Étude des constantes élastiques de la blende et de leur variation avec la température

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Étude des constantes élastiques de la blende et de leur variation avec la température

André Zarembovitch

To cite this version:

André Zarembovitch. Étude des constantes élastiques de la blende et de leur variation avec la tem- pérature. Journal de Physique, 1963, 24 (12), pp.1097-1102. �10.1051/jphys:0196300240120109700�.

�jpa-00205710�

1097.

ÉTUDE DES CONSTANTES ÉLASTIQUES ^{DE LA BLENDE}

ET DE LEUR VARIATION AVEC LA TEMPÉRATURE

Par ANDRÉ ZAREMBOVITCH,

Laboratoire des Recherches Physiques, ^Sorbonne.

Résumé.

Les vitesses des ondes ultrasonores

propageant dans différentes directions d’un monocristal de sulfure de zinc (blende) ont été mesurées

moyen de trois méthodes optiques indépendantes : méthode de résonance, méthode de diffraction de la lumière par les ultrasons,

méthode de visualisation. Les expériences ^{ont été} répétées ^sur plusieurs échantillons. Les cons-

tantes élastiques déduites de

mesures à température ordinaire sont en accord avec la valeur de la compressibilité de la blende.

Cette étude

été poursuivie depuis ^la température ^ordinaire jusqu’à ^la température ^{de l’azote} liquide. ^On

déduit par extrapolation les constantes élastiques

^zéro absolu, ^{et la} température

de Debye ^de la blende. On constate que l’écart entre ^notre valeur, ^{et la} température ^de Debye

déterminée par des ^{mesures de} chaleur spécifique, ^est supérieur

^erreurs d’expériences.

Abstract.

The velocities of ultrasonic

travelling along different directions of

zinc blende monocrystal ^{have been measured} by ^three independent,optical methods : the thickness

resonance

method, light diffraction by ultrasonic waves, and the visualization method.

Several samples ^{have been} investigated. ^The elastic constants derived from the measurements at ^room temperature agree with the value of the compressibility ^of zinc-blende.

This study ^{has been} carried out from room temperature ^to liquid nitrogen temperature. ^The

elastic constants at 0 °K are derived by extrapolation ^{and the} Debye temperature of zinc-blende calculated. The difference between our value, and that deduced from heat capacity ^measure- ments, is greater ^{than the} experimental ^error.

PHYSIQUE

24, ^DÉCEMBRE 1963,

I. Introduction.

La première détermination des constantes élastiques du sulfure de zinc (blende)

par ^une méthode statique ^{à 20} OC, ^{est due à} Voigt (1918) [1].

En 1944 Bhagavantam ^et Suryanarayana [2]

déduisent de méthodes dynamiques (vibrations ultrasonores), ^un jeu ^de constantes élastiques ^à

20 °C différent du précédent ^{d’environ 10} %.

Prince et Wooster en 1951 [3] ^obtiennent

d’autres valeurs par diffusion des rayons ^{X au}

voisinage ^des réflexions sélectives. Leurs résultats s’écartent des précédents d’environ 10 % pour Cxx

et C12, ^de plus ^{de 15} % pour C44. ^Ils opèrent égale-

ment à la température ^ordinaire.

La dispersion ^{de ces résultats rend hasardeux}

les efforts entrepris pour relier les grandeurs ^élas- tiques ^{à d’autres} constantes physiques ^{de la blende} (notamment la chaleur spécifique ^{et la} tempé-

rature de Debye).

Par suite du grand intérêt que présente ^ce cristal,

d’autres auteurs (Forsterling [4], ^Martin [5]) ^ont cependant poursuivi ^ces efforts, ^{sans connaître} toutefois la valeur, nécessaire à leurs calculs, ^des

constantes élastiques ^{à 0 OK.}

Pour lever ces incertitudes, nous nous sommes

proposé ^de déterminer les constantes élastiques ^de

la blende de façon plus précise, ^{et d’étudier} la

variation de ces grandeurs ^{avec la} température,

pour ^{en connaître la} valeur extrapolée ^{au zéro}

absolu.

2. Description ^des échantillons.

La blende

appartient à l’hémiédrie tétraédrique ^du système

cubique (43 m).

Nous disposons ^de trois échantillons de blende naturelle provenant de Pico de Europa. ^{Nous les} désignerons par 1, 2,3 (1).

-

L’échantillon n° 1 a été taillé en forme de parallélépipède rectangle ^{de dimensions}

16 X 9 X 5 mm. Les grandes faces, ^{les faces}

moyennes ^et les petites ^{faces sont} respectivement parallèles ^aux plans (110), (110), (001). ^L’orien-

tation des faces par rapport ^{aux axes cristallo-} graphiques ^a été vérifiée aux rayons X. Elle est correcte à mieux de 10.

-

L’échantillon ^no 2 se présente ^{sous la forme}

d’une lame dont l’épaisseur ^{est faible} (3 mm) ^ce qui ^{nuit à la} précision ^{des mesures.}

-

L’échantillon no 3 est un parallélépipède ^rec- tangle ^de dimensions 10 X 10 X 19 mm. L’orien- tation des faces est la même que pour l’échan- tillon no 1.

3. Mesures à température ^ordinaire (20 oC).

Nous avons déterminé la vitesse de propagation

d’ondes ultra-sonores planes ^se propageant ^dans

nos échantillons.

(1) Les échantillons ont été mis;aimablement ^{à notre dis-} position par ^MM. les Professeurs J. P. Mathieu et H. Curien.

Les échantillons 1 et 2 ont déjà ^{servi à} des études optiques [6], [7], [8].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196300240120109700

1098

Trois méthodes optiques indépendantes ^{ont été}

mises en oeuvre : la méthode de résonance, ^la

méthode de visualisation, ^{la méthode de diffrac-}

tion de la lumière. Ces méthodes ^sont rappelées

dans un article de Meyer ^{et Hiedemann} [9] ; ^nous

en limiterons l’exposé ^aux particularités propres ^à notre étude.

3.1. MÉTHODE ^DE RÉSONANCE. - Des ondes

élastiques planes, engendrées par ^un quartz piézo- électrique ^{forment entre} deux faces planes ^et paral-

lèles du monocristal un système d’ondes station- naires.

On sait [10] qu’un ^tel système peut diffracter ^la lumière comme le ferait un réseàu _{de pas} À

(À désignant ^la longueur ^d’onde élastique).

L’intensité de la figure ^de diffraction est maxi- male quand ^{le solide entre en} résonance, ^c’est-à-

dire quand

L : distance des faces parallèles,

k : nombre entier,

ou encore

N : fréquence ^de résonance,

V : vitesse ^de propagation ^{des ondes} élastiques.

Le cristal est posé ^{sur un} quartz piézo-électrique.

On excite ce quartz ^{à l’aide d’un} générateur ^dont

on peut faire varier la fréquence ^de façon ^continue depuis ⁵ méga-cycle jusqu’à ³⁰ méga-cycle.

La résonance du cristal est décelée par l’obser- vation visuelle d’un maximum de l’intensité’de la

figure ^de diffraction. On note la suite des fré- quences de résonance ; ^{de cette mesure et de celle}

de L, ^{on déduit y’} d’après l’équation [2].

On augmente notablement le contraste de la figure ^de diffraction en plaçant l’échantillon

en vibration entre polariseur ^et analyseur ^croi-

sés. Si les directions de polarisation ^{sont à 450}

de la direction de propagation ^des ultra-sons,

on observe les résonances âues ^{aux ondes} longitu-

dinales.

Si les directions de polarisation ^{sont à 0 et 900}

de la direction de propagation ^des ultra-sons, ^on

observe les résonances dues ^aux ondes transver- sales.

Nous avons pu ainsi observer à différentes fré- quences les figures de diffraction de la lumière dues aux ondes planes, stationnaires, longitu-

dinales et transversales, parallèles ^aux plans (001)

et (110).

On relie la vitesse de ces ondes ^aux constantes

élastiques CIl’ C12, C44 ^{à l’aide} du tableau de

correspondance ci-contre :

TABLEAU 1

(un ^vecteur d’onde de cosinus directeurs [1, m, n], pilote ^{une vibration} longitudinale de vitesse Vi ^et

deux vibrations transversales de vitesse Y2 ^et ’V3).

(p désigne ^la’masse spécifique ^du cristal.) ,Cette méthode est précise. ^{Nous avons} pu, par

exemple, ^{observer toutes} les résonances des ondes

longitudinales ^se propageant suivant la direc- tion [110], depuis l’harmonique ²⁵ jusqu’à ^l’har- monique ^175.

3.2. MÉTHODE DE VISUALISATION.

Un solide

Îransparent, siège ^d’un système d’ondes station- naires ultrasonores ^est en première approximation,

du point ^{de vue de} l’optique, ^un objet ^de phase.

On peut donc, par différents procédés (strioscopie,

contraste de phase), visualiser les ondes ultra-

sonores à l’intérieur de ce solide.

Un autre procédé ^de visualisation est applicable

dans le cas d’un milieu isotrope ^ou d’un cristal

cubique. ^{Aux ventres de tension} élastique ^{se mani-}

feste une biréfringence accidentelle qui ^n’existe

pas ^aux noeuds. L’observation du solide en vibra-

tion, placé ^entre polariseur ^et analyseur ^croisés

à 450 de la direction de propagation des ondes élas-

Fm. 1.

Ondes longitudinales

dans un parallélépipède ^{de verre.}

tiques, révèle des raies sombres aux noeuds de tension et des ^zones claires aux ventres de tension

(exemple fig. 1).

Nous avons photographié les échantillons de blende dans lesquels ^{les ondes} ultrasonores étaient visualisées. La figure ² représente l’échantillon 1

siège ^d’un système d’ondes stationnaires longi-

tudinales.

Fie. 2a.

Ondes longitudinales stationnaires dans la blende. Direction de propagation[001].

Fie. 2&.

Ondes longitudinales stationnaires dans la blende. Direction, ^de propagation [110].

En a la direction de propagation ^est [001].

En b la direction de propagation ^est [110]..

La distance de 2 noeuds est égale ^{à la demi-} longueur d’onde, xi j2 ^en a, Xg/2 ^{en b. Le} rapport

des longueurs ^d’onde À1 ^et À2 relatives à deux

fréquences V1 et v2 que l’on ^mesure exactement,

nous donne une relation entre les constantes élas-

tiques, ^sans qu’il soit nécessaire de connaître le

grandissement ^du système photographique.

3.3. MÉTHODE DE DIFFRACTION DE LA LUMIÈRE

(Franges ^de Lucas-Biquard).

On photographie ^la figure ^de diffraction donnée par le systèmes ^d’ondes stationnaires décrit ^au

paragraphe ^3.1.

La distance du réseau ultrasonore à la plaque

photographique ^{n’est pas} connue avec précision.

Pour éliminer cette inconnue, nous avons photo- graphié ^les figures de diffraction données simul- tanément par les ondes longitudinales ^{et trans-}

versales.

La figure ³ représente ^{une telle} figure ^{de dif-}

fraction due aux ondes transversales et longitu-

dinales se propageant suivant la direction [1, 1, 0].

Le rapport des distances d1 ^et d2 ^des franges ^du premier ^{ordre est mesurable sur le cliché.}

FIG. 3.

Diffraction de la lumière par deux systèmes simultanés d’ondes stationnaires dans

cristal de blende.

V1 et V2 désignant les vitesses de propagation ^de

ces deux types ^d’ondes.

Cette mesure donne une relation supplémentaire

entre constantes élastiques.

3.4. RÉSULTATS. Discussiorr.

Pour chaque

échantillon de blende, la méthode de résonance

fournit quatre équations ^où figurent ^{les constantes}

élastiques. ^Cette méthode suffit donc pour déter-

miner les trois constantes. Les deux autres mé-

1100

thodes ont été utilisées pour améliorer la précision

des résultats. On en déduit :

Ces résultats sont obtenus avec pour valeur mesurée de la masse spécifique

Les résultats précédemment publiés ^{sont re-} portés ^{dans le tableau 2.}

TABLEAU 2

Les constantes de Wooster ^et Price étant déter- minées avec une erreur relative de 5 %, ^{la diver-}

gence ^{avec nos} résultats reste dans des valeurs admissibles pour Cl1 ^et C128 ^Par ailleurs, ^on

remarque que la constante C44 ^est beaucoup plus

faible d’après ^{ces auteurs} que d’après ^{les autres.}

Il est plus ^{difficile de} comparer ^nos résultats avec ceux de Bhagavantam ^et Suryanarayana qui ^ne communiquent pas la précision ^{de leurs mesures.}

On notera toutefois _que C44 ^est déterminé par ^ces auteurs de façon statique c’est-à-dire moins pré-

cise. Si l’on reporte ^dans leurs calculs notre valeur de C44, ^{on trouve} pour C12 ^{un résultat} proche ^du

nôtre.

4. Mesures à basse température.

^{Nous avons} mesuré.par la méthode de résonance les constantes

élastiques de la blende depuis ^{20 OC} jusqu’au ^voisi-

nage de la température d’ébullition de l’azote

liquide (- 180 °C).

4.1. DESCRIPTION DU MONTAGE.

Le cristal

posé ^{sur le} quartz piézoélectrique ^est logé ^{à l’inté-}

rieur d’un bloc de laiton de grande capacité ^calo- rifique.

Le refroidissement du bloc est assuré par ^une circulation ^d’azote liquide ^le long ^{de tubulures} percées ^{dans sa masse.} L’ensemble est placé ^dans

un vase Dewar où l’on a ménagé ^{deux fenêtres} optiques permettant le passage de la lumière et

l’observation des figures de diffraction.

La commande du circuit de pompage ^{de l’azote}

est asservie à la température de l’enceinte par l’intermédiaire d’un thermomètre à gaz ^ou d’un thermomètre à résistance de platine. ^{Dans les deux}

cas, la température ^au niveau du cristal est main- tenue constante à + ^{1°C. Ce} montage ^est inspiré

de celui décrit par Kahane [11].

Discussion.

La relation (2), qui ^nous permet de calculer la vitesse de propagation ^des ultrasons,

n’est applicable que si le couplage ^entre quartz ^et cristal, assuré par ^une couche de liaison, ^{est suffi-}

samment lâche pour que l’on puisse considérer le cristal _comme libre.

Suivant la température nous avons utilisé dif- f érents a liants » répondant ^{à cette} condition : huile de paraffine, décahydronaphtalène, méthylcyclo- hexane, méthyl ^{2 butane.}

4.2. RÉSULTATS.

Le calcul des constantes

élastiques ^à différentes températures nécessite la connaissance du coefficient de dilatation de la blende en fonction de la température. ^{Nous avons} emprunté les résultats à Adenstedt [12].

Les courbes 1, ^{2 et 3} (fig. 4) représentent ^les

variations des constantes élastiques CI,, C12, ^et

FIG. 4.

C44 ^{en fonction de la} température depuis ^20°C jusqu’à - ^{180 °C, Ces courbes sont d’allure presque} rectiligne, ^{avec une} légère convexité tournée ^vers l’axe des Cu croissants, ^{à basse} température. ^Les pentes des courbes sont toutefois très faibles com-

parées ^aux courbes relatives à des cristauX ioniques.

4.3. CONSTANTES ÉLASTIQUES ^{A 0 OK.}

^Les courbes 1, ^{2 et 3 nous ont} permis d’évaluer par

extrapolation ^les constantes élastiques C,1, C12.

et C44 ^{au zéro absolu. On} peut extrapoler graphe

quement ^en prolongeant ^{les courbes} 1, ^{2 et 3}

jusqu’à ^{0 OK de} façon ^{à ce} que è)Cu jôT

0 pour T = 0.

On peut également, ^{suivant une méthode em-} ployée par Durand [13], écrire que :

( Cu) 0 désignant ^la valeur de Cn à 0 OK ;

u

T ¡aD ^{avec T} t’empérature ^en degré Kelvin ;

OD température ^de Debye ;

Fii(u) ^{est une fonction de u} qui ^ne dépend pas de la substance étudiée ; ^{Ais une constante carac-} téristique ^{de la} substance étudiée.

L’utilisation de ces deux méthodes est concor-

dante et nous conduit aux résultats suivants :

5. Utilisation des résultats.

5.1. ÉVALUATION

DE LA COMPRESSIBILITÉ ISOTHERME DE LA BLENDE.

-

De nombreux auteurs ont mesuré à la tempé-

rature ordinaire, ^la compressibilité ^{isotherme de}

la blende xT [14, 15].

Cette grandeur peut ^{être calculée à} partir ^{de nos}

résultats puisque

C i, CT2 désignant ^les constantes élastiques ^iso-

thermes- de la blende. La méthode dynamique que

nous utilisons nous donne les coefficients élastiques adiabatiques Cfl’ C 2, ^{reliés aux} précédents ^par

les relations (6) ^et (7)

oc : coefficient de dilatation linéaire,

p : ^masse spécifique,

Cv : chaleur spécifique ^{à volume constant.}

Le terme 9T(X2/pCv XT ^{est un terme} correctif dont 1 a valeur est : 0,03 .1011. ^{Il vient :}

Ce résultat est en excellent accord avec les valeurs publiées [14, 15].

obtenues par ^mesure statique ^{de la} compressibilité

5.2. TEMPÉRATURE DE DEBYE DE LA BLENDE. -

5.2.1. Rappel ^{des résultats} précédents.

^{La théorie}

de Debye des chaleurs spécifiques ^{relie la} tempé- .

rature caractéristique ^{OD aux} constantes élastiques

par la relation :

Notations de Blackmann [16]

Cm, la vitesse moyenne de propagation ^{des ondes} élastiques ^dans le cristal est définie _par la relation :

où V1, V 2, V3 désignent les vitesses de propa-

gation des ondes longitudinales ^et transversales relatives à une même direction ; l’intégration porte

sur toutes les directions de l’espace.

La comparaison ^{de aD} ainsi calculé (nous ^note-

rons 6D élastique) ^{à la valeur} 6D(y) ^évaluée d’après

les mesures de chaleur spécifique, ^est particuliè-

rement intéressante dans le cas de la blende. En

effet, ^{ce cristal est un} semi-conducteur, ^{dont le}

«

gap » ^est élevé (La résistivité à température

ambiante est supérieure ^{à 1012} ohm/cm). ^{Il en}

résulte _que la contribution électronique ^{à la cha-}

leur spécifique ^est négligeable ^{devant la contri-}

bution du réseau.

Comparaison ^de OD(T) ^et OD)(élastique).

-

Forsterling [4] ^{a calculé Sa} (élastique) ^{et Cm} d’après ^les constantes élastiques ^de Voigt ; ^il

trouve :

-

Clusius et Harteck [17] ^{ont mesuré la chaleur} spécifique ^{de la blende entre 19 OK et 200 OK. De}

leurs mesures ils déduisent.

On constate donc que 03B8D( T) OD (élastique).

D’après ^les prévisions de Blackmann [16], ^la

mesure des chaleurs spécifiques ^{à des} températures

inférieures à 19 OK était susceptible de réduire l’écart entre OD(T) ^et OD(élastique). ^{En effet}

Martin [5] ^a étudié la blende de ce point ^{de vue}

entre 19 OK et 4 OK. La courbe de variation de OD

en fonction de la température ^s’élève quand ^la température diminue, pour atteindre la valeur

.

OD

315 OK à 8 OK. Martin réduit encore l’écart entre OD (élastique) ^et 8n(T) ^{en calculant OD} (élas- tique) d’après ^{les valeurs de Wooster} [3]. ^{Ce calcul}

toutefois appelle ^deux remarques :

les cons- tantes élastiques ^{de Wooster sont} imprécises ; ^{- la}

méthode de calcul qu’utilise ^Martin (Bhatia ^et

Tauber [18]) ^se justifie pour ^un cristal tel _que

2C441C11

C12 = 1. Cette relation n’est pas véri-

fiée pour la blende.

1102

5.2.2. Calcul de CD (élastique).

^{Nous avons}

évalué OD (élastique) de la blende en utilisant nos

valeurs à 0 OK de C11, C,2 ^et C44. ^{La méthode de} Hopf ^{et Lechner} modifiée par Durand [13] ^n’est

pas précise ^car C44 (C11- C44) varie dans un do- maine trop étendu pour des directions de propa-

gation d’onde différentes.

Nous avons évalué Cm _par intégration graphique.

En raison de la symétrie cubique, il suffit de cal- culer la ^{somme s}

-V1-3 + Y2 3 + Y3 3 pour les directions dont les cosinus directeurs l, m, n, répon-

dent aux inégalités 1 > m > n > ^{0. Dans cette} région ^de l’espace nous avons évalué la somme s

dans de nombreux plans de coupe puis ^déterminé graphiquement ^une valeur moyenne. Nous obte-

nons :

On note que l’écart ^entre 8D( T) ^{et OD} (élastique)

est de nouveau bien supérieur aux erreurs expéri-

mentales.

6. Conclusion.

Nous avons mesuré par trois mé- thodes optiques indépendantes ^les constantes élas-

tiques d’échantillons naturels de blende à tempé-

rature ordinaire. Les résultats sont en excellent , accord ^{avec les mesures de} compressibilité ^{de la}

blende. Nous avons étudié la variation des cons-

tantes élastiques ^{de 20°C à}

^{180°C afin de}

déduire la valeur de ces constantes à 0 OK.

Ces données nous ont permis de calculer la tem-

pérature ^de Debye ^{de la} blende. Le résultat sou-

ligne ^{à nouveau} le désaccord entre OD (élastique) ^et 6D( T).

Ces recherches ont été faites au Laboratoire des Recherches Physiques ^{de la} Sorbonne, ^{sous la}

direction de MM. les Professeurs Lucas et Mathieu.

Nous tenons à leur exprimer ^{ici notre} profonde gratitude.

Les échantillons de blende ont été taillés et polis

par Mme Devaux-Morin ^et Mlle Chabaud. Nous les

en remercions bien vivement.

Manuscrit reçu le 26 juillet ^1963.

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