Chapitre 10 : Fonctions linéaires, applications
I Vocabulaire
Une grandeur A est proportionnelle à une grandeur B si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple : le prix de l'essence et le volume , coefficient de proportionnalité = prix au litre.
Une fonction linéaire est une fonction dont les …... sont proportionnelles aux …...
Exemple : Si un litre d'essence coûte 1,5€ alors on peut exprimer le prix de l'essence en fonction du volume x : f (x) = …... .
Si le coefficient de proportionnalité est a , l'image de x est …... On aura alors f (x) =...
II Calculs
1) Image
Avec f ( x) = 2 x alors f ( 0 ) = ….... =...; f ( 1 ) = …... = ... ; f (5) = …... = …...
A connaître par cœur : avec f une fonction linéaire de coefficient a:
f ( 0 ) = …. f ( 1 ) = …... f ( x ) = …....
2) Antécédents
Méthode : pour déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre k par une fonction linéaire, il suffit de résoudre l'... f (x)=k . Si f ( x ) = a x , il suffit résoudre l'équation ….... =
…... .
Exemple : déterminer les antécédents de 15 par la fonction f définie ci dessus par f( x ) = 2 x.
Il suffit de résoudre l'équation f ( x ) = 15 soit ….. = 15 donc x = ....
.... = 7,5
Il y a donc une seule solution à l'équation, soit un seul antécédent à 15 : le nombre 7,5.
Remarque : pour les fonctions linéaires, il y aura toujours ... antécédent.
III Représentation graphique
1) Représenter une fonction Exemple : f ( x ) = 2 x.
La droite passe par les points O(0;0) et B(1;2).
Cas général : f x=ax.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite.
Elle passe par l'origine du repère O (0;0) et par le point de coordonnées ( 1 ; a)
a est appelé coefficient directeur de la droite.
Lorsque l'on avance de 1, on « monte » de a ( si a est négatif, on « descend » )
On avancera toujours (vers la droite).
Exemple : tracer la fonction f définie par f (x) = - 0,5 x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) ×...
2) Propriété
découverte ( ne pas écrire)
Propriété n°1 des fonctions linéaires f : f ( …. x ) = … f ( x ) Exemple:
● Soit f ( 3) = 7 , calculons f (6) k = ….... et x = …...
f ( 6 ) = f ( ….... × …... ) = ….. × f(...) = …...× ….. = …....
● Cas plus complexe : f (x) = 2
3 x ( ou 2x 3 ).
f ( 3 ) = 2
3 × ….= ...
si j'avance de 3 , je monte de 2 :
à partir de l'origine ou de n'importe quel point de la droite
f (x) = m
n x donc a = ..
..
Graphiquement : si 'j'avance' de n , je 'monte' de m.
IV Compléments
Propriété n°2 des fonctions linéaires f : f ( xA + xB ) = f ( xA ) + f ( xB ) Exemples:
Sachant que f ( 3 ) = 6
5 et f ( 10) = 20
5 sans déterminer le coefficient de la fonction f , déterminer f ( 13 ).
f ( 13 ) = f ( 10 + 3 ) = f ( 10) + f ( 3 ) = 20 5 + 6
5 = 26 5
x -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x) -4 0 4 8 12 16 20 24
× …..
× ….
+
C'est l'interprétation de la proportionnalité des antécédents et des images.
