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Estimation et diagnostic de réseaux de Petri partiellement observables
Amira Dardour
To cite this version:
Amira Dardour. Estimation et diagnostic de réseaux de Petri partiellement observables. Automa-
tique. Université d’Angers; École nationale d’ingénieurs de Sfax (Tunisie), 2018. Français. �NNT :
2018ANGE0054�. �tel-02316020�
T HESE DE DOCTORAT DE
L'UNIVERSITE D'ANGERS
C OMUE U NIVERSITE B RETAGNE L OIRE
E COLE D OCTORALE N ° 601
Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
Spécialité : Automatique, productique et robotique
L'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Sfax
Spécialité : Génie Électrique
Par
Amira CHOUCHANE
ESTIMATION ET DIAGNOSTIC DE RESEAUX DE PETRI PARTIELLEMENT OBSERVABLES
Thèse présentée et soutenue à Angers, le 17 Décembre 2018 Unité de recherche :
Thèse N° : 131224
Rapporteurs avant soutenance :
Kamel Belkhiria Professeur, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Monastir, Tunisie Mohamed Ghazel Directeur de Recherche, IFSTTAR -COSYS/Estas, France
Composition du Jury :
Dimitri Lefebvre Professeur, l’université Le Havre Normandie, France
Kamel Belkhiria Professeur, l'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Monastir, Tunisie Mohamed Ghazel Directeur de Recherche, IFSTTAR -COSYS/Estas, France Isabel Demongodin Professeur, Aix Marseille Université, France
Directeurs de thèse
Philippe Declerck Maître de conférence, l’Ecole d'ingénieurs de l'Université d'Angers, France Anas Kamoun Professeur, l'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Sfax, Tunisie
Laboratoire Angevin de Recherche en Ingénierie des Systèmes, Angers, France
Renewable Energies & Electric Vehicles, Sfax, Tunisie
D´edicace
A mes chers parents `
A mon cher mari et ma ch` ` ere fille
A mon cher fr` ` ere et mes ch` eres soeurs
A toute ma famille et belle famille `
A tous mes amis `
Tout d’abord, je tiens ` a exprimer ma forte reconnaissance ` a mes directeurs de th` ese : Philippe DECLERCK, maˆıtre de conf´ erence ` a l’ISTIA, Ecole d’ing´ enieurs de l’universit´ e d’Angers en France et Anas KAMOUN, professeur ` a l’Ecole Nationale d’Ing´ enieurs de Sfax (ENIS) en Tunisie. Je les remercie de m’avoir permis de relever le d´ efi de la cotutelle de th` ese entre l’ISTIA de l’Universit´ e d’Angers au sein du Laboratoire Angevin de Recherche en Ing´ enierie des Syst` emes (LARIS), et L’ENIS au sein du laboratoire de Renewable Energies and Electric Vehicles (RELEV). Je tiens ` a les remercier aussi pour leur pr´ ecieux conseils, leur patience et leur disponibilit´ e tout au long de l’´ elaboration de mon travail.
Je tiens aussi ` a remercier M. Kamel BELKHIRIA, professeur ` a l’´ Ecole Nationale d’In- g´ enieurs de Monastir en Tunisie et M. Mohamed GHAZEL, directeur de Recherche ` a IFSTTAR-COSYS/Estas en France, d’avoir accept´ e d’ˆ etre les rapporteurs de ma th` ese et pour le temps qu’ils ont consacr´ e, malgr´ e leurs charges et leurs responsabilit´ es, ` a l’´ evalua- tion de mes travaux avec soin. Je remercie ´ egalement M. Dimitri LEFEBVRE, professeur
`
a l’universit´ e Le Havre Normandie en France et Mme Isabel DEMONGODIN, professeur
`
a Aix Marseille Universit´ e en France, pour avoir accept´ e d’en ˆ etre les examinateurs. Merci pour le temps et l’effort que vous m’avez consacr´ e et de m’avoir fait l’honneur de faire partie de mon Jury de th` ese.
Mes sinc` eres remerciements vont aussi ` a mes co-encadrants de th` ese M. Othman NASRI, Maˆıtre-assistant ` a l’´ Ecole Nationale d’Ing´ enieurs de Sousse en Tunisie et M.
Atef KHEDHER, Maˆıtre-assistant ` a l’Institut Sup´ erieur des Sciences Appliqu´ ees et de
Technologie de Gafsa en Tunisie, pour leurs attentions de tout instant sur mes travaux,
pour leurs conseils avis´ es et leurs ´ ecoutes qui ont ´ et´ e pr´ epond´ erants pour la bonne r´ eussite de cette th` ese.
Je ne peux terminer sans adresser mes plus profonds et sinc` eres remerciements aux ˆ etres qui me sont les plus chers. Je pense bien ´ evidement ` a mes tr` es chers parents ` a qui je dois tout. Je leur d´ edie cette th` ese de doctorat et leur exprime tout mon amour. Je les remercie infiniment et j’esp` ere les rendre fiers. Je suis ´ egalement tr` es reconnaissante ` a mon mari qui m’a toujours soutenu. Je n’aurais jamais pu aller aussi loin sans toi. Sans oublier ma belle fille Ayouta, je tiens ` a m’excuser pour les nombreuses heures d’absence.
Je d´ edie ´ egalement ce m´ emoire ` a mon cher fr` ere et mes ch` eres soeurs, ` a ma famille, ` a ma
belle-famille ainsi qu’` a tous mes amis.
D´ edicace i
Remerciements ii
Table des figures viii
Liste des tableaux x
Introduction g´ en´ erale xi
1 Contexte g´ en´ eral . . . . xi
2 Objectifs de la th` ese . . . xiii
3 Contributions . . . xiv
4 Plan du document . . . xvi
Chapitre 1 G´ en´ eralit´ es sur le diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par RdPs 1.1 Introduction . . . . 2
1.2 Mod´ elisation des SEDs par RdPs . . . . 2
1.2.1 RdPs autonomes . . . . 2
1.2.1.1 D´ efinition d’un RdP . . . . 2
1.2.1.2 Dynamique d’un RdP . . . . 4
1.2.1.3 Structures fondamentales du RdP . . . . 6
1.2.1.4 Structures particuli` eres d’un RdP . . . . 7
1.2.1.5 Propri´ et´ es des s´ equences de franchissements . . . . 8
1.2.1.6 Propri´ et´ es des marquages . . . . 9
1.2.2 Graphe de marquages . . . . 10
1.2.3 Graphe de couverture . . . . 12
1.2.4 RdPs ´ etiquet´ es . . . . 15
1.2.4.1 D´ efinition informelle . . . . 15
1.2.4.2 D´ efinition formelle . . . . 15
1.2.4.3 La fonction d’´ etiquetage . . . . 15
1.2.5 RdPs temporis´ es . . . . 16
1.2.5.1 RdP p-temporis´ e . . . . 16
1.2.5.2 RdP t-temporis´ e . . . . 17
1.3 Diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par des RdPs . . . . 18
1.3.1 Lexique de diagnostic . . . . 18
1.3.2 Les types des d´ efauts . . . . 19
1.3.3 Diff´ erentes techniques pour le diagnostic des RdPs . . . . 20
1.3.3.1 Diagnostic selon la mod´ elisation des d´ efauts . . . . 20
1.3.3.2 Diagnostic selon l’observabilit´ e des places et des transi- tions d’un RdP . . . . 20
1.3.3.3 Diagnostic selon la structure de prise de d´ ecision . . . . . 21
1.3.3.4 Diagnostic en ligne/hors ligne . . . . 25
1.4 Etat de l’art sur le diagnostic des RdPs . . . . ´ 26
1.4.1 Approches ` a base de diagnostiqueurs . . . . 27
1.4.2 Approches ` a base d’estimation de marquages de base . . . . 29
1.4.3 Approches ` a base d’analyse arri` ere (B-W Analysis) . . . . 29
1.4.4 Approches par r´ esolution des probl` emes PLNE . . . . 30
1.4.5 Approches par relaxation des contraintes . . . . 31
1.4.6 Approches ` a base d’espace de parit´ e dynamique . . . . 32
1.5 Conclusion . . . . 33
Chapitre 2 Adaptation de l’algorithme de Fourier-Motzkin pour la r´ esolution du po- ly` edre param´ etrique A.x ≤ b 2.1 Introduction . . . . 35
2.2 L’algorithme de Fourier-Motzkin pour la r´ esolution de A.x ≤ b dans R n . . 35
2.2.1 Phase1 : La proc´ edure d’´ elimination de Fourier-Motzkin . . . . 36
2.2.1.1 Etape1 : Calcul des bornes d’une variable . . . . 36
2.2.1.2 Etape 2 : ´ Elimination et construction d’un nouveau syst` eme 37
2.2.4 Extension de Fourier-Motzkin : les th´ eor` emes d’acc´ el´ eration d’Imbert 42
2.3 L’algorithme de Fourier-Motzkin pour la r´ esolution de A.x ≤ b dans Z n . . 46
2.4 Reformulation Alg´ ebrique d’´ elimination de Fourier-Motzkin . . . . 49
2.4.1 Reformulation Alg´ ebrique d’´ elimination de Fourier-Motzkin sans ´ elimination des in´ egalit´ es redondantes . . . . 49
2.4.2 Reformulation Alg´ ebrique de l’´ elimination de Fourier-Motzkin avec ´ elimination des in´ egalit´ es redondantes . . . . 51
2.4.3 Impl´ ementation algorithmique . . . . 53
2.5 Conclusion . . . . 57
Chapitre 3 Diagnostic d’un RdPE partiellement observable sur un horizon ´ el´ emen- taire glissant 3.1 Introduction . . . . 59
3.2 Estimation d’un espace d’´ etat d’un RdPE sur un horizon ´ el´ ementaire glissant 61 3.2.1 Le principe de l’estimation . . . . 61
3.2.2 Poly` edre des vecteurs d’explication candidats . . . . 63
3.2.3 Calcul num´ erique de l’ensemble des vecteurs d’explication candidats 64 3.2.3.1 Impl´ ementation algorithmique . . . . 66
3.2.3.2 L’espace des solutions en pr´ esence de boucles . . . . 68
3.2.4 L’ensemble des marquages coh´ erents . . . . 71
3.3 Estimation d’un sous ensemble r´ eduit de l’espace d’´ etat . . . . 72
3.3.1 L’ensemble des vecteurs d’explication candidats minimaux pour un sous-r´ eseau non observable de classe ”UBCF” . . . . 72
3.3.2 G´ en´ eralisation pour un sous-r´ eseau non observable non UBCF . . . 74
3.3.2.1 Les vecteurs d’explication candidats minimaux de rang 0 . 75 3.3.2.2 Autres vecteurs d’explication candidats minimaux x un de ” rang sup´ erieur ` a 0” . . . . 77
3.3.2.3 Condition d’arrˆ et . . . . 80
3.3.3 Discussion . . . . 82
3.3.4 L’ensemble des marquages de base . . . . 85
3.4 Elimination des solutions inad´ equates . . . . 87
3.4.1 Principe . . . . 87
3.4.2 Analyse de ”l’ordonnan¸cabilit´ e” . . . . 88
3.5 Diagnostic sur un horizon ´ el´ ementaire glissant . . . . 93
3.6 Application . . . . 95
3.7 Conclusion . . . . 97
Chapitre 4 Diagnostic d’un RdPE partiellement observable sur un horizon fuyant 4.1 Introduction . . . . 99
4.2 Reformulation du probl` eme . . . 100
4.2.1 Ev´ ´ enements indiscernables . . . 101
4.2.2 Poly` edre final . . . 103
4.3 Diagnostic sur un horizon fuyant en utilisant la programmation lin´ eaire . . 103
4.3.1 D´ etection des d´ efauts . . . 104
4.3.2 Isolation des d´ efauts . . . 108
4.3.3 Application . . . 110
4.4 Etude de la complexit´ ´ e et comparaison . . . 113
4.5 Comparaison num´ erique avec l’approche discr` ete bas´ ee sur les marquages de base . . . 115
4.6 Discussions . . . 118
4.6.1 Marquage initial inconnu et extension ` a un horizon glissant . . . 118
4.6.2 Calcul en parall` ele pour la r´ eduction du temps de calcul : D´ ecom- position en sous structures . . . 120
4.7 Conclusion . . . 122
Conclusion g´ en´ erale 124
Bibliographie 127
1.1 L’´ evolution d’un RdP g´ en´ eralis´ e . . . . 5
1.2 Le sch´ ema d’un s´ equencement dans un RdP . . . . 6
1.3 La configuration d’un parall´ elisme dans un RdP . . . . 6
1.4 La configuration d’une synchronisation dans un RdP . . . . 7
1.5 La configuration de l’exclusion mutuelle dans un RdP . . . . 7
1.6 La forme d’un graphe d’´ etat . . . . 8
1.7 La forme d’un graphe d’´ ev´ enements . . . . 8
1.8 Exemple d’un RdP born´ e . . . . 11
1.9 Graphe de marquages du RdP de Figure 1.8 . . . . 11
1.10 Exemple d’un RdP non born´ e . . . . 14
1.11 Graphe de couverture du RdP non born´ e de la Figure 1.10 . . . . 15
1.12 Principe d’´ evolution d’un RdP p-temporis´ e . . . . 17
1.13 Principe d’´ evolution d’un RdP t-temporis´ e . . . . 18
1.14 D´ efaut permanent . . . . 19
1.15 D´ efaut intermittent . . . . 19
1.16 D´ efaut transitoire . . . . 20
1.17 Le principe de diagnostic centralis´ e . . . . 22
1.18 Le principe de diagnostic d´ ecentralis´ e sans coordinateur . . . . 22
1.19 Le principe de diagnostic d´ ecentralis´ e avec coordinateur . . . . 23
1.20 Le principe de diagnostic distribu´ e . . . . 24
3.1 Exemple d’un RdPE . . . . 62
3.2 RdPE avec un sous r´ eseau non observable cyclique . . . . 69
3.3 Sous-r´ eseau non observable BCF . . . . 74
3.4 Exemple d’un RdPE avec un sous-r´ eseau non observable non BCF . . . . 75
3.5 Exemple d’un RdPE avec un sous-r´ eseau non observable acyclique . . . . . 83
3.6 Temps d’ex´ ecution des algorithmes en fonction du poids de pond´ eration λ 84
3.7 Le principe d’estimation des marquages de base . . . . 85
3.8 Exemple d’un RdPE . . . . 86
3.9 RdPE avec transitions de d´ efaut . . . . 95
4.1 RdPE avec un circuit non observable et des ´ ev´ enements indiscernables . . . 111
4.2 Syst` eme de fabrication . . . 115
4.3 Mod` ele RdPE du syst` eme de fabrication de Figure 4.2 . . . 116
1.1 Exemples d’´ evenements et d’´ etats d’un RdP . . . . 3
2.1 Les cas du calcul des bornes et d’´ elimination des variables du syst` eme A.x ≤ b 38 3.1 Tableau comparatif avec l’approche tabulaire . . . . 84
3.2 Tableau des marquages de base M b (M 0 , t 3 t 3 t 2 t 1 ) . . . . 86
4.1 Approche de diagnostic ` a base d’estimation de marquages de base . . . 117
4.2 Tableau comparatif . . . 118
Introduction g´en´erale
1 Contexte g´ en´ eral
Pour la supervision et la surveillance automatis´ ee des syst` emes, une mod´ elisation ma- th´ ematique doit ˆ etre faite. Les variables du syst` eme sont soient des variables continues, soient des variables discr` etes. Ainsi selon cette classification, les syst` emes dynamiques sont divis´ es en diff´ erentes cat´ egories selon le type des variables qui caract´ erise le syst` eme. Nous nous int´ eressons aux Syst` emes ` a ´ Ev´ enements Discrets (SEDs) qui repr´ esentent en g´ en´ eral des syst` emes complexes. La mod´ elisation des syst` emes dynamiques d´ epend de leurs com- portements et de leurs dynamiques au cours du temps. Ainsi, un processus est mod´ elisable par un SED si on ne s’int´ eresse qu’` a des instants particuliers d’un syst` eme continu qui correspondent ` a certains ´ ev´ enements importants pour la commande ou le diagnostic. Des exemples classiques sont les r´ eseaux de transport et les syst` emes de production manufac- turi` ere. La mod´ elisation par des SEDs est aussi utilis´ ee dans le cas des syst` emes discrets dont l’´ etat ´ evolue ` a l’occurrence d’´ ev´ enements, comme les syst` emes informatiques et les syst` emes multim´ edias, etc.
Dans la litt´ erature, il existe deux outils graphiques et math´ ematiques performants
pour la mod´ elisation des SEDs, qui sont les automates ` a ´ etat fini et les R´ eseaux de Petri
(RdPs). Dans ce cadre, nous choisissons le formalisme des RdPs. La raison principale
de ce choix est que la repr´ esentation des RdPs est un mod` ele g´ en´ eral qui met en jeu
des ph´ enom` enes de synchronisme, d’assemblage et de partage de ressources. ´ Equip´ es de
structures riches, les RdPs s’adaptent parfaitement ` a la description des diff´ erents types
de SEDs [DA89], [GS07].
Les syst` emes industriels sont devenus de plus en plus complexes avec l’automatisa-
tion des processus et les d´ eveloppements technologiques. Par cons´ equent, les d´ efauts qui
peuvent affecter ces syst` emes sont in´ evitables. Il peut y avoir diff´ erentes sources de d´ efauts,
par exemple des erreurs de mod´ elisation, des d´ efauts de capteurs, des d´ efauts d’action-
neurs, du bruit, etc. Ainsi, pour garantir le bon d´ eroulement d’un proc´ ed´ e et pour une
action de maintenance proactive, un syst` eme de diagnostic est n´ ecessaire. Il consiste ` a
r´ ecup´ erer toutes les informations accessibles sur l’´ evolution du syst` eme puis ` a prendre des
d´ ecisions sur la pr´ esence de d´ efauts, leurs localisations et leurs gravit´ es. Les techniques
utilis´ ees pour le diagnostic des RdPs d´ ependent des informations disponibles sur le sys-
t` eme ainsi que des d´ efauts d´ etectables affectant le syst` eme [WH05] [BFHJ03]. Pour la
mod´ elisation des d´ efauts, on trouve les d´ efauts ` a base d’´ ev´ enements (event-based faults),
les d´ efauts ` a base d’´ etats (state-based faults) et les d´ efauts ` a base mixte (mixed-based
faults). Les d´ efauts ` a base d’´ ev´ enements mod´ elisent les d´ efauts du syst` eme comme un
ensemble de transitions, et l’occurrence de ces d´ efauts est ´ equivalente au franchissement
des transitions associ´ ees. Leurs d´ etection et localisation sont effectu´ ees seulement en se
basant sur un ensemble d’´ ev´ enements observ´ es. Cette mod´ elisation ` a base d’´ ev´ enements a
l’avantage de d´ etecter les d´ efauts intermittents qui sont de courts ´ ev´ enements qui peuvent
conduire ` a des ´ etats instables [GL07] [GRM + 08] [RTRBALLM12]. Les d´ efauts ` a base
d’´ etats consid` erent que l’occurrence d’un d´ efaut est ´ equivalente ` a la variation de l’´ etat
(marquage) du RdP dont la d´ eviation par rapport au comportement normal est exprim´ ee
par la perte ou l’adjonction des jetons. L’inconv´ enient de la modulation des d´ efauts bas´ ee
sur l’´ etat est qu’elle ne peut pas d´ etecter les d´ efauts intermittents [WH05] [BFHJ03]. Les
d´ efauts ` a base mixte sont la combinaison de l’occurrence d’´ ev´ enements de d´ efauts et de
l’atteignabilit´ e des ´ etats de d´ efauts [WH05]. Notons que le diagnostic devra affronter le
manque d’informations en raison du manque d’accessibilit´ e des ´ ev´ enements (exprim´ es par
les transitions) et des ´ etats (repr´ esent´ es par les marquages) du syst` eme, l’origine venant
de limitations techniques et ´ economiques.
2. Objectifs de la th` ese
2 Objectifs de la th` ese
Les travaux pr´ esent´ es dans ce m´ emoire de th` ese traitent le probl` eme de diagnostic des RdPs ´ Etiquet´ es (RdPEs) partiellement observables par estimation d’´ etats. Les d´ efauts du syst` eme sont mod´ elis´ es par un ensemble de transitions non observables, et l’occurrence de certains d´ efauts est ´ equivalente au tir des transitions non observables associ´ ees. Il existe
´ egalement des transitions non observables qui pr´ esentent des comportements normaux. La proc´ edure de diagnostic est d´ eclench´ ee suite ` a l’observation d’une s´ equence de transitions observables ` a partir d’un marquage initial connu.
De nombreuses approches ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees pour le diagnostic des RdPEs partiel- lement observables ` a base d’estimation d’´ etat. Nous allons, dans ce qui suit, donner quelques-unes de ces approches avec des exemples de probl´ ematiques qui rel` event du contexte de notre ´ etude.
— La structure du sous-r´ eseau non observable : la plupart des processus pr´ esentent pratiquement une ´ evolution p´ eriodique. N´ eanmoins, l’hypoth` ese de l’acyclicit´ e im- pos´ ee sur les sous-r´ eseaux non observables des RdPEs est prises dans de nombreux travaux [CGS10a] [CHS17]. D’autres approches de diagnostic des RdPEs n’ont montr´ e leur efficacit´ e que dans le cas particulier o` u le sous-r´ eseau non observable est ”une machine ` a ´ etats” acyclique. Nous pouvons citer aussi d’autres hypoth` eses structurelles de sous-r´ eseau non observable qui existe dans la litt´ erature ` a l’exemple des structures ”contact-free” et ”backward Conflict free” [GCS05] [CGS04].
— Le traitement s´ equentiel des ´ ev´ enements : la plupart des approches de diagnostic qui existent dans ce contexte sont bas´ ees sur le traitement s´ equentiel de chaque
´
ev´ enement produit par la s´ equence observ´ ee dans une proc´ edure en ligne. Une pro-
bl´ ematique consiste ` a ´ etendre l’estimation pour une seule transition observ´ ee ` a une
s´ equence de transitions observ´ ees mˆ eme si des r´ esultats existent pour l’estimation
d’un juste un sous-ensemble de l’espace d’´ etat [LH11]. En effet pour chaque tran-
sition de la s´ equence observ´ ee, une estimation d’un ensemble de s´ equences non
observables coh´ erent avec cette transition est effectu´ ee. Le franchissement d’une
s´ equence non observable estim´ ee et la transition observable associ´ ee g´ en` erent un
ensemble de nouveaux marquages utilis´ es comme marquages initiaux dans l’esti- mation associ´ ee ` a la transition observable suivante. La proc´ edure de recherche est r´ ep´ et´ ee pour chaque transition de la s´ equence observ´ ee. Cependant, cette proc´ e- dure pr´ esente certains inconv´ enients. En effet, comme cette technique doit consi- d´ erer tous les marquages initiaux possibles par rapport ` a la transition observ´ ee pr´ ec´ edente dans l’estimation associ´ ee ` a la transition observ´ ee suivante, cette pro- c´ edure est coˆ uteuse du point du vue temps et la bornitude de l’espace est aussi une probl´ ematique [RH09a].
— La complexit´ e temporelle des algorithmes d’estimation : la plupart des algorithmes existant pour le diagnostic des RdPEs partiellement observables ` a base d’estimation d’´ etat ont une complexit´ e exponentielle dans le pire des cas [CGS10a] [CHS17]
[DFMU09].
Notre objectif est alors de d´ evelopper une approche de diagnostic ` a base d’estimation d’´ etat qui essaye d’´ eviter ces ´ ecueils par une nouvelle description du probl` eme qui permette la d´ etection et la localisation rapide des d´ efauts.
3 Contributions
Les contributions de cette th` ese sont r´ esum´ ees dans les points suivants.
— Contribution 1
Une premi` ere contribution permet d’estimer un espace d’´ etat candidat qui inclut tout l’espace d’´ etat d’un RdPE born´ e partiellement observable par une approche alg´ ebrique malgr´ e la pr´ esence des circuits dans le sous-r´ eseau non observable. Si le sous-r´ eseau non observable n’inclut pas de circuits, alors l’espace d’´ etat can- didat et l’espace d’´ etat r´ eel co¨ıncident. Cette estimation est faite sur un horizon
´
el´ ementaire glissant [CDN + 16]. L’observateur est con¸cu en deux phases. La pre-
mi` ere phase est un pr´ e-calcul hors ligne qui est bas´ e sur l’algorithme d’´ elimination
de Fourier-Motzkin. La seconde phase est une proc´ edure d’estimation en ligne qui
d´ etermine des s´ equences non observables candidates coh´ erentes avec la transition
observ´ ee consid´ er´ ee. Notons qu’un avantage de cette approche en deux phases est
3. Contributions que la phase hors ligne contient la partie coˆ uteuse en temps de l’algorithme de Fourier-Motzkin. Quant ` a l’estimation en ligne, cette proc´ edure est polynomiale par rapport ` a la longueur de la s´ equence observ´ ee. L’inconv´ enient de cette ap- proche d’estimation qui cherche ` a d´ eterminer tout l’espace d’´ etat est le risque d’une explosion combinatoire de l’espace d’´ etat.
— Contribution 2
Pour ´ eviter le probl` eme de l’explosion combinatoire de l’approche d’estimation de la contribution 1, une approche d’estimation repose sur l’estimation d’un sous- ensemble de l’espace d’´ etat appel´ e l’ensemble des marquages de base. Elle s’appuie sur la premi` ere contribution mais sans calcul explicite de tout l’espace d’´ etat can- didat . Contrairement aux approches existantes qui s’appuient sur l’estimation des marquages de base, cette approche est applicable mˆ eme si le sous-r´ eseau non ob- servable contient des cycles.
— Contribution 3
Le probl` eme est maintenant de v´ erifier si une solution candidate calcul´ ee est aussi associ´ ee ` a un ´ etat possible de r´ eseau. Classiquement, l’hypoth` ese de l’acyclicit´ e est faite dans de nombreux travaux, mais elle limite le champ d’application des r´ esultats associ´ es car de nombreux processus pr´ esentent une ´ evolution p´ eriodique.
L’approche propos´ ee consiste ` a construire un RdP p-temporis´ e o` u toutes les places pr´ esentent une temporisation unitaire et ` a analyser l’ordonnan¸cabilit´ e de la solu- tion candidate en calculant le calendrier associ´ e, c’est-` a-dire les compteurs des tirs des transitions. L’existence d’une s´ equence temporelle pour le RdP prouve que la solution candidate associ´ ee correspond ` a un ´ etat possible du r´ eseau.
— Contribution 4
Quoique l’approche 1 con¸cue pour le diagnostic repose sur l’estimation d’un sous- ensemble de l’espace d’´ etat qui d´ efinit l’ensemble des marquages de base (contri- bution 2), cette approche reste aussi coˆ uteuse du point du vue temps et espace de solutions puisque le nombre des marquages de base peut ˆ etre ´ enorme [BLG17].
Ainsi, une deuxi` eme approche pour le diagnostic ` a base d’estimation d’´ etat est
d´ efinie par une nouvelle description du probl` eme sur un horizon fuyant d´ ecrit al-
g´ ebriquement sous la forme d’un poly` edre [CDKK18]. Contrairement ` a l’approche 1 de diagnostic, nous consid´ erons le cas de pr´ esence des ´ ev´ enements observables indiscernables c-` a-d qu’il existe deux transitions observables diff´ erentes qui ont le mˆ eme label. Il peut exister ´ egalement des circuits dans le sous-r´ eseau non ob- servable. La d´ etection des d´ efauts est exprim´ ee par des probl` emes d’optimisation lin´ eaire en nombres entiers (OLNE) (ou programmation lin´ eaire en nombres en- tiers (PLNE)). Un probl` eme PLNE est consid´ er´ e comme un probl` eme NP-difficile.
Ainsi, sa r´ esolution est exponentielle dans le pire des cas. En utilisant la technique de fluidisation, les ´ etats de diagnostic pourraient ˆ etre calcul´ es en r´ esolvant des pro- bl` emes de Programmation Lin´ eaire (PL) au lieu des probl` emes PLNE. En effet, des algorithmes de programmation lin´ eaire efficaces, tels que l’algorithme de Simplex, l’algorithme de Karmarkar et l’algorithme de Khashiyan, peuvent ˆ etre appliqu´ es.
4 Plan du document
Ce m´ emoire est structur´ e de la mani` ere suivante :
Dans le chapitre 1, nous d´ ecrivons les RdPs et nous pr´ esentons les notations que nous allons utiliser dans le reste de la th` ese. Nous pr´ esentons une revue des r´ esultats significatifs trouv´ es dans la litt´ erature pour le diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par des RdPs.
Dans le chapitre 2, nous rappelons d’abord l’algorithme classique de Fourier-Motzkin constitu´ e de deux phases pour la d´ etermination d’une solution r´ eelle arbitraire du poly` edre A.x ≤ b dans R . Ensuite, les deux th´ eor` emes d’acc´ el´ eration d’Imbert sont introduits qui permettent d’´ eliminer les in´ egalit´ es redondantes produites par la premi` ere phase de l’algorithme de Fourier-Motzkin. Nous appliquons l’algorithme de Fourier-Motzkin pour la r´ esolution dans un temps polynomial des probl` emes PLNE dans le cas particulier des syst` emes 1-monotone o` u la solution d’un probl` eme PLNE et de sa relaxation co¨ıncident lorsqu’elles existent. ` A la fin de ce chapitre, nous reformulons alg´ ebriquement l’algorithme de Fourier-Motzkin pour la r´ esolution du poly` edre param´ etrique A.x ≤ b.
Dans le chapitre 3, nous pr´ esentons un algorithme qui permet d’estimer un espace
d’´ etat candidat coh´ erent avec l’´ evolution d’un RdPE partiellement observable sur un ho-
4. Plan du document rizon ´ el´ ementaire glissant. Bas´ e sur l’algorithme d’´ elimination de Fourier-Motzkin, il est compl´ et´ e par un algorithme de calcul num´ erique qui permet de d´ eterminer toutes les solutions enti` eres d’un poly` edre. Une extension de cet algorithme permet de d´ eterminer un sous-ensemble de l’espace d’´ etat candidat appel´ e l’ensemble des marquages de base candidat. Les solutions candidates qui ne correspondent pas ` a des ´ evolutions possibles du r´ eseau sont ´ elimin´ ees par l’analyse de ”l’ordonnan¸cabilit´ e”. ` A la fin du chapitre, une premi` ere approche de diagnostic ` a base d’estimation d’´ etat sur un horizon ´ el´ ementaire glissant est con¸cue et des indicateurs de d´ efauts qui nous permettent de localiser et de caract´ eriser les d´ efauts du processus sont d´ efinis.
Dans le chapitre 4, nous concevons une deuxi` eme approche pour le diagnostic des
RdPEs partiellement observables. ` A l’inverse de la premi` ere approche, nous supposons
que deux transitions observables diff´ erentes peuvent partager le mˆ eme label. Une nou-
velle description du probl` eme sur un horizon fuyant d´ ecrit alg´ ebriquement sous la forme
d’un poly` edre. Pour le diagnostic, nous ajoutons des crit` eres d’optimisation. Ainsi, des
probl` emes PLNE sont construits. Une relaxation de ces probl` emes est effectu´ ee et utilis´ ee
pour la d´ etection et la localisation des d´ efauts dans un temps polynomial, puisque la r´ e-
solution de ces probl` emes d’optimisation en nombres entiers est exponentielle dans le pire
des cas.
1
G´en´eralit´es sur le diagnostic des SEDs mod´elis´es par RdPs
R´ esum´ e
Dans ce chapitre, nous pr´ esentons d’abord un pr´ eliminaire sur les RdPs, leurs
diff´ erents mod` eles, leurs principales propri´ et´ es et leurs fonctionnalit´ es. Nous in-
troduisons par la suite quelques concepts et terminologie relatives au diagnostic
des syst` emes. Nous pr´ esentons une revue de la litt´ erature pour le diagnostic des
SEDs mod´ elis´ es par des RdPs.
1.1. Introduction
1.1 Introduction
Le diagnostic est une branche importante de l’automatique puisqu’elle analyse le bon d´ eroulement de l’´ evolution et de la production des processus. Faire le diagnostic, cela revient ` a pr´ eciser les diff´ erents types des d´ efauts ` a d´ etecter, ses principes de mise en oeuvre et ses crit` eres d’´ evaluation. Ainsi, concevoir une strat´ egie de diagnostic n’est pas tr` es ´ evident. Cependant, la plupart des syst` emes sont des syst` emes complexes qui sup- posent une approche sp´ ecifique pour leurs mod´ elisations et leurs analyses. La nature des connaissances disponibles sur le syst` eme ainsi que sur les d´ efauts d´ etectables qui l’af- fectent conduit ` a la mise en oeuvre de strat´ egies sp´ ecifiques. Dans ce m´ emoire, nous nous int´ eressons au diagnostic des SEDs. Les automates ` a ´ etats finis [All08], [AFH94], [BCD05]
et les RdPs [CGS10a] [WH05] [LD07] [DFMU09] constituent des outils math´ ematiques et graphiques relativement bien adapt´ es pour la mod´ elisation et le diagnostic des SEDs puisqu’ils mod´ elisent les comportements normaux et/ou d´ efaillants. Nous nous int´ eressons dans ce document au diagnostic des SEDs en se basant sur le formalisme des RdPs.
Dans ce chapitre, nous commen¸cons par repr´ esenter quelques types des RdPs, leurs d´ efinitions et leurs propri´ et´ es. Dans une deuxi` eme partie, nous pr´ esentons un ´ etat de l’art sur le diagnostic des RdPs.
1.2 Mod´ elisation des SEDs par RdPs
Il existe deux principaux types de RdPs qui sont les RdPs autonomes et les RdPs non autonomes. Un RdP autonome d´ ecrit le fonctionnement d’un SED sans interaction avec le temps tandis qu’un RdP non autonome d´ ecrit un SED dont l’´ evolution est conditionn´ ee par le facteur de temps sur les transitions ou les places.
1.2.1 RdPs autonomes
1.2.1.1 D´ efinition d’un RdP
1.2.1.1.1 D´ efinition informelle Un RdP est un graphe orient´ e constitu´ e d’un en-
semble fini de places P = {p 1 , p 2 , ..., p m } repr´ esent´ ees par des cercles. Ces places pr´ esentent
les ´ etats du syst` eme. Les ´ ev´ enements du syst` eme sont visualis´ es par un ensemble de tran- sitions T R = {t 1 , t 2 , ..., t n } qui sont repr´ esent´ ees graphiquement par des traits. Des arcs orient´ es (p i , t j ) relient des places ` a des transitions et des arcs orient´ es (t j , p i ) relient des transitions ` a des places. Le tableau (TABLE 1.1) donne quelques exemples d’´ ev´ enements et d’´ etats.
Table 1.1 – Exemples d’´ evenements et d’´ etats d’un RdP
Exemples d’´ ev´ enements Exemple d’´ etats
-Une commande arrive -Une machine est au repos
-La machine d´ ebute le traitement de la commande -Une machine est en r´ eparation -La machine termine le traitement de la commande -Une commande est en attente -La commande est envoy´ ee -Une commande est en cours
de traitement Les d´ efinitions suivantes d´ ecrivent les RdPs :
— Marquage d’une place : Nous notons M (p i ) le marquage de la place p i qui repr´ esente le nombre de jetons contenus dans p i ` a un instant donn´ e.
— Marquage d’un RdP : C’est le vecteur M de dimension ´ egale au nombre de places, compos´ e du nombre de jetons dans chaque place du RdP.
— L’application d’incidence avant : Nous notons P re : P × T R → N l’application d’incidence avant d´ efinie par P re = W − (p i , t j ) qui est le poids de l’arc (p i , t j ).
— L’application d’incidence arri` ere : Nous notons P ost : T R × P → N l’application d’incidence arri` ere d´ efinie par P ost = W + (p i , t j ) qui est le poids de l’arc (t j , p i ).
— Places d’entr´ ee d’une transition : Nous notons • t j = {p i ∈ P |P re(p i , t j ) > 0}
l’ensemble des places d’entr´ ee de t j .
— Places de sortie d’une transition : Nous notons t j • = {p i ∈ P |P ost(p i , t j ) > 0}
l’ensemble des places de sortie de t j .
— Transitions d’entr´ ee d’une place : Nous notons • p i = {t j ∈ T R|P ost(p i , t j ) > 0}
l’ensemble des transitions d’entr´ ee de p i .
— Transitions de sortie d’une place : Nous notons • p i = {t j ∈ T R|P re(p i , t j ) > 0}
l’ensemble des transitions de sortie de p i .
— S´ equence de franchissements : C’est le franchissement successif de transitions dans
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs un ordre donn´ e ` a partir d’un marquage donn´ e. Nous notons T R ∗ l’ensemble des s´ equences de franchissements.
1.2.1.1.2 D´ efinition formelle d’un RdP Le RdP est un quadruplet
R =< P, T, W − , W + > (1.1)
P et T R repr´ esentent un ensemble fini respectivement de places et de transitions. Les matrices W − = P re et W + = P ost sont respectivement la matrice d’incidence avant et arri` ere. Si P re(p i , t j ), P ost(p i , t j ) ∈ {0, 1} alors le r´ eseau est un RdP ordinaire sinon, c’est un RdP g´ en´ eralis´ e.
On dit que le RdP est marqu´ e si le marquage initial de r´ eseau M 0 est connu. Un RdP marqu´ e est not´ e par < R, M 0 >.
1.2.1.2 Dynamique d’un RdP
1.2.1.2.1 Conditions de franchissement d’une transition : Une transition t est franchissable (ou tirable, ou valid´ ee) si
∀p i ∈ P ; M (p i ) ≥ P re(p i , t) (1.2)
Si t est franchissable, cela ne signifie pas qu’elle est automatiquement franchie mais que c’est une possibilit´ e. Pour dire que la transition t est franchissable ` a partir du marquage M, nous utilisons la notation M [t >.
1.2.1.2.2 Franchissement d’une transition t : Le franchissement d’une transition t entraˆıne des modifications dans le marquage du RdP : on enl` eve n i = P re(p i , t) jetons de p i et on ajoute m j = P ost(p j , t) jetons de p j .
1.2.1.2.3 Marquage r´ esultant de franchissement d’une transition t : Soit t
une transition franchissable d’un RdP marqu´ e < R, M 0 > et p une place d’entr´ ee de t.
2 3
1 2 1
2 3
1 2 1
Franchissement de t
Figure 1.1 – L’´ evolution d’un RdP g´ en´ eralis´ e
Soit M (p) le marquage de p avant le franchissement de t. Le franchissement de t r´ esulte un nouveau marquage de p d´ efini par :
M 0 (p) = M(p) + P ost(p, t) − P re(p, t) (1.3) M et M 0 appartiennent ` a l’ensemble des marquages atteignables ` a partir du marquage initial M 0 en franchissant une ou plusieurs transitions. Nous notons cet ensemble A(R, M 0 ) et nous le d´ efinissons comme suit :
D´ efinition :
Un marquage M est atteignable ` a partir d’un marquage initial M 0 s’il existe une s´ equence de franchissements σ ` a partir de M 0 dont le franchissement r´ esulte un nouveau marquage M, on note M 0 [σ > M. Formellement, l’ensemble des marquages accessibles A(R, M 0 ) ` a partir du marquage M 0 est d´ efini comme suit :
A(R, M 0 ) = {M | ∃σ ∈ T R ∗ ; M 0 [σ > M } (1.4) La propri´ et´ e de l’accessibilit´ e (atteignabilit´ e) permet de savoir si un ´ etat non d´ esir´ e d’un r´ eseau de Petri R risque de se produire.
1.2.1.2.4 Marquage r´ esultant de franchissement d’une s´ equence de transi-
tions : La dynamique de fonctionnement d’un RdP se traduit par l’´ evolution des mar-
quages. Alors, si on passe d’un marquage M i ` a un marquage M f par une s´ equence de
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs franchissements σ (M i [σ > M f ), ceci est d´ ecrit par l’´ equation fondamentale :
M f = M i + W ∗ x (1.5)
avec W = W + − W − est la matrice d’incidence, et x est le vecteur qui contient le nombre de franchissement de chaque transition t j ∈ T R associ´ e ` a la s´ equence σ. Nous d´ efinissons alors la fonction de comptage comme suit :
π : T R ∗ → N n , n = |T R|
σ 7→ x = π(σ)
(1.6)
π(σ) est appel´ e le vecteur de compte associ´ e ` a la s´ equence σ.
1.2.1.3 Structures fondamentales du RdP
Lorsqu’on mod´ elise des syst` emes dynamiques, on rencontre des situations typiques.
Parmi ces situations, on trouve le s´ equencement, le parall´ elisme, la synchronisation, le partage de ressources, le sch´ ema producteur/consommateur, etc.
— Le s´ equencement : C’est une situation dans laquelle une s´ erie d’´ ev´ enements doivent obligatoirement se d´ erouler les uns apr` es les autres (Figure 1.2).
Figure 1.2 – Le sch´ ema d’un s´ equencement dans un RdP
— Le parall´ elisme : Le parall´ elisme signifie qu’un processus peut se d´ ecomposer en des sous-processus qui s’ex´ ecutent ind´ ependamment (Figure 1.3). Pour que le processus soit consid´ er´ e comme termin´ e, il faut que tous les sous-processus soient termin´ es.
. . . . . .
Figure 1.3 – La configuration d’un parall´ elisme dans un RdP
— La synchronisation : Il se peut que deux processus s´ equentiels qui se d´ eroulent ind´ ependamment aient besoin de se synchroniser. Dans ce cas, on cr´ ee un rendez- vous qui force chaque processus ` a attendre que l’autre ait atteint un certain point avant de continuer (Figure 1.4).
. . .
. . . . . . . . .
Figure 1.4 – La configuration d’une synchronisation dans un RdP
— Le partage de ressources (exclusion mutuelle) : Deux processus ind´ ependants peuvent avoir besoin d’une mˆ eme ressource qui ne peut ˆ etre utilis´ ee que par un seul ` a la fois. Cette situation est repr´ esent´ ee par une place correspondant ` a la disponibilit´ e de la ressource. Si la ressource est disponible (un jeton dans la place correspond ` a la ressource), l’un des processus peut la prendre, ce qui bloque l’autre. Quand il a fini d’utiliser la ressource, il remet un jeton dans la place de la ressource, lib´ erant ainsi l’autre processus (Figure 1.5).
. . . .
. . . .
Figure 1.5 – La configuration de l’exclusion mutuelle dans un RdP
1.2.1.4 Structures particuli` eres d’un RdP
— Graphe d’´ etat : C’est un RdP tel que toute transition a exactement une place d’entr´ ee et une place de sortie (Figure 1.6)
— Graphe d’´ ev´ enements : C’est un RdP tel que toute place a exactement une transi-
tion d’entr´ ee et une transition de sortie (Figure 1.7).
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs
Figure 1.6 – La forme d’un graphe d’´ etat
Figure 1.7 – La forme d’un graphe d’´ ev´ enements 1.2.1.5 Propri´ et´ es des s´ equences de franchissements
1. D´ efinition formelle
Une s´ equence de franchissements σ de M 0 ` a M n est une suite de transitions t 0 ...t n−1
telle qu’il existe des marquages M 1 , ..., M n v´ erifiant :
M 0 [t 0 > M 1 ...M n−1 [t n−1 > M n (1.7)
2. Existence d’un marquage
Pour toute s´ equence de transitions σ ∈ T R ∗ , il existe un marquage M tel que celle-ci soit franchissable :
∀σ ∈ T R ∗ ; ∃M ∈ N m |M[σ > (1.8) 3. S´ equence r´ ep´ etitive
D´ efinition 1.1 Une s´ equence σ ∈ T R ∗ est appel´ ee r´ ep´ etitive s’il existe un mar- quage M 1 ∈ A(R, M 0 ) tel que M 1 [σ > M 2 [σ > M 3 [σ > ..., c-` a-d si la s´ equence σ peut ˆ etre franchie infiniment ` a partir du marquage M 1 .
Propri´ et´ e 1 Une s´ equence σ est r´ ep´ etitive ⇔ ∃v ∈ N n ; v > 0 tel que W.v ≥ 0
et v = π(σ) [Mur89].
4. Vivacit´ e
D´ efinition 1.2 Une transition t j est vivante pour un marquage initial M 0 si pour tout marquage atteignable M k , il existe une s´ equence de franchissements ` a partir de M k contenant t j :
∀M k ∈ A(R, M 0 ), ∃σ; M k [σ > et σ = ...t j ... (1.9) Si une transition t j est vivante alors, ` a tout instant, on sait que t j peut ˆ etre franchie dans le futur.
D´ efinition 1.3 Une transition t j est quasi vivante pour un marquage initial M 0
s’il existe une s´ equence de franchissements ` a partir de M 0 contenant t j :
∃σ; M 0 [σ > et σ = ...t j ... (1.10) D´ efinition 1.4 Un RdP est vivant pour un marquage initial M 0 si quel que soit M ∈ A(R, M 0 ) et quelle que soit la transition t ∈ T R, il existe une s´ equence de franchissements σ ∈ T R ∗ qui inclut t ` a partir de M 0 .
Cette propri´ et´ e permet de savoir si le syst` eme ne comporte pas de blocage.
5. R´ eversibilit´ e
Un RdP est r´ eversible (r´ einitialisale) pour un marquage initial M 0 si ∀M ∈ A(R, M 0 ), il existe σ ∈ T R ∗ ; M [σ > M 0 .
1.2.1.6 Propri´ et´ es des marquages 1. La bornitude
D´ efinition 1.5 Une place p i est born´ ee pour un marquage initial M 0 s’il existe
une constante q ∈ N telle que pour tout M ∈ A(R, M 0 ) ; M(p i ) ≤ q. On dit aussi
que p i est q−born´ ee.
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs D´ efinition 1.6 Un r´ eseau de Petri R pour un marquage initial M 0 est born´ e si toutes ses places sont born´ ees. On dit aussi qu’un r´ eseau de Petri est q-born´ e si toutes ses places sont q-born´ ees.
Si pour un r´ eseau de Petri < R, M 0 >, le nombre de jetons dans un ou plusieurs places peut croˆıtre infiniment, alors le r´ eseau de Petri < R, M 0 > est non born´ e.
2. La bornitude structurelle
D´ efinition 1.7 Un RdP est structurellement born´ e s’il est born´ e quel que soit le marquage initial M 0 .
Propri´ et´ e 2 Un RdP est structurellement born´ e si et seulement s’il existe un vec- teur entier non nul v ∈ N m qui v´ erifie v > .W ≥ 0. Le vecteur v est appel´ e P- invariant.
La propri´ et´ e essentielle d’un P-invariant est donc que le nombre pond´ er´ e des jetons associ´ e ` a ce P-invariant est constant quel que soit le marquage initial et l’´ evolution du r´ eseau.
1.2.2 Graphe de marquages
D´ efinition 1.8 Le graphe de marquages, ´ egalement appel´ e l’arbre d’accessibilit´ e ou d’at- teignabilit´ e, d’un RdP (R, M 0 ) est un graphe des noeuds et des arcs dans lequel :
— Les noeuds : correspondent ` a des marquages atteignables ` a partir du marquage M 0
— Les arcs : correspondent ` a des transitions actives.
Alors, le graphe de marquages est une repr´ esentation graphique de l’ensemble des marquages atteignables ` a partir d’un marquage initial connu M 0 en appliquant les r` egles de franchissement.
Exemple 1 Soit le RdP de la Figure 1.8. Le graphe de marquages du RdP de la Figure
1.8 pour le marquage initial M 0 = (1 0 0 0 0) > est d´ ecrit dans la Figure 1.9.
Figure 1.8 – Exemple d’un RdP born´ e
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1
0 0 0 0
Figure 1.9 – Graphe de marquages du RdP de Figure 1.8
Ci-dessous, nous pr´ esentons un algorithme qui permet de d´ eterminer le graphe de marquages not´ e G A (R, M 0 ) pour un marquage initial M 0 .
Algorithme 1 L’algorithme de construction du graphe de marquages G A (R, M 0 ) Entr´ ees: < R, M 0 >
Sorties: G A (R, M 0 ) A(R, M 0 ) = {M 0 } ; A explorer = {M 0 } ;
Tant que A explorer 6= ∅ faire
Cr´ eer les noeuds ´ etiquet´ es par M ∈ A explorer
∀M ∈ A explorer ; d´ eterminer les couples (M, t j ) tels que M [t j
Cr´ eer les arcs ´ etiquet´ es par t j associ´ es aux couples (M, t j ) Pour chaque couple (M, t j ) d´ eterminer M 0 = M + W.x(t j )
A explorer = {M 0 6∈ A(R, M 0 )}
A(R, M 0 ) = A(R, M 0 ) S
A explorer
Fin Tant que
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs Initialement, nous initialisons l’ensemble des marquages atteignables A(R, M 0 ) ` a M 0
et l’ensemble des marquages ` a explorer A explorer aussi ` a M 0 . Nous construisons le premier noeud ´ etiquet´ e par M 0 . Nous d´ eterminons ensuite les transitions t j qui sont actives ` a partir de M 0 et nous tra¸cons les arcs correspondants. Le franchissement de ces transitions t j ` a partir du marquage M 0 conduit ` a d’autres marquages possibles M 0 . Alors, A explorer
est r´ einitialis´ e ` a l’ensemble des marquages M 0 non d´ ej` a construit et nous tra¸cons les noeuds ´ etiquet´ es par M 0 . Cette proc´ edure se r´ ep` ete jusqu’` a trouver tous les marquages atteignables ` a partir de M 0 .
Le graphe de marquages nous permet de d´ eterminer quelques propri´ et´ es du RdP :
— La bornitude : Si l’algorithme de construction de G A (R, M 0 ) converge, alors le nombre des marquages est fini et par cons´ equent le r´ eseau N est born´ e pour un marquage initial M 0 .
— La r´ ep´ etitivit´ e : Pour d´ eterminer les s´ equences r´ ep´ etitives, il suffit de d´ eterminer les cycles dans le graphe de marquages G A (R, M 0 ).
Nous pouvons distinguer d’apr` es le graphe de marquages de la Figure 1.9 que le r´ eseau est born´ e pour le marquage initial M 0 = (1 0 0 0 0) > . Puisqu’on a aussi des cycles, il existe alors des s´ equences r´ ep´ etitives.
Un graphe de marquages ne peut plus ˆ etre construit quand le r´ eseau est non born´ e c-` a-d quand le nombre de marquages accessibles est infini. D’o` u le recours au graphe dit de couverture.
1.2.3 Graphe de couverture
Pour les RdPs born´ es, le graphe de couverture est exactement le graphe de marquages.
Pour les RdPs non born´ es, l’ensemble des marquages atteignables est infini, ce qui signifie qu’au moins une place dans un tel r´ eseau peut avoir un nombre non born´ e de jetons.
Cela implique ´ egalement qu’il existe au moins une s´ equence infinie de franchissements de certaines transitions du r´ eseau. Ainsi, un graphe de couverture fini peut ˆ etre produit par la cr´ eation d’un ensemble r´ eduit de marquages qui est ´ equivalent ` a cet ensemble infini.
Le symbole sp´ ecial ω est utilis´ e pour repr´ esenter un grand nombre arbitraire de jetons
dans une place non born´ ee. Soit la d´ efinition suivante qui sert ` a construire le graphe de
couverture.
D´ efinition 1.9 Un marquage M 0 couvre un marquage M si, pour chaque place, le nombre de marques de M 0 est sup´ erieur ou ´ egal au nombre de marques de M :
∀p i , M 0 (p i ) ≥ M(p i ) (1.11)
Notation : M 0 ≥ M.
La couverture est stricte si de plus :
∀p i , M 0 (p i ) > M(p i ) (1.12) Notation : M 0 > M.
Le m´ ecanisme de construction d’un graphe de couverture d’un RdP non born´ e est similaire ` a la construction du graphe de marquages d’un RdP born´ e, sauf que pour chaque nouveau marquage ajout´ e, nous v´ erifions s’il ne couvre pas un marquage d´ ej` a existant dans le graphe de couverture qui est en cours de construction. Si c’est le cas, toutes les composantes des marquages sup´ erieurs sont remplac´ ees par ω. L’alg` ebre de ω est donn´ ee par [SP90] :
ω ± α = ω , ω ≥ α , ω ≥ ω , (1.13)
o` u α est une constante arbitraire. L’algorithme basique de construction du graphe de
couverture not´ e G C (R, M 0 ) pour le marquage initial M 0 est d´ ecrit comme suit :
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs Algorithme 2 L’algorithme de construction du graphe de couverture G C (R, M 0 ) Entr´ ees: < R, M 0 >
Sorties: G C (R, M 0 ) A(R, M 0 ) = {M 0 } ; A explorer = {M 0 } ;
Tant que A explorer 6= ∅ faire
Cr´ eer les noeuds ´ etiquet´ es par M ∈ A explorer
∀M ∈ A explorer ; d´ eterminer les couples (M, t j ) tels que M [t j
Cr´ eer les arcs ´ etiquet´ es par t j associ´ es aux couples (M, t j ) Pour chaque couple (M, t j ) d´ eterminer M 0 = M + W.π(t j ) Si M 0 ≥ M alors
Pour i de 1 ` a |P | faire Si M 0 (p i ) > M(p i ) alors
Nous rempla¸cons M 0 (p i ) par ω Fin Si
Fin Pour Fin Si
A explorer = {M 0 6∈ A(R, M 0 )}
A(R, M 0 ) = A(R, M 0 ) S
A explorer Fin Tant que
Exemple 2 Soit le RdP de Figure 1.10 non born´ e pour le marquage initial M 0 = (1 0 0) > .
M
Figure 1.10 – Exemple d’un RdP non born´ e
Le graphe de couverture associ´ e au RdP de Figure 1.10 pour le marquage initial M 0 =
(1 0 0) > est d´ ecrit dans la Figure 1.11.
0 1
0 0 1 1 0 1 0
0
Figure 1.11 – Graphe de couverture du RdP non born´ e de la Figure 1.10 Une extension de graphe de couverture est le graphe de couverture minimal [Fin91].
1.2.4 RdPs ´ etiquet´ es
1.2.4.1 D´ efinition informelle
Un RdP ´ Etiquet´ e (RdPE) est un RdP marqu´ e (R, M 0 ) telle qu’on associe une ´ etiquette
`
a chaque transition t ∈ T R.
1.2.4.2 D´ efinition formelle
Un RdPE est une structure (R, M 0 , AL, L) o` u (R, M 0 ) est un RdP marqu´ e, AL est un ensemble d’alphabets (´ etiquettes), et L : T R → AL S {ε} est une fonction d’´ etiquetage des transitions qui attribue ` a chaque transition t ∈ T R un alphabet de AL ou lui attribue la chaˆıne vide ε.
Une transition est ´ etiquet´ ee par la chaˆıne vide si son tir ne peut pas ˆ etre observ´ e.
Alors, une transition ´ etiquet´ ee par un alphabet de AL est une transition observable et une transition ´ etiquet´ ee par la chaˆıne vide ε est une transition non observable.
1.2.4.3 La fonction d’´ etiquetage
La fonction L sera ´ etendue ` a L : T R ∗ → AL ∗ S
{ε} par L(t 1 t 2 ...t k ) = L(t 1 ) L(t 2 )... L(t k ).
La fonction d’´ etiquetage L peut ne pas ˆ etre injective alors il peut exister t i , t j ∈ T R telles que si t i 6= t j alors L(t i ) = L(t j ).
Selon la fonction d’´ etiquetage, nous pouvons d´ efinir 4 types de RdPEs :
1.2. Mod´ elisation des SEDs par RdPs
— Un RdPE λ−libre : Il n’existe pas de transitions ´ etiquet´ ees par la chaˆıne vide ε.
— Un RdPE libre : Il n’existe pas de transitions ´ etiquet´ ees par la chaˆıne vide ε, et deux transitions diff´ erentes ne peuvent pas avoir la mˆ eme ´ etiquette.
— Un RdPE d´ eterministe : Deux transitions qui sont franchissables simultan´ ement ne doivent pas partager la mˆ eme ´ etiquette.
— Un RdPE partiellement observable : L’ensemble des transitions T R est partitionn´ e en un ensemble de transitions observables T R ob et un ensemble de transitions non observables T R un .
Dans ce m´ emoire, nous allons utilis´ e les notations suivantes li´ es aux RdPEs par- tiellement observables :
- Nous notons respectivement T R ∗ ob et T R ∗ un l’ensemble des s´ equences de fran- chissements observables et l’ensemble des s´ equences de franchissements non observables.
- Nous notons respectivement W ob = W ob + −W ob − et W un = W un + −W un − les restrictions de matrice d’incidence W respectivement sur T R ob et T R un . Nous d´ esignons par Λ |F la restriction d’une matrice Λ sur l’ensemble F . Alors, nous notons W ob = W |T R
obet W un = W |T R
un.
1.2.5 RdPs temporis´ es
Pour ce type de r´ eseau non autonome, la contrainte de temps est introduite soit sur les places (RdP p-temporis´ e), soit sur les transitions (RdP t-temporis´ e).
1.2.5.1 RdP p-temporis´ e D´ efinition informelle
Un RdP P-temporis´ e est un RdP tel qu’on associe une temporisation ` a chaque place p i ∈ P correspondant ` a la dur´ ee minimale de s´ ejour d’un jeton dans une place. On notera d i la temporisation de la place p i .
D´ efinition formelle
Un RdP p-temporis´ e est un doublet (R, T empo) o` u R est un r´ eseau Place/transition, et
Tempo : P → N est une fonction de temporisation associ´ ee aux places.
Principe de fonctionnement
Lorsqu’un jeton arrive ` a la place p i , le jeton reste indisponible pendant un temps d i .
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
franchissement de
franchissable franchissement de
franchissable
Figure 1.12 – Principe d’´ evolution d’un RdP p-temporis´ e
1.2.5.2 RdP t-temporis´ e D´ efinition informelle
Un RdP t-temporis´ e est un RdP tel que l’on associe une temporisation ` a chaque transition correspondant ` a la dur´ ee entre l’instant o` u la transition devient franchissable et le temps de franchissement de la transition. On notera d i la temporisation de la transition t i .
D´ efinition formelle
Un RdP t-temporis´ e est un doublet (R, T empo) o` u R est un r´ eseau Place/transition, et Tempo : T R → N est une fonction de temporisation associ´ ee aux transitions.
Principe de fonctionnement
Lorsqu’une transition t i ∈ T R devient franchissable, son franchissement sera apr` es un
temps d i (t i sera gel´ ee pendant un temps ´ egal ` a d i ). Quand la dur´ ee s’´ ecoule, la transition
est franchie.
1.3. Diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par des RdPs
( ) ( )
( )
franchissable franchissement de non franchissable
Figure 1.13 – Principe d’´ evolution d’un RdP t-temporis´ e
1.3 Diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par des RdPs
1.3.1 Lexique de diagnostic
— Diagnostic : C’est le processus de d´ etection et d’isolation des d´ efauts (Fault Detec- tion and Isolation : FDI). Il peut inclure aussi l’identification des d´ efauts.
— D´ etection des d´ efauts : C’est une d´ ecision binaire qui d´ etermine si le syst` eme est en fonctionnement normal ou anormal.
— Isolation (localisation) des d´ efauts : C’est d´ eterminer l’emplacement des d´ efauts.
Cette d´ etection peut ˆ etre pr´ ecise ou non.
— Identification des d´ efauts :
C’est la d´ etermination de l’amplitude et de l’´ evolution probable du d´ efaut au cours du temps [Met12].
— Un d´ efaut : C’est une d´ eviation d’un ´ el´ ement d’un syst` eme de son comportement normal.
— Une d´ efaillance : C’est une d´ eviation d’un syst` eme par rapport ` a son comporte- ment normal qui l’empˆ eche de remplir sa fonction souhait´ ee. Une d´ efaillance est le r´ esultat de l’existence d’un ou plusieurs d´ efauts. Par contre, la pr´ esence d’un d´ efaut ne conduit pas obligatoirement ` a une d´ efaillance.
— Une d´ egradation : C’est le r´ esultat d’un d´ efaut non li´ e directement aux m´ ecanismes
du syst` eme, mais plutˆ ot ` a des facteurs environnementaux (l’humidit´ e, la temp´ era-
ture), ou ` a des facteurs li´ es ` a sa dur´ ee de vie. Dans ce cas, le syst` eme fonctionne sous son r´ egime nominal et au-dessous d’un seuil d’arrˆ et. Une d´ egradation peut aboutir ` a une d´ efaillance.
— Une panne : C’est la cons´ equence d’une d´ efaillance aboutissant ` a une interruption permanente.
Lors de son fonctionnement, un syst` eme dynamique peut ´ evoluer sous trois modes de fonctionnement : mode de fonctionnement normal, d´ egrad´ e et d´ efaillant.
1.3.2 Les types des d´ efauts
— D´ efaut permanent : C’est un d´ efaut qui est tout le temps pr´ esent. En g´ en´ eral, il interf` ere en permanence sur le fonctionnement du syst` eme. Un d´ efaut permanent est repr´ esent´ e par un signal de type ´ echelon.
temps défaut
Figure 1.14 – D´ efaut permanent
— D´ efaut fugitif (ou intermittent) : C’est un d´ efaut qui apparaˆıt et disparaˆıt succes- sivement sans raison apparente.
temps défaut
Figure 1.15 – D´ efaut intermittent
— D´ efaut transitoire : C’est un d´ efaut qui se produit une seule fois et pendant une
courte p´ eriode de temps. Il n’est pas dˆ u ` a un d´ efaut de composant, mais ` a une res-
source qui ne peut pas r´ epondre temporairement aussi vite que pr´ evu. Par exemple,
il peut ˆ etre dˆ u ` a une ressource qui n’est pas disponible provisoirement.
1.3. Diagnostic des SEDs mod´ elis´ es par des RdPs
temps défaut
