HAL Id: hal-01484794
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01484794
Submitted on 7 Mar 2017
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Optimisation multi-objectifs de structure sous critère de contrainte à l’aide de modèles éléments finis mixtes
Pierre Garambois, Sébastien Besset, Louis Jézéquel
To cite this version:
Pierre Garambois, Sébastien Besset, Louis Jézéquel. Optimisation multi-objectifs de structure sous
critère de contrainte à l’aide de modèles éléments finis mixtes. CSMA 2015 - 12ème Colloque National
en Calcul des Structures, CSMA, May 2015, Giens, France. �hal-01484794�
CSMA 2015
12e Colloque National en Calcul des Structures 18-22 Mai 2015, Presqu’île de Giens (Var)
Optimisation multi-objectifs de structure sous critère de contrainte à l’aide de modèles éléments finis mixtes
P. Garambois 1 , S. Besset 1 , L. Jézéquel 1
1
ECL, Ecole Centrale de Lyon, {pierre.garambois,sebastien.besset,louis.jezequel}@ec-lyon.fr
Résumé — Le but de ce travail est de présenter une technique d’optimisation de structure multi-objectifs, basée sur l’utilisation d’algorithmes génétiques et de modèles éléments finis (MEF) mixtes. En effet, les algorithmes génétiques sont très largement utilisés pour des optimisations multi-objectifs, mais pré- sentent l’inconvénient d’une grande répétition de calcul. Dans le cas d’une optimisation sous critères de contraintes, l’idée de ce travail est de construire un MEF mixte qui discrétise à la fois les déplacements et les contraintes, et permet d’accéder à ces dernières plus facilement.
Mots clés — Optimisation multi-objectifs, éléments finis mixtes, critère de contrainte, modèle plaques, conception
1 Introduction
L’optimisation de paramètres géométriques d’une structure de façon à prévenir son endommagement est un problème majeur en ingénierie mécanique. Néanmoins, une amélioration géométrique ne peut se faire qu’au détriment d’autres critères essentiels du cahier des charges de la structure concernée. C’est la raison pour laquelle une optimisation multi-objectifs à base de compromis est souvent nécessaire. Dans ce cadre, de nombreuses méthodes ont été imaginées ces vingt dernières années, de façon à trouver, non pas une unique solution, mais une palette de solutions qui sont chacune optimisées par rapport aux autres, au regard d’au moins un critère. Parmi celles-ci, les méthodes à base d’algorithmes génétiques de type NSGA ([1]) ou NSGA-II ([2]), utilisées dans ce travail, sont très populaires. Elles s’inspirent de l’évolution des espèces : il s’agit de créer une population de solutions au problème, et d’essayer de l’améliorer à chaque nouvelle génération en faisant des mutations et des croisements entres les individus de cette même population.
Malgré la puissance de ces méthodes, un inconvénient majeur réside dans la répétition des opérations d’évaluation des critères à chaque génération et pour chaque individu. Dans le cas où certains des cri- tères sont des contraintes, la façon de les calculer devient cruciale. De façon classique, cela nécessite de trouver les déplacements de la structure à l’aide d’un MEF primal (où les paramètres sont des déplace- ments), et ensuite accéder aux contraintes avec un calcul supplémentaire. Une autre méthode originale, décrite dans cet article, consiste en la construction d’un modèle MEF mixte qui discrétise à la fois les déplacements et les contraintes dans le même modèle, de façon à obtenir ces dernières de façon directe.
Il existe dans la littérature différentes formulations de mécanique des solides permettant d’accéder à plu- sieurs paramètres dans le même modèle. Le livre de Washizu [3] donne un bon aperçu des différentes possibilités dans le domaine. Parmi celles-ci, la formulation d’Hellinger-Reissner imaginée par Hellinger [4] puis Reissner [5], décrit à la fois les déplacements et les contraintes, et est largement utilisée pour des problèmes statique en modèles plaques, mais très rarement en dynamique ([6]). Dans ce travail, nous établissons un MEF mixte déplacements/contraintes généralisées, utilisable en dynamique et basé sur la théorie des plaques fines de Kirchhoff-Love (KL). Ce modèle va nous permettre d’accéder aisément aux contraintes au sein de la plaque en un seul calcul sur le modèle, et permet ainsi de simplifier grandement le travail de l’algorithme génétique sous critère de contrainte.
Dans un premier temps, nous présenterons quelques problèmes simples d’optimisation multi-critères
dans lesquels notre méthode peut s’avérer utile. Ensuite nous parlerons du principe général d’optimi-
sation par algorithme génétique, pour poursuivre sur la construction du MEF mixte pour les problèmes
plaques. Enfin, la dernière partie exposera quelques résultats obtenus à l’aide de notre méthode.
2 Problème d’optimisation
La structure "exemple" à optimiser est composée d’éléments plaques (cf. figure 1).
Les paramètres que nous proposons de faire varier dans notre cas, sont les épaisseurs de la plaque (dans une plage fixée par l’utilisateur), en considérant différentes zones d’épaisseur constante (ici 7 zones de couleurs sur la figure, chacune ayant une épaisseur propre).
Le problème que nous cherchons à optimiser dans cet exemple est le suivant : nous cherchons à minimiser à la fois la contrainte de Von Mises (VM) maximale au sein de la plaque pour un mode n donné, et la masse de la plaque, dans un souci de coût. Ces deux objectifs étant antagonistes, il s’agit de trouver un compromis sur les paramètres d’épaisseurs que nous avons à disposition. En cela, la méthode des algorithmes génétiques semble s’imposer naturellement.
F IGURE 1 – Structure plaque composée de 7 zones d’épaisseurs différentes
3 Algorithme génétiques
La méthode des algorithmes génétiques s’inspire de l’évolution des espèces dans leur cadre naturel, et consiste à faire évoluer des populations dont les individus, solutions de notre problème, tendent à s’améliorer en vue de nos objectifs au fur et à mesure que les générations se succèdent. Dans ce cadre, les termes utilisés pour expliquer son fonctionnement sont empreintés à la biologie, à savoir :
– une population est un ensemble d’individus (ici, un ensemble de combinaisons d’épaisseur qui répondent au problème)
– un individu est une solution au problème (ici, une combinaison d’épaisseur qui vérifie le problème) – une génération est une itération de l’algorithme et correspond à une population
Le fonctionnement de l’algorithme se fait en 5 étapes : – création d’une population initiale
– calcul des objectifs pour chaque individu de la population (étape "d’évaluation") – création de nouveaux individus par mutations et/ou croisements
– formation d’une nouvelle population avec d’éventuels nouveaux individus – réitération du processus sur plusieurs générations
4 Modèle éléments finis mixtes pour problèmes plaques
Dans notre cas, l’étape "d’évaluation" est particulièrement coûteuse puisqu’il faut évaluer les con- traintes au sein de la structure plaque complète et en tirer la contrainte de VM maximale. La méthode classique qui consiste à construire un MEF primal permet d’accéder au déplacements dans un premier temps, dès le calcul de la réponse de la structure, puis ensuite aux contraintes par le biais de calculs sup- plémentaires. C’est la plus intuitive, mais elle se révèle coûteuse du fait de ces calculs ajoutés. L’origina- lité de notre méthode consiste à construire un MEF mixte qui permet d’accéder à la fois aux déplacements et contraintes dès le calcul de la réponse de la structure.
Ce type de MEF est basé sur la fonctionnelle d’Hellinger-Reissner [4, 5] exprimée en dynamique.
Cette dernière peut-être considérée comme un Lagrangien dynamique classique, à ceci près qu’il est
exprimé avec des composantes mixtes, à la fois en fonction des déplacements et des contraintes, comme suit :
Π HRD = ZZZ
V − σ i j e i j (u i ) + 1
2 σ i j S i jkl σ kl + b i u i + 1
2 ρ u ˙ 2 i dV (1)
avec σ i j le tenseur des contraintes, u i le vecteur déplacement, e i j (u i ) le tenseur des déformations expri- mée en fonction des déplacements u i , b i les efforts extérieurs, ρ la masse volumique et S i jkl le tenseur de souplesse.
La discrétisation des contraintes généralisées et des déplacements dans le cadre d’éléments plaques fines de Kirchhoff-Love se fait comme suit :
σ i j =
M x ,M y ,M xy T = Pβ (2) u i =
w,θ x ,θ y
T = NU (3)
e i j =
ε xx ,ε yy ,γ xy T = D u i = DNU (4) avec
M x ,M y ,M xy T respectivement les moments de flexions par rapport à x, par rapport à y, et le mo- ment de torsion au sein de la plaque d’épaisseur t,
w , θ x , θ y T respectivement le déplacement transversal de la plaque et les rotations de section autour de x et de y. P est la matrice des fonctions de forme en dé- placement, β le vecteur des paramètres de contraintes généralisées au sein de la plaque, N la matrice des fonctions de forme en déplacement, U le vecteur des paramètres de déplacement et D le tenseur-opérateur déformation/déplacement.
L’application des équations de Lagrange nous mène vers la formulation matricielle du MEF mixte suivante (pour un élément plaque de surface S) :
M 0 0 0
U ¨ β ¨
+
0 G T G H
U β
= F
0
(5)
avec M = ZZ
S
N T mNdS, G = ZZ
S
P T DNdS, H = ZZ
S − P T SPdS et m = ρ
t 0 0 0 12 t
30 0 0 12 t
3
5 Exemple : optimisation de la répartition d’épaisseur pour minimiser de la contrainte du mode 3
L’exemple simple que nous prenons concerne la structure schématisée dans la figure 1. Nous essayons d’optimiser à la fois la contrainte de VM maximale au sein de la plaque pour le mode 3 (cf. figure 2(b)) et le poids de la plaque. Les paramètres que nous considérons variables sont les épaisseurs des 7 zones de la structure (cf. figure 2(b)), que nous autorisons à varier, chacun entre 1 et 2 mm, dans la limite de ressemblance du mode 3 en forme et en fréquence. La plaque est faite d’acier S210.
Les résultats sont présentés dans la figure 3 sous forme de front de Paretto, tout en incluant l’évolution des épaisseurs. Elle a été obtenue avec une population de 80 individus, pour 600 générations et plus.
L’abscisse du graphique concerne la contrainte de VM maximale. Il y a 2 ordonnées. L’ordonnée de droite décrit le poids la plaque, et concerne la courbe de "front" noire : il s’agit du front de Paretto qui répartit les points optimisés à la fois en contrainte et en poids. Chacun de ces points est meilleur que les autres au sens d’un des deux objectifs de contrainte ou de masse, et constitue donc un compromis.
L’ordonnée de gauche traduit les épaisseurs des 7 zones colorées de la plaque et concerne les courbes en couleurs. Celles-ci donnent l’évolution des épaisseurs de la zone concernée en fonction de la contrainte pour chacun des points du front. Cette figure se lit ainsi de la façon suivante : une fois un point optimal choisi sur le front de Paretto en fonction du poids et de la contrainte max qui nous intéresse, il faut récupérer les épaisseurs des 7 zones associées à cette contrainte, sur la même abscisse.
Cet exemple nous donne des répartitions d’épaisseur qui permettent d’aller de 15 Mpa à 140 Mpa
en contrainte, avec un poids qui varie entre 5 et 8 kg. Dans le cas du mode 3, on constate que les zones
dont on peut diminuer fortement l’épaisseur de façon à gagner en poids sont les zones 2 et 7, et dans une
moindre mesure, les zones 3 et 6. D’autre part, les zones 1, 4 et particulièrement 5 apparaissent comme
les plus importantes pour conserver une contrainte maximale raisonnable.
0.2 0 0.6 0.4 1 0.8 1.4 1.2 1.8 1.6
0.2 0 0.2 0.4 0.6 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(a) Répartition des zones d’épaisseur
0.5 0 1.5 1
2
−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2 4 6 8 10 12 x 107
(b) Contraintes VM (Pa) au sein de la plaque
F IGURE 2 – Mode 3. (a) répartition des zones d’épaisseur indépendantes, (b) champ de contraintes VM
2
4 6
810 1
2x 10
71 1.
21.4 1.6 1.
8x 10
3Epaisseurs(m)
2
2
4 6
814
5
6 7
8
Poidsdelaplaque(kgs)
Cnt nt V nM
x
zn
1
zn
1
zn 2
zn 2
zn
zn
4
zn
4
zn 5
zn
6
zn
7
zn
7
F nt
zn
zn 5 zn
