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Université Mohammed V Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences SMP-S4

Travaux Dirigés du module: Mécanique Quantique Corrigé des exercices de la Série 1:

Partie IV-Particule dans un potentiel carré à une dimension

e-Potentiel attractif (suite)

𝑉(𝑥) = 𝑎𝛿(𝑥);      𝑎 < 0 Avec 𝛿(𝑥) est la distribution de Dirac, définie par :

𝛿(𝑥) = 0;  𝑥 ≠ 0

∞;  𝑥 = 0      𝑡𝑒𝑙  𝑞𝑢𝑒        

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥 = 1

𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝛼)𝑑𝑥 = 𝑓(𝛼) Nous  limitons  l’étude  au  cas  E  >  0 : états de diffusion

Dans les régions I (𝑥 < 0) et II (𝑥 > 0), on a respectivement :

𝜑 (𝑥) = 𝐴 𝑒 + 𝐴 𝑒      (1) 𝜑 (𝑥) = 𝐴 𝑒 +      𝐴′ 𝑒      (2) avec

𝑘 = 2𝑚𝐸

ℏ      (3)

Comme (x) doit être bornée dans la région II, il faut que : 𝐴′ = 0.

 est continue en 𝑥 = 0 (I(0)= II(0)) donnent alors : 𝐴 + 𝐴’ = 𝐴      (4)

Rappel : On a 𝑉(𝑥) = 𝛼𝛿(𝑥) ayant  les  dimensions  d’une  énergie,  c’est-à-dire [M][L]²[T]^-2on en déduit que []=[M][L]³[T]^-2=[énergie]x[longueur].

 est continue en x = 0 mais sa dérivée première ' est discontinue en ce point (discontinuité de seconde espèce du  potentiel),  c’est-à-dire que: ’I(0)  ’II(0). Donc, dans ce cas on utilise la

2020-2021

propriété suivante : ’I(0) - ’II(0) = −_ II(0) avec  = − ^ℏ = ^ℏ_{| |} ([ ]=[L]) et aussi

𝐸 = − ^ℏ_ .

D’où : (𝑖𝑘𝐴 − 𝑖𝑘𝐴 ) − 𝑖𝑘𝐴 = _ℏ 𝐴 (5) On utilise : ’1(0) - ’2(0) =

ℏ 2(0) D’après  (4) et (5), on a :

𝐴

𝐴 = 1

1 + 𝑚𝛼

𝑖𝑘ℏ

= 𝑖𝑘ℏ

𝑖𝑘ℏ + 𝑚𝛼      (6) D’où le coefficient de transmission:

𝑇 = 𝐴

𝐴 = ^k

2ℏ

k²ℏ + 𝑚 𝛼 = 1

1 + 1

 𝑘

     (7)    

Avec  = − ^_

Le coefficient de réflexion : R= 1-T.

Rq : 𝑘  petit  (faible  énergie  ): 𝑇 → 0 𝑘  grand  (grande  énergie  ): 𝑇 → 1