Université de Cergy-Pontoise Séries
Licence 2 MIPI 2015-2016
Corrigé du devoir surveillé N
◦3
Questions de cours.
1. Le rayon de convergenceR de la série entière ∑
n≥0
anzn est défini par
R= sup{
r ∈R+,t.q.(anrn)n∈N est born´ee} .
2. Le critère de d’Alembert s’énonce ainsi :
“ Soit (an)n∈N une suite de nombres complexes non nuls à partir d’un certain rang. S’il existe un nombrel∈R+∪ {+∞}tel que
an+1
an
→
n→+∞l, alors, le rayon de convergenceR de la série entière ∑
n≥0
anzn est égal à
R= 1 l, avec les conventions 10 = +∞ et +1∞ = 0. ”
3. La fonction sinus est développable en série entière surR, et elle vaut
∀x∈R,sin(x) =
∑+∞
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1.
Problème.
1.a. Par définition de la suite(bn)n∈N, nous avons bn+1
bn
= (n+ 1)d
nd(n+ 1) = 1 n+ 1
( 1 + 1
n )d
.
Par continuité de la fonctiont7→td en1, il vient (
1 + 1 n
)d
n→→+∞1d= 1, de sorte que
bn+1
bn →
n→+∞0.
b. Comme la suite(bn)n∈N est à termes positifs, il résulte du critère de d’Alembert que le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0
bnznest égal à +∞.
1
2.a. Par définition de la suite(a(p)n )n∈N, nous savons que p!n!a(p)n
np = n(n−1). . .(n−p+ 1)
np =
( 1− 1
n )
. . . (
1−p−1 n
) .
Comme cette expression contient un nombre fini de produits, sa limite lorsque n→ +∞
est égale à1. Aussi avons-nous vérifié que a(p)n ∼
n→+∞
np p!n!.
b. Il résulte de l’équivalent précédent que le rayon de convergence de la série entière
∑
n≥0
a(p)n zn est égal à celui de la série entière ∑
n≥0 np
p!n!zn, lequel est égal à +∞ d’après la question 1.b.
c. Comme le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0a(p)n zn est égal à+∞, l’intervalle de convergence de sa sommeSp est égal àR.
d. La somme Sp est donc bien définie et de classe C∞ sur R. De plus, la suite (a(p)n )n∈N vérifie
∀0≤n≤p−1, a(p)n = 0, d’où les identités
∀x∈R, Sp(x) =
+∞
∑
n=p
a(p)n xn=
+∞
∑
n=p
n(n−1). . .(n−p+ 1) p!n! xn
=xp p!
+∞
∑
n=p
n(n−1). . .(n−p+ 1) n! xn−p.
e. Par le changement d’indicem=n−p, il vient
∀x∈R, Sp(x) = xp p!
+∞
∑
n=p
xn−p
(n−p)! = xp p!
+∞
∑
m=0
xm
m! = xpex p! .
3.a. Les nombresP(n) s’écrivent sous la forme
P(n) =nd (
ad+
d−1
∑
k=0
ak
nd−k )
. Pour0≤k≤d−1, il vient
1 nd−k →
n→+∞0, de sorte que, par linéarité de la limite,
P(n) adnd →
n→+∞1.
Il s’ensuit que
P(n) ∼
n→+∞adnd, puis que
P(n)
n! ∼
n→+∞
adnd n! . 2
b. Il découle de cet équivalent que le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0 P(n)
n! znest égal à celui de la série entière ∑
n≥0 nd
n!zn, soit, d’après la question 1.b, à+∞.
c. Comme le degré des polynômes Lp est égal à p, la famille de polynômes (Lp)0≤p≤d est échelonnée, et elle forme donc une base de l’espace vectoriel Rd[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àd.
d. Le degré du polynômeP est égal àd. Ce polynôme appartient donc à l’espace vectoriel Rd[X]. Par définition d’une base, il existe un unique d+ 1-uplet(α0, . . . , αd) ∈ Rd+1 tel que
P(X) =
∑d p=0
αpLp(X).
e. D’après la question 3.b, la somme de la série entière ∑
n≥0 P(n)
n! zn est définie et de classe C∞ surR. D’après la question 3.d, elle vaut de plus
∀x∈R,
+∞
∑
n=0
P(n) n! xn=
+∞
∑
n=0
(∑d p=0
αpLp(n) n!
) xn.
Par linéarité des séries entières, il s’ensuit que
∀x∈R,
+∞
∑
n=0
P(n) n! xn=
∑d p=0
αpSp(x) =
∑d p=0
αpxpex p! ,
où nous avons utilisé la formule pour les sommesSp de la question 2.e.
4.a. D’après la question 3.d, le polynôme Q(X) =X2−X+ 1 s’écrit de manière unique sous la forme
Q(X) =β0L0(X) +β1L1(X) +β2L2(X) =β0+β1X+β2
2 X(X−1), avec(β0, β1, β2)∈R3. La spécialisation de cette égalité en0,1 et2fournit le système
β0 =Q(0) = 1, β0+β1=Q(1) = 1, β0+ 2β1+β2 =Q(2) = 3, ce qui donne les valeurs
β0 = 1, β1 = 0, et β2 = 2.
b. D’après la question 3.b, le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0 n2−n+1
n! zn est égal à+∞. Il découle alors des questions 3.e et 4.a que la somme de cette série entière vaut
∀x∈R,
∑+∞
n=0
n2−n+ 1 n! xn=
∑2 p=0
βpxpex p! =(
1 +x2) ex.
3
