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L’hypothèse d’Uhlenbeck et Goudsmit

« L’électron de masse m

_e

et de charge – q tourne sur lui-même (spin) »

Moment cinétique :

Moment magnétique :

En termes quantiques, il existe une observable de moment cinétique de spin

et la mesure d’une composante de ce moment cinétique sur un axe quelconque ( S

_z

par exemple) donne toujours

i a ˙

₋

= − ω

0

2 a

₋

+ ω

1

2 e

^+iωt

a

+

(19)

b

+

(t) = a

+

(t) e

^+iωt/2

b

₋

(t) = a

₋

(t) e

^−iωt/2

(20)

b

_±

(t) = a

_±

(t) e

^±iωt/2

b

₋

(t) = a

₋

(t) e

^−iωt/2

(21)

P

₋

(t) = | a

₋

(t) |

²

= | b

₋

(t) |

²

(22)

a

+

(0) = b

+

(0) = 1 a

₋

(0) = b

₋

(0) = 0 (23)

¨ b

_±

+ Ω

²

4 b

_±

= 0 (24)

Ω

²

= (ω

₀

− ω)

²

+ ω

₁²

(25)

P

₋

(t) = ω

²₁

(ω

0

− ω)

²

+ ω

₁²

sin

²

Ωt

2 (26)

P

₋

(t) = ω

²₁

Ω

²

sin

²

Ωt

2 (27)

"P

−

# = 1 2

ω

₁²

(ω

0

− ω)

²

+ ω

²₁

(28)

| ω − ω

0

| $ ω

1

(29)

t (30)

ω = ω

0

π/ω

1

(31)

ω ω

0

2ω

1

1/2 1/4 (32)

i a ˙

₋

(0) = i b ˙

₋

(0) = ω

1

2 (33)

γ = − q/m

e

(34)

Spinning electrons and the Structure of Spectra, Nature 117, p. 264-265 (1926)

G&#*;-*"/),.'#-)+&)#3'"#/5+,1"#-)"'=3"PPP#

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UUU#

(3 10

^-15

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Un spin ! correspond par définition à la réalisation de la valeur j = s = 1/2

L’espace de Hilbert pour le spin ! : dimension 2

Résultats généraux du cours sur le moment cinétique :

dans la base États propres de

Les opérateurs et les matrices de Pauli

On utilise les opérateurs auxiliaires :

On en déduit :

On pose traditionnellement :

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_spin

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|ψ! ψ(" r) (1)

"

B

0

= B

0

" u

z

(2)

H ˆ

0

= − " µ ˆ · B "

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(3)

| + ! |−! ¯ hω

0

(4)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (5)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (6)

sin ωt cos ωt (7)

"

B

1

= B

1

cos(ωt)" u

x

+ B

1

sin(ωt)" u

y

(8)

ω

1

= − γB

1

(9)

|ω

1

| # |ω

0

| ω ∼ ω

0

(10)

ω (11)

H ˆ = − " µ ˆ · B(t) " (12)

= − γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(13)

H(t) = ˆ ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(14)

H(t) = ˆ ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

− ω

0

$

(15)

| ψ(t) ! =

# a

+

(t) a

₋

(t)

$

(16)

a

+

(0) = 1 a

₋

(0) = 0 (17)

i¯ h d|ψ(t) !

dt = ˆ H (t) | ψ(t) ! (18)

| ψ ! ψ(" r) (1)

"

B

0

= B

0

" u

z

(2)

H ˆ

0

= − " µ ˆ · B "

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(3)

| + ! |−! ¯ hω

0

(4)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (5)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (6)

sin ωt cos ωt (7)

"

B

1

= B

1

cos(ωt)" u

x

+ B

1

sin(ωt)" u

y

(8)

ω

1

= − γB

1

(9)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(10)

ω (11)

H ˆ = − " µ ˆ · B(t) " (12)

= −γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(13)

H ˆ (t) = ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(14)

H ˆ (t) = ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

− ω

0

$

(15)

| ψ(t) ! =

# a

+

(t) a

₋

(t)

$

(16)

a

+

(0) = 1 a

₋

(0) = 0 (17)

i¯ h d | ψ(t) !

dt = ˆ H(t) |ψ(t) ! (18)

ou

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Hamiltonien décrivant le magnétisme de spin:

H ˆ

spin

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

B

0

= − γB

0

S ˆ

z

= ! ω

0

2

! 1 0

0 − 1

"

où on a introduit la pulsation de Larmor : ω

0

= − γB

0

L’équation de Schrödinger pour le spin s’écrit :

i ! d | ψ

spin

(t) !

dt = ˆ H

spin

| ψ

spin

(t) ! | ψ

spin

(t) ! =

! a

+

(t) a

₋

(t)

"

avec

c’est-à-dire :

i a ˙

₊

= ω

₀

2 a

₊

i a ˙

₋

= − ω

0

2 a

₋

a

+

(t) = A

+

e

^−iω0t/2

a

₋

(t) = A

₋

e

^+iω0t/2

⇒

G%&'#(#=+'$#######################?#*+#%,-/"$$&.'#="#!+,0.,#

| ψ

spin

(t) ! =

! a

+

(t) a

₋

(t)

" a

+

(t) = A

+

e

^−iω0t/2

a

₋

(t) = A

₋

e

^+iω0t/2

avec On prend pour simplifier réels A

+

, A

₋

On veut connaître la moyenne du moment magnétique ! ! µ " (t)

! µ

z

" = ! ψ

spin

| γ S ˆ

z

| ψ

spin

"

= ! γ 2

! A

²₊

− A

²₋

"

constant !

x

y z

! ! µ " (t)

! µ

y

" = ! γ A

+

A

₋

sin(ω

0

t)

! µ

_x

" = ! γ A

₊

A

₋

cos(ω

0

t)

ω

0

= − γ B

0

= ! γ

2 (A

+

e

^+iω20t

, A

₋

e

^−iiω20t

)

! 1 0

0 − 1

" #

A

+

e

^−iω20t

A

₋

e

^+iω20t

$

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Feynman : « all good theoretical physicists put this number up their wall and worry about it. »

ω

0

ω

_c

= 1.001 159 652 180 73 (28)

%&0(-,''(1($*!)+!2

³¹⁽

!,4%4(5!

α

⁻¹

= 137.035 999 084 (51)

α = e

²

! c γ = − q

m

_e

(1 + a) a = 0.001 159 . . . ! α

2π + C

2

α

²

+ . . .

« constante de structure fine » :

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Comment mener une expérience de RMN ?

On place le noyau à étudier dans un champ magnétique B !

0

= B

0

! u

z

(1)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

(4)

ω

0

= −γB

0

(5)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

(4) proton :

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

Pour mesurer (et donc ), on va tirer parti d’un phénomène de résonance

Ajout d’une petite perturbation oscillant en temps à la bonne fréquence, qui fait basculer le noyau de vers

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

(4)

ω

0

= − γB

0

(5)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" (3)

On souhaite confiner des atomes dont le moment magn´etique vaut 1 magn´eton de Bohr dans un pi`ege magn´etique. Ce pi`ege tire parti de l’´energie magn´etique − ! µ · B, les moments magn´etiques ´etant orient´es ! anti-parall`element au champ. Le champ est nul au centre du pi`ege et vaut 0.1 Tesla sur les bord du pi`ege.

La temp´erature maximale des atomes pi´eg´ee vaut 100 Kelvin

1 Kelvin 10 milliKelvin

La profondeur du pi`ege est donn´ee par U = µ ∆B, o`u DeltaB repr´esente la diff´erence entre le champ magn´etique sur les bords du pi`ege et au centre. La quantit´e U/k

B

vaut 70 millikelvins. La temp´erature du gaz doit ˆetre notablement inf´erieure `a cette valeur pour que le gaz ne “s’´evapore pas” trop vite.

¯

h | ω

0

| (1)

H ˆ

_spin⁽⁰⁾

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

B

0

La « petite perturbation » : champ magnétique tournant

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt (6)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

[cos(ωt)! u

x

+ sin(ωt)! u

y

] (7)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

(4)

ω

0

= − γB

0

(5)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| (9)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

|ω

1

| # |ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

x

y z

L’hamiltonien du problème

Similaire au traitement de la précession de Larmor

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= −γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − ! µ ˆ · B(t) ! (11)

= − γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12) H ˆ

spin

(t) = − ! µ ˆ · B(t) !

Forme matricielle :

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

|ω

1

| # |ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − µ ! ˆ · B(t) ! (11)

= − γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12)

H(t) = ˆ ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(13)

H(t) = ˆ ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

−ω

0

$

(14)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= −γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − ! µ ˆ · B(t) ! (11)

= −γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12)

H ˆ (t) = ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(13)

H ˆ (t) = ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

− ω

0

$

(14) H ˆ

spin

(t)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= −γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

|ω

1

| # |ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − ! µ ˆ · B(t) ! (11)

= − γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12)

H ˆ = ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(13)

H(t) = ˆ ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

−ω

0

$

(14) ou encore : H ˆ

spin

(t)

Evolution du moment magnétique

On se limite à l’évolution du degré de liberté de spin (état non corrélé)

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= −γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= −γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − ! µ ˆ · B(t) ! (11)

= −γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12)

H ˆ (t) = ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(13)

H ˆ (t) = ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

− ω

0

$

(14)

|ψ(t) " =

# a

+

(t) a

₋

(t)

$

(15)

a

+

(0) = 1 a

₋

(0) = 0 (16)

Equation de Schrödinger :

B !

0

= B

0

! u

z

(1)

H ˆ

0

= − ! µ ˆ · B !

0

= − µ ˆ

z

· B

0

= − γB

0

S ˆ

z

(2)

| + " |−" ¯ hω

0

(3)

γ = 2.79 q

m

p

γ > 0 (4)

ω

0

= − γB

0

ω

0

< 0 (5)

sin ωt cos ωt (6)

B !

1

= B

1

cos(ωt)! u

x

+ B

1

sin(ωt)! u

y

(7)

ω

1

= − γB

1

(8)

| ω

1

| # | ω

0

| ω ∼ ω

0

(9)

ω (10)

H ˆ = − ! µ ˆ · B(t) ! (11)

= − γB

0

S ˆ

z

− γB

1

! S ˆ

x

cos ωt + ˆ S

y

sin ωt "

(12)

H(t) = ˆ ¯ hω

0

2

# 1 0 0 − 1

$ + ¯ hω

1

2

# 0 cos(ωt) − i sin(ωt)

cos(ωt) + i sin(ωt) 0

$

(13)

H(t) = ˆ ¯ h 2

# ω

0

ω

1

e

^−iωt

ω

1

e

^+iωt

− ω

0

$

(14)

| ψ(t) " =

# a

+

(t) a

₋

(t)

$

(15)

a

+

(0) = 1 a

₋

(0) = 0 (16)

i¯ h d | ψ(t) "

dt = ˆ H (t) |ψ(t) " (17)

i a ˙

+

= ω

0

2 a

+

+ ω

1

2 e

^−iωt

a

₋

(18)

i a ˙

₋

= − ω

0

2 a

₋

+ ω

1

2 e

^+iωt

a

+

(19)

Equation avec une dépendance explicite en temps des coefficients Y a-t-il une solution analytique ???

i ! d | ψ

spin

(t) !

dt = ˆ H

spin

| ψ

spin

(t) !

| ψ

spin

(t) ! =

! a

+

(t) a

₋

(t)

"