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Detection and dynamic of local communities in large social networks

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Academic year: 2021

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HAL Id: tel-01383855

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01383855

Submitted on 19 Oct 2016

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

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Detection and dynamic of local communities in large social networks

Christel Blaise Ngonmang Kaledje

To cite this version:

Christel Blaise Ngonmang Kaledje. Detection and dynamic of local communities in large social net- works. Social and Information Networks [cs.SI]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2014. English.

�NNT : 2014PA132057�. �tel-01383855�

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✉/❡1 ❜❡❤❛✈✐♦✉1/ ✻✸

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✺✳✷ ❈❤✉'♥ ♣'❡❞✐❝*✐♦♥ ✐♥ /♦❝✐❛❧ ♥❡*✇♦'❦/ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

✺✳✷✳✶ E'♦♣♦/❡❞ ♠❡*❤♦❞♦❧♦❣② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✻

✺✳✷✳✷ ❉❛*❛/❡* ❞❡/❝'✐♣*✐♦♥ ❛♥❞ ❛**'✐❜✉*❡/ ❡①*'❛❝*✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼

✺✳✷✳✸ ❊①♣❡'✐♠❡♥*❛*✐♦♥/ ❛♥❞ '❡/✉❧*/ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✵

✺✳✸ ❘❡❝♦♠♠❡♥❞❛*✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺

✺✳✸✳✶ ■♥*'♦❞✉❝*✐♦♥ *♦ '❡❝♦♠♠❡♥❞❡' /②/*❡♠/ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺

✺✳✸✳✷ E'♦♣♦/❡❞ ❙♦❝✐❛❧ '❡❝♦♠♠❡♥❞❛*✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✻

(16)

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✻ ❈♦♠♠✉♥✐'✐❡) ✐♥ ❞②♥❛♠✐❝ ♥❡'✇♦/❦) ✽✶

✻✳✶ ■♥(6♦❞✉❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶

✻✳✷ ❉②♥❛♠✐❝ ❝♦♠♠✉♥✐(✐❡0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

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✻✳✷✳✷ ❈♦♠♠✉♥✐(② ✉♣❞❛(✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹

✻✳✷✳✸ ▲♦♥❣ (❡6♠✲❝♦♠♠✉♥✐(✐❡0 ❞❡(❡❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺

✻✳✸ ❚❤❡ ❧✐♥❦ ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ♣6♦❜❧❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻

✻✳✸✳✶ E6♦❜❛❜✐❧✐0(✐❝ ♠❡(❤♦❞0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼

✻✳✸✳✷ ❚6❛♥0✐(✐✈✐(②✲❜❛0❡❞ ♠❡(❤♦❞0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽

✻✳✸✳✸ ❆((6✐❜✉(❡0✲❜❛0❡❞ ♠❡(❤♦❞0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✵

✻✳✹ ❆ 0✉♣❡6✈✐0❡❞ ♠❡(❤♦❞ ❢♦6 ❧♦❝❛❧ ❈♦♠♠✉♥✐(② ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶

✻✳✺ ❈♦♠♠✉♥✐(② ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ (❤6♦✉❣❤ ✐♥(❡6❛❝(✐♦♥0 ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

✻✳✺✳✶ ■♥(❡6❛❝(✐♦♥ ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ✐♥ ❝♦♠♣❧❡① ♥❡(✇♦6❦0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

✻✳✻ ❊✈❛❧✉❛(✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐0❝✉00✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✻

✻✳✻✳✶ ❉❛(❛0❡( ❉❡0❝6✐♣(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✻

✻✳✻✳✷ ❊✈❛❧✉❛(✐♦♥ ♦❢ ✐♥(❡6❛❝(✐♦♥ ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✽

✻✳✻✳✸ ▲♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐(② ♣6❡❞✐❝(✐♦♥ ❡✈❛❧✉❛(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✵

✻✳✼ ❈♦♥❝❧✉0✐♦♥0 ❛♥❞ ♣❡60♣❡❝(✐✈❡0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✷

✼ ❚♦✇❛/❞) ❛ ❋/❛♠❡✇♦/❦ ❢♦/ )'♦/✐♥❣ ❛♥❞ ❛♥❛❧②)✐♥❣ ❞✐)'/✐❜✉'❡❞

♥❡'✇♦/❦) ✶✵✺

✼✳✶ ■♥(6♦❞✉❝(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺

✼✳✷ ❚♦♦❧0 ❢♦6 ❛♥❛❧②0✐0 ❛♥❞ 0(♦6❛❣❡ ♦❢ ❧❛6❣❡ 0♦❝✐❛❧ ♥❡(✇♦6❦0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✻

✼✳✷✳✶ ❚♦♦❧0 ❢♦6 0♦❝✐❛❧ ♥❡(✇♦6❦ ❛♥❛❧②0✐0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✼

✼✳✷✳✷ ❍❛❞♦♦♣ ▼❛♣ ❘❡❞✉❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✽

✼✳✷✳✸ E6❡❣❡❧ ❛♥❞ ●✐6❛♣❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾

✼✳✷✳✹ E❡❣❛0✉0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾

✼✳✷✳✺ ●6❛♣❤ ❞❛(❛❜❛0❡0 ❛♥❞ ◆♦❙◗▲ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵

✼✳✷✳✻ ❙✉♠♠❛6② ♦❢ ♥❡(✇♦6❦ ❛♥❛❧②0✐0 (♦♦❧0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✶

✼✳✸ ❋6❛♠❡✇♦6❦ ❞❡0❝6✐♣(✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✶

✼✳✸✳✶ ❉✐0(6✐❜✉(❡❞ ❉❛(❛❜❛0❡ ▲❛②❡6 ✭❉❉▲✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷

✼✳✸✳✷ ❉❛(❛ ❆♥❛❧②0✐0 ▲❛②❡6 ✭❉❆▲✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✼✳✸✳✸ ❉❛(❛ ❱✐0✉❛❧✐0❛(✐♦♥ ▲❛②❡6 ✭❉❱▲✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✼✳✹ ❆♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥(❛(✐♦♥ ♦❢ (❤❡ ❢6❛♠❡✇♦6❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✼✳✹✳✶ ❉✐0(6✐❜✉(❡❞ ❉❛(❛❜❛0❡ ▲❛②❡6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✹

✼✳✹✳✷ ❉❛(❛ ❆♥❛❧②0✐0 ▲❛②❡6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✼✳✹✳✸ ❉❛(❛ ❱✐0✉❛❧✐0❛(✐♦♥ ▲❛②❡6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✼

✼✳✺ ■♠♣❧❡♠❡♥(❛(✐♦♥ ♦❢ ♦✉6 ♠❡(❤♦❞0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✽

(17)

✼✳✺✳✶ ❊①♣❡(✐♠❡♥,❛❧ ❙❡,✉♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✽

✼✳✺✳✷ ▲♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐,② ❞❡,❡❝,✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✽

✼✳✺✳✸ ▲♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐,② ♣(❡❞✐❝,✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✽

✼✳✻ ❈♦♥❝❧✉;✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✶

✽ ❈♦♥❝❧✉'✐♦♥' ❛♥❞ ❋✉,✉-❡ ❉✐-❡❝,✐♦♥' ✶✷✸

✽✳✶ ❙✉♠♠❛(② ♦❢ ,❤❡ ❝♦♥,(✐❜✉,✐♦♥; ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✸

✽✳✷ ❋✉,✉(❡ ❞✐(❡❝,✐♦♥; ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✺

(18)

▲■❙❚ ❖❋ ❋■●❯❘❊❙

✷✳✶ ❙♦♠❡ ❣(❛♣❤ ❡①❛♠♣❧❡.✿ ❛♥ ✉♥❞✐(❡❝5❡❞ ❛♥❞ ✉♥✇❡✐❣❤❡❞ ❣(❛♣❤

✭❛✮✱ ❛♥ ✉♥❞✐(❡❝5❡❞ ❛♥❞ ✉♥✇❡✐❣❤❡❞ ❣(❛♣❤ ✭❜✮✱ ❛ ❞✐(❡❝5❡❞ ❛♥❞

✉♥✇❡✐❣❤❡❞ ❣(❛♣❤ ✭❝✮ ❛♥❞ ❛ ❞✐(❡❝5❡❞ ❛♥❞ ✉♥✇❡✐❣❤❡❞ ❣(❛♣❤ ✭❞✮✳ ✽

✷✳✷ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❝♦♠♠✉♥✐5② .5(✉❝5✉(❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✷✳✸ ❘❖❈ ❝✉(✈❡. ❡①❛♠♣❧❡.✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✷✳✹ ❙❱▼✬. ▼❛(❣✐♥ ✐❧❧✉.5(❛5✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

✸✳✶ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❝♦♠♠✉♥✐5② .5(✉❝5✉(❡ ❢♦( 5❤❡ ❝♦♠♣✉5❛5✐♦♥ ♦❢ 5❤❡

❝♦♥❞✉❝5❛♥❝❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✸✳✷ ❆ ❞❡♥❞♦❣(❛♠ .5(✉❝5✉(❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✸✳✸ ❍✐❡(❛(❝❤✐❝ ❖♣5✐♠✐.❛5✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞✉❧❛(✐5② ✇✐5❤ 5❤❡ ▲♦✉✈❛✐♥✬. ♠❡5❤♦❞

❬✶✽❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✸✳✹ ❆ ✹✲❝❧✐%✉❡(✳ ♣❡(❝♦❧❛5✐♦♥ ❡①❛♠♣❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✸✳✺ ▲✐♥❦ ♣❛(5✐5✐♦♥✐♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

✹✳✶ ❙✉❜.❡5. ✉.❡❞ ✐♥ ❣(❡❡❞② ❛❧❣♦(✐5❤♠.✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼

✹✳✷ ❆ ♥♦❞❡ ❤✐❣❤❧② ❝♦♥♥❡❝5❡❞ ✇✐5❤ ♥♦❞❡. ♦✉5.✐❞❡ ✐5. ❝♦♠♠✉♥✐5②✳ ✳ ✸✾

✹✳✸ R❛5❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❛.❡. ❢♦( S✉❛❧✐5② ❢✉♥❝5✐♦♥. R ❛♥❞ M ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

✹✳✹ ◆♦❞❡ 7 ✐. ♦♥ 5❤❡ ❜♦(❞❡( ♦❢ 5❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐5② ♦♥ 5❤❡ (✐❣❤5✳ ✳ ✹✷

✹✳✺ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❝♦♠♠✉♥✐5② .5(✉❝5✉(❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸

✹✳✻ ❚❤❡ 5✇♦ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐5✐❡. ✐❞❡♥5✐✜❡❞ ❜② ■❖▲♦❈♦ ❢♦( 5❤❡ ❝❡♥✲

5(❛❧ ♥♦❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻

✹✳✼ ◆♦ ❝♦♠♠✉♥✐5② ✐. ❢♦✉♥❞ ❜② ■❖▲♦❈♦ ❢♦( 5❤❡ ❝❡♥5(❛❧ ♥♦❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼

✹✳✽ ❋♦✉( ❝♦♠♠✉♥✐5✐❡. ✐❞❡♥5✐✜❡❞ ❜② ■❖▲♦❈♦ ❢♦( ♥♦❞❡ 0✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼

✹✳✾ R❡(❢♦(♠❛♥❝❡ ✭acc

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✮ ♦❢ 5❤❡ ✺ ❛❧❣♦(✐5❤♠. ♦♥ .✐① ❞❛5❛.❡5. ✭❧♦✇❡(

✈❛❧✉❡. ♦❢ ν ♠❡❛♥ ♠♦(❡ .❡♣❛(❛5❡❞ ❝♦♠♠✉♥✐5✐❡.✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

✹✳✶✵ R❡(❢♦(♠❛♥❝❡ ✭ N M I ✮ ♦❢ 5❤❡ ✹ ❛❧❣♦(✐5❤♠. ♦♥ .✐① ❞❛5❛.❡5. ✭❧♦✇❡(

✈❛❧✉❡. ♦❢ ν ♠❡❛♥ ♠♦(❡ .❡♣❛(❛5❡❞ ❝♦♠♠✉♥✐5✐❡.✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✹✳✶✶ ❙✐③❡ ❞✐.5(✐❜✉5✐♦♥. ♦❢ 5❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐5✐❡. ❢♦✉♥❞ ❢♦( ◆❡5.❝✐❡♥❝❡ ✺✶

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✹✳✶✷ ◆❡&'❝✐❡♥❝❡ ✲ ❆♥❛❧②'✐' ♦❢ &❤❡ ♥♦❞❡' ❢♦4 ✇❤✐❝❤ ❈❤❡♥ ❡& ❛❧✳✬'

♠❡&❤♦❞ 4❡&✉4♥' ♥♦ ❝♦♠♠✉♥✐&②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶

✹✳✶✸ ◆❡&'❝✐❡♥❝❡ ✲ '✉❜✲❝♦♠♠✉♥✐&✐❡' ♦❢ ♥♦❞❡' ❢♦4 ✇❤✐❝❤ ❈❤❡♥ ❡& ❛❧✳✬'

♠❡&❤♦❞ ❢❛✐❧'✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷

✹✳✶✹ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ ✜4❡♠❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

✹✳✶✺ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ ❝❛"♣ ✜'❤❡4'✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

✹✳✶✻ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ ❢✉&✉4 ♠♦&❤❡4'✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻

✹✳✶✼ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ &❤❡ ✇♦4❞ ❛♥✐♠❛✉① ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✹✳✶✽ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ &❤❡ ✇♦4❞ ❛✐♠❡" ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽

✹✳✶✾ ❙❦②4♦❝❦ ✲ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐&② ♦❢ &❤❡ ✇♦4❞ ❛✉*♦♠♦❜✐❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽

✺✳✶ ❊①♣❡4✐♠❡♥&❛❧ '❡&✉♣ ✉'❡❞ ❢♦4 ❝❤✉4♥ ♣4❡❞✐❝&✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼

✺✳✷ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ♣❛❣❡ ♦❢ &❤❡ ❙❦②4♦❝❦✬' '♦❝✐❛❧ '✐&❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼

✺✳✸ ●❧♦❜❛❧ ❙❦②4♦❝❦ ❢4✐❡♥❞'❤✐♣ ❞❡❣4❡❡ ❞✐'&4✐❜✉&✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽

✺✳✹ ❆ ❝❡♥&4❛❧ ♥♦❞❡ ❛♥❞ ✐&' ✜4'& ♥❡✐❣❤❜♦✉4❤♦♦❞ ✭✐♥♥❡4 ❝✐4❝❧❡✮✱ ✐&' '❡❝♦♥❞ ♥❡✐❣❤❜♦✉4❤♦♦❞ ✭♦✉&❡4 ❝✐4❝❧❡✮ ❛♥❞ ✐&' ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐&②

✭♥♦❞❡' ✐♥ ❜♦❧❞✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✵

✺✳✺ ❱❛4✐❛❜❧❡ ❝♦♥&4✐❜✉&✐♦♥' &♦ &❤❡ ❑✷❈✴❑✷❘ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶

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✐) '❤❡ )❡' ♦❢ ✈❡#'✐❝❡) ✭♦# ♥♦❞❡)✮✱ ❛♥❞ E ✐) '❤❡ )❡' ♦❢ ❡❞❣❡) ✭♦# ❧✐♥❦)✮✱ ❢♦#♠❡❞

❜② ♣❛✐#) ♦❢ ✈❡#'✐❝❡)✳ ❚❤❡ '✇♦ ♥♦❞❡) u ❛♥❞ v ❛#❡ '❤❡ ❡♥❞ ✈❡#'✐❝❡) ♦❢ '❤❡ ❡❞❣❡

e = (u, v) ✳ ■❢ '❤❡ ♦#❞❡# ♦❢ ❡♥❞ ✈❡#'✐❝❡) ♠❛''❡#) ✐♥ ❛♥ ❡❞❣❡✱ '❤❡♥ '❤❡ ❣#❛♣❤ ✐) )❛✐❞ '♦ ❜❡ ❞✐#❡❝'❡❞❀ ♦'❤❡#✇✐)❡✱ ✐' ✐) ✉♥❞✐#❡❝'❡❞✳ ❋✐❣✉#❡ ✷✳✶ )❤♦✇) ❡①❛♠♣❧❡) ♦❢

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