p 1z p 0z W.{|)} *~

(1)

2436587:9;<>=@?ACBDBEGFH=I.JA=KELNM

◦

^OQP

RTSVU

*W

U

YX

Z$[]\V^ _4`bacdaegf4\a_4hiac

jk)lnm:o"p8qsrTqstsoTk4ku$pqvu.wQuoTqspx

y

p

^z

q

^z

p 1

^z

p ⁰

^z W.{|)} *~

U ~ U

U

)}}*

y

A

^z

B

^z

A 1

^z

A ⁰

^z ^W.{|^U }*(W}W}>~

U ~ U

U

)}

y

Γ

^z

∆

^z

Π

^z

Γ 1

^z

Γ ⁰

^z W.{|}"),}*

U

,}*{Q

U

Γ

∆

^* ^U ^*

Γ,∆

^z ^}

,}")}Hv) W

U

n>)

U

W*W )W*v) )

U

,}

A

^*C

U

A

^{

y

Γ . ∆

^|*)n

y

Γ,A . ∆,A

^|b^U ^R

=

^*)n ^U0 ⁾^U ,} ). n)WK)(

U

X

y

]*)n*Y0 n¡@¢£}@¤¥ ¤~ (

U

n}¦ K0W)(*W*(*n)88

U

*(}*¤§}}*

U

n*b

U

*{()

U

}

A

^*C~

U

.}v} *n)

. A

^}T¨*{

yª©«

.}*v§ )W*.|

Γ . A,∆

Γ,¬A . ∆ (¬

) Γ,A . ∆ Γ . ¬A,∆ (¬

) Γ . A,∆ Γ,B . ∆

Γ,A → B . ∆ ( →

) Γ,A . B,∆

Γ . A → B,∆ ( →

) Γ,A . ∆ Γ,B . ∆

Γ,A ∨ B . ∆ (∨

) Γ . A,B,∆

Γ . A ∨ B,∆ (∨

) Γ,A,B . ∆

Γ,A ∧ B . ∆ (∧

) Γ . A,∆ Γ . B,∆

Γ . A ∧ B,∆ (∧

)

¬>®n¯°n±²°®G³µ´·¶¯¸Y¹sº»¼±¾½¾±¦¿À)Á Â

U

}*C

U

,}*|

y

p → (q → p)

y

(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

y

(p → q) → ((p → ¬q) → ¬p)

y

(p ∧ q) ∨ (p → ¬q)

! U

n )}¦,

U

}0 >¨*C~0C~

U

.}.|

y

(p ∨ q) ∧ (p → ¬q)

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊÌËvÍÏÎÐÑÒÔÓÖÕC×ÎÑÙØ(ÐÒÔÓÖÕ¤ÚÑÙÎÐnÛÜÝÒÔÓÖÕÖÞÎßàÓá.âãÔÝÓÒÔÜÚÑÙÓKÐÛbÓäÔäåäÏæßiãÔßnÕ&ãÔÕ"ç&ÓÖÑÙÜHÕ&ÐÑÒÔÓ×¦ÜãåçèÐÓéÜßnÕCÒÔÓ

Õ&ê0Õ"ç&ëÖØÓ

G

ÞQÒÜìÎßÕTçÙÑ&Ðnìç&ãÔÎßNé.ÓÚnÑ&ÓÖÐÛÓ Ó@ÕTçèÐnÜbÕ"ãåí¾Øî@ìKÜßãÔèÐÓbÞØÎ0éÐÒåÎ]ÒðïÎÑ·é.ÑÙÓé)ïÜÚÚÒÔãÔìÖÜ*ç&ãÔÎßñéÓÖÕCÑÙëKòbÒåÓ@ÕKä)ósß ÚÑ·Ü*çÙãÔèÐÓbÞÎßÜÐÑÙÜçÙÎÐ*ôTÎbÐÑÙÕãåßç&îÖÑ&õKçö ÚÑÙãÔÛãÔÒÔîKòãÔÓKÑÂÒ²ïÜÚÚÒÔãìKÜ*çÙãåÎbßé.ÓÖÕ8Ñ&ëÖòÒÔÓÖÕÂö ÐßnÓÚÑÙîKØãÔÕÙÕ&Ó÷

∧

^ònÞ

∨

^éÓç

→

^énøÂö

Ò²ïÜÚÚÒÔãÔìÖÜ*ç&ãÔÎßéÓÖÕYÑ&ëÖòÒÔÓÖÕ)öé.ÓKÐ.á¤ÚÑÙîKØãÕ&Õ&ÓÖÕù÷

∧

^éÞ

∨

^òÓç

→

ò0ø)Üúnß(é.Ó>ÑÙÓç·ÜÑ·é.ÓKÑÒåÓùÝÑÙÜßnì·âÓÖØÓÖßçYé.ÓsÒÜÂÚÑÙÓKÐnÛÓäÖÍÏÎÐÑ ØÎßç&ÑÙÓKÑÂèÐÓ¤ÒÜé.ÓÖÑ&ßnãåëÖÑ&Ó×ÎÑÙØ(ÐÒÔÓ¤ß)ïÓÖÕ"çùûnüý¤ÚÑÙÎÐÛ*ÜÝÒåÓbÞ0ÎßÐ.ç&ãÔÒåãÕ&ÓVÒÜìÎbßbçÙÑÙÜÚÎÕ"îÖÓé.Ð,ç&ânîKÎÑÙëKØÓ¤é.ÓCìÎbÑ&ÑÙÓÖìç&ãÔÎß

÷ÚnÑ&ÎbÐÛ*ÜÝÒÔÓ

⇒

Û0ÑÙÜãøsÓKßHÓá.âãÔÝnÜßbçÂÐßnÓCãåßç&ÓÖÑ&ÚnÑ&îKçÙÜ*çÙãåÎbßèÐã×¦ÜÒÔÕ&ãåúnÓCÒÔÜ×ÎbÑ&ØÐÒåÓbä.þTìã²ÿ

p = q = F

ä

(2)

¬>®n¯°n±²°® ´·¶¯®¹sºY®à®n¿¥¿»¼½²®®ºQÀn¯0±ð¿ÀÁ ' *} *~ ~ )}}*

p 1 , . . . ,p n ,q

^z

U0

n ≥ 0

^*C ^~ ^U ^ù.{ ^SVU ⁾ ~ }¦,

U

}.|

[(· · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q] → [p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · ·)]

)}}*

z

U

)W

U

à

n

^z }¦ ¤}T ~ )YW

U

) '

U

¥.W}W}

}¦K} }¦,

U

,}W"*)

z

n)}>K K}

U

, }.)*

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊ Ë sïÜÑ&ÝÑÙÓÕ&Ó(ìÎbßnÕTçÙÑ&Ðnãç8ÓÖßHç&ÑÙÎãÕÂçÙÓKØÚnÕ(÷ðé.ÐÝnÜbÕÛbÓKÑ·ÕÂÒåÓânÜÐç·øÿ

n + 1

ÜÚÚÒÔãìKÜ*çÙãåÎbßnÕé.Ó

→

^{é)ÞÚÐnãÔÕ}

1

ÜÚÚnÒåãìKÜç&ãÔÎßHé.Ó

→

òÞ.ÓçÓKßúnß

n − 1

ÜÚÚÒÔãÔìÖÜ*çÙãåÎbßnÕÂé.Ó

∧

éÞìKÓCèbÐnãé.ÎßnßÓ

q, p 1 , . . . , p n . q

p 1 , . . . , p n . q, p 1 p 1 , . . . , p n . q, p 2

p 1 , . . . , p n

^ääää

. q, p 1 ∧ p 2

p 1 , . . . , p n . q, (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n −1 p 1 , . . . , p n . q, p n

p 1 , . . . , p n . q, · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n

( · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n )

^ä

→ q, p 1 , . . . , p n . q

äää

(· · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q . p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · ·) . [( · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q] → [p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · · )]

Õ&Îãåç

2n + 1

ãÔß.×îÖÑ&ÓÖßnìÓ@Õ(÷ÎbÐ

2n + 2

ÒÔãÔòßÓ@Õé.ÓÚÑÙÓKÐnÛÓ@øä Ü çÙÜÝnÒåÓé.Ó(ÛîKÑÙãåç&îé.ÓÒÜ ØõKØÓC×ÎbÑ&ØÐÒÔÓìÎØÚÎÑ&ç&ÓÖÑÙÜãç

2 ⁿ⁺¹

^{ÒåãÔòßÓ@Õ}

¬>®n¯°n±²°® ´v±½¾±°n»¿±ð¸® ½»s±²¸G®Á WK) W) U

n >}V*~

U

}i¥ *·

) }¦H

U

vb

U

}>W0(

U

)

R

ñ>

U

K))C}*¤§}}** *

~ in)*Hb

U

*,}¦N

U

Γ,p . p,∆

^z ^U0

p

^{*)]} ]~} Û ^~ Û Û ^)}}XK)~ Û

Kn * }¦W}¦0K **)n~

U

.}*{)

U

(W*}¦

U ~ U W «

ñN~)|

{!

U

n C)

U

¤*)n¤}¦

U

Γ,A ` A,∆

0¤i ~ ))}*n)}Q}*

§}}*(

U

n(*(b

U

*C~

U

Kn C)

U

}

U

).{

+{à* )

U

C*n)¤~

U

0}0¤ñ ~ Q>~

U

V¾}}*¤)

*b

U

*(~

U

K( (*¤

U

}*

U

n)*{

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊ Ë sïãÔßç&îÖÑ&õKçÂéÓCÒðïÓá.ÓKÑ·ìãìÓVÓÖÕ"ç8é.ÓìKÎØ(ÝnãåßÓÖÑÂé.ÓKÐ.á,çTê0ÚÓ@ÕÂéïãÔßné.Ðìç&ãÔÎßÿ

äÍvÜÑÂãåßnéÐnìçÙãåÎbßHÕ&ÐÑÂÒÜ×ÎÑÙØ(ÐÒÔÓ

A

äÍvÜÑÂÑ&î@ìÐÑÙÑ&ÓÖßnìÓ¤Õ&ÐÑÂÒÔÜânÜÐ.ç&ÓÖÐÑé.ÓCÒÜÚÑ&ÓÖÐÛÓbä

¬>®n¯°n±²°®! ´#"%$»)±ð¼½¾±&'®( ®(Q¿0Á ! U

n C)(~

U

¤

U

)

Γ

^z

Γ ⁰

^z

∆

^z

∆ ⁰

^z ^Y}K*n)

Γ . ∆

^*

~

U

.}

z

}

U

} *)n

Γ,Γ ⁰ . ∆,∆ ⁰

* 0}n}{

)*,+.-0/ 21-§.*34N~

U

KH K

U

) ~ *W )W*, C}¦H (* *(~ .{

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊ Ë5YÎÐçÓ@ÕTç8éãç8éÜßnÕÒ²ïãÔßné.ãìKÜç&ãÔÎß6

¬>®n¯°n±²°®7 ´#8v¸¯.G®(9ù¸¯.G»)½²®°¸:*¸,ù°.¿±ðºY®ñ®n¿9±;:¸,ù°.¿±ðºY®)Á

y

à¢<-101>=@ 0¢Ï*Â

U

)¤} ¤~

U ~ U

U

)}}

z U

}¦)n

U

v)C} ¤~

U ~ U

U

)}}.{

y

)9/¢ 0(?*£@+.-?A*.*,/B1-²£*) C

U

)W

U } Kv{

y

)ED*0GF£H*Y0GF 0¢£I/2*'A2*,/B1-²£*C)W

U

.C

U

)W

U W}¦)*(C

U

)W*{

'(J n)

z U

ñ@)|

y

)9/¢ 0(?*£@/.*KA.*/B1-ð0£*C) W

U

.C

U

)W

U

$ } Kv{

y

)ED*0GF£H*Y0GF 0¢£I+.-?A*.*,/'1-ð£,*C) 0C

U

)W

U

$ W}¦)*W

U

.C

U

)W*{

(3)

}¦ ñ(} K}v*V}¦,X@{Â~} ]}W .C )W.|

(p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (q ∨ r)

^{

Â

U

n)~

U

C

U

}

A

^z }>@)

U

]}W

U

.C

U

)W

A ^∧

^C) ^U

U

]}0C

U

)W

A ^∨

^}})}*C

U

,}*

A

^z

A ^∧

A ^∨

U

n(*.}n*{

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊ ËYÛ*Üßçé.ÓCìÎbØØÓÖßnìÓÖÑÂÒðïãåßé.ÐnìçÙãåÎbß)ÞÎbß,ÑÙÓKØ ÜÑ·èÐÓ¤èbÐnÓVÒÜßîKòÜ*çÙãåÎbßéïÐßÓ¤×Täß)äìäÓ@ÕTçÂî@èbÐnãåÛ*ÜÒÔÓKßçÙÓ

ÜÐßÓ¤×Täß)äéäÓçÛ0ãìÓKí²ÛbÓKÑ·Õ&ÜnÞbÚnÜÑé.ÓÎbÑ&òÜß)ä

ã

A

ÓÖÕ"çÐnßHÜç&ÎbØÓbÞ

A = A ^∧ = A ^∨

^ä

ã

A = ¬B

ÞÎbßìKÎßnÕ"ç&ÑÙÐãåç

A ^∧ ,A ^∨

ÚnÜÑ&ç&ãÔÑÂé.Ó

B ^∨ ,B ^∧

ÓKç8é.Ó¤ÒÔÜÑÙîKØ ÜÑÙèÐÓ¤ìãåí¾éÓÖÕÙÕ"ÐnÕÖä ã

A = A 1 ∨ A 2

Þ

A ^∨ = A ^∨ 1 ∨ A ^∨ 2

ä

A ^∧

Õ&Ó¤ìKÎßnÕ"ç&ÑÙÐãåç

ÚnÜÑ&ç&ãÔÑÂé.Ó

A ^∧ ₁

^Óç

A ^∧ ₂

Þ.ÚnÜÑé.ãÕTçÙÑ&ãÔÝÐ.çÙãåÛ0ãåç&îÿ Õ&Îãåç

A ^∧ ₁ = d 1 ∧ ... ∧ d k A ^∧ ₂ = d ⁰ ₁ ∧ ... ∧ d ⁰ _n

^ä

(A 1 ∨ A 2 ) ^∧ = V

i=1..k,j=1..n d i ∨ d ⁰ _j

ã

A = A 1 ∧ A 2

ÞnÚnÜÑÙÓKãÔÒðä

ã

A = A 1 → A 2

ÎbßìKÎßnÕ&ãé.ëKÑÙÓÒÜ×ÎÑÙØ(ÐnÒåÓ¤îÖèÐãÔÛ*ÜÒÔÓKßç&Ó

¬A 1 ∨ A 2

ä

¬>®n¯°n±²°® ' U

A 0 = p → q

^z ^~

U

n ≤ 0

^z

A n+1 = A n → q

^{

! U

n )} *)n

. A n ,p

^*C~ ^U 0},>}

n

^{*C~ {}

ÃÄnÅÅ*Æ0ÇÈ@É¦ÄÊ Ë

æßÛîÖÑ&ãåúnÓCèÐÓ

.A 0 ,p

Ó@ÕTçÚnÑ&ÎbÐÛ*ÜÝÒÔÓä0ÍvÜÑÜãåÒÔÒåÓÖÐÑ·ÕKÞ.Îbß,ÛbÎãåçÂèÐÓÕ&ã

.A n ,p,q

ÓÖÕ"çÚÑÙÎÐÛ*ÜÝÒåÓbÞÜÒåÎbÑÙÕ

.A n+2 ,p

ÓÖÕ"çÚÑÙÎÐnÛÜÝÒÔÓä)æß]ÜÚÚnÒåãèÐÓÒ²ïÓá.ÎnäÚÑÙÓÖìÓ@é.ÓKßçÙÓ(Óç¤Îß¥Ü únßãÏÚÎÐÑ ÒÔÓ "Õ&ãä

ÍÏÎÐnÑvÒåÓ&Õ"ÓÖÐÒÔÓKØÓKßç>Õ"ãÞ*Ñ&ÓÖØÜÑÙèÐÓÖÑvèbÐnÓÒ²ïÜÑÙÝÑ&Óé.Ó

.A 1 ,p

ÜVÐßÓ×ÓÖÐãåÒÔÒÔÓ

.p,q,p

Þbé.ÎßnìãÔÒß)ïÓÖÕ"çvÚnÜÕÏÚÑÙÎÐnÛÜÝÒÔÓÞ ÓçÒðïÜÑÙÝÑÙÓ8é.Ó

.A n+2 ,p

ÜCÐnßßÎÐnÓÖé

.A n ,p,q

Þ0é.ÎbßnìÂÚÎÐÑ

n = 2k + 1

^ÞÒ²ïÜÑ&ÝÑÙÓ8é.Ó

.A n ,p

ÜÐnßÓ×ÓÖÐãåÒÔÒÔÓ

.p,q ^k+1 ,p

^Þ

é.Îbßnì

.A n ,p

^ß)ïÓÖÕ"çÂÚnÜÕÂÚnÑ&ÎbÐÛ*ÜÝÒÔÓä

¬>®n¯°n±²°®W H

S

}Â}*(

U

)W

U

) W}W}*

U

*

U

]}*W

U

.C

U

)W·

C U )W

R

@)*}T¨@ WW*,1X~

U

(W0)

U

}

U

)*.{

p 1z p 0z W.{|)} *~

◦

p

q

p 1

p 0

A

B

A 1

A 0

Γ

∆

Π

Γ 1

Γ 0

Γ

∆

Γ,∆

A

A

Γ . ∆

Γ,A . ∆,A

=

A

. A

Γ . A,∆

Γ,¬A . ∆ (¬

) Γ,A . ∆ Γ . ¬A,∆ (¬

) Γ . A,∆ Γ,B . ∆

Γ,A → B . ∆ ( →

) Γ,A . B,∆

Γ . A → B,∆ ( →

) Γ,A . ∆ Γ,B . ∆

Γ,A ∨ B . ∆ (∨

) Γ . A,B,∆

Γ . A ∨ B,∆ (∨

) Γ,A,B . ∆

Γ,A ∧ B . ∆ (∧

) Γ . A,∆ Γ . B,∆

Γ . A ∧ B,∆ (∧

)

p → (q → p)

(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

(p → q) → ((p → ¬q) → ¬p)

(p ∧ q) ∨ (p → ¬q)

(p ∨ q) ∧ (p → ¬q)

G

∧

∨

→

∧

∨

→

⇒

p = q = F

p 1 , . . . ,p n ,q

n ≥ 0

[(· · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q] → [p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · ·)]

n

n + 1

→

1

→

n − 1

∧

q, p 1 , . . . , p n . q

p 1 , . . . , p n . q, p 1 p 1 , . . . , p n . q, p 2

p 1 , . . . , p n

. q, p 1 ∧ p 2

p 1 , . . . , p n . q, (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n −1 p 1 , . . . , p n . q, p n

p 1 , . . . , p n . q, · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n

( · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n )

→ q, p 1 , . . . , p n . q

(· · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q . p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · ·) . [( · · · (p 1 ∧ p 2 ) · · · ∧ p n ) → q] → [p 1 → (p 2 → · · · (p n → q) · · · )]

2n + 1

2n + 2

2 n+1

Γ,p . p,∆

p

Γ,A ` A,∆

p 1z p 0z W.{|)} *~

p ⁰

A ⁰

Γ ⁰

2 ⁿ⁺¹

Γ ⁰

∆ ⁰

Γ,Γ ⁰ . ∆,∆ ⁰

A ^∧

A ^∨

A ^∧

A ^∨

A = A ^∧ = A ^∨

A ^∧ ,A ^∨

B ^∨ ,B ^∧

A ^∨ = A ^∨ 1 ∨ A ^∨ 2

A ^∧

A ^∧ ₁

A ^∧ ₂

A ^∧ ₁ = d 1 ∧ ... ∧ d k A ^∧ ₂ = d ⁰ ₁ ∧ ... ∧ d ⁰ _n

(A 1 ∨ A 2 ) ^∧ = V

i=1..k,j=1..n d i ∨ d ⁰ _j

.p,q ^k+1 ,p