Ceci est un premier jet et a besoin encore de beaucoup relectures pour bien tenir la route. Si vous voyez des erreurs contactez moi.

(1)

J.F. COSSUTTA

jean-francois.cossutta@wanadoo.fr

Ceci est un premier jet et a besoin encore de beaucoup relectures pour bien tenir la route. Si vous voyez des erreurs contactez moi.

ECRICOME 2014

EXERCICE 1

1.

NotonsE^′ leR-espace vectoriel des applications deR^∗+ dansR.

Notons queE est une partie deE^′ et que (u₁, v₁, u₂, v₂, . . . , u_n, v_n) est une famille d’éléments deE^′. Soitf un élément de E^′.

f ∈E⇐⇒ ∃(P, Q)∈Rn−1[X]×Rn−1[X], ∀x∈R^∗+, f(x) =x P(x) +xln(x)Q(x).

f ∈E⇐⇒ ∃(a0, a1, . . . , an−1)∈Rⁿ, ∃(b0, b1, . . . , bn−1)∈Rⁿ, ∀x∈R^∗+, f(x) =x (_n₋₁

∑

k=0

akx^k )

+xln(x) (_n₋₁

∑

k=0

bkx^k )

.

f ∈E⇐⇒ ∃(a0, a1, . . . , an−1)∈Rⁿ, ∃(b0, b1, . . . , bn−1)∈Rⁿ, ∀x∈R^∗+, f(x) =

n−1

∑

k=0

akx^k+1+ ln(x) (_n₋₁

∑

k=0

bkx^k+1 )

.

∑n k=1

ak−1x^k+ ln(x) ( _n

∑

k=1

bk−1x^k )

.

∑n k=1

ak−1x^k+

∑n k=1

bk−1

(x^k ln(x)) .

f ∈E⇐⇒ ∃(a₀, a₁, . . . , a_n₋₁)∈Rⁿ, ∃(b₀, b₁, . . . , b_n₋₁)∈Rⁿ, ∀x∈R^∗+, f(x) =

∑n k=1

a_k₋₁u_k(x) +

∑n k=1

b_k₋₁v_k(x).

f ∈E⇐⇒ ∃(a0, a1, . . . , an−1)∈Rⁿ, ∃(b0, b1, . . . , bn−1)∈Rⁿ, ∀x∈R^∗+, f(x) = ( _n

∑

k=1

ak−1uk+

∑n k=1

bk−1vk

) (x).

f ∈E⇐⇒ ∃(a₀, a₁, . . . , a_n₋₁)∈Rⁿ, ∃(b₀, b₁, . . . , b_n₋₁)∈Rⁿ, f =

∑n k=1

a_k₋₁u_k+

∑n k=1

b_k₋₁v_k. f ∈E⇐⇒f ∈Vect(u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vn,).

f ∈E⇐⇒f ∈Vect(u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn).

Par cons´equent :E= Vect(u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn).

AlorsE est le sous-espace vectoriel deE^′ engendr´e par la famille (u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn) deE^′. Finalement : E est unR-espace vectoriel etE= Vect(u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn).

I Exercice Montrons que la famille(u₁, v₁, u₂, v₂, . . . , u_n, v_n)est libre. J

2.

Soit f un élément de E. CommeE = Vect(u₁, u₂, . . . , u_n, v₁, v₂, . . . , v_n), il existe deux éléments (α₁, α₂, . . . , α_n) et (β₁, β₂, . . . , β_n) deRⁿ tels que :f =

∑n k=1

α_ku_k+

∑n k=1

β_kv_k.

(2)

∀k∈[[1, n]], ∀x∈R^∗+, u_k(x) =x^k etv_k =x^k ln(x). Donc pour tout ´element kde [[1, n]], u_k et v_k sont continues sur R^∗+.

De plus pour toutkdans [[1, n]], lim

x→0⁺uk = lim

x→0⁺x^k= 0 et lim

x→0⁺vk= lim

x→0⁺

(x^k ln(x))

= 0 (par croissance compar´ee...).

Alors : lim

x→0⁺

f(x) = lim

x→0⁺

( _n

∑

k=1

αkuk+

∑n k=1

βkvk

)

(x) = lim

x→0⁺

( _n

∑

k=1

αkuk(x) +

∑n k=1

βkvk(x) )

=

∑n k=1

αk×0 +

∑n k=1

βk×0.

Ainsi lim

x→0⁺

f(x) = 0.

Ainsif est continue surR^∗+ et prolongeable par continuit´e en 0.

Chaque fonctionf deE se prolonge en une fonction continue surR+. I Remarque 1 On aurait pu aussi utiliser ”f(x) =x P(x) +xlnx Q(x)” pour montrer ce r´esultatJ

I Remarque 2 Soitf un ´el´ement de E. f se prolonge en une fonction continue sur R+ que nous noterons fbdans la suite.

Comme lim

x→0⁺f(x) = 0,fb(0) = 0. Ainsi∀x∈R+, fb(x) =

{f(x) six∈R^∗+

0 six= 0 . Ce qui pr´ec`ede permet aussi de dire que, pour tout xdans R^∗+,

∫ x 0

f(t) dt converge et vaut

∫ x 0

fb(t) dt.

Ainsi, pour tout xdansR^∗+, 1 x

∫ x 0

f(t) dtexiste et vaut 1 x

∫ x 0

fb(t) dt. Alorsφ(f)(x)est d´efinie pour toutxdansR^∗+. Finalementφ(f)est bien une application deR^∗+ dansRet ceci pour tout f dansE.

φ est donc une application duR-espace vectoriel E dans leR-espace vectoriel E^′. J Soitkun ´el´ement de [[1, n]].

• ∀x∈R^∗+, uck(x) =uk(x) =x^k et cuk(0) = 0 donc∀x∈R+, uck(x) =x^k. Alors∀x∈R^∗+, φ(uk)(x) = 1

x

∫ x 0

uk(t) dt= 1 x

∫ x 0

c

uk(t) dt= 1 x

∫ x 0

t^kdt= 1 x

[t^k+1 k+ 1

]x 0

= 1 x

x^k+1 k+ 1 = 1

k+ 1x^k. Ainsi∀x∈R^∗+, φ(uk)(x) =

( 1 k+ 1uk

)

(x). Doncφ(uk) = 1 k+ 1uk.

• SoitxdansR^∗+. Soitεun ´el´ement de ]0,+∞[.

w_k:t→ 1

k+ 1t^k+1 et h:t→ln(t) sont de classesC¹sur ]0,+∞[. De plus∀t∈R^∗+, w^′_k(t) =t^k eth^′(t) = 1 t· Ceci autorise l’int´egration par parties suivante.

∫ x ε

vk(t) dt=

∫ x ε

t^k ln(t) dt= [t^k+1

k+ 1 ln(t) ]x

ε

−

∫ x ε

t^k+1 k+ 1

1 tdt.

∫ x ε

v_k(t) dt= 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

k+ 1ε^k+1 ln(ε)−

∫ x ε

t^k

k+ 1dt= 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

k+ 1ε^k+1 ln(ε)− [ t^k+1

(k+ 1)² ]^x

ε

.

∫ x ε

v_k(t) dt= 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

k+ 1ε^k+1 ln(ε)− x^k+1

(k+ 1)² + ε^k+1 (k+ 1)²·

∫ x 0

v_k(t) dt= lim

ε→0⁺

∫ x ε

v_k(t) dt= lim

ε→0⁺

( 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

k+ 1ε^k+1 ln(ε)− x^k+1

(k+ 1)² + ε^k+1 (k+ 1)²

)

·

Donc par croissance compar´ee :

∫ x 0

vk(t) dt= 1

k+ 1x^k+1 ln(x)−0− x^k+1

(k+ 1)²+ 0 = 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

(k+ 1)²x^k+1· Alorsφ(vk)(x) = 1

x

∫ x 0

vk(t) dt= 1 x

( 1

k+ 1x^k+1 ln(x)− 1

(k+ 1)²x^k+1 )

= 1

k+ 1x^k ln(x)− 1 (k+ 1)²x^k.

(3)

φ(vk)(x) = 1

k+ 1vk(x)− 1

(k+ 1)²uk(x) = 1

k+ 1vk− 1

(k+ 1)²uk (x) et ceci pour toutxdansR^∗+. Doncφ(v_k) = 1

k+ 1v_k− 1 (k+ 1)²u_k.

Pour toutkdans [[1, n]],φ(uk) = 1

k+ 1uk et φ(vk) = 1

k+ 1vk− 1 (k+ 1)²uk.

3.

Rappelons queφest une application du R-espace vectoriel E dans leR-espace vectoriel E^′. Soitλun réel. Soientf etg deux éléments deE.

∀x∈R^∗+, φ(λ f+g)(x) = 1 x

∫ x 0

(λ f+g)(t) dt=λ1 x

∫ x 0

f(t) dt+1 x

∫ x 0

g(t) dtcar toutes les int´egrales convergent.

∀x∈R^∗+, φ(λ f+g)(x) =λ φ(f)(x) +φ(g)(x) =(

λ φ(f) +φ(g))

(x) doncφ(λ f+g) =λ φ(f) +φ(g).

Ainsi∀λ∈R, ∀(f, g)∈E², φ(λ f+g) =λ φ(f) +φ(g). Par cons´equent : φest lin´eaire.

Rappelons que pour tout kdans [[1, n]],φ(uk) = 1

k+ 1uk et φ(vk) = 1

k+ 1vk− 1 (k+ 1)²uk. Ainsi pour tout kdans [[1, n]],φ(u_k) et φ(v_k) sont des ´el´ements de Vect(u₁, v₁, u₂, v₂, . . . , u_n, v_n).

Alors Vect(

φ(u₁), φ(v₁), φ(u₂), φ(v₂), . . . , φ(u_n), φ(v_n))

est contenu dans Vect(u₁, v₁, u₂, v₂, . . . , u_n, v_n).

Soitf un élément de E. f est combinaison linéaire de (u₁, v₁, u₂, v₂, . . . , u_n, v_n).

Commeφest lin´eaire,φ(f) est combinaison lin´eaire de(

φ(u1), φ(v1), φ(u2), φ(v2), . . . , φ(un), φ(vn)) . Doncφ(f) appartient `a Vect(

φ(u1), φ(v1), φ(u2), φ(v2), . . . , φ(un), φ(vn)) . Ainsiφ(f) appartient `a Vect(u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn) donc `a E.

Si f est une fonction de E,φ(f) est une fonction deE.

I Remarque Ainsi on peut consid´erer queφest un endomorphisme deE. J

4.

Rappelons queB= (u1, v1, u2, v2, . . . , un, vn) est une base deE et qu’ainsiE est de dimension 2n.

Pour toutkdans [[1, n]],φ(uk) = 1

k+ 1uk et φ(vk) = 1

k+ 1vk− 1 (k+ 1)²uk.

Pour toutkdans [[1, n]] notons alorsTk la matrice



 1

k+ 1 − 1 (k+ 1)²

0 1

k+ 1



deM2(R).

Alors la matrice de φdans la baseBest la matrice diagonale par blocs ´egale `a





 T₁

T2 (0)

. .. (0) Tn−1

Tn





.

(4)

Alors la matrice de φdans la base B est la matrice diagonale par blocs ´egale `a





 T1

T2 (0)

. .. (0) T_n₋₁

T_n





o`u

pour toutkdans [[1, n]]Tk =



 1

k+ 1 − 1 (k+ 1)²

0 1

k+ 1



.

5.

La matrice deφest une matrice triangulaire supérieure. Alors l’ensemble de ses valeurs propres est l’ensemble de ses éléments diagonaux.

Cet ensemble est { 1

k+ 1 ; k∈[[1, n]]

}

et il ne contient pas z´ero. 0 n’est pas valeur propre deM doncM est inversible et alors φest un automorphisme de E. Ajoutons que Spφ= SpM =

{ 1

k+ 1 ; k∈[[1, n]]

} .

L’endomorphismeφdeEest bijectif. L’ensemble des valeurs propres de φest { 1

k+ 1 ; k∈[[1, n]]

} .

6.

Rappelons queλest un ´el´ement de { 1

k+ 1 ; k∈[[1, n]]

}

. En particulierλn’est pas nul.

∀x∈R^∗+, g(x) =x⁻^1/λ

∫ x 0

f(t) dt=x⁻^1/λ

∫ x 0

fb(t) dt.

fbest une application continue de [0,+∞[ dansR. Alorsx→

∫ x 0

fb(t) dt est la primitive defbsur l’intervalle [0,+∞[ qui prend la valeur 0 en 0.

Doncx→

∫ x 0

fb(t) dtest dérivable sur [0,+∞[ et de dérivéefb. De plus x→x⁻^1/λest dérivable surR^∗+.

Alors par produitg est d´erivable surR^∗+. De plus∀x∈R^∗+, g^′(x) =−1

λx⁻^1/λ⁻¹

∫ x 0

fb(t) dt+x⁻^1/λf(x).b

∀x∈R^∗+, g^′(x) =−1

λx⁻^1/λ⁻¹

∫ x 0

f(t) dt+x⁻^1/λf(x) =−1 λx⁻^λ¹

(1 x

∫ x 0

f(t) dt−λ f(x) )

.

∀x∈R^∗+, g^′(x) =−1 λx⁻^λ¹(

φ(f)(x)−λ f(x)) .

Or f est un vecteur propre deφassoci´e `a la valeur propreλdoncφ(f) =λ f. Donc∀x∈R^∗+, φ(f)(x)−λ f(x) = 0.

Alors∀x∈R^∗+, g^′(x) =−1

λx⁻¹^λ ×0 = 0. Ainsig est de d´eriv´ee nulle sur l’intervalle ]0,+∞[.

Doncg est constante sur ]0,+∞[. Alors il existe un r´eel γtel que ∀x∈R^∗+, γ =g(x) =x⁻^1/λ

∫ x 0

f(t) dt.

Alors∀x∈R^∗+,

∫ x 0

f(t) dt=γ x^1/λ.

Il existe un r´eelγ tel que :∀x∈R^∗+,

∫ x 0

f(t) dt=γ x^1/λ.

∀x∈R^∗+, λ f(x) =φ(f)(x) = 1 x

∫ x 0

f(t) dt= 1

xγ x^1/λ=γ x^1/λ⁻¹. Donc∀x∈R^∗+, f(x) = γ

λx^1/λ⁻¹(λn’est pas nul ).

(5)

Il existe un r´eelγ tel que∀x∈R^∗+, f(x) = γ

λx^1/λ⁻¹.

7.

Soitλune valeur propre deφ. Soitf un vecteur propre de φassoci´e `aλ.

D’apr`esQ6., il existe un r´eel γtel que ∀x∈R^∗+, f(x) = γ

λx^1/λ⁻¹. Posons∀x∈R^∗+, ℓλ(x) =x^1/λ⁻¹. Alors il existe un r´eelγ tel quef = γ

λℓ_λ. Doncf ∈Vect(ℓ_λ).

Ainsi SEP (φ, λ)− {0_E}est contenu dans Vect(ℓ_λ). Or 0_E appartient `a Vect(ℓ_λ) donc SEP (φ, λ)⊂Vect(ℓ_λ).

En particulier dim SEP (φ, λ)6Vect(ℓ_λ) = 1.

De plus dim SEP (φ, λ)>1 car un sous-espace propre n’est pas de dimension nulle. Alors dim SEP (φ, λ) = 1.

La dimension des sous-espaces propres deφest 1.

Nous avons vu que l’ensemble des valeurs propres de φest { 1

k+ 1 ; k∈[[1, n]]

}

. De plus 1 2 >1

3 >· · ·> 1 n+ 1· Ainsiφposs`edenvaleurs propres distinctes et chaque sous-propres de φest de dimension 1.

Alors la somme des dimensions des sous-espaces propres deφestn. Or dimE= 2n. Ainsi : φn’est pas diagonalisable.

(6)

EXERCICE 2

1.

Soitkun élément deNet soitxun réel strictement positif. Posons∀t∈]0,+∞[, fk,x(t) =( ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹. fk,xest continue sur ]0,+∞[ comme produit de trois fonctions continues sur ]0,+∞[.

• fk,x est positive sur [1,+∞[. ∀t∈[1,+∞[, t²fk,x(t) =t²( ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹=( ln(t))k

e⁻^tt^x+1=

(ln(t))k

t

t^x+2 e^t · Alors lim

t→+∞

(t²f_k,x(t))

= 0×0 = 0 par croissance compar´ee. Ainsif_k,x est n´egligeable devantt→ 1

t² au voisinage de +∞. Or ces deux fonctions sont positives sur [1,+∞[ (une positivit´e suﬃt...) et

∫ +∞ 1

dt

t² converge.

Les r`egles de comparaison sur les impropres de fonctions positives montrent alors que

∫ +∞ 1

fk,x(t) dt converge.

• ∀t∈]0,1], t¹⁻^x² |fk,x(t)|=t¹⁻^x² ( ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹=t^x² (

ln(t))ke⁻^t. Alors par croissance compar´ee : lim

t→0⁺

(t¹⁻^x² |fk,x(t)|)

=|0| ×1 = 0 car x

2 est strictement positif.

Ainsi|fk,x|est n´egligable devantt→ 1

t¹⁻^x² au voisinage de 0.

Or ces deux fonctions sont positives sur ]0,1] (une positivit´e suﬃt...) et

∫ 1 0

dt

t¹⁻^x² converge car 1−x 2 <1.

Les r`egles de comparaison sur les impropres de fonctions positives montrent alors que

∫ 1 0

fk,x(t) dtconverge.

Finalement

∫ +∞ 0

f_k,x(t) dtconverge.

Pour tout élément kdeNet pour tout réelxstrictement positif

∫ +∞ 0

(ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹dtconverge.

Exercice xappartient `a]− ∞,0]etk appartient `aN. Montrer que

∫ 1 0

(ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹dt diverge et que

∫ +∞ 1

(ln(t))k

e⁻^tt^x⁻¹dt converge.

2.

Le cours indique que :

∀x∈]0,+∞[, Γ(x+ 1) =xΓ(x).

Rappelons que Γ est d´erivable et non nulle sur ]0,+∞[. De plus∀x∈]0,+∞[, Ψ(x) = Γ^′(x) Γ(x)·

∀x∈]0,+∞[, Γ(x+ 1) =xΓ(x) donc∀x∈]0,+∞[, Γ^′(x+ 1) = Γ(x) +xΓ^′(x).

∀x∈]0,+∞[, Ψ(x+ 1) = Γ^′(x+ 1)

Γ(x+ 1) =Γ(x) +xΓ^′(x) xΓ(x) = 1

x+Γ^′(x) Γ(x) = 1

x+ Ψ(x). Ainsi :

∀x∈]0,+∞[, Ψ(x+ 1)−Ψ(x) = 1 x·

∀n∈N^∗, Ψ(n+ 2)−Ψ(n) = Ψ(n+ 2)−Ψ(n+ 1) + Ψ(n+ 1)−Ψ(n) = 1 n+ 1+ 1

n·

(7)

∀n∈N^∗, Ψ(n+ 2)−Ψ(n) = 1 n+ 1 +1

n·

3.

SoitAun réel strictement positif. Soitεun réel appartenant à l’intervalle ]0, A[.

SoitC([ε, A],R) l’espace vectoriel r´eel des applications continues de [ε, A] dansR. Posons :∀(f, g)∈(C([ε, A],R))², < f, g >=

∫ A ε

f(t)g(t) dt. < ., . > est un produit scalaire surC([ε, A],R).

L’ingalit´e de Cauchy-Schwartz indique que ∀(f, g)∈(C([ε, A],R))²,(< f, g >)²6< f, f > < g, g >.

∀(f, g)∈(C([ε, A],R))², (∫ A

ε

f(t)g(t) dt )2

6

∫ A ε

(f(t))²dt

∫ A ε

(g(t))²dt.

Soitxun r´eel strictement positif. t→ln(t)e⁻²^t t^x−1² et t→e⁻^t²t^x−1² sont continues sur [ε, A].

Ainsi (∫ A

ε

((

ln(t)e⁻²^tt^x−1² ) (

e⁻²^t t^x−1² ))

dt )2

6

∫ A ε

(

ln(t)e⁻^t²t^x−1² )2

dt

∫ A ε

(

e⁻^t²t^x−1² )2

dt.

Donc (∫ A

ε

ln(t)e⁻^tt^x⁻¹dt )2

6 (∫ A

ε

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dt

) (∫ A ε

e⁻^tt^x⁻¹dt )

et ceci pour toutεdans ]0, A[.

Rappelons que

∫ A 0

ln(t)e⁻^tt^x⁻¹dt,

∫ A 0

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dtet

∫ A 0

e⁻^tt^x⁻¹dtconvergent.

Donc en faisant tendreεvers 0 dans l’inégalité précédente il vient : (∫ A

0

6(∫ A 0

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dt

) (∫ A 0

e⁻^tt^x⁻¹dt )

.

∀(x, A)∈( R^∗+

), (∫ A

0

6(∫ A 0

(ln(t))² e⁻^tt^x⁻¹dt

) (∫ A 0

e⁻^tt^x⁻¹dt )

.

4.

Soitxun r´eel strictement positif.

∀A∈]0,+∞[, (∫ A

0

6(∫ A 0

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dt

) (∫ A 0

e⁻^tt^x⁻¹dt )

.

Rappelons que

∫ +∞ 0

ln(t)e⁻^tt^x⁻¹dt,

∫ +∞ 0

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dt et

∫ +∞ 0

e⁻^tt^x⁻¹dt convergent.

Donc en faisant tendreAvers +∞dans l’inégalité précédente il vient : (∫ +∞

0

ln(t)e⁻^tt^x⁻¹dt )²

6

(∫ +∞ 0

(ln(t))2

e⁻^tt^x⁻¹dt

) (∫ +∞ 0

e⁻^tt^x⁻¹dt )

. Ainsi(

Γ^′(x))2

6Γ^′′(x) Γ(x). Donc :

∀x∈]0,+∞[, ( Γ^′(x))2

6Γ(x) Γ^′′(x).

Γ et Γ^′ sont d´erivables sur ]0 +∞[, Γ ne s’anulle pas sur ]0,+∞[ et∀x∈]0,+∞[, Ψ(x) =Γ^′(x) Γ(x)· Alors Ψ est d´erivable sur ]0,+∞[ et∀x∈]0,+∞[, Ψ^′(x) =Γ^′′(x) Γ(x)−Γ^′(x) Γ^′(x)

(Γ(x))2 = Γ(x) Γ^′′(x)−( Γ^′(x))2

(Γ(x))2 ·

∀x∈]0,+∞[, ( Γ(x))2

>0 et Γ(x) Γ^′′(x)−( Γ^′(x))2

>0 d’après ce qui précéde. Alors∀x∈]0,+∞[, Ψ^′(x)>0. Ainsi :

(8)

Ψ est croissante sur ]0,+∞[.

5.

(a)La méthode naturelle est d’utiliser la décomposition en éléments simples :

∀k∈N^∗, 1

k²−a² = 1 2a

1 k−a− 1

2a 1 k+a·

Pour éviter aux gens qui ne connaissent pas d’avoir des remords je propose de montrer l’égalité de la droite vers la gauche.

Notons que 1 +a >0, 1−a >0,∀k∈N^∗, k+ 1 +a >0 et∀k∈N^∗, k+ 1−a >0 caraappartient `a ]0,1[.

Ainsi 1 +aet 1−asont dans le domaine de définition de Ψ et pour tout kdansN^∗, k+ 1 +aetk+ 1−asont dans le domaine de définition de Ψ.

Soitnun ´el´ement deN^∗. PosonsAn = 1 2a

(Ψ(1 +a)−Ψ(1−a))

− 1 2a

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)) . A_n=− 1

2a

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(1 +a)) + 1

2a

(Ψ(n+ 1−a)−Ψ(1−a)) .

Notons encore que pour toutkdansN^∗,k+ 1 +a,k+a,k+ 1−aet k−asont strictement positifs et en particulier appartiennent au domaine de Ψ. Alors par ”t´elescopage” il vient :

An=− 1 2a

∑n k=1

(Ψ(k+ 1 +a)−Ψ(k+a)) + 1

2a

∑n k=1

(Ψ(k+ 1−a)−Ψ(k−a))

=− 1 2a

∑n k=1

1 k+a+ 1

2a

∑n k=1

1 k−a· A_n= 1

2a

∑n k=1

( 1

k−a− 1 k+a

)

= 1 2a

∑n k=1

k+a−(k−a) (k−a) (k+a) = 1

2a

∑n k=1

2a k²−a² =

∑n k=1

1 k²−a²· Alors :

∑n k=1

1

k²−a² =An = 1 2a

(Ψ(1 +a)−Ψ(1−a))

− 1 2a

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)) .

Pour tout ´el´ement ndeN^∗:

∑n k=1

1

k²−a² = 1 2a

(Ψ(1 +a)−Ψ(1−a))

− 1 2a

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)) .

Soitnun ´el´ement deN∗.

Ψ est croissante sur ]0,+∞[, 0< n+ 1−a6n+ 1 +a, 0< n+ 1 +a6n+ 2 et 0< n6n+ 1−a.

Alors Ψ(n+ 1−a)6Ψ(n+ 1 +a), Ψ(n+ 1 +a)6Ψ(n+ 2), Ψ(n)6Ψ(n+ 1−a).

Donc 06Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+a+ 1), Ψ(n+ 1 +a)6Ψ(n+ 2),−Ψ(n+ 1−a)6−Ψ(n).

Finalement 06Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)6Ψ(n+ 2)−Ψ(n).

Pour tout ´el´ementndeN^∗: 06Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)6Ψ(n+ 2)−Ψ(n).

(b)∀n∈N^∗, 06Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)6Ψ(n+ 2)−Ψ(n) = 1 n+ 1 +1

n et lim

n→+∞

( 1 n+ 1+ 1

n )

= 0.

Alors par encadrement il vient lim

n→+∞

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a))

= 0.

Comme∀n∈N^∗,

∑n k=1

1

k²−a² = 1 2a

(Ψ(1 +a)−Ψ(1−a))

− 1 2a

(Ψ(n+ 1 +a)−Ψ(n+ 1−a)) :

n→lim+∞

( _n

∑

k=1

1 k²−a²

)

= 1 2a

(Ψ(1 +a)−Ψ(1−a))

=Ψ(1 +a)−Ψ(1−a)

2a ·Alors : la s´erie ∑

n>1

1

n²−a² est convergente et

+∞

∑

n=1

1

n²−a² =Ψ(1 +a)−Ψ(1−a)

2a ·

(9)

PROBL` EME

Dans tout ce problème, p est un réel appartenant à ]0,1[, q = 1−p, et N est un entier naturel supérieur ou égal à 3.

PARTIE I : ´ Etude d’un cas particulier.

1. Notons que la commanderandom crée aléatoirement un réel appartenant à l’intervalle [0,1[ (et pas [0,1]). Nous le signalons tous les ans...

Avant de commencer la simulation (assez faible) demandée, écrivons une fonction simple simulant le jeu dans le cas général.

k sera la variable qui compte les parties. ssera la variable qui donne le nombre de parties gagnées par le joueur qui reste en jeu après lak^`ême partie. Notons que :

• Apr`es la premi`ere partiesprend la valeur 1.

• Sik>2 et si le joueurAk gagne lak^`^eme partie (qui est la premi`ere partie qu’il dispute)sprend la valeur 1. Si ce n’est pas le cas l’autre joueur gagne une nouvelle partie etsprend la valeur de s+ 1.

• Sik>1, le joueurAk gagne lak^`^eme partie avec la probabilit´ep.

• Le jeu s’arrˆete d`es quesprend la valeur de N.

Voil`a tout est dit !

1 Function CAS_GENERAL(N:integer;p:real):integer;

2

3 var k,s:integer;

4 5 Begin

6 k:=1;s:=1;

7

8 Repeat

9 k:=k+1;

10 If random<p then s:=1

11 else s:=s+1;

12 Until(s=N);

13

14 CAS_GENERAL:=k;

15 end;

I Exercice Ecrire la fonction CAS GENERAL en utilisant While.´ J

(a)RAS, sauf que l’on aurait pu pr´eciser `a quoi correspondait cette fonction !

1 function DUEL:integer;

2 3 begin

4 If random<0.5 then DUEL:=1

5 else DUEL:=0;

6 end;

(b)RAS !

(10)

1 function TEST_VICTOIRE(a,b,c:integer):boolean;

2 3 begin

4 TEST_VICTOIRE:=((a=b) and (b=c));

5 end;

I La ligne 4 surprendra quelques personnes... qui ont oubli´e que ((a=b) and (b=c))) est un boolean. J

(c)Je préfère écrire une fonction plutôt qu’un programme qui oblige à réécrire les deux fonctions précédentes.

Je donne une version while et une version repeat.

1 function TOURNOI:integer;

2

3 var k,a,b,c:integer;

4 5 begin

6 k:=3;a:=DUEL;b:=DUEL;c:=DUEL;

7 while TEST_VICTOIRE(a,b,c)=false do

8 begin

9 k:=k+1;a:=b;b:=c;c:=DUEL;

10 end;

11 TOURNOI:=k;

12 end;

1 function TOURNOI:integer;

2

3 var k,a,b,c:integer;

4 5 begin

6 k:=2;a:=DUEL;b:=DUEL;

7 Repeat

8 k:=k+1;a:=b;b:=c;c:=DUEL;

9 until TEST_VICTOIRE(a,b,c);

10 TOURNOI:=k;

11 end;

I La ligne 9 surprendra quelques personnes... qui ont oublié que TEST VICTOIRE(a,b,c) est un boolean. J Q2. Le tableau suivant récapitule les 8 résultats possibles des trois premiers duels.

duel 1 A0 A0 A0 A0 A1 A1 A1 A1 duel 2 A0 A0 A2 A2 A1 A1 A2 A2 duel 3 A0 A3 A2 A3 A1 A3 A2 A3

S’il y a un gagnant il a obtenu 3 victoires consécutives. Il ne peut donc pas y avoir de gagnant à l’issue du premier duel ou à l’issue du second duel. DoncE1 etE2 sont des événements certains. Alors P(E1) =P(E2) = 1.

Il y a un vainqueur à la fin du troisième duel si et seulement si l’un des joueursA0 etA1est gagnant.

Le joueur A0(resp. A1) gagne à la fin du troisième duel avec la probabilité (1

2 )3

·

(11)

La probabilité pour qu’il y ait un gagnant à l’issue du troisième duel est donc (1

2 )3

+ (1

2 )3

c’est `a dire (1

2 )2

·

La probabilité pour qu’il n’ait pas de gagnant à l’issue du troisième duel est donc 1− (1

2 )2

c’est `a dire 3 4· DoncP(E3) =3

4·

P(E1) = 1,P(E2) = 1 etP(E3) =3 4· 1

2P(E2) +1

4P(E1) = 1

2×1 + 1

4×1 = 3

4 =P(E3).

P(E₃) = 1

2P(E₂) +1 4P(E₁).

Q3. Soitnun élément de [[3,+∞[[. Notons que s’il n’y a pas de vainqueur après le duel numéron, le vainqueur de ce duel à obtenu une victoire ou deux victoires et pas plus.

Notons E_n^′ (resp. E_n^′′ ) l’événement il n’y a pas encore eu de gagnant du tournoi à l’issue du duel numéro n et le vainqueur dun^`ême duel à obtenu une victoire (resp. deux victoires) et pas plus.

Notons que le premier cas le vainqueur dun^`^eme duel estA_n et dans le second c’estA_n₋₁. E_n est r´eunion disjointe deE_n^′ etE_n^′′ doncP(E_n) =P(E_n^′) +P(E_n^′′).

E^′_n se réalise si et seulement il n’y a pas encore eu de gagnant du tournoi à l’issue du duel numéron−1 etA_n gagne son premier duel. Ainsi P(E_n^′) =P(En−1)×1

2.

E^′′_nse réalise si et seulement il n’y a pas encore eu de gagnant du tournoi à l’issue du duel numéron−2 etAn−1gagne les duels numérosn−1 etn.

AinsiP(E_n^′′) =P(E_n₋₂)×1 2×1

2·P(E_n^′′) = 1

4P(E_n₋₂).

Par cons´equentP(En) =P(E_n^′) +P(E^′′_n) = 1

2P(En−1) +1

4P(En−2).

∀n∈[[3,+∞[[, P(En) = 1

2P(En−1) +1

4P(En−2) (R1).

I Remarque En gardantN = 3 et en prenantpquelconque on a :

P(E1) =P(E2) = 1et∀n∈[[3,+∞[[, P(En) =p P(En−1) +p q P(En−2). J

Q4. ( P(E_n))

n_in[[1,+∞[[ est une suite réelle vérifiant une relation linéaire de récurrence d’ordre 2.

Son ´equation caract´eristique estz∈Cetz²−1 2z−1

4 = 0 (ouiz∈C! !).

∀z∈C, z²−1 2z−1

4 = (

z−1 4

)2

− (1

16+1 4

)

= (

z−1 4

)2

− 5 16 =

( z−1

4+

√5 4

) ( z−1

4 −

√5 4

) .

L’équation caractéristique précédente à deux racines distinctes appartenant àR:r1=1−√ 5

4 etr2= 1 +√ 5 4 · Alors il existe deux r´eels λet µtel que∀n∈[[1,+∞[[, P(En) =λ rⁿ₁ +µ rⁿ₂.

On a encore∀n∈[[2,+∞[[, P(En) =λ r₁ⁿ+µ r₂ⁿ! !

(12)

Il existe quatre r´eelsλ,µ,r₁, r₂ tels que∀n∈[[2,+∞[[, P(E_n) =λ r₁ⁿ+µ r₂ⁿ.

I Remarque Reprenons∀n∈[[1,+∞[[, P(En) =λ r₁ⁿ+µ r₂ⁿ avecr1=1−√ 5

4 etr2= 1 +√ 5 4 · En r´esolvant le syst`eme

{λ r1+µ r2=P(E1) = 1 λ(r1)²+µ(r2)²=P(E2) = 1

il vientλ= 1−

√5

5 etµ= 1 +

√5 5 · Ainsi ∀n∈[[1,+∞[[, P(En) =

( 1−

√5 5

) ( 1−√

5 4

)n

+ (

1 +

√5 5

) ( 1 +√

5 4

)n

.

Notons que l’on a encore :∀n∈[[1,+∞[[, P(E_n) =4√ 5 5



 (

1 +√ 5 4

)n+1

− (

1−√ 5 4

)n+1

.

On peut simplifier les calculs en posant ∀n∈N, t_n =P(E_n+1). Le syst`eme initial est plus simple... J I Exercice Dans le casN= 3 etpquelconque, montrer que r1=p−√

p²+ 4pq

2 ,r2= p+√

p²+ 4pq

2 et

∀n∈[[1,+∞[[, P(En) =1 2

( 1

p− 1

√p²+ 4pq )

rⁿ₁ +1 2

( 1

p+ 1

√p²+ 4pq )

r₂ⁿ.

Ou encore :∀n∈[[1,+∞[[, P(En) = 1 p√

p²+ 4pq (rⁿ⁺¹₂ −rⁿ⁺¹₁ ).

Disons un mot sur le calcul. En r´esolvant le syst`eme

{λ r1+µ r2=P(E1) = 1 λ(r1)²+µ(r2) =P(E2) = 1

il vient :

λ= 1−r2

r₁(r₁−r₂) etµ= 1−r1

r₂(r₂−r₁)· Une piste pour le calcul deλ. λ= 1−r2

r1(r1−r2) = r2−r₂² r1r2(r1−r2)·

Or r₂²=p r₂+pq,r₁+r₂=petr₁r₂=−pq. Alorsr₂−r₂²=r₂−p r₂−pq=q r₂−pq=q(r₂−p) =q(−r₁).

λ= −q r₁

(−pq) (r1−r2) = r₁

p(r1−r2)=− r₁ p√

p²+ 4pq. De mˆemeµ= r₂ p√

p²+ 4pq. La suite est claire. J Montrons maintenant que lim

n→+∞P(E_n) = 0. r₁=1−√ 5

4 etr₂=1 +√ 5 4 ·

√5<√

9 = 3. Alors 0> r₁= 1−√ 5

4 > 1−3 4 =−1

2 >−1 et 0< r₂=1 +√ 5

4 < 1 + 3 4 = 1.

Doncr1 etr2 sont deux ´el´ements de ]−1,1[. Alors lim

n→+∞rⁿ₁ = lim

n→inf ir₂ⁿ= 0.

Ainsi lim

n→+∞

(λ rⁿ₁ +µ rⁿ₂)

= 0 donc lim

n→+∞P(En) = 0.

n→lim+∞P(E_n) = 0.

Q5. La suite( P(En))

n>2est décroissante pour l’inclusion car pour toutndans [[2,+∞[[ l’événementEn+1est contenu dans l’événement En.

Donc le th´eor`eme de la limite monotone montre que P (₊_∞

∩

n=2

En

)

= lim

n→+∞P(En) = 0.