A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
P IERRE D AZORD
Sur la géométrie des sous-fibrés et des feuilletages lagrangiens
Annales scientifiques de l’É.N.S. 4e série, tome 14, no4 (1981), p. 465-480
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4e série, t. 13, 1981, p. 465 à 480.
SUR LA GÉOMÉTRIE DES SOUS-FIBRES ET DES FEUILLETAGES LAGRANGIENS
PAR PIERRE DAZORD
Introduction
On sait le rôle joué dans la théorie des équations aux dérivées partielles par la classe de MasIov-Arnold que ce soit dans la théorie des opérateurs intégraux de Fourier de L. Hôrmander ou dans le calcul lagrangien de J. Leray.
Dans ces questions la géométrie utilisée est la géométrie symplectique ou ^-symplectique.
Le but de cet article est de montrer comment les études de géométrie symplectique peuvent bénéficier de la considération des structures subordonnées à la structure symplectique ou qui lui sont associées en un sens plus large. Les méthodes utilisées sont celles de la géométrie des fibres et des connexions telles qu'elles sont présentées dans le livre de A. Lichnerowicz
« Théorie globale des connexions et des groupes dyholonomie ».
L'article est divisé en trois parties.
La première partie est consacrée à l'étude de l'existence de sous-fibres lagrangiens d'un fibre symplectique. Par l'utilisation de structures associées à la structure symplectique, des conditions nécessaires d'existence portant sur les classes de Chern, Pontriaguine, Stiefel- Whitney et Euler sont mises en évidence.
La deuxième partie est consacrée aux feuilletages lagrangiens. Un sous-fibre lagrangien L permet de réduire à 0 {n} le groupe structural d'un fibre symplectique. Parmi les structures euclidiennes ainsi construites, il en existe de privilégiées si L est le fibre tangent d'un feuilletage Lagrangien sur une variété symplectique sous certaines conditions naturelles, ce qui permet de prouver que les feuilles complètes de tels feuilletages sont des produits de quotients finis de Tores par des espaces euclidiens, résultat qui généralise un théorème d'Arnold [2].
Enfin la troisième partie est consacrée à la classe de MasIov-Arnold. Une structure complexe associée permet d'identifier la classe de MasIov-Arnold universelle d'un fibre symplectique à une 1-classe de cohomologie entière liée à la structure complexe. En particulier la classe de MasIov-Arnold d'une immefsion lagrangienne dans une variété kàhlérienne est liée à la courbure moyenne de l'immersion, ce qui permet de généraliser un
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© Gauthier-Villars
résultat de Morvan [10] aux variétés kàhlériennes simplement connexe à courbure de Ricci nulle. La courbure moyenne permet alors de caractériser les immersions lagrangiennes 2 q- orientées.
Certains des résultats ont été exposés aux Journées P. de Fermât à Toulouse en mars 1981.
!.. Problème (^existence
Soit (E, a) un fibre vectoriel de rang 2 n sur une variété M de dimension m, a étant une 2- forme sur E, c'est-à-dire une section de A2 E*, de rang maximal en tout point (A" a(x)^0 pour tout xeM). (E, o) est un fibre symplectique. On note E(Sp(n)) le fibre principal associé. Si (E, /?) est une structure hermitienne subordonnée à la structure symplectique, il lui correspond une LJ(/?)-réducUon de E ( S p ( n ) ) : E ( U (/?)).
Si (E, a) possède un sous-fibre lagrangien L, L permet de réduire à 0(n) le groupe structural : E (0 {n)) est l'espace des repères (isomorphismes de E^ sur C") tels que z ~1 R"* = L où on identifiée" à HT ©tR<L est une forme réelle de Eet E(0 (n)) est isomorphe à L(0(n)) fibre des repères de L obtenu en restreignant à L les repères de E(0(/î)).
L étant une forme réelle de E, E s'identifie au complexifîé de L. Il en résulte que les classes de Chern de (E, h) d'ordre impair sont nulles (cf. [11]). Par abus de langage, on appellera structure complexe subordonnée à la structure symplectique, toute structure complexe sur E obtenue en élargissant à GL(n, C) le groupe structural d'une structure hermitienne subordonnée à (E, a).
THÉORÈME 1.1 [11]. — Les classes de Chern d'ordre impair de n'importe quelle structure complexe subordonnée à (E, a) sont nulles si E possède un sous-fibre lagrangien.
En particulier, P"(C), munie de sa structure kàhlérienne naturelle a sa première classe de Chern non nulle [9]. Il n'existe donc pas de sous-fîbrés lagrangiens deTP"(C); plus généralement :
COROLLAIRE. — Si M est une variété kàhlérienne complète à courbure sectionnelle holomorphe constante strictement positive, TM ne possède pas de sous-fibre lagrangien.
Si f : M —>• M() est une immersion lagrangienne dans une variété kàhlérienne de fibre tangent à M est un sous-fibré de / ' TMo. Donc/ 1 TM() étant le complexit'ic de TM, les classes de Pontriaguine de M sont, au signe près, les images réciproques par y des classes de Chern de Mo. Si ©o désigne la connexion kàhlérienne de Mç et Oo sa courbure, la /r-ième classe de Chern de Mo est donnée par la 2 A:-forme y^ [6] :
^^P{ ^ K l ) K, . ^ ^ç s(k)1 z ^ ) " ' 0 . ( 1 ) A . . . A Û ' 6 ^
où la somme est étendue à tous les Â:-uples de (1, . . . , 2n) (2 n est la dimension de M) et à toutes les permutations T de { 1, . . . , k ) s ( ' ï ) désignant la signature de T.
Soit }^e/(M), Uo un voisinage de YQ tel que la composante connexe contenant y^ de VQ r\f (M) soit une sous-variété de Mo : W. En restreignant au besoin Uo, on peut supposer
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que TW -> W est trivialisable. Soit (£,)i^^ une trivialisation orthonormale pour la structure hermitienne. Elle s'étend à un voisinage U de yo dans Mo. Soit a, les 1-formes duales.
Comme/est une immersion lagrangienne :
Donc si Mo est à courbure sectionnelle holomorphe constante c la restriction à TW de Qoj s'écrit [6] :
c c
^ O j l w = ^ A O^.lw+Ô^O^ A yk\^=_^ A 0^.|w.
^ k z
Si T G ^ (k), Oç1, A . . . A % 1^ contient deux fois le terme a, et est donc nulle.
THÉORÈME 1.2. — 5 7 / : M - > M o est une immersion lagrangienne dans une variété kâhlérienne à courbure sectionnelle holomorphe constante, les classes de Pontriaguine de M sont nulles.
On peut encore exploiter le fait qu'un fîbré symplectique possédant un sous-fibre lagrangien s'identifie à son complexifié pour donner d'autres obstructions topologiques.
Si W [E] est la classe de Stiefel-Whitney totale de E, W [L] celle du sous-fibre lagrangien, le fibre normal de L s'identifiant à L, W[E]=W[L]2.
THÉORÈME 1.3. — Si Efigré symplectique possède un sous-fibre lagrangien, W [E] == W [L]2. Considérons une variété cotangente T* Mo. Soit po : T* Mo —> Mo la projection. La variété symplectique T* Mo possède un sous-fibre lagrangien le fibre des vecteurs verticaux qui est l'image réciproque par PQ dufibré tangent de Mo. Si on note W (M) la classe de Stiefel- Whitney totale de M (W(M)=W[TM]), W(T*Mo)=W[VT* Mo]2=^W(Mo)2.
COROLLAIRE 1. — Si une variété M est isomorphe à une variété cotangente sa classe de Stiefel- Whitney totale est un carré parfait, et donc ses classes de Stiefel- Whitney d'ordre impair sont nulles.
Soit / : M -> T* Mo une immersion lagrangienne f~1 TT* Mo possède TM comme sous- fibré lagrangien. Donc W(M)2=W[/- lT*Mo]=/'lW(T* M o ) = / ~1 o^-l(W(Mo)2). On pose fQ=pQo f.WÇM)2^/'^ (W(Mo}2). On retrouve un résultat de Hayden :
COROLLAIRE 2 [5]. — Sifest une immersion lagrangienne de M dans T* Mo etfo l'application composée avec RQ :
W(M)2=/gW(Mo)2.
Un fibre symplectique est muni canoniquement d'une structure unimodulaire définie par la 2^-forme :
/ _ i \ ( n ( n + l ) ) / 2
11 •'———^
II est donc canoniquement orienté et on peut parler de sa classe d'Euler.
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THÉORÈME 1 . 4 . — Si (E, a) fibre symplectique possède un sous-fibre lagrangien L sa classe cTEuler ^(E) est nulle.
Démonstration. — E étant orienté, on peut résuire le groupe structural de E comme fibre réel à S0(2n, R). E possédant un sous-fîbré lagrangien, on peut alors réduire le groupe structural à E(0(^)), 0(n) étant plongé dans S0(2n, R) par l'homomorphisme p : A-^ ( ). Si œ est une connexion sur E{0(n)} sa courbure, considérée comme
\0 A /
prenant ses valeurs dans l'algèbre de Lie (9 {In, IR), est telle que 0} est nul si (i,j) ou (y, /) appartiennent à { 1, . . . , ^} x { ^ + l , . . . , 2 ^ } . 0 r l a classe d'Euler de E est la classe de la 2 n- forme sur M (In est le rang de E) [6] :
^=——————— Z e ( T ) t 2 ^ A . . . A ^ j ^ -1' .
z 7L / t • z e s ( 2 « )
T étant une permutation, il existe un i tel que (ï (Q, T (? + 1 )) ou (ï (i +1 ), T (0) appartienne à { 1 , . . . , ^ } x { ^ + l , .. .,ln}. Chaque terme dans la somme est donc nul, ce qui implique
Ï2n=0.
C.Q.F.D.
Si (M, a) est une variété symplectique compacte l'intégrale de 72 „ sur M est égale à la caractéristique d'Euler-Poincaré de M, ce qui prouve :
COROLLAIRE 1. - Si (M, a) variété symplectique compacte possède un sous-fibré lagrangien de son fibre tangent, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.
La seule sphère que l'on peut munir d'une structure symplectique est §2. Le corollaire précédent n'est alors rien d'autre que le théorème de Poincaré-Hopf : §2 ne possède aucun champ de direction.
COROLLAIRE 2. - Si une variété M est isomorphe au fibre cotangent d'une variété, X(TM)=0.
En effet toute variété cotangente T* Mo possède un sous-fibré lagrangien, le fibre des vecteurs tangents verticaux de T* Mo.
Remarque. - Toute variété M peut être réalisée comme sous-variété lagrangienne de son fibre cotangent au moyen de la section nulle. Les théorèmes énoncés ci-dessus donnent des obstructions à la réalisation d'une variété donnée M à l'aide d'une immersion lagrangienne dans une variété symplectique donnée Mo. La détermination explicite des variétés M que l'on peut ainsi réaliser dans 1R4 identifié à T* R2 est ouverte. T2 se réalise trivialement.
Récemment, Hayden et Zeeman [5] ont construit une immersion lagrangienne de la bouteille de Klein K2 dans [R4. Dans le paragraphe suivant on détermine explicitement les immersions lagrangiennes obtenues comme feuilles d'un feuilletage lagrangien. En mécanique les autres immersions lagrangiennes ont de ce point de vue un caractère exceptionnel. Signalons enfin que dans [13] sont donnés, sous des hypothèses additionnelles, des résultats concernant les immersions lagrangiennes dans les variétés kàhlériennes.
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2. Feuilletages lagrangiens
Dans tout ce paragraphe (M, a) désigne une variété symplectique de dimension 2 n, ^ un sous-fîbré lagrangien de TM, de classe C2 au moins, intégrable. Par abus de notation ^ désigne encore le feuilletage sous-jacent : ^ est un feuilletage en sous-variétés lagrangiennes immergées de classe C3 au moins.
Les résultats de ce paragraphe sont des conséquences du théorème suivant, dû à Weinstein (cf. [11]) et dont on donne une démonstration originale :
THÉORÈME 2.1 [11]. - Toute feuille de ^ est munie dune connexion symétrique plate.
Démonstration. - On note v ^ = TM/^ le fibre normal de ^ et v* ^ son dual identifié au noyau de l'application canonique de T* M sur ^*. On note v la projection de TM sur v ^F. On a ainsi deux suites exactes de fibres sur M, duales l'une de l'autre :
/ O-^-^TM-^v^-^O, ( 0-^v^*-^T*M-^*-^0.
Pour tout champ de vecteurs tangents X au feuilletage et tout champ de vecteurs Z sur M, v [X, Z] (.v) ne dépend que de X (.v) et de v Z car ^ est intégrable. On définit une connexion V dans r^v^-^Mo, où Mo désigne l'ensemble M muni de la structure de variété de dimension n déduite de la topologie des feuilles et M()C^ M l'immersion injective canonique, en posant :
V x Ç = v [ X , Z ] où vZ=Ç, Xe^.
V est la connexion de Bott du feuilletage [3].
Remarque. - P. Libermann a prouvé dans [8] que si l'on considère sur une variété de dimension In un feuilletage de codimension n et une structure paracomplexe subordonnée, il existe une connexion paracomplexe qui induit une connexion particulière sur le fibre normal. Cette connexion sur le fibre normal du feuilletage est la connexion de Bott.
^ étant un feuilletage lagrangien, la 2-forme symplectique a induit un isomorphisme de ^ sur v* J^, donné par X -> — i^ a. Ceci permet de munir /- 1 Z -> Mo d'une connexion notée V :
ScY^-^x^* où r|*=-iY<7.
, L'identité de Jacobi des champs de vecteurs entraîne que la connexion de Bott est sans courbure. Or si R(R) désigne la courbure de V(V) R et R sont liées par la relation :
l R , X , . X , , Y C T = - R ( X i , X 2 ) . r | * ,
car V2r|*=R A r|*; V est donc sans courbure.
Soit T sa torsion. Pour toute section locale Ç de v ^ -> M se relevant en un champ local Z sur M, or(T(X, Y), Z)= + <VYÇ*-VXÎI*, Ç>-a([X, Y], Z) où on a posé -^0=^*,
- I Y ( T = T | * , < , > désignant la mise en dualité de v ^ et v* ^'.
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Par définition de V dans v* ^F :
(VxT|*)(0=^x(î1*0-r|*(VxÇ)
^x désignant la dérivée de Lie).
Compte tenu de ce que T|* = - iy cr et de ce que ^F est lagrangien cette relation s'écrit : (Vxî1*)(Ç)= - ^x(^(Y, Z))+o(Y, [X, Z]),
ce qui conduit à la formule :
a(T(X, Y), Z)=J^(Y, Z)+ÂYCT(Z, X)-cr([X, Y], Z)-o([Z, X], Y)-a([X, Y], Z).
Soit compte tenu de la formule donnant la différentielle d'une 2-forme et de ce que ^ est lagrangien :
a(T(X,Y),Z)=^a(X,Y,Z).
Comme o- est fermée, Z quelconque, T(X, Y)=0.
C.Q.F.D.
Si F est une feuille de <^, son holonomie infinitésimale \|/i (F) est le groupe d'holonomie de la connexion de Bott et donc de V. \|/i (F) s'identifie à un sous-groupe de GL (n, IR). Si \|/i (F) est relativement compact, il laisse invariant une forme quadratique Q. Identifiant Q à une forme quadratique sur T^ F où XQ est un point (quelconque) de F, le transport par parallélisme relativement à V de Q le long des chemins issus de XQ et aboutissant en un point x^ donné, ne dépend pas du chemin considéré car Q est invariante par v|/i (F). F est donc munie naturellement d'une structure riemannienne g. Mais comme v[/i (F) laisse invariante Q, V g = 0 [9]. Comme V est sans torsion, V est la connexion riemannienne de F.
On a donc prouvé :
LEMME 1. — Si v|/i (F) est relativement compact, F est munie naturellement d'une structure de variété riemannienne plate dont Fholonomie est \|/i(F).
Si F est compacte, F est alors une variété riemannienne compacte plate. Ces variétés sont classifiées [12] : nécessairement v[/i (F) est fini et F possède un revêtement riemannien isomorphe au tore plat de la dimension correspondante sur lequel \|/i (F) agit par
« déplacement » sans points fixes et F est isomorphe au quotient du tore par v|/i (F). On dira pour simplifier que F est un quotient fini de tore.
Si F n'est pas compacte, on fait l'hypothèse que (F, g) est riemannienne complète. On va prouver qu'alors (cf. infra) v|/i(F) est encore fini, F est isomorphe (du point de vue riemannien) au produit d'une variété F() compacte quotient d'un tore, à holonomie \|/i (F), par un espace euclidien, ce qui conduit au théorème :
THÉORÈME 2.2. — Si F est une feuille d'un feuilletage lagrangien dont Fholonomie infinitésimale \|/i(F) est relativement compacte :
1. F est munie canoniquement d'une structure riemannienne g.
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2. Si (F, g) est complète, F est isométrique à un produit F() x R""^ OM Fo ^ le quotient du tore plat T^ par le « groupe de déplacements » sans points fixes v|/i(F) qui est fini. En particulier ^(F())==/(F)==O sauf si F ^ isométrique à R".
F;>î ûfe to démonstration du théorème. — On reprend la démonstration du théorème 3.3.3 de [12]. (F, g) étant riemannienne plate, F est isomorphe à IR"/r où F est un sous-groupe du groupe des déplacements de 1R" : E(n), discret et sans éléments d'ordre fini (tous les isomorphismes s'entendent ici du point de vue riemannien, R" étant munie de sa structure canonique). On note F o R" la fermeture (dans le groupe topologique des déplacements) de l'extension de F par R" au sens du produit semi-direct définissant E(n)=0(n) tR". Soit F^ la composante connexe de l'identité de F n F o R " . F^ est un sous-groupe distingué de F d'indice fini. De plus F^ est le groupe des translations d'un sous-espace vectoriel V de IR", sous réserve du changement éventuel d'origine dans R" ce qui ne modifie en rien les conditions de résolution du problème.
Soit V1 l'orthogonal de V. F^ laisse V et V1 invariants. D'autre part Wolf prouve, qu'en changeant éventuellement d'origine, on peut assurer que F est isomorphe à F^ x F^ où F^ est un sous-groupe du groupe des déplacements de V et F^ un sous-groupe du groupe des rotations de V1. Cet isomorphisme transforme F^ en un sous-groupe uniforme discret
de V :
r/r^=r,/r^xF2.
Comme F/F^ est fini, F^ est fini et donc réduit à l'identité puisque F n'a pas d'éléments d'ordre fini.
Donc :
F=FiX ly±
(où lyi est l'identité de V1), et F^/F^ est fini.
Le groupe d'holonomie \|/i (F) s'identifiant à l'image de F dans 0(n), v[/i (F)==Ti/F^ esi donc fini et s'identifie à un sous-groupe des rotations de V. En particulier il laisse invariant V etV1.
Le revêtement riemannien/? : V x V1 -> F définit par passage au quotient par F, qui n'agit que dans V, une isométrie surjective, (F=Fi x lyi) :
V/FiXV1-^,
V/FI est le quotient du tore V/F^ par le groupe fini v|/i (F) qui s'identifie au demeurant au groupe d'holonomie de la variété riemannienne compacte plate V/Fi.
C.Q.F.D.
COROLLAIRE 1. — Si ^ est un feuilletage lagrangien sans hoionomie infinitésimale, toute feuille est munie naturellement d'une structure riemannienne. Les feuilles complètes pour cette structure sont isomorphes à des cylindres (c'est-à-dire à des produits de tores par des espaces euclidiens).
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Arnold [2] a prouvé le résultat suivant :
Si {fi\^i^n sont " fonctions réelles en involution sur une variété symplectique (M, a) de dimension 2 n, dont les différentielles sont linéairement indépendantes en tout point de M, les sous-variétés lagrangiennes W^ =f~1 (û), où/est l'application de M dans R" de coordonnées (/. ), sont des cylindres si les champs hamiltoniens associés aux fonctions/ sont complets. Les hypothèses faites assurent que le feuilletage défini par les sous-variétés W^ est sans holonomie — et donc a fortiori sans holonomie infinitésimale — puisque défini par une submersion. Le théorème d'Arnold résulte donc du théorème précédent sous réserve que l'on prouve que les feuilles W^ sont complètes.
LEMME. - Soit W une variété par allélisable, (X,) un parallélisme. Si pour tout couple (X,, Xj), [\i, X^]=0 et si les champs (X^) sont complets, W est complète pour sa structure riemannienne platï naturelle.
Démonstration. — Soit Q^ l'ouvert de T^W sur lequel est défini exp^, application exponentielle en x pour la structure riemannienne définie par ^(X^, X^)==ô^. La connexion canonique de W liée au parallélisme est la connexion riemannienne de^.exp^ est une isométrie locale de Q^ munie d'une structure euclidienne dans W. Donc, si X et Y sont deux vecteurs de Q,c, t -> exp^Y+^X) est, pour / et s assez petits, une géodésique de W, celle issue de exp^ s X avec comme vitesse initiale Y^p^x °ù on note Y le champ parallèle défini par le vecteur Y. Le flot de Y, (p^ (y) est donné par expy t Y. Comme [X,, X^.] = 0, le flot (p; de X1
commute au flot de tout champ parallèle, ce qui entraîne : exp^(/Y + ^ X) = (p^ o (p; (x) = (p; o (p^ (x).
Comme (p^ est complet, Q^ est invariant par les translations RX^. Les X^. étant linéairement indépendants, Q^=T^W, W est donc complète d'après le théorème de Hopf-Rinow.
C.Q.F.D.
Le théorème d'Arnold se déduit alors du lemme précédent en observant que : V^/=^x^=0,
car les/ sont en involutions. Donc V est la connexion associée au parallélisme défini par les X,.
C.Q.F.D.
Remarques. — 1. En basse dimension (n = 2,3) les variétés riemanniennes compactes plates sont totalement classifiées. Ainsi si A? =2 les seules variétés sont T2 et K2.
Si /î=3, Wolf donne une liste complète [12].
2. Sous les hypothèses considérées par Arnold, le feuilletage étant sans holonomie, il résulte du théorème de stabilité locale de Reeb que toute feuille compacte, qui est un tore, admet un voisinage tubulaire feuilleté en tores (cf. [2]).
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3. Classe de MasIov-Àrnold universelle d'un fibre symplecrique
Soit (E, J) une structure complexe subordonnée à la structure symplectique (E, a). Soit œ une connexion sur E(GL(n, C)) fibre principal associé à (E, J) et t —> (z^ (?), z^ (0) un chemin de E2(GL(n, C)). (On note ainsi systématiquement les carrés fibres. De même p désigne la projection de tous les fibres de base M, p^ (i = 1,2) les projections naturelles du carré fibre sur ses facteurs).
œ étant une connexion, on peut écrire [9] :
(dz,\ , _ , (dz^\ _,dg
^r^ œ^)^ -It-
ou z^=z^.g.
Soit LS (n, C) le sous-groupe de GL (n, C) des matrices dont le carré du déterminant vaut +1. L'algèbre de Lie de LS(n, C) est sl(n, C) algèbre de Lie de SL(n, C). On note Tr M la trace de la matrice complexe M.
S i ^ e L S ( ^ C ) ,
Tr.-^-O.
Tr œ définit donc de façon naturelle une connexion dans le fibre E(CJ=E(GL(^, C))/LS(/2, C ) o ù C ^ = G L ( ^ , C)/LS(/2, C) est le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. On note encore Tr œ cette connexion dont la courbure est une 2-forme sur M dont la classe est la première classe de Chern de (E, J).
On définit sur E^C^) une 1-forme S ainsi :
Z= —(p^Tro)—/^ Tr œ).
iu
Comme/?i op =p^ op, et que la différence de deux connexions est une 1-forme tensorielle, £ ne dépend pas de œ et est fermée.
THÉORÈME 3.1. — E définit sur E2 (C^) {et sur E2 (GL(n, C))par image réciproque) une 1- classe de cohomologie entière.
Démonstration. — II reste à prouver que S est à périodes entières. Si t ->T(^)==(zi(r), z^(t)) est une courbe C1 de E2(GL(n, C)) :
^ / ^ T \ ^ ( d z [ dzA 1 _ _,dg
^ - , - = S - — , — = — T r ^ 1— , ou z ^ = z ^ . g .
\ d t ) \ d t d t ) i n dt O r :
^det^^ldet2^)^-1^.
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Donc Tr g ~1 dgidt s'exprime à l'aide de la forme de Maurer-Cartan de C^ : z û f e = p- lâ f p + 2 7 t ^ 6 * a où a désigne la 1-forme canonique de §1 de période 1, p= |z| et 9 l'application de C^ sur S1 z -> 9(z)=z/|z|. Soit (p l'application de E2(GL(n, C)) dans S1
définie par :
, , det^
^'^^gT sl zl=z2^'
E
(^)
=7^-^
L-l
det^l
+^
a(^)• ,
T^ ^ ^ . . C.Q.F.D.
Donc S ^ (p* a.
Remarques. - 1. Si E(U(»)) est une U(^) réduction de GL(n, C)î.\^^=^ a|E(u(n))- 2. Cette classe est typique de la structure complexe. Pour une structure réelle, on a toujours une 0(n) réduction et donc S ~0.
(E, cr) étant symplectique, le fibre de base E2(Sp(n)), ^E^Sp^)) E est un fibre symplectique muni naturellement de deux sous-fibres lagrangiens ^ et ^ :
^l(^2)=(^2^21^*),
^(^^(^^^r
1"^*)
(on identifie C" à IR"®^*^* R").
Au triple (<?, J^fi, ^2)on associe [4] une classe de cohomologie entière la classe de Masiov- Arnold universelle de (E, a). Cette classe, notée ^ est entièrement déterminée par sa restriction à E^U^)) où E(U(^)) est une \J(n) réduction de E(Sp(»)).
THÉORÈME 3.2. - La classe de MasIov-Arnold universelle de (E, a) induit sur E2 (U (n)) la même classe de cohomologie que £.
Démonstration. — Soit F un lacet de E2 (U (n)) se projetant sur un lacet y de M. La classe de MasIov-Arnold étant invariante par image réciproque, pour calculer ^(H ^ sufflt de déterminer la classe de l'image réciproque de (<T, J^\, 0^2) par F, c'est-à-dire celle de :
(y^E^z^œ.^Uz,-1^).^"*)), l
S1
où Zi~1 (r) R"* est la fibre en ^e§1 de F"1 J^ (et vice versa) et où on a posé
r(r)=(z^),z2œ).
Le fibre symplectique y ~1 E est symplectiquement isomorphe au fibre symplectique trivial S1 x C" par le symplectoisomorphisme défini pour les fibres en t par : Ç -> z^ (t). ç; ^ (F) est donc la classe de l'image de (y~1 E, z^-1 (t) ffT*, Zi"1 (t) R"*) par cet isomorphisme. C'est donc celle de :
(s^c", ur*, SIR"*),
§ i
1où S R"* est le sous-fibre lagrangien de fibre en t, g (t). Hr*, g (t) étant l'élément de U {n) défini par z i ( ^ = z 2 ( 0 . g ( ^ ) .
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Mais cette dernière situation est l'image réciproque par t->g(t) de : (U^xC", [T*, SIR"*),
i U(^)
(où S R"* est le sous-fibre lagrangien de fibre en a, a R"*), situation qui définit la classe de MasIov-Arnold de U(»), ^^. Si on définit (pi de E^U^)) dans U(^) en posant ( p i ( z i , Z 2 ) = ^ s i z i = Z 2 g :
^0=<PÎ^W
Pour calculer ^j^ on remarque que n^ U(w)=Z. Or la trace de la 1-forme de Maurer- Cartan de U (n), Tr g~1 ûf^ est une 1-forme fermée non triviale à valeurs imaginaires pures. Il existe donc un réel 'k tel que :
^(.^^[Tr^], ^eBR,
où [ ] désigne la classe d'une 1-forme fermée.
Comme Tr g~1 dg=in^ai, où (po est l'application de \)(n) dans §1 définie par : (Po(^)=——^p ^u(.)=^l[(PSa]. ^ie(R.
Si on considère le lacet 9 -> (^le, 1, . . . , 1) de U (n), (pg a =2. D'autre part HU(») (
r
/)=2(ç/'. 4 par exemple). ^ Donc^u(n)=[(P$a]-
Comme cpo o (p^ = (p, il en résulte que Oo = [(p* a].
C.Q.F.D.
La grassmannienne lagrangien A(E) de E, o) est le quotient de E(SpOî)) par le stabilisateur de R"* dans l'action de Sp(n) : St(n) :
A(E)=E(Sp^))/St(M).
Si on s'est donné une U(^) réduction de Sp(n) '.
A(E)=E(U^))/0(^).
Comme 0 (n) c LS (n, C), OQ = [(p* a] = [S] définit par passage au quotient une ï-classe de cohomologie entière a^ sur A2 (E).
Si LI et L^ sont deux sous-fibres lagrangiens de È, la classe de MasIov-Arnold de (E, L^, L^) notée u^ L es^ l'image réciproque de a^ par l'application :
LI L^ : M ^ A2 E, x -> (Z^ (x), LI (x)).
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Pour expliciter ^L,=(LI L^)* ^ on se donne localement un relevé de L,(i= 1, 2) dans U (n\ autrement dit, h étant la structure hermitienne considérée, un repère orthonormé (^})i^^ dG la structure riemannienne induite sur L^.
Si XeT.M, 2;(UX, LÎX)=lA7r(Trœ(L^X)-Trû)(LÎX)) où œ est une connexion hermitienne.
Or œ(LTX)=(U?,)eu(^) algèbre de Lie de \J(n) et (U?,)=À(D^, ^k) où D est la loi de dérivation covariante associée.
Donc H^L, est la classe de la 1-forme sur M :
^L—_ i {A(DX^^)-A(D^),^)},
1 7 1J = l
qui ne dépend que de L^ et L^. Si g est la structure riemannienne sur E définie par
^(X, Y)=[RA(X, Y), (partie réelle de À(X, Y)), J la structure complexe de E :
?L^(X)=-1- S { ^ ( D x ^ , J ^ ) - ^ ( D ^ } , J ^ ) } .
^•=1
THÉORÈME 3 . 3 . — Soit (E, a) un fibre symplectique, L^etL^ deux sous-fibres lagrangiens de E; la classe de MasIov-Arnold de (E, L^L^) est la classe de la 1-forme sur M •
^L,-1- E { ^ ( D ^ , J ^ ) - ^ ( D ^ , J ^ ) } ,
7^=1
OM g et J .sw^ to structure riemannienne et la structure complexe définie par une structure hermitienne h subordonnée à a de loi de dérivation covariante D.
œ étant une connexion hermitienne et 0 (n) étant contenu dans LS (n, C), Tr œ définit par passage au quotient par 0(n) une 1-forme sur A(E) notée Trœ^. Si L est un sous-fibre lagrangien de E :
^ f ^ T r œ ^ - î - T r Q ,
\in ) in
où Q est la courbure de œ. On retrouve ainsi que la première classe de Chern est nulle. Si TrQ=0, L*((l/f7i)Trœ^) définit sur M une 1-classe de cohomologie réelle.
En particulier si M est une variété kàhlérienne et E==TM, Q=0 si et seulement si la courbure de Ricci de M, Rie M, est nulle.
Soit / : W -> M une immersion lagrangienne dans M kàhlérienne. TW est un sous-fibre lagrangien de f~1 TM. Soit œ^ la 1-forme sur W définie par :
œ^=(TW)*^Trœ^,
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/ " ' T M -TM
W •M
où œ est la 1 -forme sur la grassmannienne lagrangienne de / -1 TM associée à la connexion image réciproque de la connexion kàhlérienne de M. œ, désignant la 1-forme sur la grassmannienne lagrangienne de TM, œ^ s'écrit encore :
œ^=(TW)*/*-Trco,.
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Donc ûtow=/*((l/^)TrQ) où Q est la courbure de la connexion kàhlérienne de M. œ^
est donc fermé soit si la courbure de Ricci de M est nulle, soit si M est à courbure sectionnelle holomorphe constante car alors Q est colinéaire à la forme symplectique [6]. Dans ces deux cas œ^ définit une classe de cohomologie réelle.
Des calculs effectués au cours de la démonstration du théorème 3.3 il résulte que : œ w — — É ^ D / ^ J / ^ , ) ,
<l j = i
où D est la loi de dérivation de la connexion kàhlérienne de M, g la structure riemannienne et J la structure complexe subordonnée à la structure kàhlérienne, (e.) une base orthonormée de (TW,/*^).
Par l'utilisation des propriétés de la connexion kàhlérienne, on prouve que : œ ^ ( X ) = - - E^X.JD,/^,).1 ^
7=1
On appelle courbure moyenne de l'immersion, la section H de /-1 TM -> W définie par : / o H = ^ D^foe
j = i ./To^
œ w ( X ) = - ^ ( /TX , J 7 H ) = ^ / * ( ^ a ) ( X ) , ce que, par abus de notation, on' écrit (O^==(I/TC)/* i^ a.
THÉORÈME 3.4.- Soitf : W -> M une immersion lagrangienne dans une varié té kàhlérienne de 2 forme symplectique a et H la courbe moyenne de f.
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(i) Si M est à courbure de Ricci nulle ou si M est à courbure sectionnelle holomorphe constante, (l/îi) /* IH ^ définit une 1-classe de cohomologie réelle de W.
(ii) Si M est à courbure de Ricci nulle et simplement connexe, (l/7c)/* IH a est à périodes entières.
Déplus siM possède un sous-fibre lagrangien L, la classe de -(l/7i)/* IH a est la classe de MasIov-Arnold a^- de l'immersion lagrangienne relativement à L.
Démonstration. — II reste à prouver (ii).
Si on suppose l'existence d'un sous-fibre lagrangien, ce qui exige que la première classe de Chern de M soit nulle ce qui est réalisé car Rie M=0, jïp 1-forme définissant la classe de MasIov-Arnold, est donnée par :
1 , . - 1
^ / = — L * T r œ ^ - - i H C T , car : in n
^(TW./^LrE^TW,/-1^*/*^
où EW (^P- E) est la 1-forme à période entière associée à f~1 TM (resp. TM) :
^L*Tro^=TrO=0, car Rie M=0.
Comme 71^ M=0, L* Trœ^ est un cobord et donc : î1/ - - ^ / *1^ ce qui achève la démonstration dans ce cas.
Dans le cas général soit y un C^-lacet de W et F le lacet de A(TM) qui s'en déduit :
r=./oTWoï
où TW est considéré comme une section de A(/1 TM) : 1 C. 1 f -
- / lHa= ~ T r c ù-
^ J / ^Jr
Soit XQ = y (0) et ; l'inclusion de T}^) M dans TM et les inclusions qui s'en déduisent pour tous les fibres considérés :
n, A(T^) M) -^ Tii A(TM) -. n, M =0.
Donc tout lacet F de A(TM) se déforme en un lacet r\ de A(T^)M). Comme
^ T r œ = T r Q = 0 :
I f 1 f ,,-
— IH a = 7- ?* Tr ©.
T t j y ^ J r
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A(TM) étant isomorphe à TM(n))/0(^), on a le diagramme suivant : U(^) ————————l!———————^ E(U(n))
}J(n)/0(n)=A(n)—————————0.———————^ A(TM)
© connexion kàhlérienne a pour image réciproque par ÎQ la 1-forme de Maurer-Cartan de
U(7î).
Donc :
1 r 1 r
- i a = — T r g - ^ d g où f o ° r o = r i ,
" J y ^k
or (1 /; 7i) Tr g ~1 ûfg définit la classe de Masiov de U (n) et donc de A (n) et donc de A (n). Il en résulte que — ly a e Z.1 f
71 Jy
Ce théorème étend un résultat de Morvan [10] relatif aux immersions lagrangiennes dans [R2".
Un fibre symplectique est muni d'une géométrie oo-symplectique au sens de Leray [7] si on peut élargir son groupe structural à son revêtement universel. On a de même la notion de géométrie oo-hermitienne ou oo-kàhlérienne.
En particulier si un fibre symplectique possède un sous-fibre lagrangien orienté, il est naturellement muni d'une géométrie oo-symplectique [4].
On a de même, les notions de géométries 2 ^-symplectiques.
Une immersion lagrangienne / d'une variété W dans une variété oo-symplectique M est 2 ^-orientée si son fibre tangent se relève dans la grassmannienne 2 ^-symplectique de /-^M.
Du théorème 3.4 et des résultats de [4] on réduit le résultat suivant :
COROLLAIRE 2. - Si M est une variété kàhlérienne simplement connexe à courbure de Ricci nulle munie de la géométrie oo-symplectique associée à un sous-fibre lagrangien orienté, une immersion lagrangienne f : W -> M est 2 q-orientable si et seulement si — [in a] e 2 q Z.
Ceci permet en particulier de caractériser les sous-variétés lagrangiennes 2 ^-orientées de (R2".
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BIBLIOGRAPHIE
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P. DAZORD, Université Claude-Bernard, Département de Mathématiques, 43, boulevard du 11-Novembre-1918,
69622 Villeurbanne Cedex.
(Manuscrit reçu le 19 mai 1981, accepté le 24 septembre 1981.)
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