Chapitre XI : Thalès : calculs de longueurs
Liste des objectifs
a. 3ème : [Abordable en 4ème] (Thalès) connaître et utiliser les proportionnalités des longueurs des côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes.
LE COURS SUIVANT SE COMPLETE EN UTILISANT LES RESULTATS DES EXERCICES N°23 ET 24 DU CHAPITRE « DECOUVERTES ».
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C ours n° 1
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours à
compléter
, àmontrer
au professeur puis, s’il est validé, àrecopier intégralement
dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE) :Chapitre XI : Le théorème de Thalès : calcul de longueurs
I) Le théorème de Thalès
Propriété n°1 (Théorème de Thalès) :
Si deux triangles ont un sommet commun et des côtés respectivement parallèles, alors les côtés ont des longueurs ………
Démonstration : voir chapitre « Découvertes » Exemple n°1 :
Sur la figure ci-dessous, (BE) et (CD) sont parallèles.
CONDITIONS D’APPLICATION DE LA PROPRIETE :
- (BE) et (CD) étant p………., - A,B et C étant a……….. (donc (AB) et (AC) sont parallèles),
- et A,E et D étant a………. (donc (AE) et (AD) sont parallèles),
, on peut appliquer le théorème de Thalès qui permet d’écrire :
……
…… = ……
…… = ……
……
Pour ne pas se tromper dans les égalités de fractions :
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ». Collez-les dans votre cahier d’exercices
Recopier le cours dans le cahier de cours (A LA MAISON !) A
C B
E D
Le point commun aux deux triangles apparait 4 fois dans les fractions.
Dans une fraction, les points sont alignés.
Tous les numérateurs correspondent à un seul triangle (le grand, par exemple).
Tous les dénominateurs correspondent à un seul triangle (le petit, par exemple).
proportionnelles
parallèles alignés
alignés
AB AC
AE AD
BE CD
Interrogation : Lien
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1 :
Sur la figure ci-dessous, (BE) et (CD) sont parallèles.
CONDITIONS D’APPLICATION DE LA PROPRIETE :
- (BE) et (CD) étant p………., - A,B et C étant a……….. (donc (AB) et (AC) sont parallèles),
- et A,E et D étant a………. (donc (AE) et (AD) sont parallèles),
, on peut appliquer le théorème de Thalès qui permet d’écrire :
……
…… = ……
…… = ……
……
Pour ne pas se tromper dans les égalités de fractions :
Exercice n°1
Dans chacune des figures ci-dessous, écrire les égalités de rapports que l’on obtient en appliquant le théorème de Thalès :
Exercice n°2
Dans chacune des figures ci-dessous, écrire les égalités de rapports que l’on obtient en appliquant le théorème de Thalès :
A B
C D
(AB) parallèle à (DC) E Figure n°1
P Q
R
S
T (RS) parallèle à (QT)
Figure n°2 A
C B
E D
Le point commun aux deux triangles apparait 4 fois dans les fractions.
Dans une fraction, les points sont alignés.
Tous les numérateurs correspondent à un seul triangle (le grand, par exemple).
Tous les dénominateurs correspondent à un seul triangle (le petit, par exemple).
(GI) et (JH) sont parallèles
Figure n°1
F
G
I H
J
(KO) et (LN) sont parallèles
Figure n°2
K
L
M
N
O
(ZA) et (CB) sont parallèles
Figure n°3
Z
A
B C
D
Exercice n°3
Dans chaque cas, sans rédiger, indiquez juste la propriété à utiliser : Thalès, Pythagore, Réciproque de Pythagore.
1. On sait que B appartient à (GF) et que W appartient à (DG). De plus, (FD) et (BW) sont parallèles.
Calculer BW et GD sachant que GF= 5 , GW= 0,1 , FD= 2 et GB= 0,5 . 2. Soit un triangle GDW rectangle en G tel que GW= 1,6 et GD= 3. Calculer DW. 3. Soit un triangle YAC rectangle en C tel que AC= 8 et YA= 8,2. Calculer YC.
4. On sait que W appartient à (SI) et que K appartient à (HS). De plus, (IH) et (WK) sont parallèles.
Calculer WK et SH sachant que SI= 4 , SK= 0,8 , IH= 1 et SW= 0,8 . 5. Soit un triangle LGI rectangle en L tel que LI= 6,3 et LG= 1,6. Calculer GI.
6. On sait que X appartient à (MN) et que Z appartient à (GM). De plus, (NG) et (XZ) sont parallèles.
Calculer XZ et MG sachant que MN= 4 , MZ= 0,625 , NG= 4 et MX= 0,5 .
7. Soit un triangle PDA tel que PD= 0,9, PA= 2,6, DA= 2,4. Quelle est la nature de PDA ? Justifiez.
8. Soit un triangle JIV tel que JI= 2,8, JV= 10, IV= 9,6. Quelle est la nature de JIV ? Justifiez.
9. On sait que D appartient à (CA) et que G appartient à (VC). De plus, (AV) et (DG) sont parallèles.
Calculer DG et CV sachant que CA= 10 , CG= 10 , AV= 3,5 et CD= 20 .
10. Soit un triangle WPE tel que WP= 2,5, WE= 2,4, PE= 0,7. Quelle est la nature de WPE ? Justifiez.
11. On sait que V appartient à (BX) et que R appartient à (UB). De plus, (XU) et (VR) sont parallèles.
Calculer VR et BU sachant que BX= 9 , BR= 25,6 , XU= 0,78125 et BV= 57,6 .
Exercice n°4
Dans chaque cas, sans rédiger, indiquez juste la propriété à utiliser, SI C’EST POSSIBLE : Thalès,
Pythagore, Réciproque de Pythagore.
a. Soit un triangle IAL tel que IA= 7,6, IL= 5,5, AL= 4,8. Quelle est la nature de IAL ?
Justifiez.
b. On sait que E appartient à (MV) et que B appartient à (UM). De plus, (VU) et (EB) sont parallèles. Calculer MU sachant que MV= 3 , MB= 2 et VU= 4 .
c. On sait que P appartient à (BR) et que K appartient à (HB). De plus, (RH) et (PK) sont parallèles. Calculer PK et BH sachant que BR= 12 , BK= 4 , RH= 7 et BP= 24 . d. On sait que R appartient à (DY) et que O appartient à (ZD). De plus, (YZ) et (RO) sont
parallèles. Calculer RO sachant que DY= 8 , DO= 0,5 et DR= 1 .
e. Soit un triangle NIV tel que NI= 4, NV= 4,2. Quelle est la nature de NIV ? Justifiez.
f. Soit un triangle ANL tel que AL= 4,8 et AN= 1,4. Calculer NL.
g. On sait que M appartient à (XV) et que Z appartient à (CX). De plus, (VC) et (MZ) sont parallèles. Calculer MZ et XC sachant que XV= 10 , XZ= 6,875 , VC= 1,6 et XM= 6,25 . h. Soit un triangle TSU rectangle en U tel que TS= 5 et SU= 1,4. Calculer TU.
i. Soit un triangle PGN rectangle en N tel que GN= 6,3. Calculer PN.
j. On sait que J appartient à (DF) et que S appartient à (ND). De plus, (FN) et (JS) sont parallèles. Calculer JS et DN sachant que DF= 3 , DS= 1 , FN= 8 et DJ= 0,6 .
Exercice n°5
Dans chaque cas, trouvez x, en écrivant les opérations effectuées :
a. x 4 = 7
8 b. x
4 = 7 9
c. 4 x = 7
8 d. 4
x = 7 9
e. 4 1+x = 7
8
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C ours n° 2
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours à
compléter
, àmontrer
au professeur puis, s’il est validé, àrecopier intégralement
dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE) :Exemple n°3 ( modèle de rédaction de l’utilisation du théorème de Thalès) :
« Sur la figure ci-dessous, (BE) et (CD) sont parallèles. De plus, BE=6, AE=5,AC=7 et AD=8.
Combien valent CD et AB ? »
CONDITIONS D’APPPLICATION :
A,B et C ………..
A,…. et …. ………...
(BE) et (CD) étant ………..,
THEOREME UTILISE :
on peut appliquer le ……….., ce qui permet d’écrire :
……
…… = ……
…… = ……
……
CALCULS :
En particulier, en remplaçant :
……
…… = ……
…… = ……
……
Calcul de CD :
……
…… = ……
……
Donc :
…….×……..=……..×……… (produit en croix) Donc : CD= …….×…….
…….
Donc : CD= ………
……….
Calcul de AB :
……
…… = ……
……
Donc : …….×……..=……..×………
Donc : AB= …….×…….
…….
Donc : AB= ………
……….
A
C B
E D
sont alignés sont alignés
E D
parallèles
Théorème de Thalès AB
AC AE AD
BE CD
7 AB 5
8 CD
6
8 5
CD 5
6
CD
5
8 6
6 8
48 5
7 AB 5
8
AB
8 7 5
7 5 35 8
8
A faire.
- Cours n°2 à compléter.
- Savoir-faire - Ex.6 - Ex.7 - Ex.8
- Recopier cours (à la maison)
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ». Collez-les dans votre cahier d’exercices
Recopier le cours dans le cahier de cours (A LA MAISON !)
Interrogation : Lien
Contrôle du savoir faire
Refaites l’exemple du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°3 ( modèle de rédaction de l’utilisation du théorème de Thalès) :
« Sur la figure ci-dessous, (BE) et (CD) sont parallèles. De plus, BE=6, AE=5,AC=7 et AD=8.
Combien valent CD et AB ? »
CONDITIONS D’APPPLICATION :
A,B et C ………..
A,…. et …. ………...
(BE) et (CD) étant ………..,
THEOREME UTILISE :
on peut appliquer le ……….., ce qui permet d’écrire :
……
…… = ……
…… = ……
……
CALCULS :
En particulier, en remplaçant :
……
…… = ……
…… = ……
……
Calcul de CD :
……
…… = ……
……
Donc :
…….×……..=……..×……… (produit en croix) Donc : CD= …….×…….
…….
Donc : CD= ………
……….
Calcul de AB :
……
…… = ……
……
Donc : …….×……..=……..×………
Donc : AB= …….×…….
…….
Donc : AB= ………
……….
A
C B
E D
Exercice n°6 (à montrer obligatoirement au professeur pour voir si la rédaction est correcte)
Dans la figure suivante, IA=3, IB=2, ID=3, et CD=6. De plus, les droites (AB) et (DC)
sont parallèles.
Calculer ICetABen rédigeant ci-dessous : .
J’applique quel théorème : ……….
Pourquoi je peux l’appliquer :
………
………
………
Ce théorème me permet d’écrire :
………
………
………
Je calcule :
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Exercice n°7
On veut mesurer la hauteur d’un immeuble à flan de colline. Pour cela, on prend un bâton de 1m de long que l’on plante verticalement dans le sol. Puis l’on place une pierre à l’endroit où le sommet du bâton est aligné avec le sommet de l’immeuble (voir la figure). Enfin on mesure la distance de la pierre au bas de l’immeuble, et la distance de la pierre à la base du bâton. Trouvez la hauteur de l’immeuble, en rédigeant ci-dessous :
2m
J’applique quel théorème : ……….
Pourquoi je peux l’appliquer :
………
………
………
Ce théorème me permet d’écrire :
………
………
I
A B
D
50m C
Suite PAGE SUIVANTE
………
Je calcule :
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Exercice n°8
Un arbre poussant verticalement sur le flanc d’une colline a été cassé en un point que l’on nommeraR, par la foudre. Sa pointe touche le sol à 12 m de son pied.
Le bâton [ST] est placé verticalement. Quelle était la hauteur de l’arbre sachant que ST= 3 m, ES=5 m, et ET=4 m (on rédigera ci-dessous) ?
J’applique quel théorème : ……….
Pourquoi je peux l’appliquer :
………
………
………
Ce théorème me permet d’écrire :
………
………
………
Je calcule :
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Exercice n°9
Dans la figure suivante, AO=5, OR=3, AR=2,5 et AF=8. De plus, on sait que (OR) est parallèle à
(EF). Calculer le périmètre du triangle AEF. ON REDIGERA TOUOURS COMME DANS LES EXERCICES PRECEDENTS.
T E
S A
A
O E
R F R
Exercice n°10
On sait que L appartient à (HE) et que R appartient à (UH). De plus, (EU) et (LR) sont parallèles.
Calculer LR et HU sachant que HE= 6 , HR= 2,1 , EU= 3 et HL= 1,5 . ON REDIGERA TOUOURS COMME DANS LES EXERCICES PRECEDENTS.
Exercice n°11
Dans la figure suivante, les droites (CA) et (BD) sont parallèles, les droites (CB) et (DE) sont parallèles, les droites (BD) et (EF) sont parallèles, et les droites (DE) et (FG) sont parallèles.
1. Prouver que OA OB= OC
OD.
2.
a. Prouver que OC OD = OB
OE.
b. Comment en déduire que OA OB =
OB OE ?
3. Prouver, en utilisant 2.b., que OB²= OA×OE.
4. On donne OA=3cm et OB = 4cm. Déduire de la question n°3 la valeur de OE.
Exercice n°12
Le principe de la photographie.
On sait que (B’A’) et (B’B) sont perpendiculaires, et que (BA) et (B’B) sont perpendiculaires. B’’
est le symétrique de B’ par rapport à O.A’’ est le symétrique de A’ par rapport à O 1. Placer A’’ et B’’ sur la figure.
2. Démontrer l’égalité d
d’= AB
A'’B'’ , puis que d d’= AB
A’B’( on rappelle que la symétrie conserve les longueurs)
...
...
...
...
O
C
D
A B
E
F
G
Objet
B’ B A’
Image de l’objet sur la plaque de capteurs.
d d'
O
Objectif
Suite PAGE SUIVANTE
...
...
...
...
...
3. Pour un certain appareil, d’ = 50 mm. Un sapin de 12 m de hauteur se trouve à 15 m du photographe. Quelle est la hauteur de l’image qui se forme sur la plaque de capteurs ?
...
...
...
...
4. La pellicule est un rectangle de 24mm sur 36mm. Peut-on avoir l’image complète de l’arbre sur la pellicule (justifier) ?
...
...
...
...
a.
4ème : savoir déterminer une valeur approchée de la division de deux nombres relatifs en écriture décimale.
Exercice n°13 [1 pt] (Entrainement au brevet)
Calculer une valeur décimale approchée au millième de (─7) ÷ 6:
...
...
...
...
...
Exercice n°14 [1 pt] (Entrainement au brevet)
Calculer une valeur décimale approchée au dixième de ─ 1
─ 6 :
...
...
...
...
4ème : savoir comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire en utilisant le produit en croix.
Exercice n°15 [2 pts] (Entrainement au brevet)
En utilisant la méthode du produit en croix, comparer 15
4,1 et 18,5 5 :
...
...
...
...
...
...
...
...
3ème : [Abordable en 4ème](Thalès) connaître et utiliser les proportionnalités des longueurs des côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes.
Exercice n°16 [3 pts] (Entrainement au brevet)
On sait que J appartient à (KR) et que A appartient à (KL). De plus, (RL) et (JA) sont parallèles.
Calculer JA et KL sachant que KR= 3 , KA= 8 , RL= 4 et KJ= 7 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°17 [3 pts] (Entrainement au brevet)
On sait que C appartient à [YZ) et que D appartient à (QY]. De plus, YC= 16 , YD= 12 , YQ= 6 ,
YZ= 9. Les droites (ZQ) et (CD) sont─elles parallèles ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats
Ex.1 : Fig.1 ED EA = EC
… = DC
… Fig.2 PQ PR = ….
…. = …
RS Ex.2 :Fig.1 FI
… = FG
… = ….
…. Fig.2 MN MO = ….
…. = ….
…. Fig.3 DC DZ
= ….
…. = ….
…. Ex.3 : 1. Thalès. 2. Pythagore. 3. P….4. T… 5. P… 6. T… 7. Réciproque de Pythagore 8. R… 9. T . 10. R… 11. T…. Ex.4 : a. Réciproque de Pythagore. b. Impossible c. Pas Pythagore d. Te. I… f. I… g.T… h. P.
i. Impossible j. T….Ex.5 : a. 7/2 b. 28/9 c. 32/7 d. 36/7 e. 4×…=7×(1+x), …., x=25/7 Ex.6 : IC= 9
2 et AB=4 Ex.7 : 25m Ex.8 : 84
5 = 16,8 m Ex.9 : 33,6 m Ex.10 :2 LR=0,75 et HU=8,4 Ex.11 : 3. produit en croix... 4.16 3. Ex.12 : 3. 40 mm 4. Non. Ex.13 ─ 1,167 Ex.14 : 0,2 Ex.15 : ≠ Ex.16 : JA=28
3 et KL=24
7 Ex.17 : Non.
