fonction en (a, b, ç) définie par

’

- -.- -

est bornée sur

[0,

Démonstmtion : Ce résultat est vrai _{pour n}= 1. Soit n > 2 tel

que le

lemme soit vrai

_{pour n -1.}

_peut

supposer

cn

> 2. On a

ôn (x)

On en déduit :

_{posant :}

On a alors _pourtout

~ {1,..., n- 11 :

_par

récurrence, ~n_ 1 (a’, b’, ç~ )

est donc bornée. Comme on a

b, ç)

~n-1 (~’ ~ b’ ~ d),

cela termine la dé-

monstration du lemme.

Lemme 3. Pour tout

_{entier p > 0,}_{l’intégrale}

est

_convergente.

Dérraonstratzora : On

_procède

par récurrence sur n ; le cas n = 1 est clair.

Supposons

le résultat vrai

_{jusqu’à n -}_1,

avec n > 2. Alors il suffit de mon-

trer

_ue

_converge,car Car là ià °Ù n - est est

_prochep

dede 0 les _pour

_{k fl n}

mod

_2,

_{sont minorés par}une constante strictement

positive.

_découpe

le domaine

_{d’intégration}

en deux. Là où 1 -

on écrit

_{(1 - xn)}

_{znzn-iôn-2(x)}

termes de la forme

_{(-IOg(Xn-l))P2( -log(xn))P3.}

Comme

_problème

_{de convergence}se _pose

_{quand xn}

est

_proche

_1,

_peut

_suppo-

ser _que est

_majoré

_parune

_{constante ;}

on en déduit immédiate-

ment le résultat. Dans le reste de

_{l’hypercube,}

on a

1-xn

> et

on écrit

n (x) >

n - -

_1-xn.

n Cette

_fois,

majore

_fol

1-z. n

par

(-

et on conclut de manière

_analogue.

4.2. Définition des transformations.

Notons _{QL et}

_1#L

les

_{automorphismes}

Z3n-1

définis comme suit : _OIL

échange

c~l et

b2,

ainsi que a2 et

bl,

et fixe les autres coordonnées.

_Quant

G,

elle est donnée par les formules suivantes :

Proposition

14. Pour tout

_triplent_{(a, b, c)}

E on a :

Démonstration : On utilise les mêmes

_changements

de variables _quedans les _preuvesdes

_propositions

10 et 11.

Proposition

15. Notons _XL

_{l’automorphisme}

z3n-l _défini

par :

Alors on _{a, pour tout}

(i, b, c)

_{qui vérifie}

les conditions de conver-

Démonstration : Cela

_provient

de la formule

en raisonnant comme dans la _preuvede la

_proposition

12.

N.B. En se

_restreignant

aux

(a, b, ç)

tels _que_c2= ... = _cn-1=

0,

on voit

que XL

agit

sur les

_intégrales_{I (cx,}_b,_c)

de la

_partie

3. En fait _xL

_appartient

au _groupeG défini au

_paragraphe

3.3.

_{Quand n > 4, l’hypothèse bn -}

qui apparaît

dans la définition de E fait que le

quotient

de factorielles se

simplifie,

et _xL

_agit

sure comme le

changement

de variables

eue.

4.3. Action et structure _{du groupe.}

Dans ce

paragraphe,

_{suppose n >}

3. Notons

GL

le groupe

engendré

par et ’ICL. Il

agit

sur l’ensemble à huit éléments

_{an,_bn,

_cn,an +

bn -

cn, ai,

b2,

ai +

_{bl -}

a2,

a2 + b2 -

comme

indiqué

sur le

diagramme

suivant,

où est la

_symétrie

_par

_rapport

à la droite verticale :

On a deux carrés :

_{+ bn -}_Cyj

et +

_{bl -}

~2, a2 +

b2 -

On a alors un

homomorphisme surjectif

GL

dans

Z/2Z, qui

tout 9

GL

associe 0

_{si 9}

fixe

_globalement

chacun des deux

_carrés,

et 1

si g

les

_échange.

Le _noyaude cet

_{homomorphisme}

est

_isomorphe

à V

_{x V,}

où V =

Z/2Z

_estle groupe de Klein

(engendré

_parles

symétries

par

rapport

aux médiatrices d’un

carré). _L’image

GL

dans

_C.~8

est donc d’ordre

_32,_isomorphe

_(V

_V)

_Z/2Z.

Or l’action de

_GL

sur cet ensemble

à huit éléments est

_{fidèle ;}

donc

_GL

est d’ordre 32.

_peut

résumer les constructions de ce

paragraphe

dans l’énoncé sui-

vant :

Théorème 8. La

_famille_{L(a, b, ç),}_paramétrée

par

(1, h, p)

z3n-l,

admet

un _groupede .Rhin- Viola d’ordre

9~, isomorphe

(V

_{V )}

_Z/2Z,_qui

est

engendré

par

changements

de variables UL et une

transformation

5. Des

_intégrales_adaptées

développement

en série entière

Les

_intégrales

considérées dans cette

_partie

font

_apparaître

au dénomi-

nateur des facteurs _{1 - yi... yk,}et non des C’est

_pourquoi

il est

_plus

naturel de les

_développer

en séries

_multiples.

On montre

_qu’elles

admettent

un _groupede Rhin-Viola

_isomorphe

à celui du

_paragraphe

4.3. En

_outre,

_paragraphe

5.5 on exhibe un

changement

de variables

qui

relie ces in-

tégrales

à celles considérées dans la

_partie

_(et

même à une famille

_plus

générale,

définie au

paragraphe 5.5).

Comme

application,

on transforme les

intégrales

considérées par

Beukers,

Vasilenko et

Vasilyev

_intégrales_qui

développent

naturellement en séries.

Dans cette

_partie

comme dans le reste du

_texte,

on _{suppose que}les ex-

posants

sont

_entiers,

même si les résultats se

_{généralisent.}

5.1. Définition.

À

tout

_point

_y=

(yl, ... , yn)

[0, l]n,

et à tout entier k _E

~0, ... ,

_on

associe le réel =

!/iï/2 - " yk. De

plus,

on _{pose par}convention _yn+1= 0

_{an+l (y) = 0, _}

Soient7A =

_{(A1, ... , An),}

B =

_{(B1, ... , Bn)}

et C =

_{(C2, ... , Cn)}

trois familles d’entiers relatifs.

On note Ci la n-forme différentielle sur

[0, 1]

définie _{par :}

On considère les

_intégrales_{suivantes, qui}

sont

_positives

et éventuellement infiwes :

5.2.

_Convergence.

Dans ce

_paragraphe,

on autorise l’entier n à valoir 1. La condition néces-

saire et _{suffisante de convergence de}

_{l’intégrale}_K(A,_B,_C),

dans

_laquelle

on _{suppose que}les

_exposants

sont

entiers,

est

donnée3

_parla

proposition

Proposition

16.

_{L’intégrale}_K(A,_B,_C)

est

_convergente_si,

et seulement

si, les Ak

_{les Bk}

sont tous

_positifs

nuls,

_qu’on

a :

Démonstration : La convergence de

l’intégrale

résulte des deux lemmes ci- dessous. Montrons la

_réciproque,

_supposant

_queles

Ak

et les

Bk

sont tous

positifs

nuls,

_qu’il

existe _ptel _que

_{~~‘2 Ck >}

1 +

_Bj-

Soit E > 0

assez

_petit._{Restreignons-nous}

au domaine défini par les

_inégalités

1- 2E

Yp ...

y2 YI et t/p+i,..., yn

3 ~ .

Sur ce

domaine,

on a c

pour tout 1~ E

_{2,..._p~,

donc

est _{minoré par} à une constante

multiplicative _près(qui

est

indépendantes

_e)._{L’intégrale}

sur ce domaine est donc _{minorée par}un

multiple

constant de

_qui

ne tend _pasvers 0 avec g.

Ceci démontre que

l’intégra,le K(A, B, C) diverge.

Lemme 4.

_Supposons

_queles

_Ak

et les

_Bk

sont tous

_positifs

nuls,

qu’on

¿t=2

~~-1 _Bj

_{pour tout p}E

_{2,

... ,

nl.

Notons

B, C)

la ,

_fonctions

dont

_K(A,_B,_C)

est

_{l’intégrale}

contre w :

Alors

_B,_C)

est une ,

fonctions

bornée sur

~0,1Jn .

Démonstratzon :

_Quitte

_{remplacer chaque Ck}

_par

_{Ck - Bk,}

_pourJ~ E

{2,..., n},

_peut

_supposer

_BZ

= - - - =

Bn

= 0

(puisque

sur

[0@ lln).

_même,

remplaçant C2

_par

CZ - Bi,

on se ramène à

Dans le document Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples (Page 45-49)

[0,

pour n -1.

peut

cn

ôn (x)

posant :

~ {1,..., n- 11 :

récurrence, ~n_ 1 (a’, b’, ç~ )

b, ç)

~n-1 (~’ ~ b’ ~ d),

entier p &#x3E; 0, l’intégrale

convergente.

procède

Supposons

jusqu’à n - 1,

ue

proche p

k fl n

2,

positive.

découpe

d’intégration

(1 - xn)

znzn-iôn-2(x)

(-IOg(Xn-l))P2( -log(xn))P3.

problème

quand xn

proche

1,

peut

majoré

constante ;

l’hypercube,

1-xn

n (x) &#x3E;

1-xn.

fois,

majore

(-

analogue.

1#L

automorphismes

Z3n-1

échange

b2,

bl,

Quant

G,

Proposition

triplent (a, b, c)

changements

propositions

Proposition

l’automorphisme

z3n-l défini

(i, b, c)

qui vérifie

provient

proposition

restreignant

(a, b, ç)

0,

agit

intégrales I (cx, b, c)

partie

appartient

paragraphe

Quand n &#x3E; 4, l’hypothèse bn -

qui apparaît

quotient

simplifie,

agit

changement

eue.

paragraphe,

suppose n &#x3E;

GL

engendré

agit

_{pour n -1.}

_peut

_{posant :}

_{entier p > 0,}_{l’intégrale}

_convergente.

_procède

_{jusqu’à n -}_1,

_ue

_prochep

_{k fl n}

_2,

_découpe

_{d’intégration}

_{(1 - xn)}

_{znzn-iôn-2(x)}

_{(-IOg(Xn-l))P2( -log(xn))P3.}

_problème

_{quand xn}

_proche

_1,

_peut

_majoré

_{constante ;}

_{l’hypercube,}

n (x) >

_1-xn.

_fois,

_analogue.

_1#L

_{automorphismes}

_Quant

_triplent_{(a, b, c)}

_changements

_propositions

_{l’automorphisme}

z3n-l _défini

_{qui vérifie}

_provient

_proposition

_restreignant

_intégrales_{I (cx,}_b,_c)

_partie

_appartient

_paragraphe

_{Quand n > 4, l’hypothèse bn -}

_agit

_{suppose n >}

_{an,_bn,

_{bl -}

_symétrie

_rapport

_{+ bn -}_Cyj

_{bl -}

_{si 9}

_globalement

_carrés,

_échange.

_{homomorphisme}

_isomorphe

_{x V,}

carré). _L’image

_C.~8

_32,_isomorphe

_(V

_V)

_Z/2Z.

_GL

_{fidèle ;}

_GL

_peut

_famille_{L(a, b, ç),}_paramétrée

_{V )}

_Z/2Z,_qui

_intégrales_adaptées

_intégrales

_partie

_apparaître

_pourquoi

_plus

_développer