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neurones artificiels
Yohann Bénédic
To cite this version:
Yohann Bénédic. Approche analytique pour l’optimisation de réseaux de neurones artificiels. Sciences de l’ingénieur [physics]. Université de Haute Alsace - Mulhouse, 2007. Français. �tel-00605216�
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APPROCHE ANALYTIQUE
POUR L’OPTIMISATION DE RÉSEAUX
DE NEURONES ARTIFICIELS
THÈSE
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ÉNÉDIC
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Introduction générale
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Première partie
Les réseaux
Sommaire de la partie
✷ ◆❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ❡t rés❡❛✉① ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷✳✶ ▲❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❞❡ ▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t P✐tts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✷✳✶✳✶ ❯♥ ♣❡✉ ❞❡ ❜✐♦❧♦❣✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✷✳✶✳✷ ▲❡s ♥❡✉r♦♥❡s ❢♦r♠❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷ ▲✬❛❞❛❧✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✷✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷✳✷ ▲❛ rè❣❧❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞❡❧t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷✳✸ ▲❡s ♠❛❞❛❧✐♥❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✸ ▲❡ ♣❡r❝❡♣tr♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✸✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✸✳✷ ▲❡ ♣❡r❝❡♣tr♦♥ ♠✉❧t✐❝♦✉❝❤❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✸ ❆✉tr❡s rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✸✳✶ ▲❡s ♠é♠♦✐r❡s ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸✳✶✳✶ ■♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ♠é♠♦✐r❡ ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ❛✈❡❝ ✉♥ ♣❡r❝❡♣tr♦♥ ♠♦♥♦❝♦✉❝❤❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸✳✶✳✷ ▲✐♠✐t❛t✐♦♥s ❞✉ ♣❡r❝❡♣tr♦♥ ♠♦♥♦❝♦✉❝❤❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✸✳✷ ▲❡s ❝❧❛ss✐✜❡✉rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✸✳✸ ❇✐❧❛♥ s✉r ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞❡ rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✹ ▲❡s rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✹✳✶ ❆r❝❤✐t❡❝t✉r❡ ❞✬✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✹✳✶✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ❞✬✉♥ ♥❡✉r♦♥❡ ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✹✳✶✳✷ ▼✐s❡ ❡♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✹✳✷ ❙t❛❜✐❧✐té ❞✬✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✹✳✷✳✶ ❘♦✉t❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s ❞✬✉♥ ♥❡✉r♦♥❡ ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✹✳✷✳✷ P♦✐♥ts ❞✬éq✉✐❧✐❜r❡ ❞✬✉♥ ♥❡✉r♦♥❡ ❝❡❧❧✉❧❛✐r❡ ❡t ❞✬✉♥ ❝♥♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✼✹✳✸ Pr♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❞❡s ❝♥♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✹✳✸✳✶ ▲❡ ♠♦❞❡ ❛♥❛❧♦❣✐q✉❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✹✳✸✳✷ ▲❡ ♠♦❞❡ ❜✐st❛❜❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✹✳✹ ❆✈❛♥t❛❣❡ ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❛♥❛❧②t✐q✉❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✺ ❇✐❧❛♥ s✉r ❧❡s rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ ✽
2
Neurones artificiels
et réseaux
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✐❞é❡ ❞❡ ❝♦♥❝❡✈♦✐r ❞❡s rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐❢✐❝✐❡❧s ❢✉t très ❧❛r❣❡✲ ♠❡♥t ✐♥s♣✐ré❡ ❞❡s ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡s ♥❡✉r♦❧♦❣✐q✉❡s ❞❡s ❛♥♥é❡s ❝✐♥q✉❛♥t❡✳ ▲✬♦❜❥❡❝✲ t✐❢ ét❛✐t ❛❧♦rs ❞❡ r❡♣r♦❞✉✐r❡ ❛rt✐✜❝✐❡❧❧❡♠❡♥t ❧❡s ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥ts ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥ts ♦❜s❡r✈és ❝❤❡③ ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧❧❡ ❡s♣è❝❡ ❛♥✐♠❛❧❡✳ ❈✬❡st ❲✳ ▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t ❲✳ P✐tts q✉✐ ❞♦♥♥èr❡♥t ♥❛✐ss❛♥❝❡ ❛✉ ♣r❡♠✐❡r ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❛rt✐✜❝✐❡❧ ❬▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t P✐tts✱ ✶✾✹✸❪✳ ■❧ s✬❛❣✐ss❛✐t ❛❧♦rs ❞✬✉♥❡ ♣❡t✐t❡ ré✈♦❧✉t✐♦♥ q✉✐ ❢✉t à ❧✬♦r✐❣✐♥❡ ❞❡ ♥♦♠✲ ❜r❡✉① tr❛✈❛✉①✱ ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❝❡✉① ❞❡ ❇✳ ❲✐❞r♦✇ ❬❲✐❞r♦✇ ❡t ❲❛❧❛❝❤✱ ✶✾✾✻❪ ❡t ❋✳ ❘♦s❡♥❜❧❛tt ❬❘♦s❡♥❜❧❛tt✱ ✶✾✻✷❪✳ ➚ ❧✬é♣♦q✉❡✱ ✐❧ ② ❛✈❛✐t ✉♥❡ ❝❡rt❛✐♥❡ r✐✈❛❧✐té ❡♥tr❡ ❧❡s ❞❡✉① ❤♦♠♠❡s q✉❛♥t à q✉✐ ♠❡ttr❛✐t ❛✉ ♣♦✐♥t ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❧❡ ♣❧✉s ♣❡r❢♦r♠❛♥t✳ ❇✳ ❲✐❞r♦✇ ❛✈❛✐t ❝❤♦✐s✐ ❞❡ s✬❛tt❛q✉❡r ❛✉ ♣r♦✲ ❜❧è♠❡ ♣❛r ❧❛ ✈♦✐❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ❋✳ ❘♦s❡♥❜❧❛tt ❝❤❡r❝❤❛✐t ❛✈❛♥t t♦✉t à r❡♣r♦❞✉✐r❡ ❧❡s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡s ❧❡ ♠✐❡✉① ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❈✬❡st ❞❡ ❝❡tt❡ ❢❛ç♦♥ q✉❡ ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❛❜♦✉t✐t ❛✉ ♠♦❞è❧❡ ❛❞❛❧✐♥❡✱ q✉✐ r❡♥❝♦♥tr❛ ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ s✉❝❝ès ❣râ❝❡ ❛✉ ❝❛❞r❡ r✐❣♦✉r❡✉① ❡♥t♦✉r❛♥t s❛ ♠✐s❡ ❛✉ ♣♦✐♥t✱ ❡t q✉✐ ❣❛❣❡❛✐t s♦♥ ❜♦♥ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t✳ ▲❡ s❡❝♦♥❞ ❝♦♥ç✉t ❧❡ ♣❡r❝❡♣tr♦♥✱ ♠❛✐s s♦♥ ♠❛♥✐❡♠❡♥t ❜❛sé s✉r ❞❡s ♣♦st✉❧❛ts ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡s ét❛✐t ✉♥ ♣❡✉ ❞é❝♦♥❝❡rt❛♥t ♣♦✉r ❧✬é♣♦q✉❡✳ ❆❞❛❧✐♥❡ ❡t ♣❡r❝❡♣tr♦♥ s❡ ❝♦♥✜❣✉r❛✐❡♥t ✾❣râ❝❡ à ✉♥ ♠é❝❛♥✐s♠❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡✶✱ ❝❡ q✉✐ ❝♦♥st✐t✉❛✐t ✉♥❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ♥♦t❛❜❧❡ ✿ ✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ♥✬ét❛✐t ♣❧✉s ♣r♦❣r❛♠♠é❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞✬✐♥str✉❝t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✱ ♠❛✐s à ❧✬❛✐❞❡ ❞✬❡①❡♠♣❧❡s ❞✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❧❛ ❞é❝r✐✈❛♥t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❛✉ss✐ ❝♦♠♣❧èt❡ q✉❡ ♣♦s✲ s✐❜❧❡ ❬❲✐❞r♦✇ ❡t ▲❡❤r✱ ✶✾✾✵❪✳ ❈❡tt❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ s✬❛♣♣❡❧❧❡ ✉♥ ❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ s✉♣❡r✈✐sé✳ ❉❡ ❢❛ç♦♥ r❡❧❛t✐✈❡♠❡♥t s✉r♣r❡♥❛♥t❡✱ ❝❡s ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ❢✉r❡♥t ét✉❞✐és ✐♥❞✐✈✐❞✉❡❧❧❡✲ ♠❡♥t ♣❡♥❞❛♥t q✉❡❧q✉❡s ❛♥♥é❡s ❡t ❧❡✉r ✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❛✉ s❡✐♥ ❞✬✉♥ rés❡❛✉ ♥✬❛ été ❡♥✈✐s❛❣é❡ q✉❡ ♣❧✉s t❛r❞✳ ❈✬❡st ❛❧♦rs q✉❡ ❧❡ ♣❡r❝❡♣tr♦♥ ♣r✐t ❧✬❛✈❛♥t❛❣❡ s✉r s♦♥ ❝♦♥❝✉rr❡♥t✱ ré✲ ❝♦♠♣❡♥s❛♥t ❛✐♥s✐ ❧✬❛✉❞❛❝❡ ❞♦♥t ♦♥t ❞û ❢❛✐r❡ ♣r❡✉✈❡ s❡s ♣❛rt✐s❛♥s ♣♦✉r ✐♠♣♦s❡r ✉♥❡ ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞♦♥t ♦♥ ♥❡ s❛✈❛✐t ✜♥❛❧❡♠❡♥t ♣❛s ❣r❛♥❞ ❝❤♦s❡ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡✲ ♠❡♥t✳ ▲✬❤✐st♦✐r❡ ❞❡ ❝❡s ❞❡✉① ♠♦❞è❧❡s ✐❧❧✉str❡ ♣❛r❢❛✐t❡♠❡♥t ❧✬♦♣♣♦s✐t✐♦♥ ❡♥tr❡ ❧❡ ❝♦✉r❛♥t ❛♣✲ ♣❧✐❝❛t✐❢ ❡t ❧❡ ❝♦✉r❛♥t ♥❡✉r♦♠✐♠ét✐q✉❡✱ t❡❧❧❡ q✉✬❡❧❧❡ ❛ été ❡sq✉✐ssé❡ ❞❛♥s ❧✬✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❣é♥ér❛❧❡✳ ▲❡ ♣r❡♠✐❡r ❛ ❝♦♥❞✉✐t à ❧✬❛❞❛❧✐♥❡✱ ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ❞♦♥t ❧❡ ❜♦♥ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❡st r✐❣♦✉r❡✉s❡♠❡♥t ❣❛r❛♥t✐✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ❧❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ❛ ♠❡♥é ❛✉ ♣❡r❝❡♣tr♦♥✱ ❞♦♥t ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❡st ❝❡rt❡s ♣❧✉s ❛❧é❛t♦✐r❡✱ ♠❛✐s ❞♦♥t ❧❡s ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s ❞✬é✈♦❧✉t✐♦♥ s❡ s♦♥t ré✈é❧é❡s ❜✐❡♥ ♠❡✐❧❧❡✉r❡s✳ ▲✬♦❜❥❡t ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ❡st ❞❡ ♣rés❡♥t❡r ❞❡ ❢❛ç♦♥ ✉♥ ♣❡✉ ♣❧✉s ♣ré❝✐s❡ ❝❡s ❞❡✉① ♠♦❞è❧❡s q✉✐✱ ❛✉❥♦✉r❞✬❤✉✐ ❡♥❝♦r❡✱ s♦♥t à ❧❛ ❜❛s❡ ❞❡ ♣r❛t✐q✉❡♠❡♥t t♦✉t❡s ❧❡s r❡❝❤❡r❝❤❡s ❞✉ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡s rés❡❛✉① ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s✳
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❋✐❣✉r❡ ✷✳✷ ❙❝❤é♠❛ ❞✬✉♥ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧✳
entr´ees sortie
poids synaptique fonction d’agr´egation fonction d’activation A Φ ❛ ✉♥❡ ❛❝t✐♦♥ ♣❛r❛♠étr✐q✉❡ s✉r n ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞✬❡♥tré❡ e1✱ e2✱ ✳ ✳ ✳ ✱ en✱ ❞♦♥t ❧❡s ✈❛❧❡✉rs s②♠❜♦❧✐s❡♥t ❧✬❛❝t✐✈✐té r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❞✬❛✉t❛♥t ❞❡ ❞❡♥❞r✐t❡s✳ ▲❡ rés✉❧t❛t x ❞❡ ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡st ♣❛ssé à ❧❛ s❡❝♦♥❞❡✱ q✉✐ é✈❛❧✉❡ ❧❡ t❛✉① ❞✬❛❝t✐✈✐té q✉✐ ❞♦✐t êtr❡ ❡♥✈♦②é s✉r ❧✬❛①♦♥❡ ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝♦♥t❡①t❡✱ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♠♣♦sé❡ Φ ◦ A ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧✱ ♦✉ ❡♥❝♦r❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❛rt✐✜❝✐❡❧ ❀ t❡r♠❡ q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞é❥à ❡♠♣❧♦②é✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶ ✭♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧✮✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞❡ ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ❢♦♥❝t✐♦♥s A ❡t Φ ❞é✜♥✐❡s s✉r ❞❡✉① ❛❧❣è❜r❡s q✉❡❧✲ ❝♦♥q✉❡s ❊1 ❡t ❊2 ✿ A:❊n 1 −→❊2, Φ:❊2 −→❊1. ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ A ❝❛❧❝✉❧❡ ❧✬ét❛t ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ à ♣❛rt✐r ❞❡ s❡s n ❡♥tré❡s ❞♦♥t ❧❡s ✐♥✢✉❡♥❝❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s s♦♥t ♠♦❞❡❧é❡s ♣❛r n ♣❛r❛♠ètr❡s ❛♣♣❡❧és ✓ ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ✔ ❡♥ ré❢ér❡♥❝❡ ❛✉① s②♥❛♣s❡s ❞♦♥t ✐❧s s②♠❜♦❧✐s❡♥t ❧❡ rô❧❡✳ ▲❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ ❞❡ ▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t P✐tts ▲❡ t♦✉t ♣r❡♠✐❡r ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ ❛ été ✐♠❛❣✐♥é à ♣❛rt✐r ❞❡ ❝♦♥s✐❞ér❛t✐♦♥s ♥❡✉r♦♣❤②s✐♦❧♦❣✐q✉❡s ❡t ❛♥❛t♦♠✐q✉❡s ♣❛r ❲✳ ▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t ❲✳ P✐tts ❡♥ ✶✾✹✸ ❬▼❝ ❈✉❧❧♦❝❤ ❡t P✐tts✱ ✶✾✹✸❪✳ ❇✐❡♥ q✉❡ très s✐♠♣❧✐st❡✱ ❧❡✉r ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ r❡st❡ ❡♥❝♦r❡ ❛✉❥♦✉r❞✬❤✉✐ à ❧❛ ❜❛s❡ ❞❡ ♥♦♠❜r❡✉① tr❛✈❛✉①✱ ❞♦♥t ❝❡✉① ❡①♣♦sés ❞❛♥s ❝❡ ♠❛♥✉s❝r✐t✳ ❉❛♥s ❧❡✉r ♠♦❞è❧❡ ✭q✉❡ ♥♦✉s ♥♦♠♠❡r♦♥s ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡ ♥❡✉r♦♥❡ ✓ ♠♣ ✔✮✱ A ❡st ✉♥❡ s♦♠♠❡ ♣♦♥❞éré❡ ♣r❡♥❛♥t ❝❤❛❝✉♥ ❞❡ s❡s ❛r❣✉♠❡♥ts ❞❛♥s ❊1 = { 0 ; 1}❡t ❛ ✈❛❧❡✉r ❞❛♥s ❊2=❘✳ ▲❡s n ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ❞✉ ✈❡❝t❡✉r w = w1 w2 . . . wn ⊤ s♦♥t t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡ ♣♦♥❞ér❛t✐♦♥ ❛♣♣❧✐q✉és ❛✉① ❡♥tré❡s ❀ ♥♦✉s ✈❡rr♦♥s q✉❡ ❝✬❡st ❞✬❛✐❧❧❡✉rs ❧❡ ❝❛s ❞❛♥s ❧❛ ♠❛❥♦r✐té ❞❡s ❛✉tr❡s ♠♦❞è❧❡s✳ P❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ Φ ❡st ❧♦❣✐q✉❡♠❡♥t ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❘ ❞❛♥s { 0 ; 1}✱ q✉✐ ✈❛✉t 1 s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❣ré❣❛t✐♦♥ ❞é♣❛ss❡ ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r s❡✉✐❧ ✜①é❡ ♣❛r ✉♥ ❞❡r♥✐❡r ♣❛r❛♠ètr❡ w0✳ ✶✷
❆✐♥s✐✱ ❧❡ s✐❣♥❡ ❛✛❡❝té à ✉♥ ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❡r ❧❡s s②♥❛♣s❡s ❡①✲ ❝✐t❛tr✐❝❡s ✭❝❛s ♣♦s✐t✐❢✮ ❡t ❧❡s s②♥❛♣s❡s ✐♥❤✐❜✐tr✐❝❡s ✭❝❛s ♥é❣❛t✐❢✮✳ P❛r ❤②♣♦t❤ès❡✷✱ ❧❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ❡①❝✐t❛t❡✉rs s♦♥t t♦✉s é❣❛✉① à we✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ❧❡s ✐♥❤✐❜✐t❡✉rs s♦♥t é❣❛✉① à wi✳ ▲❡s s②♥❛♣s❡s ♠♦❞✉❧❛tr✐❝❡s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ♠♦❞é❧✐sé❡s✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ Φ ◦ A ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ ♠♣ ❡st ❞♦♥❝ ✿ Φ ◦ A: { 0 ; 1}n−→ { 0 ; 1} e= e1 e2 · · · en⊤7−→ H (w0+ (w1e1+ w2e2+ · · · + wnen)) = H (w0+ w⊤e) . ✭✷✳✶✮ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ H ✉t✐❧✐sé❡ ❞❛♥s ❝❡tt❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❡st ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ é❝❤❡❧♦♥ ✭✈♦✐r ✜❣✉r❡ ✷✳✸❛✮✳ ▲❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡s à ❝❡ t②♣❡ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s s♦♥t ❡♠♣✐r✐q✉❡s ❡t ❝♦♥s✐st❡♥t ♣♦✉r ❧❛ ♣❧✉♣❛rt à ❝❤♦✐s✐r ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡ ♣♦♥❞ér❛t✐♦♥ s✉✐t❡ à ✉♥❡ ❛♥❛❧②s❡ ✜♥❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ à rés♦✉❞r❡✳ ❈✬❡st ❡①❛❝t❡♠❡♥t s✉r ❝❡ ♣r✐♥❝✐♣❡ q✉✬❡st ❜❛sé❡ ❧✬❛♣♣r♦❝❤❡ q✉✐ s❡r❛ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ❞❛♥s ❧❡s ♣❛rt✐❡s ✐✐ ❡t ✐✐✐✳ ▲❡s ❛✉tr❡s ♥❡✉r♦♥❡s ❢♦r♠❡❧s ❉❡♣✉✐s✱ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞✬❛✉tr❡s ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❢♦r♠❡❧s ♦♥t ❢❛✐t ❧❡✉r ❛♣♣❛r✐t✐♦♥✳ ▲❛ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ❞❡rr✐èr❡ ❧❡✉r ✐♥✈❡♥t✐♦♥ ♥✬ét❛✐t ❞✬❛✐❧❧❡✉rs ♣❛s t♦✉❥♦✉rs ❞❡ ♠✐❡✉① ❝♦❧❧❡r à ❧❛ ré❛❧✐té ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡✱ ♠❛✐s ♣❧✉tôt ❞❡ ❧❡s r❡♥❞r❡ ♠♦✐♥s ❢❛st✐❞✐❡✉① à ♣r♦❣r❛♠♠❡r✳ ❈❡s ❛✉tr❡s ♠♦❞è❧❡s ❢♦♥t ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❛♣♣❡❧ à ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ❡t✴♦✉ ❞✬❛❣ré❣❛t✐♦♥ ❞✐✛ér❡♥t❡s ❞❡ ❝❡❧❧❡s ✉t✐❧✐sé❡s ♣♦✉r ❧❡ ♥❡✉r♦♥❡ ♠♣✳ ❖♥ tr♦✉✈❡ ♥♦t❛♠♠❡♥t ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡s✱ ❞♦♥t ❧❡s ♣r♦✜❧s s♦♥t ❞♦♥♥és ❞❛♥s ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✸ ✿ ✕ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ s✐❣♠♦ï❞❡ S(x) = (1 + e−x)−1❀ ✕ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ t❛♥❣❡❛♥t❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡ tanh(x) = (ex− e−x)/(ex+ e−x)❀ ✕ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❣❛✉ss✐❡♥♥❡ G(x) = e−x2 ✳ ❈♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t à ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ é❝❤❡❧♦♥✱ ❡❧❧❡s ♦♥t ❧✬❛✈❛♥t❛❣❡ ❞✬êtr❡ ✐♥✜♥✐♠❡♥t ❞ér✐✈❛❜❧❡s✱ ❝❡ q✉✐ ❡st ✉♥❡ ♣r♦♣r✐été ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ♥♦♥ ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ❡♥ ❛♥❛❧②s❡✱ ❡t q✉✐ ❡①♣❧✐q✉❡ ❞♦♥❝ q✉❡ ❝❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s♦✐❡♥t s♦✉✈❡♥t ♣ré❢éré❡s à ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ é❝❤❡❧♦♥✳ ❉✉ ❝ôté ❞❡s ❢♦♥❝✲ t✐♦♥s ❞✬❛❣ré❣❛t✐♦♥✱ ❧❡s ♣❧✉s ❝♦♥♥✉❡s s♦♥t ❝❡❧❧❡s ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ à ❜❛s❡ r❛❞✐❛❧❡✱ ❞♦♥t ❧✬ét❛t x ❡st ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❡♥tr❡ ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✬❡♥tré❡ e = e1 e2 . . . en ⊤ ❡t ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ ré❢ér❡♥❝❡ ❞é✜♥✐ ♣❛r ❧❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s w = w1 w2 . . . wn⊤✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ✓ s✐❣♠❛✲♣✐ ✔ q✉✐✱ ❝♦♠♠❡ s♦♥ ♥♦♠ ❧✬✐♥❞✐q✉❡✱ ✉t✐❧✐s❡ ✉♥❡ s♦♠♠❡ ♣♦♥❞éré❡ ✭Σ✮ ❞❡ ♣r♦❞✉✐ts ✭Π✮ ❞❡ s❡s ❡♥tré❡s✳ ❋♦r♠❡❧❧❡♠❡♥t✱ ❧❡ ♥❡✉r♦♥❡ à ❜❛s❡ r❛❞✐❛❧❡ ❡st ❞é✜♥✐ ❞❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ Φ ◦ A:❘n−→❘ e7−→ G ke − wk. ✭✷✳✷✮ ✷■❧ s✬❛❣✐t ❞✬✉♥❡ ❤②♣♦t❤ès❡ ♣✉r❡♠❡♥t s✐♠♣❧✐✜❝❛tr✐❝❡ q✉✐ ♣❡r♠❡t ❞❡ r❛♠❡♥❡r ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s à tr♦✐s ✿ w0✱ we❡t wi✳ ✶✸
❋✐❣✉r❡ ✷✳✸ ▲❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ✉t✐❧✐sé❡s ♣❛r ❧❡s ♥❡✉r♦♥❡s ❢♦r♠❡❧s✳ 1 x H(x) 0 0 ✭❛✮ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❍❡❛✈✐s✐❞❡✳ 1 0 x S(x) 0 0 ✭❜✮ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ s✐❣♠♦ï❞❡✳ 1 −1 x tanh(x) 0 0 ✭❝✮ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ t❛♥❣❡❛♥t❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡✳ 1 x G(x) 0 0 ✭❞✮ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❣❛✉ss✐❡♥♥❡✳ ▲✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ❣❛✉ss✐❡♥♥❡ ❡st ♣❡rt✐♥❡♥t❡ ❡♥ ❝❡ q✉✬❡❧❧❡ ♣❡r♠❡t à ❧❛ s♦rt✐❡ ❞✬êtr❡ ❞✬❛✉t❛♥t ♣❧✉s ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té q✉❡ e ❡st ♣r♦❝❤❡ ❞❡ w✳ ▲❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ s✐❣♠❛✲♣✐ ♥✬✐♠♣♦s❡ ♣❛s ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡✳ P❛r ❝♦♥tr❡✱ ✐❧ ♥é❝❡ss✐t❡ ❞❡ ❞é✜♥✐r ❧❡s n ♣r♦❞✉✐ts ❞✬❡♥tré❡s q✉✐ s♦♥t ❛ss♦❝✐és ❛✉① n ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s✱ ❝❡ q✉✐ ❛✉❣♠❡♥t❡ ❞✬❛✉t❛♥t ❧❡s ❞❡❣rés ❞❡ ❧✐❜❡rtés q✉❛♥t à ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛✲ t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ t②♣❡ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s✳ ❙❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❣ré❣❛t✐♦♥ ❡st ❞♦♥❝ ❞é✜♥✐❡ à ♣❛rt✐r ❞❡ n ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞✬✐♥❞✐❝❡s Ji ré✉♥✐ss❛♥t ❧❡s ❡♥tré❡s ❞♦♥t ❧❡ ♣r♦❞✉✐t ❡st ♣♦♥❞éré ♣❛r wi ✿ Φ ◦ A:❘n−→❘ e1, e2, . . . , en7−→ Φ (Σi=1n (wiΠj∈Jiej)) . ✭✷✳✸✮
✷✳✷ ▲✬❛❞❛❧✐♥❡
▲✬❛❞❛♣t✐✈❡ ❧✐♥❡❛r ♥❡✉r♦♥ ✭❛❞❛❧✐♥❡✮ ❡st ♥é ❞❛♥s ✉♥ ❧❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ❙t❛♥❢♦r❞ ❡♥ ✶✾✻✵ à ♣❛rt✐r ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ♠♣ ❬❲✐❞r♦✇ ❡t ❍♦❢❢ ❏r✱ ✶✾✻✵❪✳ ■❧ ❛ été ❝♦♥ç✉ ♣❛r ❇✳ ❲✐❞r♦✇ ❡t ❚✳ ❍♦❢❢ ❛✈❡❝ ❧✬♦❜❥❡❝t✐❢ ❞✬êtr❡ s✐♠♣❧❡ à ♣r♦❣r❛♠♠❡r ❡t ❞♦♥❝ à ❡①♣❧♦✐t❡r ❞❛♥s ✉♥ ❝♦♥t❡①t❡ ✐♥❞✉str✐❡❧✸✳ ➚ ❝❡tt❡ ✜♥✱ ✐❧s ♦♥t ❛ss♦✉♣❧✐ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❞✉ ♥❡✉r♦♥❡ ♠♣✱ ❡t ❧✉✐ ♦♥t s✉rt♦✉t ❛❞❥♦✐♥t ✉♥❡ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❛✉① ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡s ♣r♦✉✈é❡s✳ ✸■❧ ❡♥ s♦rt✐r❛ ✉♥ ❞❡s ❡①❡♠♣❧❡s ❞✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧❡s ♣❧✉s ✐♠♣r❡ss✐♦♥♥❛♥ts à ❝❡ ❥♦✉r ✿ ❧❡ ♣✐❧♦t❛❣❡ ❡♥ ♠❛r❝❤❡ ❛rr✐èr❡ ❞✬✉♥ ❝❛♠✐♦♥✲r❡♠♦rq✉❡ té❧é❝♦♠♠❛♥❞é ❬◆❣✉②❡♥ ❡t ❲✐❞r♦✇✱ ✶✾✾✵❪ ❞❡♣✉✐s ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧❧❡ ♣♦✲ s✐t✐♦♥ ❥✉sq✉✬à ✉♥ ❞♦❝❦ ❞❡ ❞é❝❤❛r❣❡♠❡♥t✳ ✶✹✷✳✷✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ❯♥ ❛❞❛❧✐♥❡ s❡ ❝❛r❛❝tér✐s❡ ♣❛r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❣ré❣❛t✐♦♥ q✉✐✱ ❝♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t ❛✉ ♥❡✉✲ r♦♥❡ ♠♣✱ ❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ❞❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts✱ ❡t q✉✐ ❛ r❡❝♦✉r à ✉♥❡ ❡♥tré❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡ e0 ❜❧♦q✉é❡ à 1 ♣♦✉r ✐♥❝❧✉r❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✉ ré❣❧❛❣❡ ❞✉ s❡✉✐❧ à ❝❡❧✉✐ ❞❡ ❧❛ ❞ét❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❞❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ❡st ❤✐st♦r✐✲ q✉❡♠❡♥t ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ é❝❤❡❧♦♥✳ ❈❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❢♦r♠❡❧ s✬é❝r✐t ✿ Φ ◦ A: { 0 ; 1}n+1−→ { 0 ; 1} e0 = 1, e = e1 e2 . . . en⊤7−→ H (w0e0+ w1e1+ · · · + wnen) = H (w0+ w⊤e) . ✭✷✳✹✮ ❖✉tr❡ ❝❡s ❛♠é♥❛❣❡♠❡♥ts✱ s❡s ❝♦♥❝❡♣t❡✉rs ♦♥t ❛✉ss✐ ♠✐s ❛✉ ♣♦✐♥t ✉♥❡ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ❛♣♣❡❧é❡ ❧❛ rè❣❧❡ ✓ ❞❡❧t❛ ✔ q✉✐ ♣❡r♠❡t ❞✬♦❜t❡♥✐r ❧❡s n + 1 ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s à ♣❛rt✐r ❞✬❡①❡♠♣❧❡s ❞❡ ❧❛ tâ❝❤❡ q✉❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ ❞♦✐t ré❛❧✐s❡r✳ ▲❡ ♣r✐♥❝✐♣❡ ❡st ❞✬❛❥✉st❡r ♣❡t✐t à ♣❡t✐t ❧❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧✬❡rr❡✉r q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ♦❜s❡r✈é❡ ❡♥tr❡ ❧❡s s♦rt✐❡s ❛tt❡♥❞✉❡s ✭❝❡❧❧❡s ❞❡s ❡①❡♠♣❧❡s✮ ❡t ❝❡❧❧❡s ré❡❧❧❡♠❡♥t ♦❜t❡♥✉❡s s♦✐t ❞✐♠✐♥✉é❡ ❬❲✐❞r♦✇ ❡t ❍♦❢❢ ❏r✱ ✶✾✻✵❪✳ ▲❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s ❞✬✉♥ ❛❞❛❧✐♥❡ s♦♥t ✐❧❧✉stré❡s ♣❛r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✹❛✳ ✷✳✷✳✷ ▲❛ rè❣❧❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞❡❧t❛ ❇✐❡♥ q✉❡ ❝❡ ♥❡ s♦✐t ♣❛s ❧✬♦❜❥❡t ❞❡ ❝❡ ♠❛♥✉s❝r✐t✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞ét❛✐❧❧❡r ❝❡tt❡ rè❣❧❡ ❛✜♥ ❞❡ ❢❛✐r❡ r❡ss♦rt✐r ❧❛ ❧♦❣✐q✉❡ ❛♥❛❧②t✐q✉❡ q✉✐ ❡♥ ❡st à ❧✬♦r✐❣✐♥❡✳ ▲❡s ❡①❡♠♣❧❡s ❞❡ ❧✬♦♣é✲ r❛t✐♦♥ à ♣r♦❣r❛♠♠❡r s♦♥t ❢♦✉r♥✐s s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞❡ m ❝♦✉♣❧❡s e(j) s(j)|m j=1✱ ♦ù s(j) ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧❛ s♦rt✐❡ ❛tt❡♥❞✉❡ ❞❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ ❧♦rsq✉✬♦♥ ❧✉✐ ❞♦♥♥❡ ❧❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ❞❡ e(j) ❡♥ ❡♥tré❡s✳ ▲❡ ♠é❝❛♥✐s♠❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞♦✐t ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡ w0 ❡t ❧❡s ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t w ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧✬❡rr❡✉r E s✉✐✈❛♥t❡ s♦✐t ❛✉ss✐ ♣❡t✐t❡ q✉❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ✿ E = m X j=1 E(j)= m X j=1 s(j)− w 0− w⊤e(j)2. ✭✷✳✺✮ ❈❡❧❛ r❡✈✐❡♥t à ♠✐♥✐♠✐s❡r ❧✬❡rr❡✉r q✉❛❞r❛t✐q✉❡ E(j)❞❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ s✉r ❝❤❛q✉❡ ❡①❡♠♣❧❡✳ ❈❡tt❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❡st ré❛❧✐sé❡ ❡♥ ❛❥✉st❛♥t ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡ ❞❛♥s ❧❡ s❡♥s ✐♥❞✐q✉é ♣❛r ❧❡ s✐❣♥❡ ❞❡ ❧❛ ❞ér✐✈é❡ ♣❛rt✐❡❧❧❡ ❞❡ E(j)✳ ❈❡tt❡ ❞ér✐✈é❡ s✬é❝r✐t ❞❡ ❢❛ç♦♥ tr✐✈✐❛❧❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt ❛✉ ♣♦✐❞s s②♥❛♣t✐q✉❡ wi ✿ ∂E(j) ∂wi = −2e(j) i s (j)− w 0− w⊤e(j). ✭✷✳✻✮ ▲❛ ♠✐s❡ à ❥♦✉r ❞✉ ♣♦✐❞s wi✱ s✉✐t❡ à ❧✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞✉ j❡ ❡①❡♠♣❧❡✱ ❞♦✐t ❞♦♥❝ êtr❡ ♣r♦✲ ♣♦rt✐♦♥❡❧❧❡ à −∂E(j) ∂wi ❝❡ q✉✐ s✬é❝r✐t ♣❧✉s ❝❧❛ss✐q✉❡♠❡♥t ✿ ∆wi = ηe(j)i s(j)− w0− w⊤e(j) , ✭✷✳✼✮ ✶✺
❋✐❣✉r❡ ✷✳✹ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡♥tr❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ ❡t ❧❡ ♣❡r❝❡♣tr♦♥✳ entr´ees de connexion directe connexion auxiliaire l’exemple sortie attendue erreur ✭❛✮ ▲❛ rè❣❧❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ ❡st ❜❛sé❡ s✉r ✉♥ ❝❛❧❝✉❧ ❞✬❡rr❡✉r✳ connexion directe connexion auxiliaire entr´ees de l’exemple sortie attendue oui ✭❜✮ ▲❡ ♠é❝❛♥✐s♠❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞✉ ♣❡r✲ ❝❡♣tr♦♥ ❡st ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t ❞❡ ❧✬❡rr❡✉r✳ ♦ù η ❡st ✉♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ❛♣♣❡❧é❡ ✓ t❛✉① ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ✔✳ ❯♥ ❝♦✉♣❧❡ ❞✬❡①❡♠♣❧❡ ❛♣rès ❧✬❛✉tr❡✱ t♦✉s ❧❡s ♣♦✐❞s s♦♥t ♠♦❞✐✜és s❡❧♦♥ ❧❛ rè❣❧❡ ❉❡❧t❛✱ ❥✉sq✉✬à ❝❡ q✉❡ t♦✉t❡s ❧❡s é♥❡r❣✐❡s E(j) s♦✐❡♥t ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡s✳ ❖♥ ❞✐t ❛❧♦rs q✉❡ ❧✬❛❞❛❧✐♥❡ ❛ ❛♣♣r✐s à ❢❛✐r❡ ❝❡tt❡ ♦♣ér❛t✐♦♥✳ ✷✳✷✳✸ ▲❡s ♠❛❞❛❧✐♥❡s ●râ❝❡ à ❧❛ rè❣❧❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞❡❧t❛ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✼✮✱ ✉♥ ❛❞❛❧✐♥❡ s❡♠❜❧❡ ♣♦✉✈♦✐r ❛♣♣r❡♥❞r❡ ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧❧❡ ♦♣ér❛t✐♦♥✳ ❈✬❡st ♠❛❧❤❡✉r❡✉s❡♠❡♥t ❧♦✐♥ ❞✬êtr❡ ❧❡ ❝❛s ❡t ✐❧ ❢❛✉t ❛✈♦✐r r❡❝♦✉rs à ♣❧✉s✐❡✉rs ❞✬❡♥tr❡✲❡✉① ♣♦✉r ② ♣❛r✈❡♥✐r✳ ■❧s ❢♦r♠❡♥t ❛❧♦rs ✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ✭✈♦✐r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✺✮✱ ❛♣♣❡❧é✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù ✐❧ ❡st ❢♦r♠é ❞✬❛❞❛❧✐♥❡s✱ ♠❛❞❛❧✐♥❡ ♣♦✉r ♠❛♥② ❛❞❛❧✐♥❡s✳ ❉ès ❧♦rs s❡ ♣♦s❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❧✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ rè❣❧❡ ❞❡❧t❛ ♣♦✉r ré❛❧✐s❡r ❧✬❛♣♣r❡♥✲ t✐ss❛❣❡ ❞❡s ❛❞❛❧✐♥❡s ❝♦♥st✐t✉❛♥t ❧❡ rés❡❛✉✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡s ❡①❡♠♣❧❡s ❞❡ ❧✬♦♣ér❛t✐♦♥ à ❛♣♣r❡♥❞r❡ ♥❡ s♦♥t ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡s q✉✬à ❧✬é❝❤❡❧❧❡ ❞✉ rés❡❛✉✱ ❡t ♥♦♥ à ❝❡❧❧❡ ❞❡s ♥❡✉r♦♥❡s✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ❝❡s ❞❡r♥✐❡rs ❝❛❧❝✉❧❡♥t ♦✉ ❜✐❡♥ ❧❛ s♦rt✐❡ ❞✉ rés❡❛✉ à ♣❛rt✐r ❞❡ rés✉❧t❛ts ✐♥t❡r♠é❞✐❛✐r❡s✱ ♦✉ ❜✐❡♥ ✉♥ ét❛t ✐♥t❡r♠é❞✐❛✐r❡ à ♣❛rt✐r ❞❡s ❡♥tré❡s ❞✉ rés❡❛✉ ♦✉✱ ♣✐r❡ ❡♥❝♦r❡✱ ✉♥ rés✉❧t❛t ✐♥t❡r♠é❞✐❛✐r❡ à ♣❛rt✐r ❞✬❛✉tr❡s rés✉❧t❛ts ✐♥t❡r♠é❞✐❛✐r❡s ❀ ❜r❡❢✱ t♦✉s ♦♥t ❜❡s♦✐♥ ❞✬✉♥ ❥❡✉ ❞✬❡①❡♠♣❧❡s ❞♦♥t ♦♥ ✐❣♥♦r❡ ❛✉ ♠♦✐♥s ✉♥❡ ♣❛rt✐❡✳ ▲✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞✬✉♥ t❡❧ rés❡❛✉ ❞❡ ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s✱ ❛✈❡❝ ❧❛ ♠ê♠❡ r✐❣✉❡✉r q✉❡ ❧❛ rè❣❧❡ ❞❡❧t❛✱ ❡st ❛✐♥s✐ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡♠❡♥t très ❝♦♠♣❧✐q✉é✳ ❊♥ ♣r❛t✐q✉❡✱ ✉♥ ♠❛❞❛❧✐♥❡ ❡st ❞♦♥❝ ❝♦♥str✉✐t s✉r ❞❡✉① ❝♦✉❝❤❡s✱ à ❧✬✐♥st❛r ❞✉ ré✲ s❡❛✉ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✺✱ é❧✐♠✐♥❛♥t ❞❡ ❝❡tt❡ ❢❛ç♦♥ ❧❡s ♥❡✉r♦♥❡s ❛rt✐✜❝✐❡❧s ❞♦♥t ❧❡ ❥❡✉ ❞✬❡①❡♠♣❧❡s ❡st t♦t❛❧❡♠❡♥t ✐♥❝♦♥♥✉✳ ❉❡✉① rè❣❧❡s✱ ❞é✜♥✐❡s ❞❡ ❢❛ç♦♥ ❡♠♣✐r✐q✉❡✱ s♦♥t ❛❧♦rs ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡♠❡♥t ✉t✐❧✐sé❡s ♣♦✉r ❧✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ✿ ❧❛ rè❣❧❡ ♠r✲✐ ❝♦♥s✐❞èr❡ q✉❡ ❧❡s ❛❞❛❧✐♥❡s ❞❡ s♦rt✐❡ ♥✬♦♥t ♣❛s ❜❡s♦✐♥ ❞✬êtr❡ ♠♦❞✐✲ ✜és✱ ❡t ✉t✐❧✐s❡♥t ❞♦♥❝ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞✬❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ ❞❡❧t❛ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♥❡✉r♦♥❡ ❛rt✐✜❝✐❡❧ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉❝❤❡ ❞✬❡♥tré❡ ❬❲✐❞r♦✇ ❡t ❍♦❢❢ ❏r✱ ✶✾✻✵❪ ❀ ❧❛ rè❣❧❡ ♠r✲✐✐ ❡✛❡❝t✉❡ ✉♥ ❛♣♣r❡♥t✐ss❛❣❡ s✉r t♦✉s ❧❡s ❛❞❛❧✐♥❡s ❞✉ rés❡❛✉✱ ♣♦✉r✈✉ q✉✬✐❧s ❝♦♥tr✐❜✉❡♥t à ❧✬❡rr❡✉r ♦❜s❡r✈é❡ ❡♥ s♦rt✐❡✱ ❝❡ q✉✐ ❡st ❞ét❡r♠✐♥é ❡♥ ✈ér✐✜❛♥t ✶✻
