L3 et Magist` ere de Physique Fondamentale
Math´ ematiques
T.D. n
◦7 D´ ecembre 2007
Distributions:
Distribution de Dirac, Fonction de Heaviside et Valeur Principale; Convergence au sens des distributions
1 Distribution de Dirac
1. Rappeler la d´ efinition de la distribution de Dirac.
2. Quel est son support ?
3. Quelle est sa d´ eriv´ ee d’ordre n, not´ ee δ
(n)? 4. En quoi la notation < δ, ϕ >= R
dxδ(x)ϕ(x) est-elle trompeuse ?
5. On consid` ere la translat´ ee δ
a= τ
aδ de la distribution de Dirac. Soit α une fonction C
∞, d´ emontrer que αδ
a= α(a)δ
a.
2 Cons´ equences
2.1 Equations alg´ ebriques
On rappelle que toute fonction ϕ de D peut se mettre sous la forme:
ϕ(x) = xψ(x) + ϕ(0)ϕ
0(x)
o` u ψ et ϕ
0sont des fonctions de D avec ϕ
0(0) = 1 ( voir T.D. pr´ ec´ edent).
1. Montrer que l’´ equation dans D
0: xT = 0 admet pour seules solutions les distributions T telles que T = Cδ o` u C est une constante.
2. Montrer que xδ
(n)= −nδ
(n−1). 3. R´ esoudre dans D
0l’´ equation x
nT = 0.
2.2 Equations diff´ erentielles
On rappelle que toute fonction ϕ de D peut se mettre sous la forme:
ϕ(x) = ψ
0(x) + ϕ
1(x) R
R
ϕ(t)dt o` u ψ et ϕ
1sont des fonctions de D avec R
R
ϕ
1(t)dt = 1 (voir TD pr´ ec´ edent).
1. Montrer que l’´ equation dans D
0: T
0= 0 admet pour seules solutions les distributions T telles que T = CT
1o` u T
1d´ esigne la distribution r´ eguli` ere associ´ ee ` a la fonction constante 1.
2. R´ esoudre dans D
0l’´ equation T
(n)= 0.
3. On s’int´ eresse ` a l’´ equation xT
0= 0 dans D
0.
(a) Calculer [θ]
0o` u θ d´ esigne la fonction de Heaviside et [θ] la distribution associ´ ee.
(b) En d´ eduire les solutions de xT
0= 0.
—2—
3 Convergence aux sens des distributions
On rappelle que toute distribution T est la limite au sens des distributions d’une suite {f
n}de fonctions localement sommables:
∀T ∃{f
n} telle que T = lim
(D)n−>∞T
fnsoit explicitement :
∀T ∃{f
n} telle que ∀ϕ ∈ D < T, ϕ >= lim
n−>∞< T
fn, ϕ >.
Pour un choix donn´ e de la suite {f
n} -choix qui n’est pas unique- on parle de repr´ esentation de la distribution T .
On peut ´ egalement remplacer le param` etre discret n par un param` etre continu r´ eel.
1. Trouver la limite au sens des distributions des suites {f
}
>0lorsque tend vers 0, avec : f
(x) =
1√ 2π
e
−x2
22
ou f
(x) =
π1x2+ 2.
2. Soit {f
n} une repr´ esentation d’une distribution T . Les fonctions f
n´ etant suppos´ ees de classe C
1, montrer que la suite {f
n0} est une repr´ esentation de la distribution d´ eriv´ ee T
0.
3. A partir des questions pr´ ec´ edentes, trouver une repr´ esentation de la distribution δ
0.
4. Soit f une fonction de classe C
1partout sauf en un point x
0o` u elle pr´ esente une discontinuit´ e de premi` ere esp` ece :lim
−>0+f (x
0+ ) − f (x
0− ) = σ (σ fini).
(a) Rappeler la formule du saut permettant de calculer [f ]
0.
(b) Apr` es avoir rappel´ e la d´ efinition de la fonction de Heaviside θ, appliquer le r´ esultat pr´ ec´ edent ` a T
θ.
(c) Soit [f] la distribution r´ eguli` ere associ´ ee ` a la fonction f d´ efinie par f(x) = e
xθ(x), calculer T = (
dxd− 1) [f].
4 Valeur Principale
On rappelle que la distribution vp
1x-valeur principale de 1/x- est d´ efinie par :
∀ϕ ∈ D, < vp
x1, ϕ >= lim
−>0+R
|x|≥
ϕ(x) x
dx 1. Montrer que : ∀ϕ ∈ D, < vp
x1, ϕ >= R
ϕ(x)−ϕ(−x)2x
dx
2. Quelle est la parit´ e de vp
1x? 3. Calculer x vp
1x.
4. Montrer que vp
x1est la seule distribution impaire satisfaisant l’´ equation xT = 1.
5. Montrer que la fonction ln |x| est une fonction localement sommable sur <. On peut donc d´ efinir la
distribution r´ eguli` ere associ´ ee T . Montrer que : T
0= vp
x1.
—3—
6. Rappeler la d´ efinition de la d´ etermination principale du logarithme complexe Ln(z) et montrer que : lim
−>0+Ln(x + i) = Ln|x| + iπθ(−x).
On admet que:
∀x 6= 0, ∀, 0 < < 1, |Ln(x + i)| ≤ f (x) avec f (x) =
12(|Ln(x
2)| + Ln(x
2+ 1)) + π.
Le majorant est-il localement sommable ?
(a) Le majorant pr´ ec´ edent est-il localement sommable ?
(b) En utilisant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, montrer que dans D
0: lim
−>0+T
Ln(x+i)= T
Ln|x|+ iπT
θ(−x).
(c) A l’aide des r´ esultats des exercices pr´ ec´ edents du T.D. montrer que dans D
0: lim
−>0+ 1x+i
