Physiks & Chimie

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D.S. n°4

Exercice n°1 : L’eau distillée et son pH d’après bac Antilles-Guyane 2009 (20 points) 1. pH de l’eau pure à 25 °C

1.1. Réaction d’autoprotolyse de l’eau : 2 H2O(l) = H3O⁺(aq) + HO^–(aq) (1) 1.2. Ke = Qr,éq = [H_O^_aq]éq.[HO^–_aq]éq

^ = [H3O⁺(aq)]éq.[HO^–(aq)]éq (1). Ke se nomme produit ionique de l’eau (0,5) 1.3. À 25°C, pour de l’eau pure : [H3O⁺]éq = [HO^]éq = 1,010^7 mol.L^1.

1.3.1. Ke = [H3O⁺(aq)]éq.[HO^–(aq)]éq. A.N. : Ke = 1,0.10^–71,0.10^–7 = 1,0.10^–14 à 25 °C (1).

1.3.2. pKe = – log Ke. A.N. : pKe = – log 1,0.10^–14 = 14 à 25°C (1).

1.3.3. À 25 °C, le pH de l’eau pure est : pH = – log [H3O⁺(aq)]éq. A.N. : pH = – log(1,0.10^–7) = 7,0 (1).

2. Eau distillée laissée à l’air libre

2.1. Les deux

couples

acido-basiques mis en jeu dans cette équation sont : CO2, H2O / HCO3

(aq) (0,5) et H3O⁺(aq) / H2O( ) (0,5) 2.2. KA = Qr,éq = [HCO

aq]éq.[HO^aq]éq

[CO, HO]éq

(1).

2.3. pKA = – log KA : pKA = – log



 [HCO

[CO_, H_O]éq

= – log



 [HCO

aq]éq

[CO_, H_O]éq

– log[HO^aq]éq soit pKA = – log



 [HCO

aq]éq

[CO, HO]éq

+ pH et par suite pH = pKA + log( [HCO

]éq

[CO, HO]éq

) (1,5).

2.4. log( [HCO_^]éq

[CO, HO]éq

) = pH – pKA  [HCO_^]éq

[CO, HO]éq

= 10^{pH – pKA}. A.N. : [HCO]éq

[CO, HO]éq

= 10^{5,7 – 6,4} = 10^{– 0,7} = 0,20 (1) : [HCO]éq

[CO, HO]éq

< 1 donc [HCO3

] < [CO2, H2O] ! [HCO

]éq = 0,20[CO_, HO]éq

ou

[CO, HO]éq = 5[HCO_^]éq

L’espèce dioxyde de carbone dissout est 5 fois plus concentrée que l’ion hydrogénocarbonate : elle prédomine dans l’eau distillée de pH = 5,7 (1).

2.5.

(1) Remarque: il n’est pas correct de dire que CO2, H2O prédomine parce que l’on est en milieu acide. Il prédomine car si pH = 5,7 alors le pH < pKA et appartient au domaine de prédominance de l’espèce acide CO2, H2O. Par exemple à pH = 6,7 < 7,0 donc milieu acide, c’est l’espèce basique HCO3–

qui prédomine car pH > pKA. 2.6. Tableau d’avancement

2.6.1. (1)

Équation de la réaction

CO

₂

, H

₂

O + H

₂

O ( ) = HCO

₃^

(aq) + H

₃

O

⁺

État du système chimique Avancement

État initial (mol) 0 c.V solvant 0 0

État intermédiaire (mol) x c.V – x solvant x x

État final (à l’équilibre) x

_éq

c.V – x

_éq

solvant x

_éq

x

_éq

2.6.2. D’après l’équation modélisant la transformation et le tableau d’avancement : [HCO3]éq = [H3O⁺]éq (1) ainsi [HCO3

]éq = [H3O⁺]éq = 10^–pH = 10^–5,7 = 2,0.10^–6 mol.L^–1 (1) 2.6.3. KA = Qr,éq = [HCO

[CO, HO]éq

Ainsi [CO2, H2O]éq = ^–,^

^–, = 1,0.10^–5 mol.L^–1 (1) 2.6.4. c = [CO2, H2O]éq + [HCO3

]éq = 1,2.10^–5 mol.L^–1 (1) 3. Influence de la composition atmosphérique

3.1. La pression partielle du dioxyde de carbone est : = 0,038

100 1,01310⁵ = 38 Pa (1).

3.2. [CO2, H2O]éq = k. = 3,4.10^–738 = 1,3.10^–5 mol.L^–1 (1).

3.3. La concentration en dioxyde de carbone dans l’eau distillée préparée en laboratoire est inférieure à la valeur trouvée à la question précédente : La pression partielle en dioxyde de carbone gazeux était donc inférieure à 38 Pa et l’air contenait donc un pourcentage plus faible que 0,038 % (1).

pH pK_A= 6,4

Domaine de prédominance de CO2, H2O

Domaine de prédominance de

HCO3

(aq)

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Exercice n°2 : Un cycliste écologiste d’après bac Antilles-Guyane 2009 (20 points) Première partie : étude théorique de la charge d’un condensateur

1. Équation différentielle

 D’après la loi d’additivité des tensions : ur + uC = E (relation 1).

 D’après la loi d’Ohm, en convention récepteur : ur = r.i (relation 2).

 Par définition i = dq

dt (relation 3)

 La charge portée par l’armature d’un condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes : q = C.uC (rel. 4).

 Ainsi d’après (3) et (4) : i = dC.uC

dt , or C est une constante, donc : i = C.d uC

dt (rel. 5)

 Par conséquent d’après (5) et (2) : ur = r.C. d uC

dt et finalement la relation 1 devient : r.C. d uC

dt + uC = E soit : d uC

dt + 

rC.uC = E rC (3).

2. Si l’expression uC(t) = E.(1 – ) est solution de l’équation différentielle elle la vérifie : d uC

dt = E rC Ainsi E

rC + 

rC.E.(1 – ) = E

rC + E rC – E

rC = E

rC : l’équation différentielle est bien vérifiée ! (1) 3. q(t) = C.uC(t) soit q(t) = CE.(1 – ) (1).

4. Il y a deux solutions envisageables pour trouver i(t).

 La première, plus mathématique (valable en toute circonstance), consiste à dériver la charge par rapport au temps car l’intensité représente le débit de charges électriques : i(t) = dq

dt = d

dt

⁽

CE

.(1 – )) = CE.

rC. = E r. .

 La seconde : d’après la loi d’Ohm (rel. 2) : ur(t) = r.i(t) donc i(t) = urt

r or d’après la loi d’additivité (rel. 1) ur(t) = E – uC(t) avec uC(t) = E.(1 – ) donc ur(t) = E – E.(1 – ) = E. soit i(t) = E

r. (1,5).

Ainsi I0 = E r (0,5).

5. Les grandeurs qui varient de façon continue sont : uC(t) et q(t) (0,5), celles discontinues sont ur(t) et i(t) (0,5).

Deuxième partie : étude expérimentale de la décharge d’un condensateur 1. Le courant va de B vers A donc en convention récepteur le potentiel du point B

est supérieur au potentiel du point A et la tension uR = uBA (1)

2. Branchements à réaliser pour enregistrer la courbe uC = f(t) sur la voie 0 de l’interface notée EA0 (0,5).

3. |i| = f(t).

3.1.

valeur de  par la méthode graphique de son choix (1)

A

B C

i

uC uR

EA0

t en s 5  10^-5 10  10^-5 15  10^-5 20  10^-5 25  10^-5 uC en V

1 2 3 4 5 6 7

0,37 6,0 = 2,2 V tangente à l’origine

 = 2,2.10^–5

s

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3.2. Valeur théorique de la constante de temps 

3.2.1. La constante de temps est  = R.C (0,5) 3.2.2. [] = [R.C] = [R].[C]

 or d’après la loi d’Ohm uR = R.i : [R] = [U].[I]^–1.

 D’après la relation : q = C.uC : [C] = [q].[U]^–1.

 Par définition de l’intensité : i = dq

dt : [q] = [I].[T] ;

 [] = [U].[I]^–1.[q].[U]^–1 = [I]^–1.[q] = [I]^–1.[I].[T] = T.

  a bien la dimension d’un temps ! (1,5)

3.2.3.  = R.C ; A.N. :  = 221,0.10^–6 = 22.10^–6 s soit 22 s ou 2,2.10^–5 s (0,5).

Troisième partie : étude théorique de la décharge d’un condensateur 1. Aspect énergétique

L’expression de l’énergie stockée dans un condensateur est Eélec = 1 2.C.uC

2 (0,5).

Pour C’ = 1,0 F et uC = 6,0 V : Eélec = 1

21,06,0² = 18 J (0,5).

2. Étude de la décharge du super-condensateur dans la lampe

2.1. Expression littérale de l’intensité du courant en fonction du temps : i = f(t) 2.1.1. D’après la loi des mailles : uC + uR = 0 soit uC = – uR (0,5).

2.1.2. équation différentielle vérifiée par la tension uC :

 D’après la loi d’additivité des tensions : ur + uC = 0 (rel. 1) et la relation 5 établie à la question 1 :

 ur = R.C.d uC

dt soit : R.C.d uC

dt + uC = 0 soit : d uC

dt + 

RC.uC = 0 (2)

2.1.3. Utilisons la condition initiale : uC(0) = 6,0 V : uC(0) = A.e^–0 = A donc A =

E = 6,0 V (1)

2.1.4.  = R.C. A.N. :  = 221,0 = 22 s.

D’après la loi d’Ohm : i(t) = uR

R, or d’après la relation 1 uR = – uC, ainsi : i(t) = – uC

R = – A R. . Par conséquent i(t) = – ,

. = – 0,27. (1,5) (on peut aussi utiliser la dérivée : i(t) = C.duC

dt).

2.2. Lorsque i < 80 mA, la lampe ne brille plus correctement, ce qui correspond d’après le graphique à une durée de décharge de 27 s.

Cette valeur est inférieure au 3 minutes requises : ce super- condensateur ne pourrait pas être utilisé ! (1).

t en s

50 100 150 200 250

|i| en A

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

t = 27 s

0,08