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G ÉOMÉTRIE VECTORIELLE
G ÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Rien n'est plus facile à apprendre que la géométrie pour peu qu'on en ait besoin.
Sacha Guitry
1 V
ECTEURS DE L’
ESPACE 1.1 Notion de vecteursSoient AetB deux points distincts de l'espace.
Le vecteur −−→
AB de l'espace est déni par : une direction, celle de la droite(AB), un sens, celui deA versB,
une norme, la longueurAB. On note
−−→ AB
=AB. Le vecteur −→
AAest appelé le vecteur nul et on note−→
AA=−→ 0.
A
B Dénition 1 (Vecteur).
Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
On note alors −−→
AB = −−→
CD = −→u et on dit que −−→ AB et
−−→CD sont deux représentants du vecteur−→u.
−
→u
A
B
C
D Propriété 2.
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
Les propriétés vues pour les vecteurs dans le plan (addition, multiplication par un réel, relation de Chasles...) restent valables pour les vecteurs de l'espace.
Propriété 3.
1.2 Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls, −→u et −→v sont colinéaires lorsqu'il existe un réelttel que −→u =t−→v.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
−
→u
−
→v Dénition 4 (Vecteurs colinéaires).
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.
Si−→u =t−→v avec t >0 alors les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires de même sens.
Si−→u =t−→v avec t <0 alors les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires de sens contraire.
Exercice 1
On considère un cube ABCDEF GH. Les points marqués sur les arêtes du cube sont les milieux de celles-ci. O est le centre de la face ABCD.
Compléter les égalités suivantes avec les points de la gure.
1. −−−→
D . . .= 1 2
−−→DC+−→
AE−−−→ AD
2. −−→
A . . .= 1 2
−−→ AD+−−→
AB+−→
AE
3. −−−→
K . . .=−−→ GF −1
2
−−→DC+−−→
BN
4. −−−→ B . . .=−−→
AD− 1 2
−−→ AB+−−→
CG
5. −−−→
. . . H = 1 2
−−→CD+−→
AE+1 2
−−→ BC
6. −−−→
. . . B= 2−→
LO+ 1 2
−−→HE−−→
AE
Exercice 2
On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I, J, K et L les points dénis respectivement par :
−→ AI = 2
3
−−→
AB ; −→
BJ = 1 3
−−→
BC ; −−→
CK= 2 3
−−→CD ; −→
DL= 1 3
−−→ DA
1. PlacerI,J,K etLsur la gure ci-contre.
2. a. Exprimer−→
IJ et−−→
KLen fonction de −→
AC.
b. En déduire que les pointsI,J,K etLsont coplanaires.
3. Démontrer que la droite(BD) est parallèle au plan(IJ KL).
Exercice 3
Soient le cube ABCDEF GH etJ le centre de la faceDCGH. Soient P etQdénis par −−→
EP = 1 3
−−→EH et−→
AQ= 1 3
−→AC. Soient I etK les milieux respectifs de[AE]et de [P Q].
1. Compléter la gure ci-contre.
2. Exprimer−→
IJ puis−→
IK en fonction des vecteurs−−→ AB,−−→
AD et−→
AE. 3. En déduire que les pointsI,J etK sont alignés.
2 C
ARACTÉRISATION D’
UN PLAN- V
ECTEURS COPLANAIRES 2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéairesSoientA un point,−→u et−→v deux vecteurs non colinéaires.
L'ensemble des points M de l'espace tels que
−−→AM = x−→u +y−→v avec x ∈ R et y ∈ R est le plan passant par A et de vecteurs directeurs
−
→u et−→v. Théorème 5.
On dit que −−→
AM est une combinaison linéaire de−→u et−→v. Le triplet (A;−→u ,−→v) est un repère de ce plan.
Un plan est totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.
SoitP le plan passant parAet de vecteur directeur−→u et−→v. (A;−→u ,−→v)est donc un repère deP.
SiM est un point du planP alors il a des coordonnées dans le repère(A;−→u ,−→v). NotonsM(x;y).
Par dénition des coordonnées deM, on a alors−−→
AM=x−→u +y−→v. Réciproquement, soitM est un point de l'espace tel que−−→
AM=x−→u +y−→v.
Soit le pointN du planPde coordonnées(x;y)dans le repère(A;−→u ,−→v). Par dénition des coordonnées, on a−−→
AN =x−→u +y−→v. D'où−−→
AM=−−→
AN.
Il s'en suit queM=N et donc queM appartient au planP. Preuve
SoientAetA0 deux points de l'espace et soient
−
→u et−→v deux vecteurs non colinéaires.
Le plan P passant parA et de vecteurs direc- teurs −→u et−→v et le plan P0 passant par A0 et de vecteurs directeurs−→u et−→v sont parallèles.
Propriété 6.
Indication : Soientd1 la droite passant parA et de vecteur directeur−→u,d2 la droite passant parAet de vecteur directeur−→v,d01la droite passant parA0et de vecteur directeur−→u etd02la droite passant parA0et de vecteur directeur−→v.
Utiliser un théorème du cours Droites et plans de l'espace . Preuve
Exercice 4
On considère un tétraèdre ABCD et les pointsE etF dénis par :
−−→ BE =−−→
BA+−−→ BC+1
2
−−→CD et −−→
DF =−−→
DB+−−→ DA+ 1
2
−−→ BC
1. Démontrer que les points A,E etF ne sont pas alignés.
2. a. i. Exprimer−→
AE comme combinaison linéaire des vecteurs−−→
BC et−−→
CD. ii. En déduire que−→
AE est un vecteur directeur du plan(BCD). b. Prouver de la même manière que−→
AF est aussi un vecteur directeur du plan(BCD). c. Démontrer que les plans(BCD) et(AEF) sont parallèles.
Si deux plans ne sont pas dénis à partir du même couple de vecteurs directeurs, on ne peut pas en déduire qu'ils ne sont pas parallèles.
Exercice 5 Démonstration du théorème du toit
Soient deux droitesdetd0 parallèles. SoientP un plan contenant d et P0 un plan contenant d0. SiP etP0 sont sécants en∆alors la droite
∆est parallèle àdet à d0. Théorème (du toit).
1. Justier que sidetd0sont confondues alorsd=d0= ∆. 2. On suppose quedetd0 ne sont pas confondues.
SoitAun point dedet−→u un vecteur directeur ded.
Soit−→v un vecteur directeur de∆.
a. En supposant que les vecteurs−→u et−→v ne sont pas colinéaires, justier quePest le plan passant parAet de vecteurs directeurs−→u et−→v.
b. En déduire queP etP0 sont parallèles.
c. En conclure que−→u et−→v sont colinéaires.
d. Terminer la démonstration.
Preuve
2.2 Vecteurs coplanaires
Dire que trois vecteurs−→u,−→v et−→w sont copla- naires signie que pour un pointOquelconque de l'espace, les points O, A, B et C tels que
−→OA=−→u,−−→
OB =−→v et−−→
OC =−→w sont dans un même plan.
Dénition 7 (Vecteurs coplanaires).
Trois vecteurs−→u,−→v et−→w sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
Exercice 6
On considère un cube ABCDEF GH.
Questions Réponses
1. Les vecteurs −−→ AB,−−→
AD et−→
AE sont-ils coplanaires ?
V
F
2. Les vecteurs −−→ AB,−−→
AD et−→
AC sont-ils coplanaires ?
V
F
3. Les vecteurs −−→ AB,−−→
AD et−−→
F H sont-ils coplanaires ?
V
F
4. Les vecteurs −−→
F D,−→
AG et−−→
EH sont-ils coplanaires ?
V
F
Soient −→u,−→v et−→w trois vecteurs tels que −→u et−→v ne sont pas colinéaires.
−
→u,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réels aetbtels que :
−
→w =a−→u +b−→v Théorème 8.
SoitOun point quelconque de l'espace.
SoientA,B etC les points dénis par−→
OA=−→u,−−→
OB=−→v et−−→ OC=−→w.
D'après la dénition7,−→u,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement siO,A,B etCsont coplanaires ce qui revient àC appartient au plan(OAB).
D'après le théorème 5, C appartient à (OAB) si et seulement si il existe deux réels a et b tels que :
−−→ OC=a−→
OA+b−−→
OB c'est-à-dire−→w =a−→u +b−→v. Preuve
Si −→u, −→v et −→w sont coplanaires alors on dit que (−→u ;−→v ;−→w) est une famille de vecteurs liés ou dépendants. Sinon on dit que la famille de vecteurs est libre.
Exercice 7
Soit ABCDEF GH un cube. I etJ sont les milieux respectifs de [EB]et[F G].
1. Démontrer que 2−→ IJ =−−→
EF +−−→ BG. 2. Que peut-on en déduire ?
Exercice 8
ABCD un tétraèdre. Les pointsP,Q,R etS sont dénis par :
−→AP = 2 5
−−→
AB ; −−→
BQ=−3−−→
BC ; −→
CR= 5 3
−−→CD ; −→
DS = 4 9
−−→ DA
1. Exprimer−−→ P Q,−→
P R et−→
P S en fonction de−−→ AB,−→
AC et−−→ AD. 2. Prouver que−−→
P Q,−→
P R et−→
P S sont coplanaires.
3 R
EPÉRAGE DANS L’
ESPACE3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base
Soient −→ i, −→
j et −→
k trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur −→u, il existe un unique triplet (x;y;z) de réels tel que :
−
→u =x−→ i +y−→
j +z−→ k Théorème 9 (Caractérisation).
Pour l'existence : Soit−→
ABun représentant de−→u. SoitP le plan de repère A;−→
i ,−→ j
. SiB appartient àP alors, d'après le théorème5,−→
ABse décompose suivant les vecteurs−→ i et−→
j. En revanche, siB n'appartient pasP, on dénit la droite dpassant par B et de vecteur directeur −→
k. Terminer la démonstration.
Pour l'unicité : Faire un raisonnement par l'absurde.
Preuve
On dit que −→ i ,−→
j ,−→ k
forme une base de l'espace et on dit que, dans cette base, le vecteur−→u a pour coordonnées le triplet (x;y;z).
On notera −→u
x y z
.
Dénition 10 (Coordonnées d'un vecteur).
Lorsque trois vecteurs forment une base (c'est-à-dire s'ils ne sont pas coplanaires), on peut écrire tout vecteur de l'espace comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
Voilà pourquoi on dit que, dans l'espace, on travaille en trois dimensions.
Dans l'espace une famille de quatre vecteurs est forcément liée.
3.2 Repérage et coordonnées
Choisir un repère de l'espace, c'est se donner un pointO(origine du repère) et un triplet −→
i ,−→ j ,−→
k
de vecteurs non coplanaires (base du repère). On note O;−→
i ,−→ j ,−→
k le repère.
Dénition 11 (Repère de l'espace).
Lorsque les vecteurs−→ i,−→
j et−→
k sont orthogonaux deux à deux, on dit que le repère est orthogonal.
Lorsque les vecteurs −→ i,−→
j et−→
k sont orthogonaux deux à deux et ont pour norme 1, on
dit que le repère est orthonormé.
Soit O;−→
i ,−→ j ,−→
k
un repère de l'espace.
Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet (x;y;z) de réels tel que :
−−→OM =x−→ i +y−→
j +z−→ k Théorème 12.
Indication : Utiliser le théorème9.
Preuve
(x;y;z) sont les coordonnées deM dans le repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k . x est l'abscisse deM,y l'ordonnée deM etz la cote deM.
Dénition 13 (Coordonnées d'un point).
Tous les résultats de géométrie plane s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième co- ordonnée.
Dans un repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k :
1. Si−→u et−→v ont pour coordonnées respectives
x y z
et
x0 y0 z0
, alors : pour tout réelk,k−→u a pour coordonnées
kx ky kz
. le vecteur−→u +−→v a pour coordonnées
x+x0 y+y0 z+z0
.
les vecteurs−→u et −→v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles c'est-à-dire
x0=kx y0 =ky z0=kz
ou
x=kx0 y=ky0 z=kz0
avec k∈R.
2. SiA etB ont pour coordonnées(xA;yA;zA)et(xB;yB;zB), alors : le vecteur−−→
AB a pour coordonnées
xB−xA yB−yA zB−zA
.
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées
xA+xB
2 ; yA+yB
2 ; zA+zB
2
. Propriété 14.
Dans un repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k
orthonormé : k−→uk=p
x2+y2+z2 AB=
−−→ AB =
q
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2 Propriété 15.
Exercice 9
On considère A(−1 ; 3 ; −5),B(−7 ; 7 ; −7)etC(2 ; 1 ;−4). Les pointsA,B etM sont-ils alignés ? Justier.
Exercice 10
On donne les points A 1 ; 1 ; √ 2
etB √ 2 ; −√
2 ; 0 .
1. Déterminer les coordonnées de C symétrique deA par rapport à O. 2. Quelle est la nature du triangle ABC? Justier.
Exercice 11
On considère un tétraèdre ABCD avec A(1 ; 2 ; 3),B(4 ;−5 ; 6),C(0 ; 0 ; 3)etD(7 ; 8 ;−9). On note I le milieu de [AB]etJ le milieu de [CD].
1. Déterminer les coordonnées de E et F tels que IACE et IBDF soient des parallélo- grammes.
2. Montrer que J est le milieu de[EF].
Exercice 12
On considère A(−4 ; 5 ; −1),B(−1 ; 5 ; −4),C(−2 ; 12 ; 4)etD(4 ; 12 ;−2). Démontrer que les points A,B,C etD sont coplanaires.
3.3 Représentations paramétriques d’une droite Dans toute la suite,
O;−→ i ,−→
j ,−→ k
désigne un repère de l'espace.
La droitedpassant parA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur−→u
α β γ
est l'ensemble
des pointsM(x;y;z)tels que :
x=xA+αt
y=yA+βt t∈R z=zA+γt
. Théorème 16.
À faire.
Preuve
Le système
x=xA+αt
y=yA+βt (t∈R) z=zA+γt
est appelé représentation paramétrique de la droited.test appelé le paramètre ded.
Dénition 17.
Une droite possède une innité de représentations paramétriques.
Exercice 13
Soit dla droite de représentation paramétrique
x= 2 + 3t y= 4−t t∈R. z= 2t−1
1. Donner les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur ded.
2. Les pointsB(−2 ; 6 ; −5)etC(−1 ; 5 ; −3)appartiennent-ils à d? Justier.
3. Déterminer les coordonnées du pointE dedde paramètre 2.
Exercice 14
L'algorithme ci-dessous teste l'appartenance d'un point à une droite dénie par un point et un vecteur directeur (dont aucune des coordonnées n'est nulle).
Compléter cet algorithme dont certaines parties ont été eacées.
1 VARIABLES
2 A EST_DU_TYPE LISTE 3 u EST_DU_TYPE LISTE 4 M EST_DU_TYPE LISTE 5 t EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME
7 AFFICHER "Coordonnées du point A :"
8 LIRE A[1]
9 LIRE A[2]
10 LIRE A[3]
11 AFFICHER "Coordonnées du vecteur u :"
12 LIRE u[1]
13 LIRE u[2]
14 LIRE u[3]
15 AFFICHER "Coordonnées du point M :"
16 LIRE M[1]
17 LIRE M[2]
18 LIRE M[3]
19 SI . . . ALORS 20 DEBUT_SI
21 AFFICHER "M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur u."
22 AFFICHER "C'est le point de paramètre "
23 t PREND_LA_VALEUR . . . . 24 AFFICHER t
25 FIN_SI
26 SINON
27 DEBUT_SINON
28 AFFICHER "M n'appartient pas à la droite passant par A et de vecteur directeur u."
29 FIN_SINON
30 FIN_ALGORITHME
Algorithme
Exercice 15
Soient M etN les points de coordonnées respectives(−1 ; 2 ; 0) et(2 ;−1 ; 3). 1. Déterminer un système d'équation paramétrique de la droite(M N).
2. Soit P le point de coordonnées(−2 ; 3 ; −1).
Les pointsM,N etP sont-ils alignés ? Justier.
3. Le système
x= 8 +k
y=−7−k k∈R z= 9 +k
est-il une représentation paramétrique de la droite (M N)? Justier.
Exercice 16 Prise d'initiative
Soit dla droite de représentation paramétrique
x= 2t−1
y= 6−2t (t∈R) z=−2−t
etA(2 ; 5 ;−3).
Déterminer la distance de A àd.
Pour étudier la position relative de deux droitesdetd0 dénies par leurs représentations paramétriques
x=xA+αt
y=yA+βt t∈R z=zA+γt
et
x=xA0+α0k
y=yA0+β0k k∈R z=zA0 +γ0k
Étape 1 : On donne les vecteurs directeurs−→u et−→
u0 respectivement des droitesdetd0. S'ils sont colinéaires alorsdetd0 sont parallèles. Sinon...
Étape 2 : On résout le système formé par les deux systèmes paramétriques de detd0 ci-dessous (En fait on cherche l'éventuelle intersection de det de d.) :
xA+αt=xA0+α0k yA+βt=yA0+β0k zA+γt=zA0 +γ0k
Ce système est un système de trois équations à deux inconnues. Deux équations per- mettent de déterminert etk.
Puis on remplace t etk dans la dernière équation, si elle n'est pas vériée, les droites detd' n'ont pas de point d'intersection, elles sont donc non coplanaires. Sinondetd0 sont sécantes en le point de paramètre ttrouvé dedou le point de paramètre kde d0.
Méthode 18.
Le paramètre n'a pas nécessairement la même valeur pour les deux droites ; il faut donc veiller à le nommer diéremment (par exemplet etk, outett0, ...).
Exercice 17
Étudier la position relative des droites detd0 dans chacun des cas suivants :
1. detd0 ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :
x= 1 + 4t
y= 2 + 4t t∈R z= 1−6t
et
x= 15 +k y= 8−k k∈R z=−6 + 2k
2. detd0 ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :
x= 2t
y= 3 +t t∈R z=−2 + 3t
et
x= 1 + 4k
y=−1 +k k∈R z= 2−k
3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Le plan P passant par A(xA;yA;zA) et de vecteurs directeurs
−
→u
α β γ
et −→v
α0 β0 γ0
est l'ensemble des points M(x;y;z) tels
que :
x=xA+αt+α0k
y=yA+βt+β0k t∈Retk∈R z=zA+γt+γ0k
. Théorème 19.
Utiliser le théorème5.
Preuve
Le système
x=xA+αt+α0k
y =yA+βt+β0k (t∈Retk∈R) z=zA+γt+γ0k
est appelé représentation para- métrique du plan P.tetk sont les deux paramètres.
Dénition 20.
Un plan possède une innité de représentations paramétriques.
Exercice 18
Soit P le plan passant par A(1 ; 1 ;−2)et de vecteurs directeurs −→u
0 1 1
et−→v
2 0 6
. 1. Écrire un système d'équation paramétrique de P.
2. Le point E(3 ; 1 ; 4)appartient-il àP? Justier.
3. Déterminer la cote du pointL de P tel que xL=yL= 0.
