6 - ENSEMBLES, APPLICATIONS ET RELATIONS D’ ´ EQUIVALENCE

Feuille d’exercices n

6 - ENSEMBLES, APPLICATIONS ET RELATIONS D’ ´ EQUIVALENCE

ENSEMBLES Exercice 99. ( )

Soit E t a, b, c u un ensemble. Peut-on ´ ecrire :

a) a P E b) a € E c) t a u € E d) H P E e) H € E f) tHu € E ? Exercice 100. ( )

On peut souvent noter un ensemble de deux fa¸ cons diff´ erentes : En compr´ ehension : A t 2k P N | 1 ¤ k ¤ 5 u .

Par extension : A t 2, 4, 6, 8, 10 u .

1. D´ efinir les ensembles suivant en compr´ ehension :

B t 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 u et C t 1, 2, 7, 14 u 2. D´ efinir les ensembles suivants par extension :

D t x P R | x p x 5 q 14 u et E t x P N | x p 2x 3 q 14 u Exercice 101. ( )

Soit E un ensemble et soit p A, B q P P p E q

. Montrer que A Y B A X B ô A B Exercice 102. ( )

Soient A et B deux parties de E, on appelle diff´ erence sym´ etrique de A et B, l’ensemble A∆B p A z B q Y p B z A q . Montrer :

A∆B pA Y BqzpA X B q Exercice 103. ( )

Soit p A, B q P P p E q

. Montrer que

P pA X Bq P pAq X P pBq

APPLICATIONS Exercice 104. ( )

Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer les ensembles propos´ es : 1. f cos

a) f pRq b) f

pRq c) f ps 0, 2π rq

d) f

pt 1 uq e) f

ps 1, 2 rq f) f

p f pr 0, 2π sqq 2. g : x ÞÑ 1

| x |

a) gps 2, 0rYs0, 1rq b) f

ps 1, 1rq c) g

ps 8, 0rq d) gpZ

q

Exercice 105. ( ` a )

Pour chacune des fonctions suivantes, ´ etudier l’injectivit´ e, la surjectivit´ e et la bijectivit´ e.

D´ eterminer, si c’est possible, la bijection r´ eciproque.

a) f : R Ñ R x ÞÑ ?

x

1 b) g : R Ñ R

x ÞÑ x

c) h : C Ñ C

z ÞÑ z

d) u : C

Ñ C

z ÞÑ z

e) v : R

Ñ R

p x, y q ÞÑ p 2x 3y 1, x y 2 q Exercice 106. ( )

On consid` ere les applications :

f : N Ñ N

n ÞÑ 2n et

g : N Ñ N n ÞÑ

"

2

si n est pair

n 1

2

si n est impair 1. f et g sont-elles injectives ? surjectives ?

2. D´ eterminer g f et f g.

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

Feuille d’exercices n

6 - ENSEMBLES, APPLICATIONS ET RELATIONS D’ ´ EQUIVALENCE

Exercice 107. ()

Soit f P F p E, F q et soit g P F p F, G q . Montrer que :

1. Si g f est injective de E dans G alors f est injective de E dans F . 2. Si g f est surjective de E dans G alors g est surjective de F dans G.

Exercice 108. ()

Soit E un ensemble. On d´ efinit une relation sur P p E q par

@p A, B q P P p E q

, A∆B p A X B q Y p B X A q

Montrer que 1

1

1

21

1

. Exercice 109. ( )

Pour z i, on pose f p z q z i

z i . On d´ efinit deux ensembles D t z P Cz| z |   1 u

P t z P Cz Re p z q   0 u 1. Montrer que fpDq € P .

2. Montrer que f est une bijection de D dans P .

RELATIONS D’´ EQUIVALENCE Exercice 110. ( ` a )

Les relations suivantes sont-elles des relations d’´ equivalence ? Si oui donner leur classe d’´ equivalence.

a) @p x, y q P R

, xR

y ô cos

p x q sin

p y q 1.

b) @p X, Y q P P p E q

, X R

Y ô X Y A Y Y A.

c) @px, yq P R

, xR

y ô xe

ye

. d) @p z, z

q P C

, zR

z

ô | z | | z

| .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI - 2019-2020