CONDUCTIVIT ´ E ´ ELECTRIQUE ET TEMPERATURE
Pr´eambule : Expliquer la variation de la conductivit´e ´electrique σ dans un m´etal, puis dans un semiconducteur in- trins`eque, en fonction de la temp´erature.
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Fig.1 –densit´e de porteurs en fonction de la temp´erature
La figure 1 donne l’´evolution de la densit´e de porteursndans un semi-conducteur dop´e en fonction de la temp´erature.
Cette figure a ´et´e obtenue en mesurant n par effet Hall. L’objectif est de la mod´eliser en mettant en ´evidence trois r´egimes de conduction en fonction de la temp´erature. Pour cela, on utilisera laconstante intrins`equeni d´efinie par :
n2i =np=NcNve−Eg/kBT
1. Aux temp´eratures ´elev´ees, quelle est l’origine principale des porteurs ? En d´eduire une expression simplifi´ee de la condition de neutralit´e ´electrique du mat´eriau, une expression de nvalable aux temp´eratures ´elev´ees, et la position du niveau de Fermi. Comment estimer la temp´eratureTM au dessus de laquelle cette expression est valable ? On se placera dans la suite dans le cas de temp´eratures nettement inf´erieuresT << TM.
2. Montrer que la densit´e de donneurs ionis´esNdi, `a une temp´eratureT, peut se mettre sous la forme : Ndi = Nd
1 + Nn
ce(Ed−Ec)/kBT
o`u n est la densit´e de porteurs n´egatifs dans la bande de conduction. Pour cela, on d´eterminera la densit´e de donneurs neutres en utilisant la distribution de Fermi-Dirac, et on utilisera l’expression classique denen fonction du niveau de Fermi et de la temp´erature.
3. A partir de la condition de neutralit´e ´electrique du mat´eriau, ´etablir une nouvelle ´equation permettant de calculer la densit´e d’´electrons n. Simplifier cette ´equation en utilisant le fait que nous nous pla¸cons `a des temp´eratures T << TM.
4. La forme ainsi obtenue pournpeut ˆetre divis´ee en deux r´egimes. La temp´erature s´eparant ces deux r´egimes est not´eeTm. Sa valeur est solution de l’´equation suivante :
4 Nd
Nc(Tm)e(Ec−Ed)/kBTm = 1
Donner l’expression de la densit´e d’´electrons ndans les deux r´egimes, ainsi que la position du niveau de Fermi 5. Donner une interpr´etation physique aux trois r´egimes mis en ´evidence dans ce travail et d´elimit´es par les
temp´eratures TmetTM.
Application num´erique : Donner une estimation de TM etTmen utilisant les valeurs num´eriques suivantes : – densit´e de donneurs : Nd= 1016cm−3
– densit´e d’´etats de la bande de conduction : Nc= 5,2.1015T3/2cm−3 – densit´e d’´etats de la bande de valence :Nv= 2,2.1015T3/2cm−3 – gap d’´energie :Eg= 1,2eV
– ´ecart d’´energie entre les niveaux conduction et donneur : 20meV.
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