MATHS VISA POUR LA PRÉPA

(1)

VISA POUR LA PRÉPA

2018-2019

MATHS ET INFORMATIQUE MPSI - PCSI - PTSI

BCPST - ECS

(2)

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-077955-0

(3)

Table des matières

1. Savez-vous calculer ? 1

1.1 De l’importance de savoir calculer… 1 1.2 Formulaire de trigonométrie 1 1.3 Nombres complexes 2 1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions 11 1.5 Exercices 21

2. Savez-vous intégrer ? 78

2.1 Mise en place d’une définition 78

2.2 Quelles sont les fonctions intégrables ? 82

2.3 Propriétés de l’intégrale 84

2.4 Valeur moyenne 85

2.5 Primitive et intégrale 87

2.6 Exercices 89

3. Savez-vous raisonner ? 102

3.1 Test préliminaire 102

3.2 Contexte 103

3.3 Syntaxe 103

3.4 Sémantique 105

3.5 Approche formelle de la logique propositionnelle 109

3.6 Récurrence 114

3.7 Exercices 115

(4)

4. Savez-vous prévoir ? 126

4.1 Rappels de théorie des ensembles 126

4.2 Une dose d’algèbre générale 127

4.3 Quelques résultats sur les cardinaux 129

4.4 Dénombrement 130

4.5 Triangle de Pascal - Binôme de Newton 132

4.6 Probabilités ? 133

4.7 Avant la formalisation 133

4.8 Espace probabilisable - Espace probabilisé 134 4.9 Probabilités conditionnelles 137 4.10 Variables aléatoires réelles finies 140 4.11 Quelques lois discrètes classiques 145

4.12 Exercices 148

5. Savez-vous programmer ? 174

5.1 Scilab : MPSI, PCSI, PTSI, ECS 174

5.2 Python : MPSI, PCSI, PTSI, BCPST 187

5.3 Exercices 202

Index 235

(5)

1 Chapitre 1

Savez-vous calculer ?

1.1 De l’importance de savoir calculer...

On dispose certes d’ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire) mais, auparavant, méditez cette pensée d’Alain Connes, membre de l’Académie des sciences, professeur au Collège de France, à l’I.H.E.S. et à l’université Vanderbilt aux États- Unis. Il a de plus reçu la médaille Fields en 1982, le prix Crafoord en 2001 et la Médaille d’or du C.N.R.S. en 2004.

« Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très propice à l’élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés. C’est pourquoi l’ordinateur, qui donne le résultat d’un tel calcul en suppri- mant la durée, n’est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut d’un calcul sans la représentation mentale de sa signification n’est pas un progrès. »

Alain Connes – Sciences et imaginaire

1.2 Formulaire de trigonométrie

Formules

• sin²a+cos²a=1

• cos (a b+ =) cos cosa b−sin sina b

• cos (a b− =) cos cosa b+sin sina b

• sin (a b+ =) sin cosa b+sin cosb a

• sin (a b− =) sin cosa b−sin cosb a

Transformation de produits en somme

• cosa cosb 1 a b a b

2 (cos ( ) cos ( ))

⋅ = ⋅ + + −

• sina sinb 1 a b a b

2 (cos ( ) cos ( ))

⋅ = ⋅ − − +

• sina cosb 1 a b a b

2 (sin ( ) sin ( ))

⋅ = ⋅ + + −

• a b a b

a b a b k k

tan ( ) tan tan

1 tan tan , pour

2 ,

π π

+ = +

− + ≠ + ∈

a b a b

a b a b k k

tan ( ) tan tan

1 tan tan , pour

2 ,

π π

+ = +

− + ≠ + ∈

• _{a b} ^a ^b

a b a b k k

tan ( ) tan tan

1 tan tan , pour

2 ,

π π

− = −

+ − ≠ + ∈

a b a b

a b a b k k

tan ( ) tan tan

1 tan tan , pour

2 ,

π π

− = −

+ − ≠ + ∈

(6)

Transformation de sommes en produits

• p q p q p q

cos cos 2 cos

2 cos

+ = ⋅  + 2

 

 ⋅  −

 



• p q p q p q

cos cos 2 sin

2 sin

− = − ⋅  + 2

 

 ⋅  −

 



• p q p q p q

sin sin 2 sin

2 cos

+ = ⋅  + 2

 

 ⋅  −

 



• sinp sinq 2 sin p q p q

2 cos

− = ⋅  − 2

 

 ⋅  +

 



Formules de duplication

• cos (2 ) cosx = ²x−sin²x=2 cos²x− = −1 1 2 sin²x

• sin (2 ) 2 cos sinx = x x

• x x

x x k

tan (2 ) 2 tan 1 tan ,

4 2

2

π π

= − ≠ + pour k∈

Avec t x

tan 2

= 

 

, on a :

• x t

t x t

sin 2 t

1 , cos 1

1 , tan 2

2 1

2

2 2

= + = −

+ =

−

1.3 Nombres complexes

Vocabulaire et premières propriétés

Théorème Ensemble  On définit un ensemble 

– muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de  – contenant un nombre i vérifiant i² = −1

– tel que chaque élément z de  peut s’écrire de manière unique sous la forme z = a + ib avec a et b des nombres réels

Forme algébrique

Cette écriture unique est appelée forme algébrique du réel z.

Le nombre a est appellé partie réelle de z et notée Re(z).

Le nombre b est appellé partie imaginaire de z et notée ℑm( )z. Remarque

m z( )

ℑ est un nombre réel.

Remarque : À quoi sert l’unicité de la forme algébrique ?

Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat 2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 avec x et y des réels. Et bien le membre de gauche est une forme algé- brique puisque de la forme réel + i· réel. Or la forme algébrique de 0 est 0 + i · 0.

(7)

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc

x y x y x y

x y

2 3 5 i(7 32 1) 0 2 3 5 0

7 32 1 0

+ − + − + = ⇔ + − =

− + =





Le plan complexe

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu’on munit d’un repère ( , , )O e e₁ ₂ .

À tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a,b) qu’on appelle image du complexe z = a + ib. On le note souvent M(z).

Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a,b), on associe son affixe z = a + ib, qu’on note souvent z_M.

Enfin, à tout vecteur u a e= ₁+b e₂ de coordonnées (a,b) dans la base ( , )e e1 2 est associée une affixe z_u = +a ib

Premiers calculs géométriques

Soient u et υ deux vecteurs de coordonnées respectives (a,b) et (a′,b′) dans la base ( , )e e₁ ₂ , alors u+ = + ′υ (a a e)₁+ + ′(b b e)₂, donc :

Théorème : affixe d’une somme

z_u₊_υ =z_u+z_υ De même, si l est un nombre réel :

Théorème : affixe du produit par un réel z_λ_u=λz_u Alors, si I est le milieu du segment [A,B], on a : Théorème : affixe du milieu

z 1 z z

2( )

I= A+ B

(8)

Pour tous points A et B : Théorème : affixe d’un vecteur

z_AB =z_B−z_A

Conjugué d’un complexe

Définition : conjugué

On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre : z= −a ib

Géométriquement cela donne :

M(z )

M(z ) e1

→ 2

O axe réel

e→

axe imaginaire

À titre d’exercice, démontrez les propriétés immédiates suivantes : Théorème

• M(z) et M ( )′ z sont symétriques par rapport à l’axe (O, e )1

• z₁+z₂= +z₁ z₂

• z z_{1 2}=z z_{1 2}

• z z=

• z∈ ⇔ = z z

• z i∈ ⇔ = − z z

• e( )z 1 z z

2( )

ℜ = +

• m( )z 1 z z

2( )

ℑ = −

• Si z = a + ib, alors zz=a²+b²

À quoi servent les conjugués ?

• À montrer qu’un complexe est un réel

En effet, si on arrive à montrer que z=z, alors on en conclut que z est réel.

• À rendre réels des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques En effet,

z z⋅ = +(a i )(b a−i )b =a²−(i )b²=a²+b²

(9)

Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l’inverse de 2 + i : 1

2 i 1 2 i

2 i 2 i

2 i 4 1

2 5

1 5i + =

+ ⋅ −

− = − + = −

Conjugué de l’inverse

Sachant qu’un complexe non nul z admet une forme algébrique a + ib, on sait maintenant trouver la forme algébrique de son inverse :

a b a b

a b

1 i

i i

i

2 2

+ =

+ × −

− = −

+ donc

z

a b

a b a b a b z

1 i i

( i )( i ) 1

i 1

2 2

 

= +

+ = +

+ − =

− =

Module d’un nombre complexe

Définition : module

Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que : z = z z

Remarques

– Cette définition en est bien une car z z=a²+b² d’après notre étude sur les conjugués donc |z| est bien toujours défini.

– Si a est un réel, a = a a= aa = a² car a=a. Donc le module de a est bien la valeur absolue de a et notre notation est cohérente.

La notion de module dans  généralise donc celle de valeur absolue dans .

Interprétation géométrique

→

Nous venons de voir que, si z = a + ib, alors : Théorème

z = a²+b²

Or qu’est-ce que a²+b² si ce n’est la norme du vecteur

OM ou encore la longueur OM ?

(10)

Théorème

z_M = OM =OM z_u = u Propriétés des modules

À titre d’exercice, démontrez les propriétés suivantes : Théorème

• z = z

• z = ⇔ =0 z 0

• z z₁⋅ ₂ = z₁ ⋅z₂

• ^z z

z z

1 2

=

• Re( )z ≤ z

• Im( )z ≤ z

La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration : Théorème : inégalité triangulaire

z₁+z₂ ≤ z₁ + z₂

C’est-à-dire que, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de suivre la RN 137.

Pour les curieux, voici comment cela peut se démontrer.

Comme les deux membres de l’inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or z₁+z₂²=(z₁+z₂)(z₁+z₂) (= z₁+z₂)(z₁+z₂)= z₁²+(z z_{1 2}+z z_{1 2})+ z₂² D’autre part (z₁ + z₂)²= z₁²+2z z_{1 2} + z₂²

Il s’agit donc de comparer les « doubles produits ».

Or z z_{1 2}+z z_{1 2}=z z_{1 2}+z z_{1 2}=2Re(z z_{1 2}) 2≤ z z_{1 2} =2z z_{1 2} d’après une propriété ci-dessus.

Donc

z₁+z₂²= z₁²+(z z_{1 2}+z z_{1 2})+ z₂²≤ z₁²+2z z_{1 2} +z₂²=(z₁ +z₂)²

Résolution d’équations du second degré

L’objet de cette section est de résoudre dans  l’équation z² = a.

Racine carrée d’un nombre réel

On suppose ici que a est un réel.

• ` ≥ 0 : alors z²= ⇔α z²− = −α (z α)(z+ α) 0= . Les solutions¹sont donc ± α. Par exemple z²= ⇔ = −4 z 2 ou z = 2.

1. LA solution si a= 0.

(11)

• ` < 0 : alors z²= =α (i −α)²⇔ − −(z i α)(z+ −i α) 0= . Les solutions sont donc i α.

± − C’est la nouveauté : z²= − ⇔ = −4 z 2i ou z = 2i.

Racine carrée d’un complexe non réel : un exemple

Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple.

Cherchons les racines carrées de 4 + 3i, à savoir les nombres a + ib tels que

a b a b ab

( +i )²= ²− ²+2i = +4 3i Par unicité de la forme algébrique on obtient

a b

ab 4 5

2 3

2 2

− =

+ =

=









Ainsi a² = 9/2 et b² = 1/2, donc a= ±3 2 /2 et b= ± 2 /2, or 2ab = 3, donc a et b sont de même signe.

Les solutions sont donc 2

2 (3 i)+ et 2 2 (3 i).

− +

Résolution de ax

²

+ bx + c = 0 avec a, b et c des réels : cas général

C’est comme en Première :

ax bx c a x b

a

b ac

a

x b

a

b ac

a

0 2

4

4 0

2

4 (2 )

2 2 2

2

2 2

2

+ + = ⇔  +

 

 − −











=

⇔ +

 

 = −

Tout dépend donc du signe de b² − 4ac, puis on utilise les résultats de la section précédente.

Notons

b² 4ac

∆ = −

le discriminant de l’équation, et d un complexe vérifiant δ = ∆2

Alors

ax bx c x b

a a

0 2 2

2 2 2

+ + = ⇔ + δ

 

 =

 



Théorème : résolution de ax² + bx + c = 0 avec a, b et c des réels L’équation ax² + bx + c = 0 admet toujours des solutions sur .

Dans tous les cas x b a 2

=− ±δδ avec d² = b² − 4ac

(12)

Forme trigonométrique

Vous vous souvenez de la correspondance entre  et le plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d’un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses coordon- nées polaires. Le plan a cette fois besoin d’être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).

M(z)

e₁ e2

r cosθ r sin

r θ θ

O ^→

→

Ainsi, (r,q ) étant le couple de coordonnées polaires de l’image M du nombre complexe z, on a z = r cos q + ir sin q déterminé de manière unique, car c’est en fait une forme algébrique déguisée : on l’appelle forme trigonométrique du complexe z.

Définition : forme trigonométrique

z r(cos= θ+i sin )θ Remarque (notation en électronique)

Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme : z = [r,q].

Congruence

Vous rencontrerez souvent la notation x ≡ y[2p] qui se lit « x est congru à y modulo 2p ». Elle veut simplement dire que x − y est un multiple de 2p, c’est-à-dire qu’il existe un entier relatif k tel que x − y = k · 2p.

Remarque (congruence modulo 2p)

x≡y[2 ]π ⇔il existe k∈tel que x= +y 2kπ Par exemple, vous savez que

3 7

3 [2 ]

π ≡ π π : dessinez un cercle trigonométrique pour vous en convaincre.

Mesure d’un angle de vecteurs

Nous n’avons pas les moyens de définir « proprement » les angles de vecteurs. Nous n’en avons qu’une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c’est que q est UNE mesure en radians de l’angle de vecteurs ( , OM)e ₁

. UNE mesure, car elle est définie modulo 2p. Et bien cette mesure sera UN argument du complexe z, qu’on notera arg z. On retiendra :

Théorème : argument

z

arg ≡θ π[2 ] Par exemple, arg 32 ≡ 0[2π], arg32i

2[2 ] π π

≡ .

(13)

Des formes trigonométriques de référence

• 1 = cos 0 + i sin 0 donc 1= 1 et arg (1) ≡ 0[2p]

• i cos

2 i sin 2

π π

= 

 

 + 

 

 donc i= 1 et arg(i)

2 [2 ]

π π

≡  



• 1 i+ = 2 et + =  + π π





= 

 

 + 

 

 

 

1 i 2 2 

2 i 2

2 2 cos

4 i sin 4 donc arg(1 i)

4 [2 ]

π π

+ ≡  



• 3 i+ =2 et 3 i 2 3 i 2

1

2 2 cos

6 i sin 6

π π

+ =  +





= 

 

 + 

 

 

 

 donc arg( 3 i)

6 [2 ]

π π

+ ≡  



Correspondance forme algébrique − forme trigonométrique

Soit z∈ de forme algébrique a + ib et de forme trigonométrique r(cos q + i sin q ) alors z = a + ib = r cos q + ir sin q . Par unicité de la forme algébrique, on obtient que :

Théorème : forme algébrique connaissant la forme trigonométrique

θ θ

= =

a rcos b rsin

D’autre part, ^z ⁼ ^a²⁺^b² ⁼ ^r²^cos²θ⁺^r²^sin²θ ⁼ ^r²

(

^cos²θ⁺^sin²θ

)

⁼ ^r² ^{= =}^r ^r^.

On a donc démontré le théorème suivant :

Théorème : module et forme trigonométrique

= = +

r z a² b²

On déduit que si z est non nul, son module r= a²+b² sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire dans ce cas :

Théorème : forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique d’un complexe non nul

θ = θ

+ =

+ a

a b

b

a b

cos ( ) sin ( )

2 2 2 2

Ainsi, connaissant a et b, on peut obtenir le module et un argument de a + ib. On obtiendra une mesure exacte de q si cos (q ) et sin (q ) sont des valeurs connues comme 1/2, 3 /2, 1, etc.

Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l’aide des touches COS⁻¹ et SIN⁻¹ . On peut aussi utiliser TAN⁻¹ car, cos (q ) étant non nul² :

2. Sinon, on sait qui est q…

(14)

Théorème : argument en fonction de la forme algébrique b

a b

a

a b

b tan ( ) sin ( ) a

cos ( )

2 2

θ θ

= θ = +

+

=

ce qui déterminera une valeur de l’argument modulo π.

0 I

J

q

+q

−cos(q)

π −

sin(q)

tan(q)

cos(q)

Il suffira ensuite de considérer le signe de cos (q ) ou de sin (q ) pour savoir à qui on a affaire.

Opérations sur les formes trigonométriques

Soient z = r (cos q + i sin q ) et z′ = r′ (cos q ′ + i sin q ′), alors

zz′ = ′rr[(cos cosθ θ′ −sin sin ) i(sin cosθ θ′ + θ θ′ +cos sin )]θ θ′ Vous qui connaissez parfaitement vos formules d’addition, vous en déduisez que

θ θ θ θ

′ = ′ + ′ + + ′

zz rr (cos ( ) i sin ( ) ) Ainsi, nous arrivons au résultat capital :

Théorème : argument d’un produit

zz z z

arg( ) arg( ) arg( )[2 ]′ = + ′ π

Cela permet de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d’astuce et de patience : Théorème : propriétés algébriques des arguments

• arg( )zⁿ =narg( ) [2 ]z π

• arg 1z z

arg( ) [2 ]π

 

= −

• ^z

z z z

arg arg( ) arg( ) [2 ]π

′

 

= − ′

• arg( )z = −arg( ) [2 ]z π

• arg( )− = +z π arg( ) [2 ]z π

(15)

En particulier, la formule concernant zⁿ nous permet d’écrire : Théorème : formule de Moivre

n n

(cosθ+i sin )θ ⁿ =cos ( ) i sin ( )θ + θ Nous nous rendons ainsi compte que :

Remarques

– Les formes trigonométriques sont adaptées aux produits de complexes.

– Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.

1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions

Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction en un point ?

Deux problèmes historiques, celui de la vitesse instantanée et celui de la tangente à une courbe, mettent en évidence l’importance fondamentale en mathématiques et en physique de la limite du taux d’accroissement d’une fonction. Il fallait absolument lui donner un nom et rendre la notion rigoureuse. Voici une définition :

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de , et soit a un élément de I.

On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement f x f a x a ( )− ( )

− admet une limite finie quand x tend vers a. Cette limite est alors appelée dérivée de f en a, et est notée f ′(a) :

′ = −

−

f a → f x f a

( ) lim ( )x a( )

x a

ou encore

f a f a h f a

( ) lim ( h) ( )

h 0

′ = + −

→

Ainsi, la vitesse instantanée V(t) n’est autre que x′(t), la dérivée en t de la fonction position x.

Et la pente de la tangente à la courbe d’équation y = f (x) au point d’abscisse a est égale à f ′(a), la dérivée de f en a.

D’où vient la notation y x d d ?

En physique, vous employez plus volontiers la notation y x d

d alors qu’en mathématiques nous privilégions la notation y′(x), pourquoi ?

D’une part, l’une est due à Leibniz, l’autre à Lagrange.

Par ailleurs, la première est liée à la figure suivante :

(16)

x y

0

A

a f (a)

Mh

a + h f (a + h)

y x

La pente de la tangente ressemble à y x

∆

∆ quand ces grandeurs deviennent infiniment petites.

Devenu infiniment petit, le Δ devient d et la pente devient donc dy/dx. C’est une vision intuitive, qui « marche » pour les fonctions de  dans , mais trop restrictive pour le mathémati- cien qui est amené à travailler avec des fonctions vectorielles dans des espaces de dimension quelconque (!). Pour le mathématicien, dy est alors une fonction de  dans l’ensemble des fonctions linéaires de l’ensemble de départ dans l’ensemble d’arrivée, et le dy du physicien sera plutôt dy_x(h), if you see what I mean... Non ? Bon, les deux années de mathématiques qui vous attendent en prépa vous aideront à mieux comprendre ce beau langage.

Comment calculer la dérivée d’une fonction en a ?

Considérons la fonction → +∞

f : x→x[0, [

2

Calculons f ′(a) pour tout réel a. Pour cela, on pose :

p a h a

h

( )

h

2 2

= + −

En développant (a + h)², on a

p a ah h a

h a h

2 2

h

2 2 2

= + + − = +

et on en déduit que la dérivée de f existe pour tout réel a et vaut f a( ) limp 2a

h h

′ = 0 =

→

Incroyable ! On retrouve la formule habituelle.

On peut même s’occuper de la fonction inverse, de la dérivée d’un produit, d’un quotient, d’une composée : je vous laisse vous en occuper à titre d’exercice...

Une fonction continue en a est-elle dérivable en a, et vice versa ?

Les travaux de Newton, Leibniz & Co utilisaient des fonctions qui étaient implicitement continues, mais on peut se demander si une fonction dérivable en a est forcément continue en a, et vice versa.

(17)

Si la fonction n’est pas continue en a, on va avoir du mal à tracer une tangente. Je suppose que vous voulez un contre-exemple... disons, la fonction signe :

→

>=

− <







x

x x x

signe : 1 si 0

0 si 0

1 si 0

Cette fonction n’est pas continue en 0, et le taux d’accroissement

−

− = >

− <





f x f x

x x

( ) (0) 0

1/ si 0

n’a pas de limite, ni à gauche ni à droite de zéro.

Il semblerait donc que si f n’est pas continue en a, alors f n’est pas dérivable en a. Ce qui reviendrait à dire avec un brin de logique³ que la dérivabilité en a entraîne la continuité en a.

Supposons donc que f soit dérivable en a, alors x f x f a ( ) ( )x a( )

τa = −

− admet une limite finie qu’on note f ′(a). Pour démontrer que f est continue en a, il faut démontrer que lim ( )f x f a( )

x a =

→ .

Nous connaissons τ_a( )x , nous cherchons f (x), nous allons donc exprimer f (x) en fonction de τ_a( )x .

On obtient, pour tout x ≠ a

f x( )= f a( ) (+ −x a) ( )τ_a x Or lim ( )x f a( )

x aτa = ′

→ qui est un nombre réel et lim(x a) 0

x a − =

→ , donc lim(x a) ( ) 0x

x a − τ_α =

→ par

produit et finalement, par somme des limites, on a f x f a lim ( ) ( )

x a =

→

Théorème : continuité des fonctions dérivables Toute fonction dérivable en a est continue en a.

Maintenant, que pensez-vous de la réciproque : est-ce que toute fonction continue en a est dérivable en a ? On peut penser que non, sinon il ne servait à rien d’inventer la dérivabilité...

Pour en être sûr, répondons d’abord à la question suivante :

Comment interpréter graphiquement la non-dérivabilité de f en a ?

Comme pour la continuité, la dérivabilité est liée à l’existence d’une limite. Trois cas sont donc à étudier.

3. Il revient au même de dire « A implique B » et « contraire de B implique contraire de A ». C’est le raisonnement par contraposée étudié au chapitre 3.

(18)

Le taux de variation admet une limite à gauche et une limite à droite distinctes

Voici une fonction qui illustre notre propos et qui donne un exemple de fonction continue et non dérivable en un point :

→ f −

x x x

: ( 2)

et observons la configuration en aile de mouette :

x y

0 1

1 y = x(x 2)

Étudions la dérivabilité de f en 0.

Il suffit d’étudier le taux de variation

x f x f

x

x x x

x x

( ) ( ) (0)

0

( 2) 2 si 0

2 si 0

τ0 = −

− = − = − >

− <





Donc lim ( ) 2x

xx 0 0

τ0 =

→>

et lim ( )x 2

xx 0 0

τ0 = −

→<

: le taux de variation n’admet pas de limite en 0, donc f n’est pas dérivable en 0.

De plus, le fait que des limites existent à gauche et à droite nous permet de dire que f admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en 0. Ces dérivées sont les pentes des demi- tangentes en 0.

Le taux de variation admet une limite infinie en a

Cette fois-ci, étudions la fonction bien connue

f

x x

: 1 2;

1 2

 +∞

 

→

− Étudions le taux de variation en 1/2 :

f x f x

x

x x

( ) (1/2) 1/2

1/2 1/2

1

1/2 1/2

τ = −

− = −

− =

− Donc lim ( )x

x 1/2τ1/2 = +∞

→ et là encore la fonction n’est pas dérivable en 1/2.

Ajoutons juste que, dans ce cas, la courbe admet au point d’abscisse 1/2 une tangente verti- cale : la pente tend en effet vers l’infini.

(19)

x y

0 1

1

y = x 1

2

La taux de variation n’admet pas de limite en a

Pour ce cas plus pathologique, nous n’avons pas d’exemple à notre portée : il faudrait trouver une fonction continue en a mais dont le taux de variation n’admette pas de limite en a. Mais ces fonctions existent. Vous montrerez même peut-être un jour que « la plupart » des fonctions continues sur  ne sont dérivables nulle part, mais ceci est une autre histoire...

Qu’est-ce qu’une fonction dérivable sur un intervalle ?

C’est une fonction qui est dérivable en chacun des points de l’intervalle. On peut alors asso- cier à f une fonction dérivée, qu’on note habituellement f ′, et qui à chaque x de l’intervalle associe le nombre dérivé de f en x.

On a les mêmes théorèmes généraux sur les combinaisons de fonctions dérivables que pour les fonctions continues, car c’est encore un problème de limites.

Quel est le signe de la dérivée d’une fonction croissante sur une partie de  ?

Rappelons la définition d’une fonction croissante sur une partie D.

Définition : fonction croissante sur une partie D

Une fonction f définie sur une partie D de ℝ à valeurs dans ℝ est croissante lorsque : pour tout couple x y( , ) D∈ ², x< ⇒y f x( )≤ f y( )

Il est facile de voir que c’est équivalent à :

x y x y f y f x

pour tout couple ( , ) D ,∈ ² ≠ ⇒ ( )y x− ( ) 0

− ≥

ou encore au fait que tous les taux d’accroissement sont positifs ou nuls.

Donc, par un simple passage à la limite, on en déduit que si f est croissante et dérivable, alors f ′ est positive. Et de même, si f est décroissante et dérivable, alors f ′ est négative.

(20)

Une fonction dont la dérivée est négative est-elle décroissante ?

C’est ce qu’on vient de dire ? Pas tout à fait... Nous venons de montrer qu’une fonction croissante sur D a une dérivée positive sur D. Le problème qui nous occupe maintenant est la réciproque.

À première vue, c’est pareil : si par exemple, f est dérivable et f ′ toujours négative, alors les tangentes au graphe de f ont toutes une pente négative. On doit pouvoir en déduire que f est décroissante.

On oublie malgré tout un détail : il va falloir regarder l’ensemble D sur lequel on travaille de plus près. Par exemple, la fonction inverse

f: x→1/x

* a une dérivée −1/x² toujours négative

mais elle n’est pas décroissante sur * puisque f(1) f( 1) 1 ( 1)− − 0

− − > .

Une nouvelle fois, retenez bien qu’il est extrêmement important de savoir sur quel ensemble on travaille : pour une même fonction, une propriété vraie sur un ensemble peut être fausse sur un autre.

Pour le cas qui nous intéresse, il nous est impossible à notre niveau de démontrer que sur un intervalle notre proposition devient vraie. Nous l’admettrons donc mais vous le démontrerez bientôt...

Et comme une fonction est constante si et seulement si elle est à la fois croissante et décrois- sante, on en déduit que f est constante si et seulement si f ′ = 0. On peut donc énoncer ce théorème fondamental.

Théorème : sens de variation et signe de la dérivée

Soient I un INTERVALLE de  et f une fonction dérivable de I vers . Alors : – la fonction f est croissante sur I si, et seulement si, f ′ ≥ 0 sur I ;

– la fonction f est décroissante sur I si, et seulement si, f ′ ≤ 0 sur I ; – la fonction f est constante sur I si, et seulement si, f ′ = 0 sur I.

Comment montrer qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

D’abord, rappelons la définition :

Définition : fonction strictement croissante sur une partie D

Une fonction f définie sur une partie D de ℝ à valeurs dans ℝ est strictement croissante lorsque

pour tout couple x y( , ) D∈ ², x< ⇒y f x( )< f y( )

On comprend bien qu’il SUFFIT que la dérivée soit strictement positive pour que ça marche.

Mais ce n’est pas NÉCESSAIRE. Considérez en effet la fonction cube, qui est strictement croissante sur  et dont la dérivée s’annule pourtant en 0.

On pourrait alors proposer : f positive, ne s’annulant qu’en un nombre fini de points.

C’est encore suffisant mais ce n’est toujours pas nécessaire comme on le voit sur le dessin suivant :

(21)

x

y y = x cos x

3p2

2 5p

2 0

p

Théorème : fonction strictement croissante sur un intervalle

Soient I un intervalle de ℝ et f une fonction dérivable de I vers ℝ. Alors f est strictement croissante équivaut à : f ′ est positive ou nulle et il n’existe pas de segment [a,b] de I avec a < b tel que f ′(x) = 0 pour tout x ∈ [a,b].

En effet, si f est strictement croissante, alors elle est croissante et donc f ′ est positive, et d’autre part f ′ ne peut pas être nulle en tous les points d’un segment [a,b] avec a < b car, sinon, f serait constante sur [a,b].

Réciproquement, supposons les conditions sur f ′ vérifiées et montrons que f est strictement croissante. On se donne deux éléments x et y de I tels que x < y. Alors d’une part f (x) ≤ f (y) car f est croissante puisque f ′≥ 0. Et d’autre part l’égalité f (x) = f (y) entraînerait que f est constante sur [x, y] compte tenu de la croissance de f, ce qui ne serait possible que si f ′ était nulle sur [x, y].

À quoi sert la stricte monotonie d’une fonction ?

Rappelez-vous du théorème de la solution unique, qu’on appelle aussi théorème de la bijection. Pour l’utiliser, il faut être sûr que notre fonction est strictement monotone. Il faut donc pouvoir le vérifier.

Au Bac, il suffisait de vérifier sur notre tableau de variation que la « flèche » ne change pas de direction... mais les choses vont changer l’an prochain.

Au fait...

Qu’est-ce qu’une bijection ?

On appelle bijection une fonction de I sur J telle que tout élément de I admette une image et une seule dans J et que tout élément de J admette un antécédent et un seul dans I. La première partie renvoie à la notion de fonction, la deuxième au théorème de la solution unique.

Quand tout l’ensemble d’arrivée est décrit par les images (quand f (I) = J), on dit que f est surjective.

Quand un élément de l’ensemble d’arrivée n’admet au plus qu’un antécédent dans l’ensemble de départ, on dit que f est injective. On le vérifie en montrant que f (x) = f (y) ⇒ x = y.

Que dire de la dérivée en un extremum local ?

Intuitivement, si une fonction f dérivable sur un intervalle admet sur cet intervalle un minimum en x₀, la fonction va décroître vers f (x₀) puis croître ensuite et donc il semble que f ′(x₀) va être nul.

(22)

Observons quelques cas avec Python (cf. dernier chapitre pour utiliser Python comme super-calculatrice) :

In [1]: X = np.linspace(−1,4) In [2]: Y = (X−2)**2 − 1 In [3]: plt.plot(X,Y)

Cherchons les solutions de l’équation f ′(x) = 2x − 4 = 0. On trouve bien sûr 2 : In [4]: f = lambda x : (x−2)**2 − 1

In [5]: fp = lambda x : sy.diff(f(x), x) In [6]: x = sy.Symbol('x')

In [7]: fp(x) Out[7]: 2*x − 4

In [8]: sy.solve(sy.Eq(fp(x), 0), x) Out[8]: [2]

Cela semble donc coller. Mais observons cet autre cas en modifiant le domaine qui vaut maintenant [3,4] en gardant la même fonction :

In [9]: X = np.linspace(3,4) In[10]: Y = (X−2)**2 − 1 In[11]: plt.plot(X,Y)

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.03.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2

(23)

Le minimum est atteint en 3 car f est strictement croissante sur [3, 4] et pourtant f ′(3) ≠ 0.

Il faut donc distinguer le cas où x₀ est une extrémité de l’intervalle des autres cas.

Supposons donc que x₀ soit un point intérieur à un intervalle I, que f soit dérivable en x₀ et que, par exemple, f admette un minimum local en x₀.

Cela veut dire qu’il existe a> 0 tel que [x₀−a,x₀+a] ⊂ I et

α α

∀ ∈x [x₀− ,x₀+ ] ( )f x ≥ f x( )₀ Le taux d’accroissement f x f x

x x ( ) ( )₀

0

−

− est donc négatif sur [x₀ − a,x₀] et positif sur [x₀,x₀ + a].

Il en est donc de même de ses limites à gauche et à droite en x₀. Or la fonction f étant déri- vable en x₀, ces deux limites sont égales à f ′(x₀) et donc on a f ′(x₀) ≤ 0 et f ′(x₀) ≥ 0. On en déduit que f ′(x₀) = 0.

Théorème : extremum

Soit I un intervalle ; soit x₀ un élément de I qui ne soit pas une extrémité de I. Soit f une fonc- tion définie sur I et dérivable en x₀.

SI f admet un extremum local en x₀, ALORS f ′(x₀) = 0.

Comment dériver une fonction composée ?

Comment dériver la fonction h x: 1+x² définie sur ℝ ?

Considérons une fonction g dérivable en x₀ et une fonction f dérivable en g(x₀), qu’on notera g(x₀) = y₀. Introduisons maintenant la fonction j définie par :

u f u f y

u y u y

y f y

( ) ( ) ( )

si

( ) ( )

0

0 0

ϕ ϕ

= −

− ≠

= ′







et étudions la continuité de j en y₀. Comme f est dérivable en y₀, alors f u f y

u y f y

lim ( ) ( ) ( )

u y

0

0 0

0

−

− = ′

→

ce qui assure que lim ( )u ( )y

u y 0

0ϕ =ϕ

→ et donc la continuité de ϕ en y₀. L’avantage de cette fonction est que, pour tout x ≠ x₀ :

f g x f g x

x x g x g x g x

x x [ ( )] [ ( )]

( ( )) ( ) ( )

0 0

− ϕ

− = × −

− On peut prendre la limite du membre de droite en x₀ car :

• _j est continue en g x( ) : lim ( ( ))g x ( ( ))g x f g x( ( ))

x x

0 0 0

0

ϕ =ϕ = ′

→

• et g est dérivable en x g x g x

x x g x

: lim ( ) ( )

x x ( )

0 0

0

−

− = ′

→ .

On obtient donc le résultat suivant : Théorème : dérivée d’une composée

Si g est dérivable en x₀ et f dérivable en g(x₀) alors la fonction composée f ° g est dérivable en x₀ et :

f g x f g x g x

( ) ( )′ ₀ = ′( ( ))₀ × ′( )₀

(24)

Appliquons cette formule à notre exemple.

Ici, h est dérivable sur ℝ car 1 + x² est strictement positif sur ℝ. Avec f X( )= X et g(x) = 1 + x², on obtient f X

( ) 1X

′ = 2 et g x′( ) 2 ,= x donc h x( ) 1 x x

2 1 2

′ = 2

+ ×

En fait, on dérive comme si g(x) était une variable et on multiplie par la dérivée de « l’inté- rieur ».

Est-ce que vous pouvez me rappeler les dérivées usuelles ?

Mais bien sûr :

f (x) = f ′(x) =

u + υ u′ + υ′

lu, l ∈ ℝ lu′

uυ u′υ + uυ′

υ

u υ υ

υ

′ − ′

u u

2

uυ υ′ × u′ ° υ

e^u u′e^u

sin u u′ cos u

cos u –u′ sin u

tan u u′(1 + tan² u) = u

u cos²

′

ln |u| u

u

′

u^k, k ∈ℚ ku^k–1u′

Peut-on étudier les variations d’une fonction sans calculer sa dérivée ?

Oui grâce au théorème précédent.

En effet, si f et g sont dérivables là où il faut, (f ° g)′ sera du signe du produit des dérivées de f et g. Donc :

(25)

Théorème : sens de variation d’une composée Si g est dérivable sur I et f dérivable sur g(I), alors : – La composée de deux fonctions croissantes est croissante.

– La composée de deux fonctions décroissantes est croissante.

– la composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante.

C’est comme la règle des signes puisque ça en découle ! Par exemple, pour la fonction

f

x x

:

,

1 1 ²

→

+ +

La fonction xx² est décroissante sur ℝ⁻ et croissante sur ℝ⁺. Donc comme la fonction t 1+t est croissante, f est décroissante sur ℝ⁻ et croissante sur ℝ⁺. On a juste utilisé le fait que la composée de deux fonctions croissantes est croissante et que la composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante.

1.5 Exercices

Calculs trigonométriques

Test 1.1 ( - ❤ )

1. Démontrer que, pour tout réel x

x x x

cos sin 1 1

2sin (2 )

4 + 4 = − 2

2. Démontrer que, pour tout réel x

x x x x

cos⁴ +cos (⁴ +π/4) cos (+ ⁴ +2 /4) cos (π + ⁴ +3 /4) 3/2π =

Test 1.2 ( - ❤❤ )

Déterminer une expression algébrique de a = cos π/8 et b = cos 5π/24.

Test 1.3 ( - ❤❤ )

Résoudre dans ℝ : 1. sin x 5 x

2sin 1 0

4 − 2 + =

2. sinx+ 3 cosx= 2

Test 1.4 ( - ❤❤ )

L’équation de la trajectoire d’un projectile lancé avec une vitesse initiale υ0 suivant une direction faisant un angle α avec l’horizontale est donnée par

y g

x x x X

2 (1 tan ) (tan ) , [0, ( )]

02 2 2

υ α α α

= − + + ∈