Sur l'indéterminisme de la mécanique quantique

HAL Id: jpa-00233130

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233130

Submitted on 1 Jan 1933

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Sur l’indéterminisme de la mécanique quantique

J. Solomon

To cite this version:

J. Solomon. Sur l’indéterminisme de la mécanique quantique. J. Phys. Radium, 1933, 4 (1), pp.34-37.

�10.1051/jphysrad:019330040103400�. �jpa-00233130�

SUR L’INDÉTERMINISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

Par J. SOLOMON.

Sommaire. 2014 On discute dans ce travail la façon ^{dont une} théorie déterministe à para- mètres cachés peut ^rendre compte de l’indéterminisme de la mécanique quantique. ^On montre l’impossibilité mathématique ^de l’équivalence des deux théories.

Le but de cette courte note est de préciser ^et de réfuter une idée qui ^{a été mise en}

avant pour ^{« sauver »} le déterminisme cléfaillant dans le domaine subatomique. Certes, ^la mécanique quantique (1) forme actuellement une doctrine particulièrement remarquable

par ^son développement logique ^et libre de toute contradiction. Mais, ^de même que la nouvelle notion relativiste de simultanéité, ^{liée au fait} que la vitesse de la lumière ^{a une}

grandeur finie, a rencontré de nombreuses résistances avant de s’imposer, ^{(le même la théorie} quantique, ^{avec sa nouvelle} conception ^{de la} causalité, liée à la valeur finie du quantum

élémentaire d’action, ^se heurte de façon ^autrement profonde à ^nos formes d’intuition basées sur l’expérimentation macroscopique. ^Ce renoncement peut paraître ^{si douloureux} qu’on s’est demandé s’il n’était pas possible par ^une généralisation convenable (mais ^res-

tant toujours ^{sur le terrain} déterministe) de la théorie classique de l’éviter. C’est de cette

hypothèse, qui semble ,la ^seule possible et que ^nous appellerons ^{théorze des} paramètre cachés, que ^nous allons nous occuper (2 J.

Par théorie des paramètres ^{cachés nous} entendrons l’ordre d’idées suivant. En méca-

nique classique ^{il est} possible de suivre le développement causal d’un système ^{tout en}

conservant sa description par les concepts spatio-temporels usuels. En d’autres termes, à chaque ^{instant t nous} poovons ^mesurer la position ^et la vitesse du mobile considéré. Par- ticularisons le problème. Considérons le point matériel de la mécanique rationnelle, ^défini

par ^sa coordonnée (1) x ^{et sa} vitesse v, A l’instant t on a

~ et v ne dépendent que de ^{t : à vrai} dire, ^d’autres paramètres ^{entrent en} jeu, ^{ce sont la}

vitesse et la position ^du point ^{à un instant} quelconque t,,, ^{mais ces} données initiales sont fixées une fois pour toutes et n’entrent pas à nouveau en jeu à l’occasion de chaque-

mesure. Donc une fois ce choix fait, ^{à une} valeur de t correspondent des valeurs parfaite-

ment déterminées de .x et de v.

Comme il est bien _connu, l’existence du quantum élémentaire d’action crée dans le (!) ^Par mécanique quantique, ^nous entendrons dans ce qui suit exclusivement la mécanique quantique~

non relativiste. Seule celle-ci en effet forme un ensemble libre de contradictions. La mécanique quantique relativiste

qui n’existe pas ^{encore -} semble devoir nécessiter des renoncements encore plus profonds ^à

nos concepts ^les plus ^habituels (tels que la conservation ^de l’énergie par exemple) : ^{Cf. L. Landau et}

R. Peierts, ^Z. (1931),56; adaption française dans les Actualités de physique théorique (Hermann) ;

-- ’. Bohr, Faraday Lecture, ^Journal of ^{the cheniical} Society (1932); convegno di Fisica 1r’ucleare (1931).

e) ^{Dans un} livre dont j’ai pris connaissance lorsque ^ce travail était déjà terminé, J. von Neumann

(Qlatliematische Grundlagen ^der Quantenmechanik) ^{donne une} démonstration de l’impossibilité ^{de cette} théorie qui ^me semble distincte de celle indiquée ci-dessous. Comme celle-ci n’utilise pas, à ^ce qu’il ^me semble, le formalisme de l’espace de Hilbert qui peut paraître ^{à certains assez} éloigné ^{du réel} physique,

il nous a paru qu’il y avait peut être intérêt à publier ^notre démonstration.

(» Dans ce qui suit, pour ^ne pas compliquer ^les notations, ^nous n’envisagerons qu’un ^continum

linidimensionnel. Mais les résultats se laissent immédiatement généraliser ^{à un nombre} quelconque ^de dimensions.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019330040103400

35 dom@tint atomique ^une situation bien différente. L’interréaction de l’appareil ^{de mesure et}

de : ^r particule étudiée entraine l’impossibilité d’une mesure simultanée de v et de z. Si

iiou, nous permettons une erreur possible à x ^{sur la} position ^{de la} particule, ^on sait que,

d’après Ileisenberg, ^{o a} pYllT possible ^{Ll v sur sa vitesse,}

lorsque v est faible devant la vitesse de la lumière; dans la formule IJrécédente, h désigne

la constante de Planck. Au contraire, ^{x et v sont} mesurables avec toute la précision ^désirée quand ^{ils ne se} rapportent pas ^au instant t.

De ce qui précède il suit que le groupe de relations (1) ^n’est plus valable dans le domaine de la mécanique quantique. ^{Tout ce} que ^nous pouvons ^nous donner, ^{ce sont des} probabilités ^{de trouver} pour x ^{ou v} des valeurs déterminées. La probabilité pour que x ait

une valeur comprise ^{entre x et x} + d ^{x à l’instant t sera}

(où l’astérisque marque que l’on passe à la quantité conjuguée complexe) ^{et de même la} probabilité pour que r ait ^une valeur comprise ^{entre v est v} + ^{dv à sera}

La ielation iiiiplicite filtre x et v comprise ^dans (1) (par élimination de 1) ^est remplacée

par

selon la théorie des transformations de Dirac et Jordan.

Dans ces conditions, ^{il est} peut-être permis ^{de se} poser la question suivante : en

mécanique quantique, ^{1 étant connu, x} peut ^être déterminé, mais v alors est complètement indéterminé, et réciproquement. ^Est-il possible que cet état de choses provienne ^{de ce} que notre représentation ^de la marehe causale des phénomènes ^est incomplète ; ^{en d’autres}

termes qu’un (ou plusieurs) paramètre supplémentaire soit nécessaire pour qu’une lescrip-

tion causale complète ^d’un phénomène ^ssoit possible ^{C’est à ces} paramètres (de ^nature

inconnue pour le moment) que ^nous donnerons le nom de pararnètres ^cachés (verborgene Parameter).

On pourra alors ^se représenter les choses de la façon suivante : (1) ^sera remplacé par

où ii, représente ^le paramètre caché. Nous avons supposé, pour simplifier ^les notations, qu’il suffise d’un paramètre ^caché, mais les choses se passent ^de façon identique ^avec plusieurs paramètres. ^{A une} valeur déterminée de t correspond, suivant la valeur de _u,

une infinité de valeurs de x et l’on comprend que, du moment que ignorons ^{tout de}

u, tout ce que ^nous pouvons connaître est la statistique des valeurs possibles de x, ^corres pondant à ^{la donnée} d’une certaine fonction de répartition (3). ^D’autre part, lorsque ^nous

faisons une mesure de x, ^nous prenons consciemment ^un certain instant t, ^et inconsciem- ment une certaine valeur du paramètre ^{caché iii ;} si d’autre part ^{nous voulons mesurer v}

au même instant t,, ^{rien ne} peut ^nous certifier, par définition, puisque ^{c’est un} paramètre qui ^nous échappe actuellement, que ^nous faisons la mesure de v avec la même valeur du

paramètre ^Mi que pour a. ; à ^une valeur déterminée de x sera donc associée une suite infinie de valeurs de v, ^rendant compte ^{ainsi du} principe d’indétermination.

Remarquons que par inversion des relations (3) ^et (4), ^on peut écrire et v sous une

forme très voisine de (6) :

Les deux paramètres ?u ^{et ~1 ne} sont pas indépendants, ^{mais liés} implicitement par les relations (5). Il n’est pas très difficile (1) de montrer que cette interdépendance ^n’est

autre chose que le principe d’inclétermination (2).

Ainsi donc la conception ^des paramètres ^{cachés nous} permet ^{de nous rendre assez aisé-}

ment compte ^de façon qualitative ^de l’inléterminisme de la mécanique quantiqae. ^Sans doute, à ce stade, elle est d’un intérêt assez mince puisqu’elle ^ne prétend que donner ^un ensemble de concepts entièrement équivalent ^à celui de la mécanique quantique. ^{En somme,}

nous remplaçons ^le système parfaitement logique ^{de la} mécanique quantique, mais d’où la causalité au sens classique ^est exclue, par ^un autre système parfaitement déterministe mais

comportant l’hypothèse d’éléments naturels inconnus. Irrationnel _pour irrationnel, ^l’avan- tage ^{est assez} médiocre. En réalité, ^tout l’intérêt de cette théorie des paramètres ^{cachés est} qu’elle permet de formuler l’espoir cluc ^ces paramètresne seront pas toujours ^{cachés et} que la découverte des éléments de la nature auxquels ^ils correspondent permettra de restituer la physique ^{dans son} cadre déterministe d’antan.

La démonstration qui ^{suit a} justement pour but de montrer que ^cette espérance ^est

vaine. Il est en effet impossible ^{d’édifier une théorie à} paramètres ^cachés qui ^soit équiva-

lente du point ^{de vue} logique ^{à la} mécanique quantique.

Remarquons ^tout d’abord que le fait que co et ^{mj ne} présentent pas de relation simple

rend déjà improbable l’existence de relations telles que (6). ^On peut préciser ^{ceci de la} façon ^suivante.

Si d’après (2) ^nous pouvons ^nous attendre à trouver pour x toutes les valeurs possibles,

il n’en est pas moins vrai que certaines valeurs sont plus fréquemment rencontrées que d’autres. C’est ainsi que si nous mesurons la position de l’électron dans un atome d’hydro- gène situé dans un certain état quantique, ^nous trouverons ^une prédominance très sensible- pour le voisinage ^de l’ancienne orbite de Bohr correspondant ^{à cet état} quantique. ^Les préceptes généraux ^{de la} mécanique quantique ^nous indiquent que la valeur moyenne de

-

n

x, ^x est donnée par

de même pour ^v

le 3x et le àv qui figurent ^dans (2) ^étant définis par

De façon plus générale (2) ^la valeur moyenne de xn est donnée par

Passons maintenant à la théorie des paramètres ^{cachés. Soit une} grandeur F (t, ^Il

va sans dire que là aussi ^nous devons retrouver la notion de valeur moyenne, qui ^résultera

évidemment d’une moyenne prise ^{sur toutes les valeurs} possibles ^{de u.} En d’autres termes, la valeur moyenne F (t) ^{de /11 sera} donnée par

où U représente ^un opérateur. Il est d’autre part évident que la moyenne de F ~- ^{G doit}

être égale ^à F + (T L’opérateur U ^{est donc} linéaire et il est possible, ^sous des conditions (1) ^W. HEISEXBERG, Physikalische Prinzipien ^der Quantentheorie, p. 12.

(2) On sait que la donnée des valseurs moyennes successives ^x, x2, ^...,

^est équivalente ^{à la}

donnée de la fonction ~ (x, t). ^{C’est là} le célèbre problème des moments auquel reste attaché le nom de

Slieltjes.

37 très générales ^de continuité (toujours vérifiées dans les problèmes physiques) ^{de mettre} l’opération (~~~ ^{sous forme} intégrale :

où G (u) désigne ^le noyau ^de l’opérateur ^{U. Par un} simple changement ^de variable, ^on obtient .

Appliquons cette relation à la grandeur x,t ^- f n (t, ir) :

Comparons maintenant avec le résultat de la mécanique quantique (1 i) que ^nous écri- rons, ^en changeant simplement ^{le nom} des lettres

Les deux valeurs de xn données par (15) ^et ( 16) ^{devant être} identiques quel que soit t,

on doit avoir identiquement

Or cette relation ne peut ^{être vérifiée} quel que soit >1 que lorsque

ce qui n’a évidemment lieu que dans des conditions très spéciales. Il est donc impossible

d’obtenir une équivalence générale entre la théorie quantique ^{et la théorie des} paramètres

cachés.

Si l’on remarque que la donnée des valeurs moyennes sucçessives x, xl..., ^est équi-

valente à celle de la probabilité m (x, t), ^{le sens de} la démonstratiou précédente est que,

quelle que soit l’analogie qualitative qui existe entre (6) ^et (3) (et ^sur laquelle ^{nous avons} déjà insisté) ^{une identité} quantitative ^est impossible, ^{on ne retrouve} pas la loi de proba-

bilité (3).

Comme les hypothèses ^{dont nous sommes} partis pour définir la théorie des para- mètres cachés nous semblent bien être les plus larges possibles, compatibles ^{avec la théorie} quantique, la démonstration qui précède ^nous semble être de nature à éliminer définitive- ment ce dernier espoir d’une théorie déterministe des phénomènes atomiques.

Manuscrit reçu le 13 novembre 1932.