Td corrigé Partiel antenne + corrigé 2009 - WordPress.com pdf

Université Libanaise Faculté de génie Semestre IX

Electricité- Electronique Date: 11-12-2009

Durée:2h

Prof: Y. DAHER Documents: Autorisés Partiel d’Antennes (texte en 3 pages+ abaque de Smith)

Ligne de Transmission. Antenne YAGI A : Ligne de transmission (30 points)

Une ligne de transmission de longueur L=3.125m, caractérisée par son impédance d'entrée Ze=52.7+j90

et son impédance caractéristique ZC=75, est excitée à la fréquence 300MHz

N⁰1- Déterminer par la théorie en polaire et en rectangulaire, les valeurs numériques de la charge réduite zu et non réduite Zu. En déduire le coefficient de réflexion  et le tos S. (15 points)

N⁰2- Vérifier sur l'abaque de Smith, en rectangulaire et en polaire les valeurs de zu,  et S.

Calculer sur cet abaque l'impédance Z(x) de la ligne à 75cm du générateur. vérifier théoriquement ce calcul. (15 points)

B : Antenne YAGI (70 points)

On se propose d'étudier l'antenne Yagi d'émission et sans pertes suivante :

B1 : Aspect général (20points)

N⁰3- Décrire le rôle de chacun des éléments : A0, R, D1, D2, D3 et D4. (répondre en une ligne par élément) (5 points)

N⁰4- Dire pourquoi la longueur effective de A0 doit être légèrement inférieure à /2; et pourquoi les longueurs des autres éléments sont données de cette façon. (répondre en une ligne par élément).(5 points) N⁰5- Déterminer les impédances propres (impédances d'entrée) de chacun des éléments. Les éléments sont non chargés et ayant chacun une impédance caractéristique RC=50. (5 points)

N⁰6- Déterminer la résistance de rayonnement de A0 pris isolément et tel que le diamètre de section de son brin alimenté est d1=2mm, alors que celui de l'autre brin est d2=7mm. La distance qui sépare les deux brins est D=3cm. La fréquence d'excitation est 300MHz. (5 points)

B2 : Etude du groupement (A0 , D1). (25 points)

Techniquement les longueurs des éléments Di ont été imposées pour que leurs courants induits par A0

soient tels que : _Di(z)M₀(z)e^{j[(i1)2]}

; i=1,2,3,4

0(0)=I0 ; 0(z) le courant de A0. On veut étudier en premier le groupement (A0 , D1) pris isolément.

En déduire les diagrammes de rayonnement total Q01(,) et ^Q01(,) . (10 points)

N⁰8- Les allures du diagramme de rayonnement ^Q01⁽^,⁾ dans le plan XOZ et dans l'espace sont ci- dessous. Déterminer (,) correspondant à Q01max. Calculer Q01maxà partir de la formule et faire la vérification graphique. Calculer, à partir du graphe, l'angle d'ouverture 01 à 3dB . (10 points)

N⁰9- Calculer la directivité D01max du groupement (A0 , D1) sachant qu'on a :

92527 . 4 d d )]

cos sin 2 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . 2 sin [

2cos cos 0

2

0 2



















 



 



 

 

(5 points) B3 : Etude du groupement (R , A0) (15 points)

La longueur de R a été imposée pour que son courant induit par A0 soit : R(z)=1.190(z)e^-j et on a :

64964 . 6 d d )]

cos sin 32 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . 2 sin [

2cos cos 0

2

0 2

















 



 



 

 

L'allure du diagramme de rayonnement dans le plan XOZ est représentée ci-dessous :

N⁰10- Répondre aux questions 7, 8 et 9 relatives à ce groupement en déterminant : )

P

0(

ER ; ^QR0⁽^,⁾;^QR0⁽^,⁾ ; QR0 _maxR0 ; DR0max. (15 points) B4 : Etude globale de l'antenne Yagi (10 points)

N⁰11- Déterminer les expressions du champ total E_T(P) de l'antenne Yagi et de QT(,). (5 points) L'allure du diagramme global de rayonnement dans le plan XOZ est représentée ci-dessous.

N⁰12-En déduire graphiquementQT maxet T. Calculer le gain de l'antenne en supposant qu'il est égale approximativement à la somme des gains des 5 couples: (R,A0) , (A0,D1), (A0,D2), (A0,D3), (A0,D4) et que le gain de chaque couple (A0,Di) est le même que celui de (A0,D1) (5 points)

Bonus : Vérifier théoriquement la valeur de QT max(5 points)

FIN

A : Ligne de transmission

N⁰1- =c/f=1m; ^{z 52.7}₇₅^{j90 0.7 j1.2} ₁^z _jz^jtan_tan ^L_L

u

e u 



 



 



59 . 33 j e

u e u u u

u u

e u 0.316e

7 . 0 j 2 . 2

2 . 0 j 7 . 0 jz 1

j z z

jz 1

j z ) 4 / 6 tan(

jz 1

) 4 / 6 tan(

j z 125 . 3 x 2 tan jz 1

125 . 3 x 2 tan j

z z 



 



 

 

 















 







 

1741 . 0 j 2625 . 0 e

315 . 0

z_u  ^j33.55   ; ^Zu ^{23.625ej33.55 19.687 j13.05}

213 . 0 j 555 . 0 e

5945 . 1741 0 . 0 j 2625 . 1

1741 . 0 j 7375 . 0 1 z

1

z _j159

u

u   





 



 

 ; ^S₁¹_^ _^{ 3.932}

N⁰2-^ze ^0.7 ^j1.2 M sur l'abaque. Par rotation trigonométrique de

2 12 2

8) 3 1 ( 4 L

2     



 

 on trouve le point U représentant zu=^{0.26 j0.175}

Par rotation trigonométrique de ^{ }



 

 ) 3

4 (3 4 x

2 à partir de M on trouve le point diamétralement opposé P donnant zp=0.36-j0.625=0.72e^-j60

Par rotation aiguille d'une montre de

2 9 2

5 . 9 ) 375 . 2 ( 4 ) 75 . 0 125 . 3 (

2      



 



 à partir de U

on retrouve le point P donnant zp=0.36-j0.625=0.72e^j60

60 p 27 j46.875 54.1e j

Z     ^

Par la formule théorique :

77 . 59 u

u u

u u

p u 0.7222e

2625 . 0 j 1741 . 1

8259 . 0 j 2625 . 0 jz 1

j z 4 / 3 tan jz 1

4 / 3 tan j z 375 . 2 tan jz 1

375 . 2 tan j

z z  ^



 



 







 







 

On retrouve :

624 . 0 j 3636 . 0

z_p  

N⁰3- Rôle de chacun des éléments A0, R, D1, D2, D3 et D4.

A0: Élément alimenté. Dipôle replié. Antenne demi-onde non chargée R: Élément réflecteur non chargé, il réfléchit l'onde dans la direction OX

D1: Premier élément directeur non chargé, il accentue l'onde dans la direction OX D2: Deuxième élément directeur non chargé, il accentue l'onde dans la direction OX

D3: Troisième élément directeur non chargé, il accentue l'onde dans la direction OX D4: Quatrième élément directeur non chargé, il accentue l'onde dans la direction OX N⁰4- Longueurs en fonction de 

A0: Longueur </2 pour raison de résonnance. Il fonctionne en antenne demi-onde non chargée R: Longueur > A0 pour avoir une impédance selfique lui donnant le caractère réflecteur

D1: Longueur < A0 pour avoir une impédance capacitive lui donnant le caractère directeur D2: Longueur < D1 pour avoir une impédance capacitive lui donnant le caractère directeur D3: Longueur < D2 pour avoir une impédance capacitive lui donnant le caractère directeur D4: Longueur < D3 pour avoir une impédance capacitive lui donnant le caractère directeur .

N⁰5- Impédances d'entrée propre de chacun des éléments non chargés.

A0: Ze= -jRC cotgL=-jRC cotg(2/)/4=-jRC cotg(/2=0

R: Ze= -jRC cotgL=-jRC cotg(2/)(0.26)=-jRC cotg(0.52)=j3.145

D1: Ze= -jRC cotgL=- jRC cotg(0.46)=-j6.316

D2: Ze= - jRC cotg(0.44)=-j9.538

D3: Ze= - jRC cotg(0.42)=-j12.837

D4: Ze= - jRC cotg(0.40)=-j16.246

N⁰6- Résistance de rayonnement de A0. ^/2d₁ ^{1/0.004250} R=61.25 suivant le tableau suivant d

2

/ 50 60 70 100 200 400 1000 3000 10000 100000  R en  56 58 59 60 61 62 62,8 64 65 67 73

03 . D 0

; 5 . d 3

; d m 1

; cm 3 D

; mm 7 d

; mm 2 d

1 2 2

1 

 









 ;

k=8.5; =kR =8.5x61.25 =520.625

B2 : Etude du groupe A0 , D1

N⁰7- 1(z)=1.190(z)e^j ; =-0.8 ; d=0.1 ; E01

(P) ; Q(,) et ^Q01⁽^,⁾ E01(P)=E0 +E1= E0 [1+Me^{(jdsincos}] ; M=1.119

E0=

r 2 jZ e

r -j 0 

 I0





 sin

) cos 2 / cos(

E01(,)=

r 2 jZ₀ e^{-j r}



 I0 



 sin

) cos 2 /

cos( [1+1.19e^{(j0.80.2sincos}]

Q01(,)=





 sin

) cos 2 /

cos( [1+1.19e^{(j0.80.2sincos}]

 ²  ²

01 1 1.19cos( 0.8 0.2sin cos ) 1.19sin( 0.8 0.2 sin cos ) sin

) cos 2 / ) cos(

, (

Q           





 





) cos sin 2 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . sin 2

) cos 2 / ) cos(

, (

Q₀₁      





 





N⁰8- (,)correspondant à Q01max.  à 3dB

(,)= (/2,0); ^Q01max  ^Q(^/2,0) ^{1 2.416}^2.38cos(^0.6⁾ ^1.29635

L'angle d'ouverture : Q01(/2-01/2,0)=Q01max/ 2=0.916 alors 01=68.750 suivant le schéma suivant :

N⁰9- Directivité Dmax du groupement (A0 , D1):

D01max=

 

2 0 0

2

2max

d d sin ) , ( Q 4 Q

  _4.2877

92527 . 4

29635 . 4 1 d d )) cos sin 2 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . 2 sin (

) cos 2 / cos(

4 Q

D ²

2

0 0

2max max

01   

















 



 



 

D01max=6.32dB B3 : N⁰10- Etude du groupe R , A0

ER0(P)=

r 2 jZ₀e^{-j r}



 I0





 sin

) cos 2 /

cos( [1+1.19e^{(j0.80.32sincos}]

) cos sin 32 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . sin 2

) cos 2 / ) cos(

, (

Q_R0     





 





(,)=(/2,0)correspondant à QR0max.  à 3dB ;

6016 . 1 ) 48 . 0 cos(

38 . 2 416 . 2 1 ) 0 , 2 / ( Q

Q_R0max      

L'angle d'ouverture: QR0(/2-R0/2,0)=QR0max/ 2=1.1326 alors R0=101⁰.4 suivant le schéma suivant :

  _4.85

64964 . 6

6016 . 4 1 d d )) cos sin 32 . 0 8 . 0 cos(

38 . 2 416 . 2 sin (

) cos 2 / cos(

4 Q D

2 2

0 0

2max max

0

R   















 



 



 

DR0max=6.85dB B4. N⁰11- E_T

(P) =

r 2 jZ e

r -j 0 

 I0





 sin

) cos 2 /

cos( [1+1.19(^{ej(0.80.32sincos)}+

) cos sin 2 . 0 8 . 0

e(j     +e^(j^0.4^sin^cos⁾+e^(j^1.2^0.6^sin^cos⁾+ej(1.4sincos))]

QT(,)= ^ _ ^ sin

) cos 2 /

cos( [1+1.19(e^(j0.8^0.32^sin^cos⁾+e^(j^0.8^0.2^sin^cos⁾+e ^(j^0.4^sin^cos⁾+

) cos sin 6 . 0 2 . 1

e(j     +ej(1.4sincos))]

N⁰12- (=90⁰,=0) graphiquement : QTmax=3.35 ; (,)=(/2,0)correspondant à QTmax.

L'angle d'ouverture : QT(/2-T/2)=QTmax/ 2=2.37 alors T=77⁰.35 suivant le schéma suivant :

DTmax= 4.8378+4x4.2879=2213.42dB Bonus :

QTmax=1+1.19(e^j(0.8^0.32⁾+e^j(^0.8^0.2⁾+e^j(^0.4⁾+e^j(^1.2^0.6⁾+e^j(^1.4⁾) QTmax=1+1.19(e^j0.48+e^j0.6+e^j0.6+e^j0.6+e^j0.4)=3.35657