ(z) est un entier dépendant du point z.
c) Montrer que la fonction z 7−→ indγ(z) est constante sur toute partie connexe de ∆ et s'annule sur la composante connexe non bornée de ∆.
d) Expliquer le fait que indγ(z)est égal au nombre de tours que faitγ autour de z.
Exercice 1.4.20 a) Soitf(z)une fonction holomorphe dans un domaine sim- plement connexe Ω⊂ C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω. Montrer
que Z
γ
f(z)dz = 0.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 20 b) Soitf(z)une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω⊂C, sauf enz1, z2, ..., zket soitγ un chemin fermé contenu dansΩentourant tous ces points. Siγj (1≤j ≤k)est un chemin fermé contenu dans le domaine intérieur àγ entourant zj et n'entourant pas les autres zl (l 6=j), montrer que
Z
γ
f(z)dz =
k
X
j=1
Z
γj
f(z)dz.
Exercice 1.4.21 a) Soit γ un chemin d'extrémités a et b, contenu dans Ω. Montrer que l'intégraleR
γf(z)dz ne dépend que des extrémités a et b de γ. b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D'après a), on peut dénir dansΩ une fonction uniforme F(z) =Rz
z0f(ζ)dζ, z0 ∈Ω. Cette fonction F(z) est dénie à une constante près, dépendant du choix du point z0. Montrer que F(z) est holomorphe dans Ω et on a F0(z) = f(z) sur Ω.
Exercice 1.4.22 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f admet une primitive dansΩsi et seulement si la forme diérentielle ω=f dz est exacte dans Ω.
Exercice 1.4.23 Soitf(z)une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit γ un chemin fermé contenu dans Ω et soit∆ le domaine simplement connexe ayant γ pour frontière. Montrer que
a) pour tout z ∈∆, on a la formule intégrale de Cauchy : f(z) = 1
2πi Z
γ
f(ζ) ζ−zdζ.
(γ étant parcouru dans le sens positif, càd. anti-horlogique).
b)la fonction f est indéniment dérivable dans∆et on a, pour toutz ∈∆, f(n)(z) = n!
2πi Z
γ
f(ζ) (ζ−z)n+1dζ.
Exercice 1.4.24 a)Calculer l'intégrale R
γ
1 +z
z dz, lorsqueγ est le périmètre du carré de centre 0, dont un sommet est le point (1,1) du plan complexe.
b) Même question lorsque γ est la circonférence du plan complexe d'équa- tion :x2 +y2−4x+ 3 = 0.
c) Calculer l'intégrale R
γ
cos 2πz
(z−1)7dz, où γ est le cercle |z|= 2. Exercice 1.4.25 Calculer l'intégrale
Z
γ
ez2 z(z−6)dz.
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a) γ désignant le cercle |z−2|= 1. b) γ désignant le cercle |z−2|= 3. c) γ désignant le cercle |z−2|= 5.
Exercice 1.4.26 Soient Ω un ouvert de C, D ⊂Ω un disque fermé et f une fonction de classe C∞ sur Ω. Montrer que pour tout z ∈intD, on a
f(z) = 1 2πi
Z
∂D
f(ζ)
ζ−zdζ+ 1 2πi
Z
D
∂f
∂ζ(ζ)dζ∧dζ ζ−z .
Exercice 1.4.27 Soitf est une fonction de classeC∞ayant un support3 com- pact sur C. Montrer qu'il existe une fonction g de classe C∞ sur C telle que :
∂g
∂z =f.
Exercice 1.4.28 Montrer que si f(z) est continue dans un domaine simple- ment connexe Ω et si R
γf(z)dz = 0, pour tout chemin fermé γ de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.
Exercice 1.4.29 SoitΩun ouvert deCetf : Ω−→Cune fonction complexe d'une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si et seulement si elle est holomorphe dans Ω.
3On rappelle que le support d'une fonction f : Rn −→ R (ou C), est l'adhérence de l'ensemble desxtels quef(x)est non identiquement nulle.
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Chapitre 2
Propriétés des fonctions
holomorphes et harmoniques
2.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouville et de d'Alembert
Proposition 40 (inégalités de Cauchy). Soit f une fonction holomorphe sur le disque fermé D={z ∈C:|z−a| ≤r}, de centre a et de rayon r et soit M la borne supérieure de |f(z)| sur le cercle C ={z ∈C:|z−a|=r}. Alors
f(n)(a)
≤ n!M
rn , ∀n∈N.
Théorème 41 (Liouville). Sif(z) est une fonction holomorphe et bornée sur tout C, alors f(z) est une constante.
Une fonction entière est une fonction holomorphe dénie sur tout le plan complexe. Le théorème de Liouville signie que toute fonction entière et bornée est constante.
Le résultat suivant porte parfois le nom du théorème fondamental de l'al- gèbre.
Corollaire 42 (d'Alembert). C est algébriquement clos. Autrement dit, toute équation algébrique
a0zn+a1zn−1+· · ·+an−1z+an = 0, a0 6= 0, a au moins une racine dansC.
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222.2 Principe du prolongement analytique et prin- cipe des zéros isolés
Théorème 43 Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C et soit z0 ∈Ω. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :
i) f(k)(z0)≡0, ∀k ∈N.
ii) f ≡0 dans un voisinage V(z0) de z0. iii) f ≡0 dans Ω.
Corollaire 44 (principe du prolongement analytique). Soientfetg deux fonc- tions holomorphes dans un domaine Ω ⊂ C. Supposons que f = g dans un voisinage d'un point de Ω. Alors f =g sur tout Ω.
Soit une fonction holomorphef(z)dénie dans un domaine D⊂C et soit Ω un domaine tel que : Ω ⊃ D. Le problème du prolongement analytique, consiste à trouver une fonctiong(z) dénie dans Ωtelle que : f(z) =g(z)sur Ω. Si une telle fonction existe, elle est unique en vertu du corollaire précédent.
On dira queg prolongef dansΩ. Dans certains cas il est impossible d'eectuer le prolongement analytique d'une fonction holomorphe hors de son disque de convergence, ce qui constitue une barrière de prolongement analytique.
Dénition 45 On dit qu'un point z0 est un zéro de la fonction holomorphe f(z) si et seulement si f(z0) = 0. Dans ce cas, le terme a0 du développement de f(z) au voisinage de z0,
f(z) =
∞
X
k=0
ak(z−z0)k, est nul. Lorsque
a0 =a1 =· · ·=am−1 = 0, am 6= 0,
le point z0 est dit zéro d'ordre m pour f(z). Dans ces conditions, on a f(z0) = f0(z0) = · · ·=f(m−1)(z0) = 0, f(m)(z0)6= 0.
On dira enn que le point z0 est un zéro isolé de f(z) si et seulement si il existe δ > 0 tel que le cercle | z −z0 |= δ ne contient pas d'autre zéro autre que z0. Autrement dit, s'il existe un voisinage de z0 ne contenant pas de zéro autre quez0.
Théorème 46 (principe des zéros isolés). Soient Ω un domaine de C et f : Ω−→C une fonction holomorphe non identiquement nulle. Alors les zéros de f sont isolés. Autrement dit, l'ensemble des zéros de f dans Ω est discret.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 24 Notons aussi le principe des zéros isolés suivant : soit P
akzk une série entière de rayon de convergence r > 0 et de somme f(z). Si f s'annule une innité de fois autour de l'origine, alorsf ≡0. On en déduit que si P
akzk et Pbkzk sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs r1 et r2 avec0< r1 < r2 et que si pour tout z tel que |z|< r1,
Xakzk =X bkzk, alors ak=bk pour tout k∈N.
Corollaire 47 L'anneau des fonctions holomorphes sur un domaine Ω ⊂ C est intègre.
Corollaire 48 Toute fonctionf holomorphe dans un domaineΩne peut s'an- nuler en une suite de points situés dansΩet possédant un point d'accumulation dans Ω que si elle est identiquement nulle.
Remarque 49 Bien que le principe des zéros isolés est un résultat plus fort que celui du principe du prolongement analytique, néamoins ce dernier est très important. Tout d'abord on l'utilise pour prouver le premier et en outre le principe des zéros isolés n'est plus valable dans le cas des fonctions de plusieurs variables alors que celui du prolongement analytique reste vrai.
2.3 Propriété de la moyenne, principe du maxi- mum, lemme de Schwarz
Soit f : Ω−→C une fonction continue dans un ouvert Ωde C.
Dénition 50 On dit que f possède dans Ω la propriété de la moyenne si pour tout disque fermé D ={z :| z−a |≤ r} ⊂ Ω, la valeur de f au point a est égale à la moyenne de f sur le cercle C={z :|z−a|=r} ⊂Ω, c-à-d.,
f(a) = 1 2π
Z 2π
0
f(a+reiθ)dθ.
Théorème 51 (de la moyenne). Toute fonction holomorphe dans un ouvert Ω⊂C, possède la propriété de la moyenne.
Corollaire 52 Sous les conditions du théorème précédent, on a
|f(a)|≤ max
0≤θ≤2π |f(a+reiθ)|.
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Théorème 53 (principe du maximum). Si le module d'une fonction holo- morphe sur un domaine Ω ⊂ C, atteint son maximum en un point de Ω (c-à-d., s'il existe un disque ouvert D = {z : |z −z0| < R} ⊂ Ω et tel que
|f(z)| ≤ |f(z0)| dans ce disque), alors cette fonction est constante.
Lemme 54 (lemme de Schwarz). Soit f(z) une fonction holomorphe dans le disque ouvert D(0,1) = {z ∈C:|z|<1} telle que :
f(0) = 0, |f(z)| ≤1, ∀z ∈D(0,1).
Alors, on a|f(z)| ≤z,∀z ∈D(0,1). Si en outre, il existe unz0 6= 0 pour lequel
|f(z0)| =|z0|, alors on a identiquement f(z) = λz où λ est une constante de module 1.
2.4 Fonctions harmoniques, formule et noyau de Poisson, problème de Dirichlet pour le disque
Dénition 55 Soit f : Ω −→ R, (x, y) 7−→ f(x, y), une fonction de classe C2 sur un ouvert Ω de R2. La fonction f est dite harmonique dans Ω si son Laplacien s'annule :
∆f = ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 = 0, ou ce qui revient au même si
∆f = 4 ∂2f
∂z∂z = 4 ∂2f
∂z∂z = 0.
Remarque 56 Toute constante, toute forme linéaire est harmonique. L'en- semble des fonctions harmoniques est un espace vectoriel pour le corpsC.
Proposition 57 Toute fonction holomorphe est harmonique.
Corollaire 58 La partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holo- morphe sont harmoniques.
Exemple 59 La fonction ln|z| est harmonique dans C\{0} (voir exercice 2.6.13.).
Proposition 60 Soit u : Ω −→ R une fonction harmonique dans un ouvert simplement connexe Ω de C. Alors, il existe une fonction harmonique (dite conjuguée harmonique deusurΩ)v : Ω−→Rtelle que :u+iv soit holomorphe sur Ω.
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 26 Remarques 61 a) Dans la proposition précédente, la fonction u admet une innité de conjugées harmoniques de la forme v(x, y) +C où v(x, y) est l'une d'entre-elles et C une constante.
b) On montre que les fonctions harmoniques, possèdent plusieurs propriétés similaires à celles des fonctions holomorphes. Par exemple : toute fonction harmonique possède une propriété de la moyenne (la réciproque est vraie), un principe du prolongement analytique, un principe du maximum, une formule analogue à celle de Cauchy.
Théorème 62 (formule de Poisson). Soitu une fonction harmonique dans le disque ouvert D(0, R), et continue dans le disque fermé D(0, R). Alors
u(z) = 1 2π
Z 2π
0
u Reiθ R2− |z|2
|Reiθ−z|2dθ, ∀z∈D(0, R), ou, ce qui revient au même, en posant z =ρeiα, ρ < R,
u ρeiα
= 1 2π
Z 2π
0
u Reiθ
(R2−ρ2)
R2+ρ2−2Rρcos(θ−α)dθ.
La fonction R2 − |z|2
|Reiθ −z|2 ou R2−ρ2
R2+ρ2 −2Rρcos(θ−α) porte le nom de noyau de Poisson.
Problème de Dirichlet : Il consiste à trouver une fonction harmonique sur un domaineΩ et prenant des valeurs données sur la frontière de Ω.
Théorème 63 (problème de Dirichlet pour le disque). Soit D(0,1) un disque ouvert de centre 0 et de rayon R et soit u(θ) une fonction 2π-périodique sur le cercle C = ∂D(0, R). Alors, il existe une fonction f(z) continue sur le disque fermé D(0, R), harmonique sur le disque ouvert D(0, R) et satisfaisant à f Reiθ
=u(θ). Cette fonction est unique et est donnée par f(z) = 1
2π Z 2π
0
u(θ) R2− |z|2
|R eiθ−z|2dθ, |z|< R.
2.5 Théorème d'inversion locale, transformations conformes, applications géométriques, théo- rème de l'application ouverte, automorphismes Aut( C ) , Aut P
1( C )
, Aut(D(0, 1)) , Aut( H )
Théorème 64 (d'inversion locale). Soitf une fonction holomorphe non constante dans un domaine Ω tel que : f0(z0) 6= 0, z0 ∈ Ω. Alors, il existe un voisinage
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U de z0 et un voisinage V de f(z0) tels que la restriction f : U −→ V soit bijective etf−1 soit holomorphe avec
f−10
= 1
f0of−1.
Nous allons étudier les transformations conformes ainsi que quelques ap- plications géométriques. Soit w = f(z) une fonction complexe d'une variable complexez =x+iy. Posons w=u+iv. Les équations
u=u(x, y), v =v(x, y),
déterminent une transformation du plan complexe z en le plan complexe w, établissant ainsi une correspondance entre les points(x, y)et(u, v). On parlera parfois d'une transformation biunivoque si à chaque point du plan desuv cor- respond un point et un seul du plan desxy. La transformation est biunivoque dans les domaines où son jacobien est non nul :
J(x, y) = ∂(u, v)
∂(x, y) =
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
6= 0.
Propriété 65 Si f(z) est holomorphe, alors le jacobien de cette transforma- tion s'écrit sous la forme
J =|f0(z)|2.
En outre, f(z) est biunivoque dans les domaines où f0(z) 6= 0 (les points où f0(z) = 0 sont les points critiques de la transformation).
Si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f0(z) 6= 0 dans Ω, alors la transformation inversef−1 est dénie et holomorphe en tout point de f(Ω) (transformée deΩpar f).
Dénition 66 On appelle transformation conforme une transformation qui conserve les angles en grandeur et en sens.
Théorème 67 Si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f0(z) 6= 0 dans Ω, alors f est conforme dans Ω.
Le résultat de Riemann suivant concerne le principe de conservation d'un domaine (ouvert connexe) de C. Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→C une fonction holomorphe non constante. Alorsf est une application ouverte, c'est- à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de Ω vers des ouverts de C.
Ce théorème est un exemple des importantes diérences entre les applications holomorphes et les fonctions diérentiables deCversC: la fonction de variable complexe est diérentiable de classe C∞, mais n'est clairement pas ouverte.
Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R car son image est l'intervalle fermé[0,+∞[. Plus précisément, on a
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A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 28 Théorème 68 Soit f une fonction holomorphe non identiquement constante sur un domaineΩdeC. L'image deΩ par f est aussi un domaine. Si en outre f est injective, alors f−1 est holomorphe dans f(Ω) et f0(z)6= 0 dans Ω. Corollaire 69 Sif est une transformation conforme de Ωdans ∆, alors f−1 est une transformation conforme de ∆ dans Ω.
Le résultat fondamental suivant est dû à Riemann.
Théorème 70 L'image d'un ouvert simplement connexe par une transforma- tion conforme est simplement connexe.
Corollaire 71 Deux ouverts simplement connexes dont les frontières ont au moins deux points distincts sont isomorphes.
On désigne parC, l'ensemble C∪ {∞} des complexes Cque l'on complète par le point∞(un symbole représentant un élément qui n'est pas dansC). On munit l'espace C d'une topologie en rajoutant aux ouverts de C les complé- mentaires des compacts deC. Autremant dit, les ouverts deCsont les ouverts de C et les ensembles de la forme U ∪ {∞} où U est un ouvert de C dont le complémentaire est un compact deC. La topologie induite par celle de C sur C est la topologie usuelle de C. L'ensembleC est un compact ; le compactié d'Alexandro de C. Une suite (zn) de C tend vers l'inni si |zn| −→ ∞ et le complémentaire d'un ouvert est compact. On montre queC est un espace to- pologique homéomorphe à la sphère unité que l'on désigne parS2. On désigne aussi parP1(C)la droite projective complexe. C'est le quotientC2\{(0,0)}/∼ deC2\{(0,0)} par la relation d'équivalence :
z1 ∼z2 ⇐⇒ ∃λ∈C∗, z2 =λz1.
On munitP1(C)de la topologie quotient. La droite projective complexeP1(C) et la sphère de RiemannS2 ouCsont isomorphes et on utilisera indiérament les notationsP1(C)ouS2. Plus précisément et de façon imagée, la droite pro- jective complexe peut être représentée à l'aide de la projection stéréographique.
Proposition 72 Le disque ouvert D(0,1) = {z ∈ C : |z| < 1} et le plan complexe C ne sont pas isomorphes mais sont homéomorphes.
Soient D un domaine de P1(C) et f un automorphisme de D, c'est-à-dire, un isomorphisme deDsur lui-même. On sait dans ce cas quef−1 est aussi un automorphisme de D. Si f etg sont deux isomorphismes d'un domaine ∆sur D, alors gof−1 : ∆ −→ ∆ est un automorphisme. Les automorphismes d'un domaine ∆forment un groupe, que l'on note Aut(∆).
Soit E un ensemble. On dit qu'un groupe G d'automorphismes E −→ E est transitif, si ∀z1, z2 ∈ E, ∃f ∈ G tel que : z2 = f(z1). On appelle sous- groupe d'isotropie (ou stabilisateur) d'un élément z0 ∈ E dans G, l'ensemble {f ∈G:f(z0) = z0}; c'est le sous-groupe de G qui conserve le pointz0.
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Proposition 73 Le groupe des automorphismes de C est Aut(C) ={z 7→az+b, a6= 0}.
Ce groupe est transitif ; le sous-groupe d'isotropie de0 est {z 7→az, a6= 0}. Le groupe des automorphismes de Cest le groupe ane A(C)des trans- formations anes deC.
Soit Aut(P1(C)) le groupe des automorphismes de P1(C). Soit z 7−→w= az+b
cz+d,
où (a, b, c, d∈C) et ad −bc 6= 0, une transformation homographique ou ho- mographie. Les transformations dites de Möbius sont de cette forme. Cette application est holomorphe sur C si c= 0 et d 6= 0 et sur C\
−dc si c6= 0. Notons que lorsquead−bc= 0, alors
w= a(z+ ba)
c(z+dc) = a(z+ ba) c(z+ ba) = a
c =constante.
Donc la condition ad−bc 6= 0 élimine les cas où w pourrait se réduire à une constante. Lorsque c= 0, alors a 6= 0 et w est non constante. Lorsque c 6= 0, on écrit
w= a
c + bc−ad
c(cz+d) =α+ β z+γ,
où α = ac, β = bc−adc2 , γ = dc et on montre que : λ = z + γ, τ = 1λ, w = α +βτ. Autrement dit, une transformation homographique peut-être considérée comme le produit de transformations telles que : translation, rota- tion, homothétie et inversion. L'application z 7−→ w= az+bcz+d, est une bijection deC dans C; on dénit pour c6= 0, w(−dc) = ∞, w(∞) = −dc et pour c= 0, w(∞) = ∞. La transformation homographique admet pour inverse la transfor- mationw7−→z = −dw+bcw−a , qui est aussi homographique, c'est un isomorphisme analytique de P1(C)dans P1(C). Ainsi, on montre que :
Proposition 74 L'ensemble des transformations homographiques forme un groupe G d'automorphismes de P1(C) qui est transitif et on a
Aut P1(C)
=G=
w(z) = az+b
cz+d :ad−bc6= 0
. En associant à toute matriceA=
a b c d
oùdetA6= 0, la transformation z7−→ az+bcz+d, on obtient un isomorphisme de groupes :
φ :GL(2,C) ={A∈M2(R) : detA6= 0} −→Aut P1(C)
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.A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 30 Notons quekerφ={λI :λ∈C∗}=C∗I, et on a ainsi l'isomorphisme
Aut P1(C)
'GL(2,C)/kerφ=P GL(2,C)(groupe projectif)
En considérant l'application det : GL(2,C) −→ C∗ ayant pour noyau le groupe SL(2,C) = {A ∈ M2(R) : detA = 1}, on obtient l'isomorphisme GL(2,C)/SL(2,C)'C∗, et on a
Aut P1(C)
'P GL(2,C) = P SL(2,C) =SL(2,C)/{−I, I}.
On considère maintenant le demi-plan supérieur H={z =x+iy∈C:Imz =y >0}, et le disque unité D(0,1) ={z ∈C:|z|<1}. L'application
H−→D(0,1), z 7−→ z−i
z+i, (transformation de Cayley)
est holomorphe et son inverse est de la forme i1+z1−z. On a donc un biholomor- phisme entre H etD(0,1), et se prolonge en un homéomorphisme des bords : S1 '∂D(0,1)−→∂H'P1(R).
Proposition 75 Le groupe Aut(D(0,1)) des automorphismes de D(0,1) est Aut(D(0,1)) =
w=eiθ
z−z0 1−z0z
:θ ∈R,|z0|<1
. Ce groupe est transitif.
Proposition 76 Le groupe Aut(H) des automorphismes de H est Aut(H) =
w= az+b
cz+d : (a, b, c, d∈R), ad−bc= 1
.
Le théorème de Riemann est un résultat important de la représentation conforme armant que tout domaine distinct de C est conforme au disque unité D(0,1). Une des conséquences de ce résultat est que deux domaines quelconques de Cet distincts de Csont conformes.
Théorème 77 (de Riemann). Tout ouvert simplement connexe Ω de C tel que : Ω6=C est isomorphe au disque ouvert.
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2.6 Exercices
Exercice 2.6.1 Soit f une fonction holomorphe sur le disque fermé D = {z ∈C:|z−a| ≤r}, de centre a et de rayon r et soit M la borne supérieure de |f(z)| sur le cercle C ={z ∈C:|z−a|=r}. Montrer que :
f(n)(a)
≤ n!M
rn , ∀n∈N.
Exercice 2.6.2 a) Montrer que sif(z)est une fonction holomorphe et bornée sur tout C, alors f(z) est une constante.
b) En déduire queC est algébriquement clos. Autrement dit, toute équation algébrique
a0zn+a1zn−1+· · ·+an−1z+an= 0, a0 6= 0, a au moins une racine dansC.
c) Question supplémentaire : montrer que toute équation algébrique P(z) =a0zn+a1zn−1+· · ·+an−1z+an= 0, a0 6= 0, n≥1 a exactement n racines.
Exercice 2.6.3 Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C et soit z0 ∈Ω. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
i) f(k)(z0)≡0, ∀k ∈N
ii) f ≡0 dans un voisinage V(z0) de z0. iii) f ≡0 dans Ω.
Exercice 2.6.4 a) Soientf etgdeux fonctions holomorphes dans un domaine Ω⊂C. Supposons que f =g dans un voisinage d'un point de Ω. Montrer que f =g sur tout Ω.
b) Expliquer la notion de prolongement analytique.
c) (Théorème de Pringsheim). Montrer que si dans la série
∞
X
k=0
akzk =f(z), |z|< r
tous les coecientsak sont positifs ou nuls et une innité d'entre eux sont po- sitifs, alors le pointz =r est un point singulier pourf(z). (Un pointz =a est un point régulier pourf(z)quand il existe un voisinage de ce point constituant un domaine d'holomorphie pour f(z). Tout point qui n'est pas régulier est dit singulier ; on dit aussi que f(z) possède une singularité en un tel point. Les singularités seront étudiées en détail au chapitre 3).
d) Montrer que dans certains cas il est impossible d'eectuer le prolonge- ment analytique d'une fonction holomorphe hors de son disque de convergence, ce qui constitue une barrière de prolongement analytique.
