CB 2 de PHYSIQUE - CORRECTION 1 Cycle moteur

(1)

PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2- Correction 2015-2016

CB 2 de PHYSIQUE - CORRECTION 1 Cycle moteur

1. À l’aide de la relation de Mayer et de l’équation d’état des gaz parfaits dans l’état 0 (P₀V_A=nRT₀) on obtient : C_p= γnR

γ−1= γP₀V_A

T₀(γ−1) et C_v= nR

γ−1= P₀V_A T₀(γ−1).

2. Le gaz parfait subit une transformation isochore quasi-statique entre0et1.

3. Pour calculerP₁, on écrit l’équilibre du piston, de masse négligeable. Bilan des forces (le vecteur~u_zest unitaire vertical ascendant) : poids de la masse−mg~u_z;F~_atm→piston=−P₀S~u_z;F~_gaz→piston=P₁S~u_z; on obtient P₁=P₀+^mg_S . AN :P₁= 1,1bar.

Le gaz dans le piston constituant un système fermé subissant une transformation isochore, la quan- titénR/V_Aest constante. L’équation d’état donne donc ^P_T⁰

0 = ^P_T¹

1, d’oùT₁= ^P_P¹

0T₀. On obtient donc : T₁=T₀

1 + ^mg

P0S

. AN :T₁= 330K.

4. Appliquons le premier principe au système {gaz dans l’enceinte}. La transformation étant isochore, le travail reçu par le gaz est nul. On obtientδQ¹₀ = dU = C_vdT. OrC_v étant constant (puisqueγ est constant) alors :

Q¹₀=C_v(T₁−T₀) =P₀V_A γ−1

T₁ T₀−1

= 8,3J

5. Le gaz parfait subit a priori une transformation monobare quasi-statique entre1et2. Or à chaque étape de la transformation, si l’on écrit l’équilibre du piston, on obtient que la pression du gaz vautP₀+^mg_S, c’est-à-direP₁. La transformation de1à2est donc même en fait isobare.

6. nRetP (pression du gaz) étant constants, l’équation d’état des gaz parfaits permet d’écrire :_V^T¹

A=_V^T²

B. Donc T₂=^V_V^B

AT₁. AN :T₂= 1,0.10³K.

7. La transformation étant isobare, le premier principe appliqué au système {gaz dans l’enceinte} devient donc∆H=Q²₁. Donc Q²₁=C_p(T₂−T₁) =^P⁰_γ−1^V^A^γ^T²_T^−T¹

0 . AN :Q²₁= 260J.

8. Comme pour les questions précédentes, la transformation2→3est isochore et quasi-statique. La trans- formation3→0est isobare et quasi-statique.

9. U étant une fonction d’état, le premier principe de la thermodynamique appliqué sur un cycle au gaz dans l’enceinte s’écrit :

∆U= 0 =W+Q¹₀+Q²₁+Q³₂+Q⁰₃⇒ W=−Q¹₀−Q²₁−Q³₂−Q⁰₃ La transformation2→3étant isochore, on aQ³₂ = ^P_γ−1⁰^V^A^T³_T^−T²

0 avec T₃ = ^P_P³

2T₂ = ^P_P⁰

1T₂ (loi des gaz parfaits, avecP₃=P₀etP₂=P₁).

La transformation3→0étant isobare,Q⁰₃=^P_γ−1⁰^V^A^γ^T⁰_T^−T³

0 . On obtient doncW=^P⁰_T^V^A

0 (T₁+T₃−T₀−T₂) =P₀V_A

P1 P0+^V_V^B

A−1−^V_V^B

A P1 P0

. Donc W=^mg_S(V_A−V_B). AN :W=−6,7J.

10.

11. West l’opposé de l’aire intérieure au cycle décrit dans le diagramme de Watt :W=−(P1−P0)(V_B−VA) =

mg

S (V_A−V_B). On retrouve bien le résultat de la question précédente.

1 C.Lacpatia, A.Martin, N.Piteira

2 Disques protoplanétaires

Partie I : Forme du disque Champs de gravité

1. Champ de l’étoile.

(a) −−−−−−→

F_etoile→M=−GmM_E R²

−

→e_r

(b) On détermine le travail élémentaire de la force : δW=−GmM_E

R²

−

→e_r·dR−→e_r=−d

−GmM_E R

⇒ E_P_grav(M) =−GmM_E R

(c) On pose−g→_E(M)tel que−−−−−−→

F_etoile→M=m−g→_E(M), d’où : −g→_E(M) =−GM_E R²

−

→e_r. (d)

( R=√

r²+z²

−−→OM=R−→e_r=r−→u_r+z−u→_z ⇒











−−−−−−→

Fetoile→M=−G ^mM^E

(r²+z²)^3/2(r−→u_r+z−→u_z)

−→

gE(M) =−G ^M^E

(r²+z²)^3/2(r−→ur+z−→uz) E_P_grav(M) =−G^√^mM^E

r²+z²

2. Champ du disque protoplanétaire.

En écrivantk−g→_Dk ∝ρ^α_De^β_DG^γ et avec [ρ_D] =M.L⁻³,[e_D] =L et [g] =L.T⁻²=M[G]/L²

⇒ [G] =M⁻¹L³T⁻²on obtient : [g_D] =L.T⁻²=M^α−γL⁻³^α+β+3^γT⁻²^γ D’où le système d’équations :





 α−γ= 0

−2γ=−2

−3α+β+ 3γ= 1

⇒





 γ= 1 α=γ= 1

β= 1 + 3α−3γ= 1

⇒ g_D=ρ_De_DG

3. Comparaison entre les deux champs gravitationnels.

(a) Si l’on se place à distancerdu centre du disque, c-à-d à distance totaleR'√

r²+z²'r (care_DR_D) le champ gravitationnel dû à l’étoile vaut :k−g→_Ek 'M_EG/r².

D’où un rapport g_D

g_E 'ρ_De_DG r²

M_EG . Le champ dû au disque sera négligeable devant celui de l’étoile si g_D

g_E 1 ⇔ rR_C= s

M_E ρ_De_D

(b) Si l’on exprimeρ_D en fonction deM_D : ρ_D= M_D

π R²_De_D le rayon critique devient :R_C'q

ME MDR_D. Or comme M_D'0,1%M_E=M_E/1000 alors R_C'√

1000R_D'30R_D

Donc, même au-delà du disque protoplanétaire, l’influence du champ gravitationnel du disque est négligeable, donc a fortiori à l’intérieur de celui-ci, l’hypothèse consistant à négliger le champ du disque devant celui de l’étoile est totalement justifiée.

(2)

Disque de gaz évasé

4. Modèle de l’atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme

(a) Principe fondamental de la statique des fluides dans le champ de pesanteur uniforme vertical : (axe Ozvertical ascendant)

dP dz =−ρ g (b) Masse volumique de l’air à pressionP : ρ=m

V = n M

n R T₀/P =P M

R T₀ oùMest la masse molaire de l’air, etRla constante des gaz parfaits

D’où dP=−^{P M}_{R T}

0gdz ⇒ dP

P =−M g R T₀dz (c) Solution : P(z) =P₀exp

−z h

où h=R T

M g (hauteur caractéristique de variation du champ de pression dans l’atmosphère) et ρ(z) =ρ₀exp

−z h

=ρ₀exp

−M g z R T

(oùρ₀ est la masse volumique au niveau du sol).

(d) Énergie potentielle de pesanteur d’une particule d’air (de masse moyennem=M/N_A) : E_P_pes(z) =m g z+ 0 = M

N_Ag z Or on a : ρ(z) =ρ₀exp

−NAm g z R T₀

=ρ₀exp

−E_P_pes(z) k_BT₀

5. Distribution de masse dans le disque.

(a) Par analogie avec ce qui précède : ρ(r, z) =ρ₀exp

−E_P_grav(r, z) k_BT

=ρ₀exp

+ G m M_E k_BT(r²+z²)^1/2

=ρ₀exp

H(T) (r²+z²)^1/2

avec H(T) =G m M_E

k_BT , longueur caractéristique de variation de la densité dans le disque (b) Commezr, on peut utiliser un DL : (r²+z²)^−1/2'1/r(1−z²/2r²)

D’où : ρ(r, z) =ρ₀exp H(T)

r

exp

−H(T)z² 2r³

on retrouve l’expression suggérée, en posant







ρ₁(r) =ρ₀exp_H(T₎

r

h(r) =q

2r³ H(T)=

q2kBT(r). r³ G m ME

La distribution des particules de gaz selonzest exponentiellement décroissante. La hauteur caracté- ristique de cette décroissanceh(r)est d’autant plus grande querest grand (dépendance enr^3/2, si on néglige pour l’instant l’influence deT(r)) donc près der= 0, les particules sont très proches de la partie centralez= 0, et plus on s’éloigne vers les bords du disque, plus les particules se répartissent sur une altitudezélevée.

(c) Si T(r)∝r^−1/2 , on a alors h(r)∝r^(−1/2+3)/2 ∝r^5/4 ∝r^1,25 eth(r)varie presque linéairement avecr.

Partie II : Modèle d’accrétion planétaire dans un disque Mouvement de la poussière : étude de la sédimentation verticale

6. Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à un grain de poussière, de massem, dans le référentiel galiléen disco-centrique :

md−→v dt =m−g→_E

En projection selon l’axezdes coordonnées cylindriques : z¨=− GM_E (r²+z²)^3/2z. Dans l’approximation d’un disque fin : z¨' −G M_E

r³ z=−ω(r)²z, avec ω(r) = rG M_E

r³ pulsation propre des oscillations verticales.

7. La courbe donnée est compatible avec l’équation obtenue, qui est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propreω(r), dont la solution est z(t) =z₀cos(ω(r)t). Le mouvement orbital incliné de ces grains de poussière correspond, en projection selonz, à une oscillation de part et d’autre du plan central du disque.

Avecr= 1U.A. etM_E= 1,75M_S on calcule une période propre T(r) = 2π

ω(r)= 2,4.10⁷s soit 0,75 an environ. L’unité de temps utilisée sur le graphez(t)estl’année.

8. Si l’on rajoute une force de type frottement fluide, cela ajoute un terme d’amortissement dans l’équation différentielle, qui devient : z¨+αz˙+ω(r)²z= 0

Les solutions de cette équation dépendent de la valeur du coefficientα:

α«faible» (α <2ω(r), c-à-dQ=ω/α >1/2)→régime pseudo-périodique (oscillations amorties) α «élevé» (α >2ω(r), c-à-dQ <1/2) →régime apériodique (décroissance exponentielle d’autant

plus lente queαest élevé) ;

régime critique (α= 2ω(r), c-à-dQ= 1/2), pour lequel la décroissance est la plus rapide.

Pour des gros grains (1 m) on observe un régime pseudo-périodique, alors que pour de tout petits grains (1 cm et moins), l’amplitude semble décroître sans oscillation. Ainsi,α&quand la taille des grains

%.

Pour les très petits grains, la force de gravitation n’est plus prépondérante par rapport à la force d’inter- action locale avec les autres petits grains (pression, frottement visqueux), d’où l’absence de mouvement à grande échelle.

9. Pour les grains de 1 m, on observe de l’ordre de 5 oscillations avant amortissement, donc on peut estimer que Q∼5 d’où α=ω/Q= 0,53.10⁻⁷s⁻¹.

En utilisant l’expression de la force de Stokes :

−→

F_S=−6πηR−→v =−mα−→v ⇒ α=6πηR m = 9η

2ρ_grR²

A.N. : α∼ 9.10⁻⁵

2.0,5.10³.1∼10⁻⁷s⁻¹L’ordre de grandeur est donc le même que celui calculé précédem- ment, donc la modélisation précédemment adoptée semble correcte.

Modèle de collision

10.Estimation de la vitesse relative.

(a) Objet de massemlancé à vitesse initialev₀ dans le champ de gravitég₀ uniforme. On cherche la portéeDsous la forme :

D∝g^a₀v₀^bm^c

(3)

Or[D] =L,[g₀]L.T⁻²,[v₀] =L.T⁻¹et[m] =M. Ainsi :





 a+b= 1

−2a−b= 0 c= 0

⇒





 a=−1 b= 2 c= 0

⇒ D∼v₀² g₀

(b) Lors de l’arrivée d’un astéroïde sur un sol sédimentaire, on peut imaginer que l’impact génère une onde de choc, éjectant la terre avec une certaine vitesse (cette matière retombant sur les bords du cratère).

L’énergie cinétique de l’astéroïde incidentE_{C i}se transforme en énergie cinétique des particules de terreE_{C t}. En considérant que toute la terre se trouvant à distanceDde l’astéroïde (ordre de grandeur de la largeur du cratère) et sur toute la profondeurP, est éjectée, alors on peut écrire :

(E_{C i}∼m_iv_i²∼ρ_iL³v_i² E_{C t}∼ρ_tD²P v_t²

en notantρ_i la masse volumique de l’astéroïde de tailleLet de vitesse incidentev_i, etρ_tla masse volumique de la terre, éjectée à la vitessev_t.

Or d’après le graphe établi par R.J.Pike, on constate queD∝P et d’après la question précédente, on sait quev²_t ∼D g₀(portéeDde la trajectoire des particules de terre émises avec une vitessev_t), d’où :

E_{C t}∼ρ_tD⁴g₀

Finalement on peut écrire : ρ_iL³v_i²∼ρ_tD⁴g₀ ⇒ D∼ ρ_i

ρ_t 1/4

L^3/4v^1/2_i g^−1/4₀

(c) Ces lois de puissance sont compatibles avec celles trouvées numériquement pour ce qui concerneg0

(-0,25 à la main contre -0,22 numériquement),L(0,75 à la main contre 0,78 numériquement), etv_i(0,5 à la main contre 0,44 numériquement). Mais les puissances pour les masses volumiques diffèrent (0,25 et -0,25 à la main contre 0,33 et -0,33 numériquement). Probablement car on a négligé les phénomènes thermodynamiques (fusion de la météorite et des roches).

(d) Pour Meteor Crater, les données sont :D= 1,2km ;L= 150m. On prend pour la roche sédimentaire la valeur deρ_gr= 0,5 10³kg.m⁻³. On obtient finalement :

v_i' D

1,161.(ρ_t

ρ_i)^1/3. L^−0,78. g^0,22 1/0,44

'348m.s⁻¹'1250km/h .

Modèle simple d’accrétion

11. Volume occupé par les corps susceptibles de heurter l’astre pdtdt:dV=π R²_Av_rdt

D’où un nombre de particules susceptibles de heurterApdtdt: dN=π R²_An^∗v_rdt

12. Si les petits corps restent collés àA, sa masse augmente pendantdtde :dM_A=π R²_An^∗m v_rdt Or la masse totale deAvaut : M_A=4

3π R³_Aρ_A ⇒ dM_A

dt = 4π R²_Aρ_AdR_A dt D’où dR_A

dt =n^∗m v_r

4ρ_A et donc R_A(t) =n^∗m v_r

4ρ_A t (croissance linéaire du rayon)

13. La masse volumique moyenne du disque protoplanétaire s’exprime comme : ρ_D=n^∗. m Pour atteindre un rayon de la moitié de celui de la Terre, il faut un temps :

τ= 4ρ_A ρ_Dv_r

R_T

2 = 1,28.10¹³s

Cela correspond à environ400 000ans, c’est-à-dire 2 ordres de grandeur en-dessous de la durée de 40 millions d’années dont parle le texte, ce qui ne permet pas de valider ce modèle très simple.

Pour expliquer cette différence, on peut évoquer le sillon qui se forme au cours de la formation d’une planète : il y a, sur leur simulation, déplétion de matière au niveau d’une coquille située juste autour de la planète en formation. Donc, sin^∗ouρ_Ddiminue juste autour de la planète, l’augmentation de masse (et donc de rayon) se fait plus lentement.

L’autre hypothèse suggérée, à savoir une donnée numérique du modèle douteuse peut être la valeur de ρ_A, qui est ici prise à une valeur relativement faible. Proche du centre de la planète, la masse volumique, sous l’effet des forces de pression, est bien plus élevée que 0,5 kg/m³.