Modèles à temps discret Exercices
Exercice 6.1. Le processus stochastique f S
t1: t = 0; 1; 2 g représente l’évolution du prix d’une part d’un titre non-risqué. Un second processus stochastique f S
t2: t = 0; 1; 2 g , lui, représente l’évolution du prix d’une part d’un titre risqué, S
t2étant le prix d’une part du titre au temps t.
! (S
01(!) ; S
02(!)) (S
11(!) ; S
12(!)) (S
21(!) ; S
22(!))
!
1(1; 1) (1; 1; 1) (1; 2; 1)
!
2(1; 1) (1; 1; 1) (1; 2; 2)
!
3(1; 1) (1; 1; 2) (1; 3; 1)
!
4(1; 1) (1; 1; 2) (1; 3; 2)
!
5(1; 1) (1; 1; 2) (1; 3; 3)
Madame Éva Hachette détient, au temps t = 0, le portefeuille = (3; 4) constitué de trois parts du titre sans risque et de quatre parts du titre risqué. Monsieur Yvan LeProduit, lui, possède au même moment le portefeuille = ( 2; 9) qui comprend une dette de deux parts du titre sans risque et neuf parts du titre risqué. Monsieur Yvan LeProduit o¤re à madame Éva Hachette l’option d’échanger leur portefeuille au temps t = 2, c’est-à-dire que si la valeur V (2) au temps t = 2 du portefeuille d’Éva est inférieure à celle du portefeuille d’Yvan, V (2), Éva échangera les portefeuilles et réalisera un pro…t de V (2) V (2) ; sinon, elle conservera son portefeuille et son pro…t sera nul.
a) Donnez l’espace probabilisable …ltré correspondant à cette situation.
b) Déterminez selon quelles mesures de probabilité les processus de prix actualisés sont des martingales.
c) Justi…ez pourquoi ces mesures sont aussi appelées mesures neutres au risque.
d) Véri…ez que le modèle de marché n’admet pas l’arbitrage.
e) Déterminez, pour chacune des mesures trouvées en c), la valeur actualisée espérée de cette option (le prix de l’option).
f) Expliquez pourquoi le prix de l’option calculé selon les mesures martingales n’est pas unique.
Exercice 6.2. Nous observons l’évolution des prix de trois titres …nanciers pendant deux
périodes de temps. Le premier processus stochastique, S
(1), représente le prix du titre sans
risque à chaque instant, tandis que les deux autres processus, S
(2)et S
(3)modélisent les
‡uctuations des prix de deux titres risqués.
! S
0(1); S
0(2); S
0(3)S
1(1); S
1(2); S
1(3)S
2(1); S
2(2); S
2(3)!
1(10; 9; 12) (11; 9; 12) (12; 9; 11)
!
2(10; 9; 12) (11; 9; 12) 12; 11;
1459= 16; 111
!
3(10; 9; 12) (11; 12; 16) 13; 12;
122147= 25; 979
!
4(10; 9; 12) (11; 12; 16) (13; 12; 16)
!
5(10; 9; 12) (11; 12; 16) 13; 15;
122147!
6(10; 9; 12) (11; 12; 16) (13; 15; 16)
a) Quelle est la …ltration qui représente l’information révélée aux investisseurs par le modèle ? b) Existe-t-il une mesure martingale pour ce modèle de marché ? Si oui, quelle est-elle ou quelles sont-elles ? Sinon, pourquoi ?
c) Le modèle de marché admet-il des opportunités d’arbitrage ? Pourquoi ? d) Est-ce que tous les droits conditionnels sont accessibles ? Justi…ez.
Exercice 6.3. Refaire l’exercice 5.2.
Solutions
1 Exercice 6.1
a) Donnez l’espace probabilisable …ltré correspondant à cette situation.
L’ensemble fondamental est = f !
1; !
2; !
3; !
4; !
5g ; la tribu est F = l’ensemble de tous les événements de et la …ltration est F = fF
i: i = 0; 1; 2 g où
F
0= f? ; g ;
F
1= ff !
1; !
2g ; f !
3; !
4; !
5gg et F
2= F :
b) Déterminez selon quelles mesures de probabilité les processus de prix actualisés sont des martingales.
Les mesures martingales doivent satisfaire pour tout t 2 f 1; 2 g ; E
QS
t2S
t1jF
t 1= S
t2 1S
t1 1ce qui est équivalent à
8 t 2 f 1; 2 g ; E
QS
t2S
t1S
t2 1S
t1 1jF
t 1= 0:
Ainsi, nous cherchons ( Q (!
1) ; :::; Q (!
5)) = (q
1; :::; q
5) tel que
0 = 1
1; 2 1 1; 1
q
1q
1+ q
2+ 2 1; 2
1 1; 1
q
2q
1+ q
2, 1
1; 2 1
1; 1 q
1+ 2 1; 2
1
1; 1 q
2= 0
0 = 1
1; 3 2 1; 1
q
3q
3+ q
4+ q
5+ 2 1; 3
2 1; 1
q
4q
3+ q
4+ q
5+ 3
1; 3 2 1; 1
q
5q
3+ q
4+ q
5, 1
1; 3 2
1; 1 q
3+ 2 1; 3
2
1; 1 q
4+ 3 1; 3
2
1; 1 q
5= 0
0 = 1
1; 1 1 (q
1+ q
2) + 2
1; 1 1 (q
3+ q
4+ q
5) 1 = q
1+ q
2+ q
3+ q
4+ q
5ce qui revient à solutionner le système d’équations linéaires 2
6 6 6 4
1 1:2
1 1:1
2 1:2
1
1:1
0 0 0
0 0
1:31 1:12 1:32 1:12 1:33 1:121
1:1
1
1:111
1:121
1:121
1:121
1 1 1 1 1
3 7 7 7 5
2 6 6 6 6 4
q
1q
2q
3q
4q
53 7 7 7 7 5
= 2 6 6 4
0 0 0 1
3 7 7 5
sous les contraintes que chacune des probabilités q
idoit être comprises entre 0 et 1.
Il existe une in…nité de solutions : selon la variable libre que nous choisissons, nous obtenons
! Q Q Q
!
1 119 119 119!
2 1109 1109 1109!
30 < q
3<
2207 2207 q24 1104+ q
5!
4 11072q
30 < q
4<
1107 110152q
5!
5q
3+
1104 22015 q24 1104< q
5<
22015c) Justi…ez pourquoi ces mesures sont aussi appelées mesures neutres au risque.
Le rendement espéré, selon n’importe quelle mesure martingale trouvée en b), du titre risqué, conditionnellement à l’instant précédent, est égal à celui du titre sans risque. En e¤et,
E
QS
12S
02S
02= 0 (q
1+ q
2) + 1 (q
3+ q
4+ q
5)
= 1 q
3+ 7
110 2q
3+ q
3+ 4
110 = 11 110 = 1
10 E
QS
11S
01S
01= 1
10
8 ! 2 f !
1; !
2g ; E
QS
22S
12S
12jF
1(!) = 0 q
1q
1+ q
2+ q
2q
1+ q
2= 9 110
110 99 = 1
11 E
QS
21S
11S
11jF
1(!) = 1; 2 1; 1 1; 1 = 1
11 8 ! 2 f !
3; !
4; !
5g ; E
QS
22S
12S
12jF
1(!) = 1 2 2
q
3q
3+ q
4+ q
5+ 2 2 2
q
4q
3+ q
4+ q
5+ 3 2 2
q
5q
3+ q
4+ q
5= 1
2 q
3110 11 + 1
2 q
3+ 4 110
110 11 = 2
11 E
QS
21S
11S
11jF
1(!) = 1; 3 1; 1 1; 1 = 2
11
d) Véri…ez que le modèle de marché n’admet pas l’arbitrage.
Nous avons montré en b) qu’il existe une in…nité de mesures martingales. Or le théorème 2.7 de Harrison et Pliska stipule que le marché est sans opportunité d’arbitrage si et seulement s’il existe au moins une mesure martingale.
e) Déterminez, pour chacune des mesures trouvées en c), la valeur actualisée espérée de
cette option (le prix de l’option).
! (S
21; S
22) V (2) V (2) C =
max (V (2) V (2) ; 0)
!
1(1; 2; 1) 3 1; 2 + 4 1
= 7; 6
2 1; 2 + 9 1
= 6; 8 0
!
2(1; 2; 2) 3 1; 2 + 4 2
= 11; 6
2 1; 2 + 9 2
= 15; 6 4; 0
!
3(1; 3; 1) 3 1; 3 + 4 1
= 7; 9
2 1; 3 + 9 1
= 6; 4 0
!
4(1; 3; 2) 3 1; 3 + 4 2
= 11; 9
2 1; 3 + 9 2
= 15; 4 3; 5
!
5(1; 3; 3) 3 1; 3 + 4 3
= 15; 9
2 1; 3 + 9 9
= 24; 4 8; 5
E
QC
S
21= 0 1:2
9
11 + 4:0 1:2
9 110 + 0
1:3 q
3+ 3:5 1:3
7
110 2q
3+ 8:5
1:3 q
3+ 4 110
= 40 12
9
110 + 35 13
7
110 2q
3+ 85
13 q
3+ 4 110
= 15 22 + 15
13 q
3= 0; 68162 + 1; 1538q
3:
f ) Expliquez pourquoi le prix de l’option calculé selon les mesures martingales n’est pas unique.
Nous trouvons plusieurs valeurs possibles parce que le droit contingent n’est pas acces- sible, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de stratégie auto…nancée ! telle que V
2! = C. En e¤et,
0 = C (!
3)
= V
2! ; !
3=
12(!
3) S
21(!
3) +
22(!
3) S
22(!
3)
= 1; 3
12(!
3) +
22(!
3) )
22(!
3) = 1; 3
12(!
3) et
3; 5 = C (!
4)
= V
2!
; !
4=
12(!
4) S
21(!
4) +
22(!
4) S
22(!
4)
=
12(!
3) S
21(!
4) +
22(!
3) S
22(!
4)
= 1; 3
12(!
3) + 2
22(!
3)
= 1; 3
12(!
3) 2; 6
12(!
3)
= 1; 3
12(!
3) )
12(!
3) = 35
13 et
22(!
3) = 1; 3
12(!
3) = 35
10 :
Mais
V
2! ; !
5= 1; 3
12(!
3) + 3
22(!
3)
= 1; 3 35
13 + 3 35 10
= 2 35 10
= 7
6
= 8; 5:
Donc, le résultat obtenu n’est pas en contradiction avec le corollaire de la page 228 de l’article de J. M. Harrison et S. R. Pliska, ”Martingales, stochastic integrals and continuous trading”.
2 Exercice 6.2
a) Quelle est la …ltration qui représente l’information révélée aux investisseurs par le modèle ?
F
0= f? ; g
F
1= ff !
1; !
2g ; f !
3; !
4; !
5; !
6gg
F
2= l’ensemble de tous les événements de :
b) Existe-t-il une mesure martingale pour ce modèle de marché? Si oui, quelle est-elle ou quelles sont-elles ? Sinon, pourquoi ?
Posons q
i= Q [!
i] ; i 2 f 1; 2; 3; 4; 5; 6 g : Puisque F
0= f? ; g ; E
Q"
S
1(2)S
1(1)jF
0#
= S
0(2)S
0(1), 9
11 (q
1+ q
2) + 12
11 (q
3+ q
4+ q
5+ q
6) = 9 10 : Pour l’autre titre risqué,
E
Q"
S
1(3)S
1(1)jF
0#
= S
0(2)S
0(1), 12
11 (q
1+ q
2) + 16
11 (q
3+ q
4+ q
5+ q
6) = 12
10 :
Puisque F
1= f? ; f !
1; !
2g ; f !
3; !
4; !
5; !
6g ; g E
Q"
S
2(2)S
2(1)jF
1#
(!
1) = S
1(2)(!
1) S
1(1)(!
1) , 9
12 q
1q
1+ q
2+ 11 12
q
2q
1+ q
2= 9 11
, 9
12 9
11 q
1+ 11 12
9
11 q
2= 0:
et
E
Q"
S
2(2)S
2(1)jF
1#
(!
3) = S
1(2)(!
3) S
1(1)(!
3) , 12
13
q
3+ q
4q
3+ q
4+ q
5+ q
6+ 15 13
q
5+ q
6q
3+ q
4+ q
5+ q
6= 12 11 , 12
13 12
11 q
3+ 12 13
12
11 q
4+ 15 13
12
11 q
5+ 15 13
12
11 q
6= 0:
Pour le deuxième titre risqué, nous obtenons
E
Q"
S
2(3)S
2(1)jF
1#
(!
1) = S
1(3)(!
1) S
1(1)(!
1) , 11
12 q
1q
1+ q
2+
145 9
12 q
2q
1+ q
2= 12 11 , 11
12 12 11 q
1+
145 9
12 12
11 q
2= 0 et
E
Q"
S
2(3)S
2(1)jF
1#
(!
3) = S
1(3)(!
3) S
1(1)(!
3) ,
1221 47
13
q
3+ q
5q
3+ q
4+ q
5+ q
6+ 16 13
q
4+ q
6q
3+ q
4+ q
5+ q
6= 16 11 ,
1221 47
13 16
11 q
3+ 16 13
16 11 q
4+
1221 47
13 16
11 q
5+ 16 13
16
11 q
6= 0:
Puisque la somme P
6i=1
q
i= 1, il su¢ t de résoudre le système d’équation linéaire suivant
M 2 6 6 6 6 6 6 4
q
1q
2q
3q
4q
5q
63 7 7 7 7 7 7 5
= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
9 10 12 10
0 0 0 0 1
3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
où
M = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
9 11
9 11
12 11
12 11
12 11
12 11 12
11
12 11
16 11
16 11
16 11
16 11 9
12 9 11
11 12
9
11
0 0 0 0
0 0
1213 1211 1213 1211 1513 1211 1513 121111 12
12 11
145 9
1 12
12
11
0 0 0 0
0 0
122147 131 1611 1613 1611 122147 131 1611 1613 16111 1 1 1 1 1
3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
La solution est, selon la variable libre choisie,
Q (!
1)
22091 22091 22091 22091Q (!
2)
22063 22063 22063 22063Q (!
3) q
32 0;
1109 1109q
4 25 7952256q
5q
6 25 7953372Q (!
4)
1109q
3q 2 0;
1109q
5 51 590291 10 3182193q
6Q (!
5)
25 7952256q
3 51 590291+ q
4q 2
51 590291;
25 7952256 1255q
6Q (!
6)
25 7953372+ q
3 10 3182193q
4 1255q
5q
62
25 7953372;
10 3182193Selon la variable libre que vous avez choisie, vous obtiendrez Q (!
1) = 0; 41364 = 0; 41364 Q (!
2) = 0; 28636 = 0; 28636 Q (!
3) q
32 (0; 0; 081818) 0; 081818 q
4Q (!
4) 0; 081818 q
3q
42 (0; 0; 081818) Q (!
5) 0; 087459 q
30; 0056406 + q
4Q (!
6) 0; 13072 + q
30; 21254 q
4Q (!
1) = 0; 41364 = 0; 41364
Q (!
2) = 0; 28636 = 0; 28636
Q (!
3) 0; 087459 q
5q
60; 130 72 Q (!
4) q
50; 0056406 0; 212 54 q
6Q (!
5) q
52 (0; 0056406; 0; 087459) 0; 21818 q
6Q (!
6) 0; 21818 q
5q
62 (0; 130 72; 0; 212 54)
Graphes permettant de visualiser les contraintes des q
iq
3q
40.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
x y
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
x y
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0 0.1 0.2
x y
0.05 0.10 0.15 0.20
-0.1 0.0 0.1 0.2
x
y
q
5q
60.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
x y
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
x y
0.1 0.2 0.3 0.4
-0.2 0.0 0.2
x y
0.1 0.2 0.3
-0.1 0.0 0.1 0.2
