LYCEE CLASSIQUE D’EDEA

Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Maths 5^ème séquence 21.04.2018 Prof : TNAM@LCE 2018 Classe de 𝐓^𝐥𝐞 C

EXERCICE 1 : 3,75 points Pour tout entier naturel , on pose :

1. Déterminer 0,25pt

2. Montrer que , puis calculer 0,75pt 3. Montrer par récurrence que 0,75pt

4. Montrer que 0,5pt 5. En déduire la suite est convergente et calculer sa limite. 0,5pt 6. On pose et

Montrer que la suite est géométrique et que la suite est arithmétique. 1pt EXERCICE 2 : 3,25 points

Une urne contient boules indiscernables au toucher parmi lesquelles : boules portent le nombre , boules portent le nombre , boules portent le chiffre et boules portent le chiffre On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. On nomme le nombre porté par l’une des boules tirées et par le nombre porté par l’autre boule tirée ( avec )

1. On définit pour tout entier naturel deux suites et telles que : et

Calculer la probabilité pour que la suite soit géométrique. 0,75pt 2. On considère l’équation différentielle

Quelle est la probabilité pour que la fonction soit solution de 1pt 3. On considère dans l’équation

Quelle est la probabilité pour que n’admette pas de solutions ? 0,75pt 4. On définit dans l’espace vectoriel

E

l’endomorphisme dont la matrice dans la base

B

est .

Quelle est la probabilité pour que soit une projection vectorielle ? 0,75pt EXERCICE 3 : 2,5 points

A) On considère un tétraèdre tel que et Soit le milieu de

MINESEC LYCEE CLASSIQUE D’EDEA

DRL-DDSM EXAMEN BACCALAUREAT Durée : 4h Série : C COEFF. 5 EPREUVE MATHEMATIQUES

Prof : T.N.AWONO MESSI

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1

n  U

_n



𝜋 2

0

 

cos sin cos

1 sin .

x x

n

x

x dx

 

 L 

𝜋 2

0

cos .

1 sin x dx

 x

1

n n

U

_

 U 

𝜋 2

0

 ^{ sin x} 

ⁿ

^{cos xdx} U

_n1

 U

_n

.

*

,

_n

ln 2

n U

    

𝜋 2

0

 ^{sin x} 

ⁿ

^{cos xdx .}

  U

n

 2 2 

1



n n n

a  n  U

_

 U  

1

1 .

n n

n n

b U

_

U

 

  a

n

   b

n

18 4

4 5 ³

1

5 ^{6 1 5}

2.

a

b a  b

n   U

n

  V

n 1

n n

U

_

 aU  b V

_n

 U

_n

 1.

p

1

  V

n

  ^{E : y ,  , ay ,  by  0.}

p

2

^{g x : }  ^{Ax  B e} 

^x

  ^{E ?}



2

  E

0

: ax  by  1.

p

3

  E

0

f

  ^{i j ,}

   3 2

2

a b b

M b a

  

  

 

p

4

f

ABCD AC  BD AD  BC . I

 

¹

*

1 1 1

, 1 ... .

2 3

n

n U

n

n





       

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et celui de

1. Montrer que et que 0,5pt 2. En déduire que les droites et sont orthogonales. 0,5pt B) Soit trois points non alignés de l’espace rapporté à un repère orthonormé

1. Déterminer l’ensemble

P

des points de l’espace tels que :

0,5pt 2. On donne les points , et

D

la droite passant par et de vecteur

directeur

(a) Déterminer l’expression analytique de la projection orthogonale sur la droite

D

. 0,75pt (b) En déduire les coordonnées du point projeté orthogonal du point sur

D

. 0,25pt PROBLEME : 10,5 points

A) L’espace est rapporté à un repère orthonormal Soit l’application de l’espace dans lui-même qui, à tout point , associe le point , , tel que :

1. Démontrer que l’ensemble des points invariants par est une droite de repère

où et 0,5pt 2. Soit le milieu de .

(a) Démontrer que et que les vecteurs et sont orthogonaux. 0,5pt (b) En déduire la nature et les éléments géométriques de 0,5pt 3. Soit le plan d’équation On désigne par la réflexion de plan

(a) Donner l’expression analytique de 0,75pt (b) Déterminer l’application de l’espace telle que ∘ 0,5pt 4. Soit et deux points de l’espace. On considère dans la base l’endomorphisme

associé à l’application linéaire telle que

(a) Ecrire la matrice de dans la base 0,5pt (b) Montrer que est un automorphisme. 0,5pt (c) Démontrer que est une symétrie vectorielle. 0,5pt B) On considère les fonctions et définies sur par et

où désigne le nombre réel qui vérifie On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé , unité graphique : 2cm.

  ^AB J   ^{CD .}

2 2 2

1

2

2 2

AC  AD  AJ  CD

^{2 2 2}

1

²

2 .

BC  BD  BJ  2 CD

  ^IJ   ^AB

, , A B C

M 3MA MC   

 2 MA    MB

 ^{O i j k , , ,   }  ^.

 ^{3; 2;1} 

A  ^B  ^{2; 2;1}  ^B

 ^{1; 3;1 .} 

u   

H A

 ^{O i j k , , ,   }  ^{. f}

 ^{, ,} 

M x y z ^{M x ,}  ^{, y ,} z , 

 

 

 

1 2 2 11

3

1 2 2 8

3

1 2 2 5

3

x x y z

y x y z

z x y z

    

    

   

, , ,

f   ^

  ^{A u ,  A  1, 3, 0  u   1, 2,1 .  }

I  ^{MM ,} 

 

I   MM  ,

u

 . f

  ^{P x     y z 4 0.} S

₁

  ^{P .}

1

. S

S

2

f  S

1

S

₂

.

M N  ^{   i j k , ,} 

 f ^   ^MN  ^  ^{f M     f N .}

  ^{   i j k , ,}  ^.





g h  ^{0; } 

  ^{ln x}

₂

^xe

h x x

 

  ^{2 ln 1}

g x   x  xe 

e ln e  1.   ^

h  ^{O i j , ,  } 

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1. Etudier les variations de 0,5pt 2. (a) Montrer que dans l’équation admet une unique solution notée 0,5pt (b) Déterminer un encadrement de à près. 0,25pt (c) En déduire le signe de selon les valeurs de 0,5pt 3. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. 0,5pt 4. Soit la fonction dérivée de

(a) Vérifier que pour tout , puis que 0,5pt (b) Dresser le tableau de variation de 0,25pt (c) Construire la courbe 0,75pt C)

est un carré direct de centre et d’arête avec Soit la similitude directe qui transforme en et en Soit le point de l’espace tel que : ∧

1. Déterminer la nature exacte de , puis caractériser 0,5pt 2. (a) Exprimer le milieu de comme barycentre des points et 0,5pt

(b) Le triangle est-il équilatéral ? Justifier. 0,5pt (c) Exprimer le produit scalaire en fonction de 0,5pt 3. Donner la nature de la composée ∘ 0,5pt

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.

 ^{0, 5;1} g  ^{g x}   ^{ 0  .}

 0,1

 

g x x .

h h ,

. h

   

3

h x g x

 x

 ^0;  ^,

x   ,

  ¹

₂

^.

2 h   e



  .

  ^{ .} h

ABCD O a a  0. f

A B B A .

f f .

S ^{OS  } _{2 a} ³  ^{OA  OB }  ^.

I   ^{SD A B C , , S .}

ACS

AS BD 

 

. a

ABC

S S

_ACS

.

TNAM210418

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