3.5 LOIS CONTINUES 1

(1)

cours 16

3.5 LOIS CONTINUES 1

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

✓pN k

◆✓ qN n k

◆

✓N n

◆ np npq N n N 1 X ⇠ H(n, p, N )

Loi hypergéométrique

(3)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Variable aléatoire continue

✓

Loi uniforme

(4)

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Dans de tels cas, il est plus pratique de travailler avec la fonction répartition.

F (x) = P (X  x)

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction f (x) = P (X = x)

On va donc devoir trouver une généralisation adéquate de la fonction de probabilité

(5)

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

^X

P (X  x) = F (X) =

Z x 1

f (t) dt f (x) 0

Une telle fonction est dite fonction de densité.

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Dans ce cas la fonction de répartition est donnée par Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

(6)

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

P (a  X  b) =

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

= F (b) F (a)

= P (X  b) P (X  a)

(7)

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

P (a  X  b) = P (a < X  b)

= P (a  X < b)

= P (a < X < b)

(8)

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0 1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

= 16 3 C 1 =

16

3 C = 1 =) C = 3 16

(9)

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1) = 3

16

Z 1

0

(4x x²) dx

= 3 16

✓

2x² x³ 3

◆ ¹

0

= 3 16

✓

2 1 3

◆

= 5 16

(10)

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

x² dx = 100 x

1 100

= 100

1 + 100

100 = 1

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

R_i : la diode i est à remplacer après 150 h.

R_i

les sont indépendants

(11)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

= 100

Z ₁₅₀

100

x ² dx

= 100

✓ 1

150 + 1 100

◆ = 100

✓ 2

300 + 3 300

◆

= 1 3

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

(12)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

= 1 P (R_i) 3

✓7 3

◆ ✓ 1 3

◆3 ✓ 2 3

◆4

= 35 · 2⁴

3⁷ ⇡ 0, 26

(13)

Faites les exercices suivants

# 3.35 à 3.38

(14)

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Remarque:

Dans le cas continu, il est possible que l’espérance et la variance n’existent pas, car ces intégrales peuvent diverger.

(15)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx

= 3 16

Z ₂

0

4x² x³ dx = 3 16

✓ 4x³ 3

x⁴ 4

◆ ²

0

= 2 3

4 = 5 4 E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

(16)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

= 3 16

Z 2

0

✓

x 5 4

◆2

(4x x²) dx

=

Z ₁

1

✓

x 5 4

◆2

f (x) dx Var(X)

= 3 16

Z 2

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

(17)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

(18)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

= 3 16

✓ x⁵

5 + 13x⁴ 8

185x³

54 + 25x² 8

◆ ²

0

= 19 80

(19)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

= lim

t!1 100(ln |t| ln(100) = 1

donc dans ce cas-ci, l’espérance n’existe pas.

(20)

Faites les exercices suivants

# 3.39

(21)

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _E_(Y _{) =} _aE_(X_{) +} _b Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Si est une variable aléatoire continue etX Y = g(X) E(Y ) =

Z ₁

1

g(x)f (x) dx

(22)

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) = E(X²) E(X)²

reste valide pour les variables aléatoires continues.

(23)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X²) = 3 16

Z 2

0

x²(4x x²) dx = 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ dx

= 3 16

✓

x⁴ x⁵ 5

◆ ²

0

= 3 6

5 = 9 5

= 9 5

25 16

= 144 80

125

80 = 19 80

(24)

Loi uniforme

Une variable aléatoire continue dont la fonction de densité une constante sur un intervalle et nulle partout ailleurs est dite loi

uniforme

[↵, ]

X ⇠ U (↵, ) f (x) =

(C ↵ < x <

0 sinon

0 _↵

C

(25)

Z ₁

1

f (x) dx = Z

↵

C dx = Cx

↵

= C( ↵) = 1

f (x) =

( 1

↵ ↵ < x <

0 sinon

f (x) =

(C ↵ < x <

0 sinon Trouvons cette constante

C = 1 donc ↵

(26)

Faites les exercices suivants

# 3.40 à 3.44

(27)

Devoir:

# 3.35 à 3.44