LES LOIS NORMALES. SYNTHÈSE DU COURS

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LES LOIS NORMALES.

SYNTHÈSE DU COURS

I. Loi normale centrée réduite.

1. Définition.

Définition : Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur IR par : (x) = 1

2 e

x² 2

.

Allure de la courbe de :

La courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées.

Il n est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction . On utilisera donc la courbe, des tables ou la calculatrice pour donner une valeur approchée des intégrales.

Rappel : pour les lois à densité, que ce soit ou n a pas d importance.

2. Espérance et variance de la loi normale standard.

Propriété (admise) : Si la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite, alors E (Z ) 0 et (Z ) 1 La loi normale centrée réduite est notée N (0 1).

On peut donc écrire Z N (0 1) qui se lit "Z suit la loi normale centrée réduite".

3. Calculs de probabilités.

Exemples :

Pour calculer des probabilités, on commence par faire un schéma et par hachurer la partie dont on cherche l aire (ainsi que les parties dont on connaît l aire).

On donne P (0 Z 1) 0,34 1. Calculer P ( 1 Z 0) 2. Calculer P (Z 1) 3. Calculer P (Z 1) Correction des exemples :

1. On cherche P( 1 Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée.

P( 1 Z 1) 2 P (0 Z 1) 2 0,34, c'est-à-dire P( 1 Z 1) 0,68

2. On cherche P( Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée.

P( Z 1) 0,5 P (0 Z 1) 0,5 0,34, c'est-à-dire P( Z 1) 0,16

3. On cherche P( Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur.

P( Z 1) 0,5 P (0 Z 1) 0,5 0,34, c'est-à-dire P( Z 1) 0,84

4. Intervalle centré en 0 de probabilité donnée : Cas particuliers à connaître :

u 0,05 1,96 u 0,01 2,58

P ( Z[ 1,96 1,96] ) 0,95 P ( Z[ 2,58 2,58] ) 0,99

II. Loi normale N ( ; ²).

1. Définition.

Définition :  désigne un réel et  un réel strictement positif.

La variable X suit la loi normale de paramètres  et ², notée N ( ; ²),lorsque la variable aléatoire centrée réduite X

suit la loi N (0 ; 1).

X suit la loi N ( ; ²), la courbe de la fonction de densité de X est symétrique par rapport à la droite d équation x .

Propriété admise : Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( ; ²), alors son espérance est  et son écart-type est .

Attention, dans la parenthèse, on a ². Il faut donc calculer en prenant la racine car 0.

Influence de :

L’écart-type  est un paramètre de dispersion. Plus  est faible, moins la courbe est aplatie.

Attention : on peut lire sur le graphique mais on ne peut pas lire . 2. Utilisation de la calculatrice.

Utilisation de la calculatrice pour calculer P( a Z b ):

Casio : TI :

Menu Stat Distrib (shift + var)

Choisir DIST : touche F5 Choisir normalcdf( ou normalFrep

Choisir NORM : touche F1 Entrer a, b, , en séparant par des virgules.

Choisir Ncd : touche F2 Data : choisir Variable Lower : entrer la valeur de a Upper : entrer la valeur de b

: entrer

: entrer

3/4 Utilisation de la calculatrice pour calculer a lorsqu on connaît P( X a) p .

Casio : TI :

Menu Stat Distrib

Choisir DIST : touche F5 Choisir FracNormale

Choisir NORM : touche F1 Entrer p, , en séparant par des virgules.

Choisir InvN : touche F2 Data : choisir Variable

Trail : choisir Left pour P (X a) Area : entrer la valeur de p

: entrer : entrer

3. Calculs de probabilités.

Exemple :

Dans tous les exemples qui suivent, X suit la loi (2;9). Les résultats seront si nécessaires arrondis au millième.

1. Déterminer .

2. Calculer P ( 1 X 2) 3. Calculer P (X 1) 4. Calculer P (X 2,5) 5. Calculer P (X 0,4)

Pour calculer des probabilités, on commence par faire un schéma et par hachurer la partie dont on cherche l aire (ainsi que les parties dont on connaît l aire).

Correction de l exemple :

1. X suit la loi (2;9) donc ² 9. Or 0 donc 9 3.

2. A la calculatrice, on obtient P( 1 X 2) 0,341 :

3. On cherche P( X 1) qui est l aire de la partie hachurée P (X 1) 0,5 P(1 X 2) A la calculatrice, on obtient

P(1 X 2) 0,131

Alors P( X 1) 0,5 0,131, c'est-à-dire P(X 1) 0,369

4. On cherche P( X 2,5)

On cherche P (X 2,5) qui est l aire de la partie hachurée

P(X 2,5) 0,5 P (2 X 2,5)

Alors P( X 2,5) 0,5 0,066, c'est-à-dire P(X 2,5) 0,566

5. On cherche P( X 0,4 ) qui est l aire de la partie hachurée

P(X 0,4) 0,5 P(0,4 X 2)

Alors P( X 0,4) 0,5 0,203, c'est-à-dire P(X 0,4) 0,703

4. Probabilités à connaître.

Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N ( ; ²). On a :

P X [ ] 0,68 P X [ 2 2 ] 0,95

P X [ 3 3 ] 0,997

5. Exemples.

Exemple 1. Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne.

Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes.

Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance 400 et d’écart-type 11.

1. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

2. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée de P (367 X 433).

Exemple 2. Calculer un écart-type.

X est une variable aléatoire qui suit N (5 ²) On sait que P (X 8) 0,92. Déterminer . Correction :

Exemple 1.

1. On cherche P( X 385).

P (X 385) 0,5 P(385 X 400)

P (X 385) 0,5 0,414, c'est-à-dire P (X 385) 0,914

La probabilité qu un pain soit commercialisable est environ 0,914.

2. On remarque que 367 400 33 400 3 11 et 33 400 33 400 3 11.

Alors P (367 X 433) P(400 3 11 X 400 3 11) P ( 3 X 3 )

On a P ( 3 X 3 ) 0,997 donc P(367 X 433) 0,997.

Exemple 2.

On pose Z X 5

. D après le cours, Z suit la loi N (0 1).

X 8  X 5 3  X 5 3  Z 3

. On a donc P

 

 

Z ³ 0,92 avec Z qui suit la loi N (0 1 ).

A la calculatrice, on obtient 3

1,405 et donc 3

1,405 , c'est-à-dire 2,135.

III. Fluctuation.

1. Intervalle de fluctuation.

Pour n 30 ; np 5 et n (1 p ) 5, on peut affirmer que la probabilité que F n appartienne à

 

  p 1,96 ^{p(1 p )}

n p 1,96 ^{p(1 p)}

n est légèrement supérieure à 0,95. Cet intervalle est

l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

5/4 2. Prise de décision.

Au sein d une population, on suppose que la proportion d un certain caractère est p. On souhaite juger cette hypothèse. Pour cela, on prélève dans la population au hasard et avec remise un échantillon de taille n. On note f _obs la fréquence du caractère dans cet échantillon (fréquence observée).

Si n 30 ; np 5 et n(1 p) 5, on détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I n  

  p 1,96 ^{p (1 p )}

n p 1,96 ^{p(1 p )} n

Si f obs appartient à l intervalle de fluctuation, l hypothèse est acceptée au seuil de 95%.

Si f obs n appartient pas à l intervalle de fluctuation, on rejette l hypothèse au seuil de 95%.

Exemple : Une entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans sa production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. Etant donné le grand nombre de moteurs fabriqués, on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise ? (d après bac)

Correction :

On suppose que la proportion de moteurs défectueux est p 0,01.

On a prélevé 800 moteurs : n 800.

Parmi eux, 15 sont défectueux : f obs

15 800 .

La variable aléatoire X n correspondant au nombre de moteurs défectueux suit la loi B (800 0,01).

n 800 30 ; np 8 5 et n (1 p ) 792 5 donc les conditions sont réalisées.

On détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I  

  0,01−1,96 0,01(1−0,01)

800 ;0,01+1,96 0,01(1−0,01)

800 soit environ [0,003 0,017]. (on arrondit la borne inférieure en dessous et la borne supérieure au dessus).

Cela signifie que, si 1% de l ensemble des moteurs sont défectueux, lorsqu on choisit 800 moteurs au hasard, on a 95% de chances qu il y en ait entre 0,3% et 1,7% de défectueux.

15

800 0,01875 n appartient pas à I donc on rejette l hypothèse que 1% des moteurs soit défectueux au

seuil de 95% : le résultat du test remet en question l annonce de l entreprise.