Séquence 3 : Utilisation de la proportionnalité.
Grandeur quotient et grandeur produit
Plan de la séquence :
I- Proportionnalité.
1- Définition (Rappels) 2- Propriétés
3- La quatrième proportionnelle et produit en croix
4- Représentation graphique
II- Applications 1- Les pourcentages
2- Les échelles
III- Grandeur quotient et grandeur produit
1- Utilisation de ces grandeurs.
2- Utilisation de leur représentation graphique
Séquence 3 : Utilisation de la proportionnalité.
Activité1 P122
I- Proportionnalité.
1- Définition : Rappels
Un tableau traduit une situation de proportionnalité lorsqu’on passe d’une ligne à l’autre en multipliant (ou en divisant) par le même nombre.
Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité et on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles.
Activité2 distribuée
2- Propriétés : Rappels
Dans un tableau de proportionnalité, lorsqu’on connait trois nombres il est toujours possible de calculer le quatrième.
On peut calculer la quatrième proportionnelle avec plusieurs méthodes :
La méthode multiplicative, additive et la méthode du coefficient de proportionnalité.
Faire les exercices : 1P125 ; 21, 26, P128
Activité2 P122
3- La quatrième proportionnelle et produit en croix :
Dans un tableau de proportionnalité, on peut également utiliser la propriété des produits en croix égaux pour calculer la quatrième proportionnelle.
Propriété :
Soient a, b, c et d des nombres relatifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0 Si 𝑎
𝑏= 𝑐
𝑑 alors a × d = b × c Si a × d = b × c alors 𝑎
𝑏= 𝑐
𝑑
Propriété :
* Dans un tableau de proprotionnalité, il y a égalité des produits en croix
* Et réciproquement si tous les produits en croix d’un tableau sont égaux, alors il séagit d’un tableau de proportionnalité .
Exemple :
Faire les exercices : 5, 6, 7, 8 P125 ; 36 P129
4- Représentation graphique : Propriété :
* Toute situation de proportionnalité est représentée dans un repère par des points alignés avec l’origine.
* Et réciproquement, toute situation représentée dans un repère par des points alignés avec l’origine alors c’est une situation de proportionnalité.
Exemple :
Myriade : Etudier le savoir-faire P140. Questions flash : 19, 20 P140 Les exercices : 21, 24, 25 P141 et 64 P 146
Sur le manuel : 3, 4 P 125 puis étudier le savoir-faire P126 et faire 14P 126 et 28 P128 Exercice 10 P 223 Indigo
II- Applications :
1- Les pourcentages :
Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité de dénominateur 100.
Soit P un nombre donné, pour calculer P% d’un nombre, on multiplie ce nombre par 𝑃
100
Exemple :
Myriade : Etudier le savoir-faire P138. Questions flash : 4 à 8 P138 Les exercices : 9, 10, 11, 17 P139 et 62 P 146
DM : exercices 12, 13 P139 et 22 P141
Sur le manuel : 9, 10, 11P125 étudier le savoir-faire P127 faire 16, 18, 17 P127
2- Les échelles : Question flash 5 P218.
Sur un plan à l’échelle, les longueurs du plan sont proportionnelles aux longueurs réelles.
L’échelle du plan est le quotient d’une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante.
Remarque :
* Les longueurs doivent absolument être exprimées dans la même unité.
* Lorsque l’échelle est inférieure à 1, on parle d’échelle de réduction et lorsqu’elle est supérieure à 1, on parle d’échelle d’agrandissement.
Activité Myriade distribuée.
Faire les exercices 27, 31, P142 Myriade
III- Grandeur quotient et grandeur produit
1- Utiliser ces grandeurs
Faire les questions flash P252 indigo
Exemple :
Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 120 km/h.
3-
Traduction : A vitesse constante, il parcourt 120 km durant 1 heure.
Compléter alors le tableau :
Distance 240 600 60 30 180 2 270
Temps 2h 5h ½ h ¼ h 1h 1/2 1min 2h 1/4
Remarque : km/h se note également km.h-1
Distance (en km) Vitesse moyenne (en km/h) =
Temps (en h)
On note de façon abrégé :
𝑉 =
𝑑𝑡
Exemple 1 : Calcul d’une vitesse moyenne
Un automobiliste parcourt à vitesse constante un trajet de 246 km en 3 heures. Calculer sa vitesse moyenne en km/h
On sait que le véhicule s’est déplacé à vitesse constante, donc la distance parcourue est proportionnelle à la durée mise pour l’effectuer. Ainsi
𝑉(𝑘𝑚
ℎ )= 𝑑(𝑘𝑚) 𝑡(ℎ)
Sachant que d = 246 km et t = 3h on a : 𝑉 (𝑘𝑚
ℎ )= 246 𝑘𝑚
3ℎ =82 𝑘𝑚/ℎ
Donc la vitesse moyenne de l’automobiliste est de 82 km/h, ce qui signifie qu’il parcourt 82 km chaque heure
Conséquence :
Si
𝑉 =
𝑑𝑡 alors on peut écrire : d = V × t et
𝑡 =
𝑑𝑉
* Quand on effectue le quotient de deux grandeurs, on obtient une grandeur quotient.
* Quand on effectue le produit de deux grandeurs, on obtient une grandeur produit.
Il existe plusieurs grandeurs quotients et grandeurs produits : L’aire est une grandeur produit, c’est le produit de deux longueurs
Exemple 2 : Calcul d’une distance
Un vélo effectue un trajet de 2 heures et demi avec la vitesse moyenne de 23 km/h.
Quelle distance parcourt-il ? d = V × t
V= 23 km/h et t = 2 heures et demi = 2,5 h d = 23 × 2,5 𝑘𝑚
ℎ × ℎ d = 57,5 km
Exemple 2 : Calcul d’une durée
Combien faut-il de temps à un véhicule roulant à une vitesse constante 50 km/h pour parcourir 10 km ?
On a
𝑡 =
𝑑𝑉
d = 10 km V= 50 km/h 𝑡 =10
50× 𝑘𝑚
𝑘𝑚 × ℎ−1 = 0,2 ℎ = 12 𝑚𝑖𝑛 Sachant que
Exemple 2 : Conversion d’unité de vitesse
Etudier le savoir-faire P275
Faire les exercices 6, 7 P274 13, 14, 15, 16 P275 du manuel.
2- Utiliser la représentation graphique de ces grandeurs.
Faire l’activité 3 P256 indigo
Etudier le savoir-faire P255 indigo puis faire ex 14 P256 Faire 74 P148 Myriade
1h 60 min
0,2 h t= 0,2×60 =12 min
