Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
A tout entier naturel non nuln,on associe la fonction numériquefn définie sur ]−1; +∞[par :fn(x) =xnln (1 +x). Le problème est consacré à l’étude de la famille de fonctionsfn.
On désigne parCn la courbe représentative defn dans le repère orthonormal O;−→
i ,−→ j
d’unité graphique 2 cm.
1/ Soithn la fonction définie sur]−1; +∞[ par :hn(x) =nln (x+ 1) + x x+ 1 .
Etudier le sens de variations dehn.En utilisant la valeur dehn(0),déterminer le signe dehn(x)sur]−1; +∞[. 2/ Pour toutxappartenant à]−1; +∞[
2. 1. Vérifier quef1′(x) =h1(x). et que, pour toutn >1, fn′ (x) =xn−1hn(x).
2. 2. On supposenimpair. Pour toutxappartenant à]−1; +∞[,justifer quefn′ (x)ethn(x)sont de même signe..
Dresser alors le tableau de variations de la fonction fn lorsque nest impair, en précisant le limites en −1et en +∞.
2. 3. On suppose maintenant quenest pair. Dresser alors le tableau de variations de la fonctionfn lorsquenest pair, en précisant le limites en−1et en +∞.
3/ Etudier les positions relatives des courbesC1etC2. 4/ Tracer ces deux courbes.
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