J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
S
TÉPHANE
F
ISCHLER
Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
15, n
o2 (2003),
p. 479-534
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_2_479_0>
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Groupes
de Rhin-Viola
et
intégrales
multiples
par STÉPHANE FISCHLER
RÉSUMÉ. Ce texte donne une nouvelle
présentation,
et unegéné-ralisation,
des groupesqui apparaissent
dans les travaux de Rhin-Viola([8], [9])
sur les mesures d’irrationalité de03B6(2)
et03B6(3).
D’unepart, on
interprète
ces groupes comme des groupesd’automor-phismes,
cequi
permet de déduire chacune des relations entreintégrales
utilisées par Rhin-Viola d’unchangement
de variables. D’autre part, on considèreplusieurs
famillesd’intégrales
n-uples,
et on montre que chacune d’elles est munie d’une action de groupe
comme dans les travaux de Rhin-Viola. De
plus,
les valeurs de cesintégrales
sont(conjecturalement,
pourcertaines)
des formesli-néaires,
sur le corps desrationnels,
en lespolyzêtas
depoids
auplus
n. Ces famillesenglobent beaucoup d’intégrales
qui
sontap-parues dans l’étude des valeurs
de 03B6
aux entiers. On exhibe unchangement
de variables entre deux de cesfamilles, qui
permet derelier les
approches
deBeukers,
Rhin-Viola, Vasilenko,
Vasilyev
d’une part, Sorokin et Rivoal d’autre part.ABSTRACT. This paper
gives
a newpresentation,
and agenerali-zation,
of the group structures in Rhin-Viola’s work([8], [9])
onirrationality
measures of03B6(2)
and03B6(3).
On the onehand,
thesegroups are seen as
automorphism
groups, which makes itpossible
to prove all relations between Rhin-Viola
integrals
using
changes
of variables. On the other
hand,
several familles of n-dimensionalintegrals
areconsidered,
and each of them is shown to beequipped
with a group action in the same fashion as in Rhin-Viola’s work.Moreover,
the values of theseintegrals
are(sometimes
conjectu-rally)
linearforms,
over therationals,
inmultiple
zeta values ofweight
at most n.Among
these families lie manyintegrals
thathave
appeared
in thestudy
of the valuesof 03B6
atinteger
points.
Achange
of variables isgiven
between two of thesefamilies,
whichconnects the
approach
ofBeukers, Rhin-Viola, Vasilenko,
Vasilyev
to that of Sorokin and Rivoal.
Les meilleures mesures d’irrationalité de
((2)
et((3)
connues à cejour
Pour les
obtenir,
Rhin et Viola utilisent une familled’intégrales
doublespour
~(2) :
et
triples
pour((3) :
Le
point
clef de leur méthode est laprésence
d’un groupe de transformationssur les
paramètres
entiersh, i, j, k,1
(respectivement
h, j, k, 1 , m, q, r, s ,
avec m =k + r - h)
qui multiplient
l’intégrale
par un facteur rationnel. L’étudede la valuation
p-adique
de ce facteur ràtionnel(qui
est unquotient
deproduits
defactorielles)
permet
d’obtenir un meilleur dénominateur pourles coefficients de la forme linéaire
sur Q
en 1 etç(2) (respectivement ((3))
qu’est
cetteintégrale.
Dans les deux
premières parties
de cetexte,
on construit une sous-variétéV de ILBp
(avec
p = 5pour
«2)
et p = 6 pour((3)),
un ouvert SZ de V(pour
la
topologie
réelle),
et une forme différentielle w tels que lesintégrales
(1)
et
(2)
s’écrivent sous la forme :L’invariance de
(1)
et(2)
par le groupe diédral(avec
k = 5 pour((2)
et k = 8 pour
((3))
correspond
alors à une action sur V de ce groupe. Cesconstructions sont
analogues
à celle que Pierre Cartier avaitmentionnée,
dans le cas de~(2),
à la fin de sonexposé
aux douzièmes RencontresArith-métiques
de Caen(en
juin
2001).
La nouveauté(en
plus
du cas de((3))
est que le groupe de Rhin-Viola tout entiers’interprète
comme grouped’auto-morphismes
de SZx U,
enposant
On démontre ainsi toutes les
égalités
entreintégrales
àpartir
d’automor-phismes,
dansl’esprit
de la"philosophie
despériodes"
[7].
Un autre
objectif
de ce texte estd’étudier,
avec autant degénéralité
quepossible,
des famillesd’intégrales
dont certains casparticuliers
apparaissent
dans les travaux récents sur l’irrationalité ou
l’indépendance
linéaire devaleurs de la
fonction (
aux entiers. Lepoint
central est la recherche dechangements
de variables nontriviaux;
ceci fournit desanalogues,
pourdes
intégrales n-uples,
des situations considérées par Rhin et Viola poursont
(conjecturalement,
pourcertaines)
des formes linéairessur Q
en lespolyzêtas
depoids
auplus
n.Une
première
direction consiste àgénéraliser
lesintégrales
de Beukers[2]
pour
~(3) :
1Ceci a été
entrepris
par Vasilenko[13]
puis
Vasilyev
[14]
qui
posent
et
considèrent,
pour N entier naturel :Vasilyev
démontre que pour N = 0 cetteintégrale
vautdonc est un
multiple
rationnel de(n),
et[15]
que pour nx = 5(respecti-vement n =
4)
et Nquelconque
c’est une forme linéaire en1,
((3)
et((5)
(respectivement
1,
((2)
et((4)).
Ilconjecture
que pour tous n et N onob-tient une forme linéaire en 1 et les valeurs
de (
aux entierscompris
entre 2 et ~ayant
la mêmeparité
que n ; cetteconjecture
vient d’être démontrée parZudilin
[19].
Dans la troisièmepartie
de cetexte,
on considère une familled’intégrales
qui
contient à la fois(1),
(2)
et(4) :
En
supposant
que les 2n + 1exposants
vérifient certaines relationslinéaires,
on démontre
qu’un
groupe de Rhin-Violaagit
sur cettefamille,
au senssuivant.
Définition :
On
ditqu’une
famille de nombresI(p)
Eparamétrés
par p E
Z~,
admet pour groupe de Rhin-Viola un sous-groupe G desi
I(9p)/I(p)
est un rationnel(ou oo)
pourtous g
E G et p E Z’(avec
00/00
=1).
Dans ce
texte,
les nombresI(p)
seronttoujours
donnés par desintégrales,
et les facteurs rationnels seront des
quotients
deproduits
defactorielles. De tels groupes sont connus
depuis longtemps :
ilsapparaissent,
par
exemple,
dans les travaux deBailey,
Dixon etWhipple.
Concernant la famille
(5) (restreinte
à desparamètres
satisfaisantcer-taines relations
linéaires),
on exhibe deuxchangements
de variables Qet 1/1
qui
transforment uneintégrale
de cette famille en une de la même famille. On construit aussi unanalogue
de la transformationhypergéométrique cp
de
[9],
cequi
donne(pour
chaque n >
2)
un groupe de Rhin-ViolaG, qui
dans les cas
particuliers n
= 2 et n = 3 sespécialise
en ceux de[8]
et[9].
Celapermet
aussi(voir
leparagraphe
3.4)
d’obtenir les formules(assez
mystérieuses)
qui
définissent lechangement
de variables t9 de[9]
àpartir
d’autres formules de
changements
de variables ou de transformationhyper-géométrique,
moinsmystérieuses
cargénéralisables
à tout n > 2.Toujours
dans un souci degénéralité,
on considère dans laquatrième _
partie
de ce texte la famillesuivante, qui
contient(5)
et dont on montrequ’elle
admet aussi un groupe de Rhin-Viola :Une deuxième direction pour étudier les valeurs de
(
aux entiers(et,
plus
généralement,
lespolyzêtas)
consiste àpartir
de la preuve de Sorokin[12]
de l’irrationalité deÇ(3) ,
qui
utilise lesintégrales
suivantes :Ces
intégrales
sont àrapprocher
de celles que Sorokin introduit[11]
enrelation avec
((2,2,...,
2),
quand
n =2p
estpair :
et de celles
qui apparaissent
dans les travaux de Rivoal([11, [10])
pourDans la
cinquième partie
de cetexte,
on considère la famillesuivante,
qui
contient ces trois cas
particuliers :
On démontre que ces
intégrales
admettent un groupe deRhin-Viola,
et onvariables
qui
les transforme en desintégrales
de la forme :Dans l’autre sens, ce
changement
de variablespermet
d’écrire touteintégrale
de la forme
(5)
sous la forme(9).
L’intérêt de cettemanipulation
est que lesintégrales
(9)
sedéveloppent
naturellement en sériesmultiples.
Parexemple,
on transforme ainsil’intégrale
(3)
en(6) :
Beukers et Sorokin construisentexactement les mêmes formes linéaires en 1
et ~ (3) .
Dans ce
texte,
on supposetoujours
que lesexposants
dans lesintégrales
n-uples
sontentiers ; cependant
tous les résultats démontrés ici sont de natureanalytique
et segénéralisent
aisément à desexposants
complexes.
Les résultats obtenus dans les trois dernières
parties
ont été annoncésdans
[6].
Remerciements : Ce texte a
beaucoup
bénéficié de discussions avec PierreCartier et
Tanguy
Rivoal. Je tienségalement
à remercier FrancescoAmo-roso,
Jacky Cresson,
GillesDamamme,
PierreGrinspan,
FedericoPellarin,
Serge
Perrine,
Georges
Racinet,
EricReyssat, Georges
Rhin et Michel Wald-schmidt pour l’intérêtqu’ils
ontporté
à cetravail,
ainsi que le referee pour sa lecture attentive.1. Le cas
de ((2)
Dans cette
partie,
on donne uneprésentation
"géométrique"
du groupede Rhin-Viola pour
~(2) [8].
Auparagraphe
1.1,
on écritl’intégrale
notée(1)
dans l’introductiongrâce
à une sous-variétéV2
de dont on noten2
l’ensemble des
points
à coordonnées strictementpositives.
L’action deD5
sur
V2
(et
surSZ2 )
traduit l’invariance de cetteintégrale
sous une action deD5.
Auparagraphe 1.2,
oninterprète
la transformationhypergéométrique
de Rhin-Viola par un
automorphisme
non trivial d’une variété liée àV2.
Leparagraphe
suivant décrit le groupe de Rhin-Viola tout entier comme grouped’automorphismes
de{}2
xU2,
oùU2
est l’ensemble des(tI, ... , t5)
tels queti
-!- ~ ~ ~ +t5
= 1.Enfin,
leparagraphe
1.4 contient desrappels,
etquelques compléments,
sur l’action du groupe de Rhin-Viola.Dans cette
partie
et dans lasuivante,
pour toute fonctionf
on note, .
-
f
1.1. La variété
V2
et l’invariance par le groupe diédral.Notons
V2
la sous-variétéalgébrique
affine deJR5
définie par leséquations
On note
Q2
l’ensemble despoints
de V2
à coordonnées strictementpo-sitives,
et w2 la 2-forme différentielledX(Xi-lXi)
A surV2,
qui
nedépend
pas du choix de i Ef 1, ... ,
5}
(voir
la preuve de laproposition
ci-dessous) ;
on pose xo = x5, x6 =xi et
ainsi de suite.Proposition
1. La variétéV2
est de dimensionsdeux,
et le groupe diédralD5
agit
dessus parpermutation
des coordonnées. Cette action laisse stablen2,
ainsique la forme différentielle
w2(au
signe
près).
-Démonstration : Les
équations
deV2
sont visiblement stables sous l’actionnaturelle de
D5
sur lescinq
coordonnées.Quant
à la formedifférentielle,
elleest
changée
en sonopposé
par lessymétries,
et invariante par les rotations(ce
qui
montre que sa définition nedépend
pas du choix de i E~1, ... , 5}).
Ceci
provient,
en faisant leproduit
extérieur par de la relationsuivante,
elle-même obtenue par différentiation deséquations
deV2 :
Pour montrer
que V2
est de dimensiondeux,
on montre que lapremière,
la troisième et laquatrième
équations qui
la définissent sontindépendantes
etengendrent
les deux autres. Parexemple,
onpeut
en déduire la deuxième commesuit,
enposant ui
=xixi+l :
Proposition
2. Lesformules
suivantesdéfinissent
uneparamétrisation
bi-jective
de{}2
par]0, IF,
danslaquelle
w2correspond
à1-xy *
Démonstration : Il
s’agit
de vérifications sansdifficulté;
laréciproque
estdonnée par x - xlx,5 et y - x3x4. On a alors : d(xy)Ady
donnée x5 et ï/ = X3X4. On a alors : 1 1-zy =
Y(1xy)
-dx(X3X4)
A dx(X4X.)
=W2-N.B. On
pourrait
fairedisparaître
les racines carrées dans les formulesde la
proposition
2,
enremplaçant
partout
les xi par leurs carrés(ce
qui
Étant
donnéscinq
nombres réels al, ... , a5, on leur associe(pour
faire lelien avec les notations de
[8]) :
Dans toute la suite de cette
partie,
on suppose que sont entiers. Les variables auxiliaires de[8]
s’écrivent :A
l’inverse,
onpeut
retrouver al, ... , a5 àpartir
degrâce
auxformules suivantes :
On oriente
n2
par laparamétrisation
de laproposition
2. Considéronsl’intégrale
suivante(qui
estpositive,
éventuellementégale
à+00) :
D’après
laproposition 2,
on retrouve exactementl’intégrale
notéedans
[8],
à savoir :En
particulier,
on voit facilement(ou
on déduit de laproposition
16)
que cette
intégrale
est finiesi,
et seulementsi,
les entiersh, z, j, k, l
associés.
à al, ... , a5 sontpositifs.
De laproposition
1 et de la formule dechange-ment de variables
(voir
parexemple
~4J )
découle immédiatement le résultat suivant :Corollaire 1. L’action naturelle du groupe diédral
V5
sur(al, ... , a5)
N.B. Cette invariance par
D5
correspond
auxchangements
de variables Tet a de
[8].
1.2. La variété
V2
et la transformationhypergéométrique.
°Notons
VZ
la sous-variétéalgébrique
deJR5
définie par leséquations
sui-vantes :
On note
fi2
l’ensemble despoints
deV2
à coordonnées strictementpositives,
et
W2
la forme différentielle sur~2
·Proposition
3. La variétéV2
est de dimensions trois.Quand
onéchange
y2 et y5,
V2 et Í!2
sontinvariantes,
etW2
estchangée
en sonopposé.
N.B.
Quand
onéchange
y3 et y4, la variétéV2
est aussi invariante(voir
leparagraphe
1.4).
Démonstration de la
proposition
3 : Elle est immédiate en cequi
concerneV2
etfi2
(il
suffit dedévelopper
la secondeéquation
deVZ ) ;
pour la formedifférentielle,
onprend
leproduit
extérieur par n de larelation
d" (yly2) - d" (yly5)
=dX(Y2/Ys)
=dX(Y2Y3) - dX(Y3Ys).
Proposition
4. Lesformules
suivantesdéfinissent
unebijection
deSZ2
x ]0, 1 [
dans
fi2 :
Dans cette
bijection, la 3-forme
c~
correspond
à w2 A dt.Démonstratzon : Soit
(~1, ... ,
~5,t)
E~2
x]0,1[.
Lepoint
(yi,
... ,y5 )
qui
luiest associé vérifie y3y4 = X3X4, Y5Yl =
(1-t)X5Xl,
Y2Y5 =X2X5, Y4Y2 =
X4X2, yl y2 -
txix2
et y5y3 = x5x3. · On en déduit immédiatement que les deuxéquations
deV2
sont satisfaites pour lepoint
(ï/i,..., y5) :
la seconde traduit l’identité(1 - t) + t =
1.Exhibons la
bijection
réciproque
enposant,
pour(yl, ... , y5)
EV2 :
et en définissant
(xl, ... , x5)
à l’aide des formules de laproposition
4. On(xl, ... , x5, t) E
Q2
X ]0, 1[,
et que les deuxapplications
sontréciproques
l’une de l’autre. En ce
qui
concerne la formedifférentielle,
on écrit :Ceci termine la preuve de la
proposition
4.Corollaire 2. On
définit
unautomorphisme
defl2
x ]0, 1[
[
en associant à(X 1)
e2) e3 i X4 x5 ,t)
lepoint
(~i, x2,
~4~ x5~ ~~
défini
par leséquations
sui-vantes :De
plus,
cetautomorphisme change la 3-forme
w2 A dt surSZ2
x ]0, I[
en sonopposé.
Dérraonstratzon : Il
s’agit
duconjugué,
par labijection
de laproposition
4,
del’automorphisme
deV2
qui
échange
y2 et y5. Biensûr,
onpeut
aussidémontrer ce corollaire par un calcul
direct,
sans utiliser la variété’~2
-Théorème 1.
Supposons
que les entiersh,
i,
j,
k,
l associés à al, ... , a5sont
positifs,
ainsi que i-I- j -
l et l -E-h - j .
Alors on a :Ce théorème est crucial dans la méthode de Rhin-Viola. Il
s’agit
de la formule notée(3.3)
dans[8] ;
elle y est déduite de lareprésentation
intégrale
d’Euler de la fonction
hypergéométrique
de Gauss et s’écrit :Démonstration du théorème 1 : Le théorème de Fubini et
l’expression
clas-sique
~-~1~ ~
f 1
t) bdt de la
fonction Bêta d’Euler montrent que leLa
proposition
4 définit une orientation des12
et montre quel’intégrale
précédente
vaut :
-La
proposition
3 montrequ’on
peut
appliquer
à cetteintégrale
lechange-ment de variables
qui
échange
y2 et y5(voir
[4]
pour la formule dechange-ment de variables
quand
la forme différentielle estchangée
en sonopposé)..
Donc le membre de
gauche
du théorème 1 est invariantquand
onéchange
a2 et a5 : il est
égal
au membre de droite.N.B. On aurait pu
appliquer
le corollaire 2 pour démontrer directement quel’intégrale
(13)
est invariantequand
onéchange
a2 et a5.N.B. Le groupe
symétrique
65
agit
surRfi
parpermutation
descoordon-nées,
donc aussi sur l’ensemble des sous-variétésalgébriques
deRi.
Lesta-bilisateur
de V2
pour cette action est le groupe diédralD5 ;
l’orbite deV2
est donc formée par douze variétés. Les
J(a,~(1), ... , a,~(5) ),
pour ’Y EC~S,
sont les
intégrales
sur ces variétés du monôme 1 2 3 4 51.3. Le groupe de Rhin-Viola comme groupe
d’automorphismes.
Notons
U2
lesimplexe
de dimension 4 défini par :On considère sur
U2
la 4-forme différentielle 1J2définie,
pour i
~{1,..., ,5},
par :
où on note
t6
=tl,
et ainsi de suite. Il est immédiat que q2 nedépend
pasdu choix de z .
Sur
Q2
xU2
on définit des fonctions zl, ... , z5qui
à toutpoint
(x, t)
=(~1, ... ,
x5 ,ti, ... ,
t5)
associent :On
peut
résumer ceséquations
sous la formegénérale
suivante, pour i
En convient de
préciser
les conventionsqu’on
utilise pour les différentesactions de
65.
Le groupe6s
agit
naturellement à droite sur l’ensembledes
points
(xi,... , xs)
deRI,
par(~i,...,~5)
=(~y(i),..., x-y(5»
(et
del’ensemble des fonctions de
Il~
dansIR,
parcomposition.
Ainsi,
C~5
agit
àgauche
sur l’ensemble descinq
fonctions coordonnées zi, ... , z5(qui
vontde
Il~
dansR) ,
par(’Y ’ zi) (l~)
=zi (-y - ~)
=z7(s)
(x) .
Concernant les
exposants
al, ... , a5, il y a deux manières de lesconsi-dérer. Ou bien on note
(al, ... , a5)
unpoint
de et65
agit
à droite surl’ensemble de ces
points :
c’est cequ’on
fait dans ceparagraphe.
Ou bien on note al , ... , a5 les formes linéaires coordonnées surR5,
et dans ce cas65
agit
àgauche
surlai, - - ., a5 ) .
Dans les deux cas, on étend cette actionpar
linéarité,
etC~5
agit
sur{A,...,
t , h
+ i -k, ... , l
+ h - j ~ .
On reviendrasur cette
ambiguïté
auparagraphe
3.2.Théorème 2. Il existe un groupe H
d’automorphismes
deSZ2
xU2
(qui
fixent,
ausigne
près,
t,v2 Aq2)
et unhomomorphisme
de groupessurjectif
x : H -~C‘~5
tels que, pour tousf
E H et tout i,5},
on ait :N.B. Les éléments de H sont des fonctions
algébriques
(au
sens où ellessont définies par
composition
de fractions rationnelles et d’extractions deracines).
Corollaire 3. La
quantité
suivante nedépend
pas du choix de -y EC~5 :
Ce corollaire contient toutes les identités entre
intégrales
utilisées parRhin-Viola. On
peut
le déduire directement du corollaire 1(qui
donne l’in-variance parD5 )
et du théorème 1(qui
donne l’invariance par latransfor-mation V
définie auparagraphe
1.4ci-dessous) ;
la démonstrationprésentée
ici le relie aux
automorphismes
deSZZ
xÜ2.
Démonstration du corollaire 3 : Le théorème 2 montre que la
quantité
sui-vante est invariante sous l’action de
65 :
et le
changement
de variables donnépar (
= uti
pour tout i E{ 1, ... ,
5}
on obtient :
En divisant par la
quantité
qui
est elle aussi invariante par65
on conclut la démonstration du corollaire.Démonstration du théorème 2 :
Pour -y
EV5,
notonsf-t
l’automorphisme
donné par l’action
diagonale
de-y-1
EV5
surQ2
xU2,
c’est-à-dire :Pour p, on définit
(Xi, ... , X5, Ti, ... , T5) -
parles formules
suivantes,
directementinspirées
de celles du corollaire 2 et de l’action de p surh, ... ,
1 +h - j :
En fait les
cinq
dernières formuless’écrivent,
pour i
E ~ 1, ... , 5~ :
Alors
lep (respectivement
chacun des pour -y ED5 )
est unautomorphisme
de
O2
xU2
qui
fixe ausigne
près
la forme différentielle w2 A ~2, et induit surles fonctions z1, ... , z5 la
permutation
~p-1
(resp.
-y-’),
c’est-à-direqu’on
aZi o
f~
=(resp. zz
of.~
=Z’Y-l(i»)
pour tout i E~1, ... ,
,5}.
Notons H le grouped’automorphismes engendré
parf ~
et lesChaque
élémentf
de H induit une
permutation,
des fonctions zl, ... , z5 . Celatermine la preuve du théorème 2.
N.B. Le fait
qu’on
aitTl
=ti
dans la définition delep
traduit l’invariancepar ~p de h + i - k. De
même,
les relationsT3 =
t4
etT4 =
t3
traduisentle nombre d’indices i tels que
T$
ne soit pas l’un destj
(voir
leparagraphe
suivant).
QUESTION :
Lemorphisme
~r construit ici est-ilinjectif?
1.4. Lien avec la
présentation
de Rhin-Viola.Les dix variables
h, i, j, k, t , h
+ z +h - j correspondent
(via
laposition
dessignes
moins dans lesexpressions
qui
les définissentci-dessus)
aux dixparties
à deux éléments de l’ensemble(1,
2, 3, 4,
5}.
Si on considère unpentagone
régulier
dont les sommets sontnumérotés de 1 à
5,
les variables auxiliairescorrespondent
auxpaires
desommets consécutifs
(donc
aux côtés dupentagone),
alors quecorrespondent
auxpaires
de sommets non consécutifs(donc
auxdiagonales).
Le groupe
C~5
agit
transitivement sur ces dixvariables ;
pour l’action dusous-groupe
D5,
il y a deux orbites : les variables auxiliaires d’unepart,
et
~h, i, j, ~, l ~
d’autrepart.
Dans ceparagraphe,
on considère al, ... , a5 comme les formes linéaires coordonnées surR5,
donc65
agit
àgauche
surles formes linéaires
h,
..., l +h - j .
On
remplace
maintenant ces variables ai, ... , a5 par desréels,
et onsuppose que les dix combinaisons linéaires
h,
i,
j, k, l , h
+ i -k,
i+ ~ 2013 ~, ~
+k -
h, k + l - z, t + h - j
sont des entierspositifs.
On conserve la même actionde
65.
Notons,
en accord avec~8~, ~p
latransposition qui échange
a2 et a5,T la
permutation
circulairequi
envoiechaque
ai sur et u la doubletranposition
qui
échange
al et a3 ainsi que a4 et a5.D’après
le corollaire3,
enposant
on a pour
tout q
E65 :
Dans le
quotient
de factoriellesqu’est
e(7;
al, ... ,a5),
dessimplifications
peuvent apparaître
(même
si sontgénériques,
cequ’on
supposeici).
Rhin et Violaappellent
niveau de y E65
le nombre de facteursqu’il
reste au numérateur une fois celles-ci
effectuées ;
c’est aussi le nombre defacteurs au dénominateur. Posons
Ai
= et,~1.2 .
=lh
+ i -k, i
+j - t , j + J~ - h, k + t - z, l + h - j ~ ; ce
sont deuxD5-orbites
dont la réunionest une
65-orbite.
Le niveaude y
est le nombre d’éléments deAi
que q envoie dans.~1.2 :
le numérateur est formé par les factorielles des éléments deet le dénominateur par les factorielles des éléments de
Comme et
,~42
sont stables sous l’action deD5,
le niveaude q
nedépend
que de la double classe En
particulier,
les éléments deD5
sont deniveau
0,
et ceux deD5pD5
de niveau 2. Plusgénéralement,
toutélément y
inférieur ou
égal
au double du nombre minimalde V qui apparaissent
dans une telle écriture.Un intérêt de la méthode
présentée
ici estqu’elle
neprivilégie
pas lesgénérateurs
a, T etAi.
le théorème 2 traduit l’invariance degénérateurs
u, r et V.Ainsi,
le théorème 2 traduit l’invariance de h!i!j!k!l! par l’existence d’un grouped’automorphismes
deO2
xU2.
Parailleurs,
pour
chaque -y
E65
de niveau 2 onpeut
construire une variété de manièreanalogue
àV2 -
auparagraphe
1.2. On démontre larelation
J(a~,(1), ... ,
=~(~)J(al, ... , a5)
de mêmequ’on
démontrele théorème
1,
enremplaçant
~2
par~2(7).
D’ailleurs si on note ai =l’élément de
V5
qui
échange
a2 et a5, ainsi que a3 et a4, alors on aV2
= = Ceci traduit queV2
est invariantepar l’action de
qui
échange
y3 et y4.En termes
d’automorphismes,
ce processus revient à composer à droiteet/ou
àgauche l’automorphisme
den2 X 10, 1 [
donné par le corollaire 2 pardes
automorphismes
defl2 X 10, 1 [
provenant
de ceux deQ2
fournis parl’ac-tion de
D5.
Cepoint
de vue conduit à ne pasprivilégier
p, mais seulementla double classe
D5pD5 :
le groupe65
estengendré
parV5
(i.e.
l’ensembledes éléments de niveau
zéro)
et unélément,
quelconque,
de(i.e.
deniveau
2).
Enfin,
le choix deparamètres
effectué dans[8]
pour obtenir la meilleuremesure d’irrationalité connue
(qui
est h = i =12, j =
k =14, 1
=13)
correspond,
avec les notations introduitesici,
à ai =24,
a2 =26,
a3= 28,
2. Le cas de
((3)
Cette
partie
concerne le groupe de Rhin-Viola pour((3)
~9~ ;
elle estparallèle
à laprécédente.
2.1. La variété
V3
et l’invariance par le groupe diédral.Notons V3
la sous-variétéalgébrique
quasiprojective
deR4
définie parLa relation
(14)
peut
êtreremplacée
par chacune des deuxéquations
suivantes : .
et elle
impliquel :
Considérons les trois fonctions a, b et c
qui
à toutpoint x
=(xi, ... ,
X4)
EV3
associentrespectivement
(en
utilisant les relations(17)
et(18)) :
On définit des fonctions e5 et E6, de
V3
dansR,
enposant :
On note
(}31’ensemble
despoints x
EV3
dont lesquatre
coordonnées sontstrictement
positives,
et tels que les réelsa(x),
etc(x)
associés soienteux aussi strictement
positifs.
On introduit la forme différentielle suivante :Considérons l’action naturelle du groupe diédral
D8
à seize éléments surl’octogone régulier
dont les sommetssont,
dans le sensdirect,
Xl, X2, x3, X4,Xl ~ , X3 x .
Elle définit une action à droite deDg
surIr’ 4 (par
exemple,
la rotation d’un huitième de tour dans le sens direct envoie
(xi,
X2, X3,X4)
sur(X2,
X3, X4,-L» .
On en déduit une action àgauche
deV8
sur l’ensembledes fonctions de
(ou
d’unepartie
deJR*4)
dans R : sif
est une tellefonction
et -t
ED8,
on pose 1.f
=f
o y, c’est-à-dire :Proposition
5. La variétéV3
est de dimension trois. L’action du groupe diédralV8
surr4
laisse stableV3,
{}3,
et laforme différentielle
w3. Deplus
tout ’Y E
V8
designature
riytransforme
e5 enê~7
etfixe
~s .-Démonstration : Il est clair que
V3
est de dimensiontrois,
etqu’elle
eststable par
D8.
Notons t9 ED8
la rotation d’un huitième de tour dans lesens direct : on a
19 (Xl,
X2, x3,X4) =
(X2,
X3) x4,1’).
Parailleurs,
notons ala
symétrie
définie parU(Xl,
X2, x3,ac4)
=( x , 1 , 2 , 1 ).
Alors t9échange
4 3 X2 ’ Xl
les
équations
(17)
et(18),
alors que a fixe(au
signe
près)
la relation(14).
Parailleurs,
on a :Cela donne t9 - es =
1
1 a - e5 = e5, et 19 - e6 = (1 . 66 =e6, ce
qui
prouvel’assertion de la
proposition
concernant E5 et ê6. Pour obtenir la stabilité defl3,
il suffit d’utiliser la relationsuivante,
qu’on
déduit de(19) :
Quant
à la formedifférentielle,
son invariance sous l’action deD8 provient
de la formule
suivante, qu’on
déduit de(14) :
Ceci termine la preuve de la
proposition
5.Proposition
6. Lesformules
suivantesdéfinissent
uneparnmétrisation
bi-jective
deS23
par~0,1~3BY,
où Y est unepartie
de~0,1(3
dont la mesure deDe
plus,
dans cettepammétrisation,
w3correspond
à et on a :Démonstration : La
partie
Y de]0,1[~
correspond
auxinégalités
qui
appa-raissent dans la définition de la variété
quasiprojective
V3
(voir ci-dessous).
Pour(x,
y,z)
E~O,1(3BY,
on vérifie que lepoint
(Xl’...’
x4)
associéappar-tient bien à
Si3,
et que les formules concernante5(x)
et sont correctes.Pour obtenir la
bijection
réciproque,
on pose :On a
alors, d’après
(19)
et(14) :
Concernant la forme
différentielle,
il suffit de calculer A Ad x X3,
par
exemple
en l’écrivant sous la forme A A et deconclure
grâce
àl’égalité
suivante :N . B . La
partie ~ Y
est donnée par les casparticuliers
suivants :Soient ûfi,...,0!6 six nombres réels. Pour faire le lien avec
[9],
on leurassocie :
Dans toute la
suite,
on suppose que sont entiers. Dans(9J,
ces huit entiers sont soumis auxcontraintes j + q
= l + s et h+m=1~ + r ;
ici,
ces contraintes sont desconséquences
desexpressions
deh, ... , s
enfonction de al, ... , as. Les six variables al, ... , a6 ne sont soumises a
priori
à aucune relation linéaire.
On oriente
Q3
par laparamétrisation
de laproposition
6. On considèrel’intégrale
suivante(qui
estpositive,
et éventuellementégale
à+oo) :
D’après
laproposition
6,
on retrouvel’intégrale
notéedans
[9],
à savoir :D’après
laproposition
9 ci-dessous(ou
d’après
la deuxièmepartie
de[9]),
cette
intégrale
est finiesi,
et seulementsi,
les huit entiersh, j, k, 1, m, q, r, s
associés à al, ... , a6 sontpositifs
ou nuls.Considérons l’action naturelle
(à gauche)
deD8
sur unoctogone
régulier
dont les sommets sont a1, a2, a3, a4, -al, -a2, -a3, -a4. Par
exemple,
larotation d’un huitième de tour envoie ai sur ai+l pour i E
~1, 2, 3}
et a4 sur-al. En
outre,
si q
ED8
C68
a poursignature
riy on pose ’Y . a5 =et ’Y.
as = a6. Parlinéarité,
on définit une action deD8
sur l’ensemble descombinaisons linéaires de al, ... , a5. On voit que
{~,..., s~
est alors uneD8-orbite,
surlaquelle
l’action est la même que sur unoctogone
dont lessommets seraient indexés par ces entiers
(dans
leur ordrealphabétique).
De la
proposition
5 découle immédiatement le résultat suivant :Corollaire 4.L’action de
D8
sur(al, ... , a6)
laisse invariantJ(al, ... , Q6) .
N.B. Cette invariance par
Dg
correspond
auxchangements
de variableset a de
[9].
2.2. La variété
V3
et la transformationhypergéométrique.
Notons
V3
la sous-variétéalgébrique
quasiprojective
de11~
définie par leségalités
etl’inégalité
suivantes :Notons
fi3
l’ensemble despoints
deV3
dont les six coordonnées sontNotons
W3
la 4-forme différentielle suivante :Proposition
7. La variétéV3
est de dirraensionquatre.
Quand
onéchange
y3 et
1
(donc
aussi y5 et;3)
enfixant
les autrescoordonnées,
V3
etSZ3 _
Y5 Y3
sont
invariantes,
etW3
aussi ausigne près.
Démonstration : Les vérifications sont
immédiates,
sauf pour la formedif-férentielle
(pour
laquelle
elles sontplus
laborieuses).
N.B. On
peut
démontrer queW3
est invariante(au
signe
près)
de la manière suivante. Le théorème 3 ci-dessous(qui
est démontré dans[9])
signifie
quel’intégrale
est invariante par le
changement
de variablesqui échange
y3 et 5(donc
Y5
y5 et
1 )
en fixant Yb y2, y4 et y6(voir
la preuve du théorème 3 pour lesY3
détails).
On adonc,
pour tous al, ... , a6 tels que les dix entiers associés~, j, k, l, m,
(~, ?’, + h - r, r+ j -
s soientpositifs :
où Wà
estl’image
par cechangement
de variables dew3,
et e = 1 si cechangement
de variables conserve l’orientation defia,
et ê = -1 sinon. Doncl’intégrale
de tous ces monômes en y,, ... Y6 contreW3 -
est nulle : ilen découle
w3
=ecv3
-en découle Co3 = eCo3.
Proposition
8. Lesformules
suivantesdéfinissent
unebijection
deSZ3
x ]0, 1[
dans
Û3 B
Y~,
oùY’
est unepartie
defia
dont la mesure deLebesgue
estnulle :
Dans cette
bijection, la
W3
correspond
à w3 A dt.Dérraonstration : On note
Y’
l’ensemble des(yl, ... , y6)
qui
proviennent,
par cette
application,
depoints
(xl, ... ,
x4,t)
pourlesquels
l’une au moinsdes
inégalités
(15), (16)
n’est pas vérifiée. Toutd’abord,
montrons que pourS23 BY’.
On déduit de(14)
et des définitions de a et b la relation~2(~(~)~+
xia(x))
=~2n(x)6(~)),
qui
s’écritaussi,
en utilisant(21) :
La relation
(23)
découle immédiatement de(26).
Parailleurs,
onpeut
tra-duire
(22)
par la nullité d’une fonction affine de t. Il suffit alors de montrer . que les deux coefficients de cette fonction sontnuls,
cequi
ne pose pas dedifficulté à
partir
de(26)
et deséquations
deV3.
Pour vérifier
(24),
il suffit de voir que-
yly4ZJ5 estcompris
entre 0 et 1d’après
(21) .
Quant
à(25),
onpeut
la déduire de la relation>
1 ) x3x46
qui
elle-mêmeprovient
de(21).
65(x-)On a donc montré que tout
point
(ri,...,
défini par les formules dela
proposition
8appartient
àfi3
B Y’.
Réciproquement,
à tout(yi , ... , ys) E
fi3
B
Y’ on associepuis
xl, ... , x4 donnés par lesquatre
premières
formules de laproposition
8.D’après
la relation(24),
on a 0 donc 1. Pourmontrer
que t
est strictementpositif,
il suffitd’après
(25)
de prouver la relation suivante :Or déduire
(28)
de(22)
revient à démontrer :et le membre de droite de cette
équation
s’écrit,
enremplaçant y6
par savaleur
compte
tenu de(23) :
Cette
expression
estégale
au membre degauche
de(29),
puisque
laOn a donc montré que t est strictement
compris
entre 0 et 1. Il reste àvérifier que le
point
(xl, ... , x4)
appartient
àn3,
et à démontrer les deux dernières relations de laproposition.
On commence parexprimer
t de la manièresuivante,
en utilisant leséquations
(22)
et(27) :
Les
équations
(27), (28)
et(30)
se traduisentrespectivement
par leségalités
suivantes,
danslesquelles
les dénominateurs sont non nuls car(YI,... , Y6) e
y’ :
Les deux
premières
égalités
montrent queb (x)
eta(x)
sont strictementpositifs.
Deplus,
leproduit
et lequotient
des deuxpremières
égalités,
ainsique le
produit
de la deuxième et de latroisième,
donnent :De ces trois formules on déduit immédiatement d’une
part
les deux dernièresrelations de la
proposition,
et d’autrepart
l’égalité
(17).
Enfin,
4
estx223-1
y1y4
égal
à1-t ~2~3~5
d’après
(27),
donc strictementpositif
parl’hypothèse
(24) :
on a bienc(~)
> 0. Il en découle que lepoint
(Xl, ... ,
x4,t)
appartient
a 3x]0,1[.
Quant
à la formedifférentielle,
sonexpression
se déduit immédiatementde la formule
(30)
pourt,
et de la différentiation de cette même formulequi
donne :Corollaire 5. On
définit
unautomorphisme
de5~23
x ]0, 1[
[
en associant à(xi,
X2 i X3 x4,t)
lepoint
(xi, ~2, x3, ~4,
é)
défini
par leséquations
suwantes :De
plus,
cetautorrzorphgsme change
la3-forme
w3 A dt sur{}3 x ]0, I[
en sonopposé,
on a :Démonstmtion : Il
s’agit
duconjugué,
par labijection
de laproposition
8,
del’automorphisme
de V3
qui
échange
y3 et1 .
Onpeut
aussi démontrerY5
ce corollaire par un calcul
direct,
sans utiliser la variétéV3.
Théorème 3.
Supposons
que les dix entiersh,
j,
k, l,
~n, q, r, s, q + h - r, r +j - s
associés à al, ... , as sontpositifs.
Alors on a :Ce théorème est crucial dans la méthode de Rhin-Viola. Il
s’agit
de la formule notée(4.1)
dans[9] ;
elle y est déduite de lareprésentation intégrale
d’Euler de la fonction
hypergéométrique
de Gauss et s’écrit :Démonstration du théorème 3 : Le membre de
gauche
dans l’énoncé du théorèmes’écrit, d’après
le théorème de Fubini et la relationa+~~1
-La
proposition
8permet
de transformer cetteintégrale
enl’intégrale
sui-vante(dans
laquelle
l’orientation defi3
vient de saparamétrisation
par] 0,1 [3 ) :
lLa
proposition
7 et lechangement
de variablesqui
échange
y3 etfi
(donc
y5 et3 )
en fixant yi, y2, y4 et y6prouvent
que cetteintégrale
estinvariant
Y3
quand
onéchange
a3et -a5
en fixant al, a2, a4 et as. Donc(q+ h - r)! (r+
1 -
q)!J(a1,... , a6)
l’estaussi,
cequi
termine la preuve du théorème 3.2.3. Le groupe de Rhin-Viola comme groupe
d’automorphismes.
Notons
U3
lesimplexe
de dimension 7 défini par :On considère sur
Ü3
la 7-forme différentielle il3 définie par :dont on voit
qu’elle
est invariante ausigne
près
sous l’action naturelle deV8
surU3.
Sur
SZ3
xU3
on définit des fonctions Zl, ... , Z6qui
à toutpoint
(x, t)
=(xi, ... ,
-E41~i,...,
tg)
associent :On
peut
résumer lesquatre
premières
équations
sous la formesuivante,
pourNotons $ le groupe de
Rhin-Viola, qui
estisomorphe
à K )465
où Kest
l’hyperplan d’équation
El + .- . + E5 = 0 dans(Z/2Z)S
(voir
lepara-graphe
2.4).
On le faitagir
àgauche
sursuivante.
Si q
E ~ envoie ai sur avec iE {l,..., 5}
et ei~ {-1,1},
alors on pose y - zi = Par ailleurs on pose -y - z6 = z6.
Théorème 4. Il existe un groupe H
d’automorphismes
de{}3
xU3
(qui
fixent,
ausigne
près,
w3 Arl3)
et unhomomorphisme
de groupessurjectif
N.B. Les éléments de H sont des fonctions
algébriques
(au
sens où ellessont définies par
composition
de fractions rationnelles et d’extractions deracines).
Corollaire 6. La
quantité
suivante nedépend
pas du choix E 4D : .N.B. Comme 4D est
engendré
parD8 et p
(voir
leparagraphe
2.4),
onpeut
déduire directement ce corollaire du corollaire 4
(qui
donne l’invariance parD8 )
et du théorème 3(qui
donne l’invariance parV).
La démonstrationqui
suit fait le lien avec les
automorphismes
deS23
xU3.
Démonstration du corollaire 6 : Le théorème 4 montre que la
quantité
sui-vante est invariante sous l’action de $ :
En utilisant la
relation hl
+ ...+ s’
=4a6
et lechangement
de variablesdonné
par ti
= uti
pour tout i E{1, ... , 8}
on obtient :En divisant par la
quantité
qui
est elleaussi invariante par
(b,
on conclut la démonstration du corollaire.Démonstration du théorème 4 :
Pour 1
ED8,
notonsfy
l’automorphisme
donné par l’action
diagonale
de-y"1
ED8
surQ3
xU3.
Pour p, ondéfi-nit
(Xl, ... ,
X4, Ti, ... ,
T8) _
~4~1....
ts)
par les formulesOn en déduit :
Alors
lep (respectivement
chacun desfy
pour y ED8)
est unautomorphisme
de
Q3
xU3
qui
fixe ausigne
près
la forme différentiellew3 A rh,
etagit
sur lesfonctions Zl z5,
~-,...,
Z6 comme-1
(resp.
qu’on
a =cp-1
z;(resp.
=-y-1 -
pour tout i E
~1, ... ,
6 }
Notons H le grouped’automorphismes engendré
parf ~
et lesChaque
élémentf
deH
agit
sur les fonctions zl, .. · , z5,i , ... ,
z6 comme ununique
élémentde
O,
Cela termine la preuve du théorème 4.QUESTION : L’homomorphisme
1r ainsi construit est-ilinjectif?
2.4. Lien avec la
présentation
de Rhin-Viola.Dans ce
paragraphe,
on considère alternativement al, ... , as(ainsi
queleurs combinaisons
linéaires)
comme des formes linéaires surRfi
ou comme des nombres réels. Dans ce deuxième cas, on suppose que les seize réelsh,j,k,l,m,q,r,s,h +1- j,j
’m-,-E-q-l,l
r, r + j - s, s + k - h
sont des entierspositifs.
Toutes les actions considéréessont des actions à
gauche.
Notons (P le groupe formé par les
permutations
paires 1
de l’ensembleà dix éléments
(al, ... ,
a5, -al, ... ,-a5)
qui
vérifient 1.
· (-as) _
-1. cipour tout i
E ~ 1, ... , 5} .
Tout tel élément induit unepermutation 1*
del’ensemble formé par les
cinq
paires {o!i, - a 1 } , ... , a5 , - a5 } .
On définit ainsi unmorphisme
de groupessurjectif
de $ dans65,
dont lenoyau K
est
isomorphe
àl’hyperplan
d’équation
el + - - + es = 0 dans(Z/2Z)~ :
leséléments de K envoient
chaque
ai sur E{0,1}
sontde somme
paire.
On a une section de
65
dans1>,
qui permet
d’identifier $ auproduit
semi-direct K x
C~5
relatif à l’action naturelle de65
sur K. Tout élément1 OE O
agit
sur(al, ... ,
a5, -al, ... ,-a5)
par unepermutation
des indices1, 2, 3, 4, 5,
composée
avec unchangement
designe
sur un nombrepair
d’in-dices i E
{!,...,5}.
Cette action
induit,
parlinéarité,
une actionde (1
sur l’ensemble des sommes de la forme +... + e5et5 avec el, - - ., E5E {-l, 1}.
Sous cetteaction,
l’ensembleAi
sedécompose
en deuxorbites,
chacune de cardinal16 ;
où le
produit
des
vaut 1. Cette ~-orbite se scinde en deuxD8-orbites2
A3
et chacune de cardinal 8.
Pour décrire ces
D8-orbites,
on remarquequ’un
élément Eiai + - ~ ~ + E5a5de
.~4.2
est déterminé de manièreunique
par ~1, ... , ~4,qui
sontquelconques
Un élément de
,~1.2
peut
donc être vu comme une sommede 4
parmi
les 8 termes al, a2, a3, a4, -al, -a2, -a3, -a4, de telle sorteque pour
chaque
indice i l’un exactementparmi
ai et -ai fassepartie
des4 termes retenus. Cette
interprétation
estcompatible
avec l’action deD8
surl’octogone
régulier
dont les sommets sont les huit termes ci-dessus. Les éléments de.~3 correspondent
alors aux choix de 4 sommets consécutifs decet
octogone.
Les huit éléments de
,l13, quand
on leurajoute
a6 etqu’on
les divisepar 2
(ce
qui
nechange
rien à l’action de~, qui
laisse a6invariant),
sont exactement les huit nombres définis ci-dessus. L’action deD8
induite surh, ... , s
est celle danslaquelle
la rotation d’un huitième detour envoie h
sur j, j
surk,
et ainsi de suite.Quant
aux huit éléments deA4,
ilscorrespondent
aux "entiers auxiliaires"h’,
j’, lc’, l’, m’ , q’, r’,
s’(voir
leparagraphe
2.1).
A
l’inverse,
onpeut
retrouver les a~ àpartir
de61
=h, ... , #8
= spar
les formules suivantes
(où
on pose(3g
=PIO
=f32
et ainsi desuite) :
L’action sur al, ... , -al, ... , -a5
correspond
auplongement
de4D dans
fltio
donné dans[9]
(quatrième partie),
puisque
l’action sur a6 esttriviale et
