Mesure de vitesse vibratoire par la méthode iPTF : simulation et expérimentation

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Mesure de vitesse vibratoire par la méthode iPTF : simulation et expérimentation

Dorian Vigoureux, Nicolas Totaro, Jean-Louis Guyader

To cite this version:

Dorian Vigoureux, Nicolas Totaro, Jean-Louis Guyader. Mesure de vitesse vibratoire par la méthode iPTF : simulation et expérimentation. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France.

�hal-00539660�

10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Mesure de vitesse vibratoire par la m´ethode iPTF : simulation et exp´erimentation

Dorian Vigoureux ¹ , Nicolas Totaro ¹ , Jean-Louis Guyader ¹

1

Laboratoire Vibrations Acoustique, INSA Lyon 25 bis avenue Jean Capelle, F-69621 Villeurbanne Cedex {dorian.vigoureux, nicolas.totaro, jean-louis.guyader}@insa-lyon.fr

Le but de cette ´ etude est de valider une m´ ethode d’identification des vitesses vibratoires d’une structure complexe ` a partir de mesures acoustiques. Elle s’appuie sur la formulation inverse de la m´ ethode PTF (Patch Transfer Functions) et sur la mesure de la pression et de la vitesse particulaire du champ acoustique rayonn´ e. Pour valider cette m´ ethode, deux approches ont ´ et´ e mises en place : une approche param´ etrique bas´ ee sur des calculs num´ eriques et une approche exp´ erimentale pour v´ erifier la validit´ e de la m´ ethode en conditions r´ eelles.

La simulation num´ erique suit les ´ etapes suivantes : (i) calcul du champ de vitesse vibratoire d’une plaque excit´ ee par une force ponctuelle harmonique ; (ii ) calcul de la pression et de la vitesse particulaire du champ acoustique rayonn´ e ; (iii) identification de la vitesse vibratoire de la plaque ` a partir du champ acoustique et comparaison par rapport aux donn´ ees initiales. Cette ´ etude a permis de simuler des erreurs de mesure de mani` ere ` a tester la sensibilit´ e de la m´ ethode par rapport ` a certains param` etres (bruit de mesure, erreurs de positionnement, etc.)

Dans un second temps, une exp´ erimentation a ´ et´ e mise en place sur une guitare. Cette structure complexe a ´ et´ e excit´ ee par bruit blanc et la vitesse de r´ ef´ erence de la face arri` ere de la guitare a ´ et´ e mesur´ ee au moyen d’un vibrom` etre laser ` a balayage. Les mesures des champs de pression et de vitesse ont ´ et´ e r´ ealis´ ees au moyen d’un capteur pression-vitesse. ` A partir de ces derni` eres mesures, les ´ el´ ements suivants ont ´ et´ e identifi´ es : vitesse quadratique moyenne de la surface, cartographie de la vitesse vibratoire.

1 Introduction

1.1 Pr´ esentation

Plusieurs m´ ethodes ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans le do- maine audible pour la recherche de sources de bruit. Ces m´ ethodes sont notamment utilis´ ees lorsqu’il est impos- sible d’effectuer des mesures directes sur l’objet ´ etudi´ e (g´ eom´ etrie complexe) ou lorsque l’on souhaite pr´ edire le bruit rayonn´ e par l’objet. Parmi les principales m´ ethode de r´ esolution du probl` eme inverse en acoustique, on peut citer l’holographie acoustique en champ proche ou la m´ ethode inverse par ´ el´ ements de fronti` eres.

La m´ ethode d’holographie acoustique en champ proche (Nearfield Acoustical Holography, ou NAH), d´ evelopp´ ee par J. D. Maynard [4] identifie le champ de vitesse vibratoire tridimensionnel de la source de vibrations ` a partir de la pression mesur´ ee sur un ho- logramme proche de la source de vibrations. Cette m´ ethode a n´ eanmoins l’inconv´ enient de n’ˆ etre appli- cable que sur des g´ eom´ etries simples (planes, cylin- driques ou sph´ eriques) et les ph´ enom` enes d’effets de bords imposent d’effectuer les mesures dans le champ proche de la source. La m´ ethode inverse par ´ el´ ements de fronti` eres (inverse Boundary Elements Method, ou iBEM) est quant ` a elle bas´ ee sur l’´ evaluation num´ erique et l’inversion de matrices de transfert. Cette ´ evaluation pr´ esente l’inconv´ enient de n´ ecessiter des moyens de cal- culs num´ eriques importants lorsque la complexit´ e de

la structure et du volume acoustique augmente. Une m´ ethode hybride [8] ` a ´ et´ e cr´ e´ ee ` a partir des ´ el´ ements des m´ ethodes NAH et iBEM afin de repousser les limites de ces deux m´ ethodes.

On pr´ esente dans cet article la m´ ethode inverse par fonctions de transferts par patches (inverse Patch Trans- fert Functions, ou iPTF) introduite pour identifier la vi- tesse de vibration sur des surfaces complexes. Cette for- mulation inverse est bas´ ee sur la m´ ethode directe PTF d´ evelopp´ ee par M. Ouisse et N. Totaro [5, 7].

La m´ ethode directe s’appuie sur le calcul d’imp´ edances acoustiques pour pr´ edire la pression acoustique ` a l’int´ erieur et ` a l’ext´ erieur d’une cavit´ e contenant des sources et des ouvertures et d´ elimit´ ee par des surfaces de diff´ erentes natures (figure 1).

La m´ ethode PTF introduit une sous-structuration du probl` eme afin de limiter l’´ etendue des calculs num´ eriques. Les sous-domaines acoustiques sont alors coupl´ es par leurs surfaces communes divis´ ees en surfaces

´ el´ ementaires appel´ ees patches servant au calcul des imp´ edances.

Alors que la formulation directe permet de calculer la pression rayonn´ ee ` a partir de la pression et de la vi- tesse, la m´ ethode inverse s’appuie sur ces deux ´ el´ ements.

De fait, il convient de proc´ eder ` a leur mesure sur une

surface quelconque entourant la structure. Ceci permet

alors de rendre utilisable la m´ ethode iPTF lorsque les

mesures classiques de vibration sont impossibles pour

Sol

S M

Surface rigide Surface absorbante Surface ouverte Surface de couplage Point source Point d’écoute S

M

Figure 1 – Pose du probl` eme acoustique direct Ω

Volume acoustique virtuel

S

Surface de mesure

S

Surface source

Figure 2 – Pose du probl` eme acoustique inverse des raisons d’acc` es ` a la surface de la structure. Par ailleurs, la m´ ethode iPTF utilise la d´ ecomposition en

´ el´ ements finis des volumes consid´ er´ es. La base modale du domaine int´ erieur, utilis´ ee pour le calcul des matrices d’imp´ edances, est d´ etermin´ ee sur le maillage ´ el´ ement fini.

Le but de l’´ etude pr´ esent´ ee dans cet article est de tes- ter num´ eriquement, dans un cas simple, la robustesse de la m´ ethode (convergence des r´ esultats, stabilit´ e par rap- port aux bruits de mesure, etc.) Dans un second temps, la mise en place d’une exp´ erimentation a permis de tes- ter la m´ ethode dans un cas r´ eel, sur une structure com- plexe.

1.2 Approche th´ eorique

On rappellera dans cette section les ´ equations fon- damentales pr´ esent´ ees par M. Aucejo [1, 2].

Dans l’application de la m´ ethode iPTF, on consid` ere une source de vibrations entour´ ee par une surface de mesure. Le volume virtuel Ω i , d´ elimit´ e par la r´ eunion de la surface source S S et des surfaces de mesures S M , est utilis´ e comme base des calculs effectu´ es (figure 2). Il faut bien comprendre que ce volume virtuel n’a aucune r´ ealit´ e physique mais constitue uniquement une base de calcul. Il faut alors r´ esoudre dans ce volume virtuel le probl` eme de Helmoltz respectant la condition aux li- mites inhomog` ene de Neumann. On peut alors ´ ecrire la formulation suivante :







∆p (M ) + k ² p (M ) = 0 ∀M ∈ Ω i

∂p

∂n (M ) = −iωρV _S ^{− → n} ∀M ∈ S S ∪ S M

(1)

La m´ ethode PTF permet de calculer la pression acoustique moyenne sur un patch j comme ´ etant la su- perposition de la pression due aux vibrations des N S

patches de la surface source S S et de l’influence des N M

patches de la surface virtuelle S M . hp j i =

N

X

k=1

Z _jk hv k i +

N

X

i=1

Z _ji hv i i (2) Soit, sous forme matricielle :

{p j } = Z jk

{v k } + Z ji

{v i } (3)

F

Effort excitateur

Surface de mesure Surface vibrante

0.13 m

0.35 m

0.45 m

Figure 3 – Cas d’application num´ erique o` u {p j } est la pression acoustique moyenne sur le patch j,

Z _jk

est la matrice d’imp´ edance entre un patch source k et le patch d’´ ecoute j, {v _k } est la vitesse nor- male moyenne sur le patch source k,

Z ji

est la matrice d’imp´ edance entre un patch excit´ e i et le patch d’´ ecoute j, {v i } est la vitesse moyenne de couplage sur le patch i.

Les matrices d’imp´ edances sont obtenues par le calcul de la base modale d’une cavit´ e rigide de forme identique au volume virtuel g´ en´ er´ e par S S ∪ S M . Elles sont obtenues

`

a l’aide des relations suivantes : Z ji = X

n

iωρc ² S i

Λ _n (ω ² _n − ω ² + iη _n ω _n ω) hφ n i _i hφ n i _j (4) Z jk = X

n

iωρc ² S k

Λ n (ω ² _n − ω ² + iη n ω n ω) hφ n i _k hφ n i _j (5) La formulation iPTF est obtenue par l’inversion de l’´ equation (3) :

{v _k } =

Z _jk −1

{p _j } − Z _ji

{v _i }

(6) Dans cette formulation, seule la vitesse de la source {v _k } est inconnue. En effet, les matrices d’imp´ edances Z jk

et Z ji

sont calcul´ ees num´ eriquement et les pres- sion et vitesse de couplage {p j } et {v i } sont mesur´ ees ` a l’aide d’une sonde pression-vitesse.

2 Simulation num´ erique

On ´ etudie, dans cette partie, le comportement d’une plaque rectangulaire excit´ ee par un effort harmonique ponctuel (figure 3). Un logiciel de simulation a ´ et´ e pro- gramm´ e afin de calculer les ´ el´ ements suivants : (i) calcul du champ de vitesse vibratoire de la plaque ; (ii ) calcul du champ de pression rayonn´ e et du champ de vitesse particulaire sur une surface ferm´ ee englobant la plaque ; (iii) identification de la vitesse vibratoire de la plaque

`

a partir du champ acoustique calcul´ e et comparaison par rapport au champ de vitesse vibratoire calcul´ e ` a l’´ etape i.

Cette section d´ etaille dans un premier temps les cal- culs effectu´ es par le programme et montre leur validit´ e par la comparaison avec un logiciel du commerce. Dans un second temps cet outil a ´ et´ e utilis´ e pour ´ etudier la stabilit´ e de la m´ ethode iPTF ` a diverses perturbations telles que bruit de mesure, erreur de positionnement des capteurs, etc.

2.1 Rayonnement d’une plaque

Le calcul de rayonnement effectu´ e par le programme

s’appuie sur la formulation int´ egrale du probl` eme de

rayonnement de plaque. On calcule dans un premier

temps la vitesse normale de la plaque (´ equation 7).

Sysnoise Programmation Matlab Champ de pression rayonné

Pression quadratique

Fréquence - Hz

moyenne - dB

-30 -25 -20 -15

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Sysnoise Programmation Matlab Champ de vitesse rayonné

Vitesse quadratique

Fréquence - Hz

moyenne - dB

-28 -26 -24 -22 -20 -18

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figure 4 – Spectres des pression et vitesse rayonn´ ees par la plaque

Cette vitesse normale est ensuite utilis´ ee pour calculer le champ acoustique de pression (´ equation 8) et de vitesse particulaire (´ equation 9).

On donne l’´ equation (7) pour un patch source P S

en fonction des dimensions de la plaque L _x et L _y , de l’effort appliqu´ e F ₀ , de l’amplitude modale A _n

_n

et de la d´ eform´ ee modale φ _n

_n

. Les ´ equations (8) et (9) sont donn´ ees pour un patch de mesure P _M excit´ e par l’en- semble des patches sources P _S en fonction de la fonction de Green G et de la distance entre le patch de mesure et le patch source r

V S = X

n

,n

4iω 0

L x L y ρh · −F 0 A n

n

Φ n

n

ω _n ²

_n

− ω ² ₀ + iηω n

n

ω 0

(7)

P _M = iω ₀ ρ X

S

V _S · G · S _S (8)

V M = X

S

V S · ∂G

∂r · ∂r

∂x x M + ∂r

∂y y M + ∂r

∂z z M

· S S (9)

2.2 Validation du calcul

Les r´ esultats calcul´ es par le programme r´ ealis´ e ont

´ et´ e compar´ es avec ceux obtenus par un solveur commer- cial permettant de r´ esoudre le probl` eme direct. Les car- tographies de pression et de vitesse ont ´ et´ e compar´ ees, ainsi que les courbes de pression et vitesse quadratiques moyenn´ ees sur la surface de mesure. On ne pr´ esente sur la figure (4) que les pression et vitesse quadratiques moyennes. Ces r´ esultats d´ emontrent la validit´ e du calcul direct effectu´ e.

2.3 R´ etropropagation

Le calcul de r´ etropropagation est effectu´ e selon l’´ equation (6) ` a partir des valeurs de pression et de vitesse calcul´ ees. On compare alors la vitesse quadra- tique moyenne r´ etropropag´ ee ` a la vitesse quadratique moyenne calcul´ ee selon l’´ equation (7) (figure 5) ainsi que les champs de vitesse r´ etropropag´ es et r´ ef´ erence (fi- gure 6).

La r´ esolution du probl` eme inverse n´ ecessite l’inver- sion de la matrice d’imp´ edances

Z jk

(´ equation 6).

Cette matrice est parfois mal conditionn´ ee et il est n´ ecessaire de faire appel ` a des techniques de

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−26

−24

−22

−20

−18

−16

−14

Fréquence − Hz

Pression quadratique

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−28

−26

−24

−22

−20

−18

Fréquence − Hz

Pression quadratique

Référence Calcul iPTF

Reference Calcul iPTF

moyenne - dBmoyenne - dB

Champ de pression identifié

Champ de pression identifié

Figure 5 – Comparaison des spectres des pression et vitesse simul´ ees et identifi´ ees sur la plaque

Vitesse référence

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

Vitesse rétropropagée

1 2 3 4 5 6

1

2 3

4

−4 5

−2 0 2 4 6 8 x 10⁻¹²

−2

−1 0 1 2 3 4 5 x 10⁻¹²

Figure 6 – Cartographie du champ de vitesse simul´ e (` a gauche) et r´ etropropag´ e (` a droite) sur la plaque ` a 312 Hz

r´ egularisation pour am´ eliorer l’inversion. Dans cet ar- ticle, une r´ egularisation par troncature des valeurs sin- guli` eres a ´ et´ e utilis´ ee. Le param` etre de r´ egularisation a

´ et´ e ajust´ e ` a l’aide de la courbe en L pr´ esent´ ee par Q.

Lecl` ere [3].

2.4 Simulation d’erreurs de mesure

Il est fait ´ etat, dans ce paragraphe, de la stabilit´ e de la m´ ethode iPTF face ` a des erreurs de mesure telles que bruit de fond ou mauvais positionnement des cap- teurs. L’influence de ces erreurs a ´ et´ e ´ etudi´ ee tant sur les valeurs quadratiques moyennes que sur leur r´ epartition spatiale.

L’erreur est mod´ elis´ ee en suivant la relation (10) pr´ esent´ ee dans les travaux de C. Pezerat [6].

X b = αX c + η (10) Dans cette relation, le signal original X _c est modifi´ e par une erreur multiplicative α et une erreur aditive η. Ces deux valeurs complexes sont tir´ ees de mani` ere al´ eatoire en suivant une loi normale dont les param` etres µ et σ peuvent ˆ etre ajust´ es.

Puisque nous utilisons ici les deux informations de pression et de vitesse, le premier test r´ ealis´ e a ´ et´ e de constater la pr´ edominance de l’une de ces deux donn´ ees dans la pr´ ecision du calcul iPTF. Ainsi, les mˆ emes pa- ram` etres d’erreur ont ´ et´ e ajout´ es successivement ` a la pression puis ` a la vitesse et ont conduit au r´ esultat pr´ esent´ e en figure (7) sur laquelle on peut constater qu’une erreur sur la pression p´ enalise l’estimation de la pression tandis qu’une erreur sur la vitesse p´ enalise l’es- timation de la vitesse. On pr´ ecise par ailleurs (´ equation 11) les param` etres utilis´ es pour ajouter l’erreur.

µ _α = 1 σ _α = 1

µ β = 0 σ β = 5 (11)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−1

−0.5 0 0.5 1

Fréquence − Hz

Erreur de pression

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−1

−0.5 0 0.5 1

Fréquence − Hz

Erreur de vitesse

Erreur ajoutée sur la pression Erreur ajoutée sur la vitesse Erreur ajoutée sur la pression Erreur ajoutée sur la vitesse Champ de pression identifié

Champ de vitesse identifié

quadratique moyenne - dBquadratique moyenne - dB

Figure 7 – Erreur sur l’estimation des spectres des pres- sion et vitesse identifi´ ees avec des mesures bruit´ ees de la pression ou de la vitesse

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−2

−1 0 1 2

Fréquence − Hz

Erreur de pression

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−2

−1 0 1 2

Fréquence − Hz

Erreur de vitesse

Réference Erreur sur la position

Réference Erreur sur la position quadratique moyenne - dBquadratique moyenne - dB

Champ de pression identifié

Champ de vitesse identifié

Figure 8 – Erreur sur l’estimation des spectres des pres- sion et vitesse identifi´ ees avec des mesures de pression et de vitesse mal localis´ ees

Compte-tenu de ces param` etres exag´ er´ ement forts par rapport ` a ce que l’on pourrait observer dans la pratique, l’on peut conclure que la m´ ethode iPTF dispose d’une grande stabilit´ e par rapport aux erreurs de bruit de me- sure.

Dans un second temps, il a ´ et´ e question de savoir quelle pouvait ˆ etre l’influence d’une erreur dans le posi- tionnement du capteur de pression-vitesse lors de la me- sure du champ rayonn´ e. Pour ce faire, une erreur, telle que mod´ elis´ ee dans l’´ equation (10) a ´ et´ e ajout´ ee aux po- sitions utilis´ ees pour la calcul direct lors de l’´ etape ii de la simulation. On a ici utilis´ e les param` etres indiqu´ es ` a l’´ equation (12) qui ont conduit aux r´ esultats pr´ esent´ es

`

a la figure (8).

µ α = 1 σ α = 0.1

µ _β = 0 σ _β = 0.5 (12)

Compte-tenu des dimensions de la cavit´ e, les pa- ram` etres utilis´ es ici correspondent ` a une variation de plusieurs centim` etres sur la position du capteur. Un tel d´ eplacement n’engendrant qu’une erreur de 2 dB, nous pouvons conclure que la m´ ethode iPTF dispose d’une grande stabilit´ e face aux erreurs de positionnement des capteurs.

En utilisant toujours les mˆ emes erreurs que pr´ ec´ edemment (´ equations 11 et 12), on s’int´ eresse main- tenant ` a la cartographie du champ de vitesse de vi- bration de la plaque. L’´ etude des quatre cartographies

Référence

1 2 3 4 5 6

1 2

3 4

5

Erreur sur la position

1 2 3 4 5 6

1 2

3 4

5

Erreur sur la pression

1 2 3 4 5 6

1

2

3 4

5

Erreur sur la vitesse

1 2 3 4 5 6

1

2

3 4

5

−2

−1 0 1 2 3 4 x 10⁻¹²

−2

−1 0 1 2 x 10⁻¹²

−2

−1 0 1 2 3 4 x 10⁻¹²

−5 0 5 10 x 10⁻¹²

Figure 9 – Cartographies des champs de vitesse sur la plaque ` a 312 Hz lors d’erreur de mesures

pr´ esent´ ees sur la figure (9) permet de constater qu’une erreur sur la position des capteurs ou une erreur sur la mesure de la pression acoustique n’est pas trop restric- tive pour la localisation de vitesses de vibrations. En revanche, une erreur sur la mesure de la vitesse par- ticulaire modifie un peu la cartographie du champ de vitesses.

On met ici en avant l’un des atouts de la m´ ethode iPTF dˆ u au fait qu’elle utilise la double information de pression et de vitesse. Outre le fait qu’elle soit ind´ ependante du champ acoustique environnant [2], l’utilisation en parall` ele de l’information de pression et de vitesse agit comme un contrˆ ole de la qualit´ e de ces deux donn´ ees et contribue ` a la robustesse de la m´ ethode.

2.5 Influence du maillage de patches

La c´ el´ erit´ e des ondes de flexion dans une plaque peut ˆ etre exprim´ ee par la relation (13).

c f =

s

D ρh

√ ω (13)

o` u D est la rigidit´ e de la plaque, ρ sa masse volumique, h son ´ epaisseur et ω la pulsation. Ainsi, ` a 1 kHz, pour trois plaques d’´ epaisseur diff´ erentes (1, 3 et 10 mm), nous calculons la c´ el´ erit´ e de flexion

c _f1 = 313m/s c _f3 = 171m/s c _f10 = 99m/s qui nous permet de calculer la longueur d’onde de struc- ture ` a 1 kHz

λ _s1 = 0.313m λ _s3 = 0.171m λ _s10 = 0.099m/s Dans la simulation effectu´ ee, le maillage a ´ et´ e d´ efini de fa¸ con ` a ce que le cˆ ot´ e du patch soit de 0.05 m. On constate ainsi que le maillage respecte un crit` ere en λ _s /6 pour la plaque de 10 mm d’´ epaisseur, λ _s /3 pour la plaque de 3 mm d’´ epaisseur et λ _s /2 pour la plaque de 1 mm d’´ epaisseur.

Les r´ esultats de l’identification pour les trois plaques sont pr´ esent´ es sur la figure (10). Le crit` ere λ _s /6 conduit au meilleur r´ esultat sur toute la gamme de fr´ equences

´ etudi´ ee. Le crit` ere λ s /2 est le plus d´ egrad´ e. Les r´ esultats

obtenus ne sont correctes que jusqu’au tier de la bande

de fr´ equences. Pour des raisons de simplification du cal-

cul, un crit` ere en λ s /4 pourra ˆ etre utilis´ e afin de r´ eduire

le volume de donn´ ees sans pour autant d´ egrader de fa¸ con

trop important la qualit´ e des r´ esultats.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−30

−28

−26

−24

−22

−20

−18

−16

Fréquence − Hz

Vitesse quadratique moyenne

Champ de vitesse identifié

Référence − 1 mm − critère λ/2 Calcul iPTF − 1 mm Référence − 3 mm − critère λ/3 Calcul iPTF − 3 mm Référence − 10 mm − critère \lamba/4 Calcul iPTF − 10 mm

Figure 10 – Spectres des pression et vitesse identifi´ ees en fonction de l’´ epaisseur de la plaque

3 Exp´ erimentation

Une exp´ erimentation a ´ et´ e mise en place afin de retrouver pratiquement les r´ esultats obtenus par l’´ etude num´ erique pr´ esent´ ee dans la section pr´ ec´ edente.

On pr´ esentera dans un premier temps le protocole exp´ erimental utilis´ e. Ensuite de quoi nous nous attache- rons ` a montrer les r´ esultats obtenus pour l’identification du champ de vitesse de vibration de la structure, aussi bien en terme de vitesse quadratique moyenne qu’en lo- calisation.

3.1 Protocole exp´ erimental

L’id´ ee de cette manipulation est de proc´ eder ` a l’ex- citation solidienne d’une guitare acoustique. Celle-ci est donc appuy´ ee en trois points et mise en vibration au moyen d’un pot vibrant coll´ e ` a sa face inf´ erieure. On mesure dans un premier temps la pression acoustique et la vitesse particulaire aux environs directs de la surface sup´ erieure de la guitare. Cette premi` ere mesure est par la suite utilis´ ee comme mesure de r´ ef´ erence pour les car- tographies trac´ ees. On effectue ensuite une mesure sur une surface ferm´ ee virtuelle englobant la guitare et le pot vibrant. Les mesures effectu´ ees sur cette surface ferm´ ee sont alors utilis´ ees comme param` etres d’entr´ ee pour le calcul iPTF. ` A l’issue du calcul iPTF, nous obtenons les spectres de pression et de vitesse quadratique moyenne ainsi que les cartographies sur toutes les surfaces de la guitare, y compris celles qui nous ´ etaient inaccessibles ` a la mesure (surface inf´ erieure notamment).

3.2 R´ esultats

Les premiers r´ esultats pour la vitesse quadratique moyenne de vibration de la surface sup´ erieure de la caisse de la guitare sont pr´ esent´ es en figure (11) et les cartographies du champ de vitesse de surface sont repr´ esent´ ees en figure (12).

On constate, sur le spectre de vitesse, que les r´ esultats obtenus sont un peu moins bons que ceux ob- tenus lors de la simulation num´ erique. Plusieurs raisons peuvent justifier cet ´ ecart, notamment celle pr´ esent´ ee au paragraphe 2.5. La c´ el´ erit´ e des ondes de flexion dans la guitare ´ etant difficile ` a estimer, il a ´ et´ e difficile de sp´ ecifier le maillage de mani` ere ` a ce qu’il respecte un crit` ere par rapport ` a la longueur d’onde de structure.

De fait, le maillage a ´ et´ e choisi de fa¸ con ` a ce que ses

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

Fréquence − Hz

Vitesse quadratique moyenne − dB

Champ de vitesse identifié

Référence Calcul iPTF

Figure 11 – Spectre de la vitesse identifi´ ee sur la guitare

Vitesse référence Vitesse identifiée

450 Hz

2 4 6 8 10 x 10⁻⁴

1 2 3 4 5 6 x 10⁻⁴

Figure 12 – Cartographie des champs de vitesse sur la surface sup´ erieure de la guitare

´ el´ ements aient un cˆ ot´ e de 0.05 m. En se basant sur les cartographies obtenues, nous pouvons, ` a partir de la distance s´ eparant les ventres de vibration, estimer la c´ el´ erit´ e des ondes de flexion dans le bois (relation 14).

Nous retrouvons alors le crit` ere utilis´ e pour le maillage en utilisant la taille du patch d (relation 15).

c _f = λ _s f (14) κ = λ s

c/df (15)

Sur la totalit´ e de la bande de fr´ equence ´ etudi´ ee, nous trouvons, ` a 1 kHz, le crit` ere

κ 1000Hz = λ s /3

Ainsi, comparativement aux r´ esultats pr´ esent´ es au pa- ragraphe 2.5, il est logique que les r´ esultats obtenus par la m´ ethode iPTF d´ ecrochent de la r´ ealit´ e ` a partir de la moiti´ e de la bande de fr´ equence ´ etudi´ ee.

On peut par ailleurs supposer que, compte-tenu de la finesse des parois de la guitare, celle-ci doit ˆ etre tr` es peu rayonnante et qu’une certaine part du champ

´ emis est constitu´ e d’ondes evanescentes non per¸ cues

`

a la distance de mesure. Ce qui peut avoir introduit une erreur dans l’identification du champ de vitesse.

Malgr´ e ces ´ el´ ements le r´ esultat est donn´ e avec une er- reur de 1 dB seulement et permet toujours de don- ner l’information des fr´ equences propres de la struc- ture. De la mˆ eme mani` ere, on constate sur les carto- graphies que la localisation est parfois moins pr´ ecise.

L’ordre de grandeur de l’amplitude de vibration est toutefois respect´ e. Une meilleure connaissance des pa- ram` etres ´ evoqu´ es pr´ ec´ edemment permettra d’am´ eliorer encore la pr´ ecision de la m´ ethode iPTF.

R´ ef´ erences

[1] Aucejo M., Totaro N., Guyader J.-L., ”Identifica-

tion of source velocities with Inverse Patch Trans-

fer Functions method”, Acoustics’08 : Journal of the Acoustical Society of America, 123 (5), (2008) [2] Aucejo M., Totaro N., Guyader J.-L., ”Identifica-

tion of source velocities in presence of external cor- related sources with the inverse patch transfer func- tions (IPTF) method”, Novem 2009, (2009) [3] Leclere Q., ” ´ Etude et d´ eveloppement de la mesure

indirecte d’efforts - application ` a l’identification des sources internes d’un moteur diesel”, Rapport de Th` ese, INSA de Lyon, Lyon, (2003)

[4] Maynard J. D., Williams E. G., Lee Y., ”Nearfield Acoustical Holography : I. Theory of generalized holography and the development of NAH”, Journal of the Acoustical Society of America, 78 (4), 1395- 1413, (1985)

[5] Ouisse M., Maxit L., Cacciolati C., Guyader J.-L.,

”Patch Transfert Function as a tool to couple li- near acoustic problems”, Journal of Vibration and Acoustics, 127 (5), 458-466, (2005)

[6] Pezerat C., Guyader J.-L., ”Force Analysis Tech- nique : Reconstruction of Force Distribution on Plates”, Acte Acustica, 86, 322 - 332, (2000) [7] Totaro N., Andro B., P´ eteul C., Guyader J.-L.,

”Extension of the Patch Transfert Functions me- thod (PTF method) to high frequency domain (sub-cavities decomposition)”, Inter-Noise, Istan- bul, Turquie, (2007)

[8] Wu S. F., ”Hybrid near-field acoustic holography”,

Journal of the Acoustical Society of America, 115

(1), 207-217, (2004)