09/03/20191Probabilités 2Prof. Mohamed El Merouanihttps://elmerouani.jimdo.com/e-mail: m_merouani@yahoo.fr

Probabilités 2

Prof. Mohamed El Merouani https://elmerouani.jimdo.com/

e-mail: m_merouani@yahoo.fr

1

Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques

Année: 2018-2019 S.M.A.

Semestre 6

Appelation:

Si E(X)=0, la v.a. Xest dite centrée

Soient Xet Y deux v.a. et αune constante. On a:

1. E(α)=α

2. E(X+α)=E(X)+α 3. E(αX)=αE(X) 4. E[X─E(X)]=0

5. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2

Propriétés:

Espérance d’une fonction d’une v.a.

Théorème de transfert:

Soit Xune v.a. et gune fonction Borel-

mesurable, et soit Y=g(X). Alors E(g(X))=E(Y).

3

Si X est discrète:

Si X est continue:

     

1 1

( )_{i i j j}

i j

E Y ^ g x P X x ^ y P Y y

 







 







E Y ^g x f x dx ^ y f g^ y g^ y dy

 







Exemple 1:

• Soit X une v.a. discrète de loi

• En posant Y=X², d’après le théorème de transfert, on a:

• Mais, on peut aussi écrire la loi de Y:

4

x_i ─3 0 3

P(X=x_i) 1/4 1/2 1/4

 

( ) ( ) ( 3) 0 (3)

4 2 4 2

i i

i

E Y 



y_j 0 9

P(Y=y_j) 1/2 1/2

1 1 9

( ) 0 9

2 2 2

E Y     

d’où

Exemple 2:

• Soit X une v.a. continue de densité de probabilité:

• Calculons E(X ²).

• L’application directe du théorème de transfert donne:

5





3 1 0 1

( ) 2 0

x si x

f x

autrement

   

 



 





E X ^x f x dx x x dx







Variance et écart-type:

On définit une mesure de dispersion de X autour de son espérance mathématique dite variance de X.

Définition:

Si E(X ²) existe, on appelle variance d’une v.a.

X, le nombre Var(X)=E((X─E(X)²).

On appelle écart-type de X, le nombre

6

( )X Var X( )

 

Propriétés de la variance:

1. Var(X)=E(X²)-E(X)² (Formule réduite) 2. ꓯa,b ϵIR, on a: Var(aX+b)=a²Var(X) 3. Var(X)=0 X= constante (p.s.) 4. Var(X)<E(X─C)², ꓯC ≠ E(X)

car, E(X─C)²= E(X─E(X))²+ (C─ E(X))² puisque 2(E(X) ─C)E(X─E(X)) =0

5. Si E(|X|²)<∞, la v.a. est telle que E(Z)=0 et σ(Z)=1.

Zest dite v.a. centrée et réduite associée à la v.a. X.

7



( ) ( ) X E X

Z  X

 

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev:

• Faute de connaître une probabilité exacte, il suffit parfois de trouver une borne supérieure ou inférieure à cette probabilité. Le théorème suivant qui lie l’espérance mathématique et l’écart-type répond à ce genre de questions.

8

Théorème:

Soit Xune v.a. telle que E(X) et Var(X) existent.

Pour tout ε réel (ε>0) on a:

 

( ) Var X( ) P X E X 

   

Remarque:

• En posant ε=tσ, on obtient une autre variante du théorème:

et

9

 

( ) 1 P X E X t

 t

  

 

( ) 1 1

P X E X t

 t

   

Démonstration (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev):

Si X v.a. discrète:

où et J = I ^c On obtient

Puisque, on a |x_i-E(X)|≥ε, on peut écrire:

 

  



( ) ( ) _i ( ) _i

i

Var X E X E X 





 

 

 



i I i J

x E X P X x x E X P X x

 











I  i  x E X 



  



( ) _i ( ) _i

i I

Var X x E X P X x







  ²  ²  

( ) _i ( ) _{i i}

i I i I

Var X x E X P X x  P X x

 







10

Mais comme

On obtient finalement d’où le résultat.

Si X v.a. absolument continue de densité f:

Soit ε>0. On a:

Ces trois intégrales sont positives ou nulles; d’où:

11









i I i I

P X x P X x P X E X 

 

 

      

 

 

 

( ) 2 ( )

Var X  P X E X 

 ²

( ) ( ) ( )

Var X ^ x E X f x dx





     

( ) 2 ( ) 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E X E X

E X E X

x E X f x dx x E X f x dx x E X f x dx

 

 

  

  









 

 

( )

( ) ^{E X} ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Var X ^ x E X f x dx E X x E X f x dx



 

 







Sur l’intervalle ]-∞, E(X)-ε], on a x ≤ E(X)-ε et sur l’intervalle [E(X)+ε,+∞[, on a E(X)+ε ≤x On a, donc, x-E(X) ≤ -ε et x-E(X) ≥ ε

C’est-à-dire |x-E(X)| ≤ ε ou (x-E(X))² ≤ ε² On obtient, alors,

ou

C’est-à-dire ou

ou encore

12

( ) 2 2

( ) ^{E X} ( ) ( ) ( )

Var X ^ f x dx E X f x dx

 

 

 











2

( ) ^{E X} ( ) ( ) ( )

Var X ^ f x dx E X f x dx

 ^{ } 

 







 

( ) 2 ( ( ) ) ( ( ) )

Var X  P X E X   P X E X 

 

( ) 2 ( )

Var X  P X E X 

 

( ) Var X( ) P X E X 

   

Moments d’ordres supérieurs:

Définition:

On appelle moment d’ordre kd’une v.a. X, le nombre m_kdéfini par:

13

 

( )

( )

k

i i

i k

k k

x P X x si X discrète m E X

x f x dx si X continue





 

  







Moments d’ordres supérieurs:

Définition:

On appelle moment centré d’ordre kd’une v.a.

X, le nombre μ_kdéfini par:

14

     

 

( ) ( )

( ) ( )

k

i i

k i

k k

x E X P X x si X discrète E X E X

x E X f x dx si X continue

 



  

   

 







Remarques:

1. Le moment d’ordre 1, noté m₁ ou mest l’espérance mathématique E(X)=m.

2. Le moment centré d’ordre 2, noté μ₂est la variance μ₂=Var(X)

3. Comme pour l’espérance et la variance, les moments peuvent parfois ne pas exister (la série ou l’intégrale divergent).

15

Moments d’ordres supérieurs:

Couple de variables aléatoires:

Définition:

Soit (Ω,

A

Soient Xet Y deux v.a. sur (Ω,

A

Une application (X, Y) de Ω dans IR², qui à tout ωde Ω fait correspondre un couple

(X(ω), Y(ω)) de IR²,s’appelle un couple de v.a.

(X, Y) s’appelle aussi v.a. à deux dimensions.

16

Loi de probabilité conjointe de deux v.a. discrètes:

Un couple de v.a. (X, Y) peut prendre les valeurs suivantes:

(x₁,y₁), (x₂,y₂);…;(x_i,y_j);…;(x_n,y_m)

A chaque couple (x_i,y_j) correspond une probabilité p_ij d’observer simultanément la valeur x_ipour Xet la valeur y_jpour Y:

p_ij=P(X=x_iet Y=y_j)=P(X=x_i, Y=y_j) On a 0≤p_ij≤1 et

ꓯi=1,2,…,n ; ꓯj=1,2,…, m

17

1 1

1

n m

ij

i j

p

 



Fonction de répartition d’un couple de v.a. discrètes:

On appelle fonction de répartition d’une v.a.

discrète à deux dimensions (X, Y) la fonction définie par:

18

   

( , ) , ,

i j

i j

x x y y

F x y P X x Y y P X x Y y

 

   

 

Lois de probabilités marginales:

• La probabilité P(X=x_i)=p_{i •}est appelée loi marginale de X. On a:

P(X=x_i)=p_{i •}

• La probabilité P(Y=y_j)=p_{• j}est appelée loi marginale de Y. On a:

P(Y=y_j)=p_{• j}

19

; 1, 2, ,

ij j

p i n





; 1, 2, ,

ij i

p j m





20

Lois de probabilités marginales:

Y X

y₁ …. y_j …. y_m

x₁ p₁₁ …. p_1j …. p_1m p_1•

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

x_i p_i1 …. p_ij …. p_im p_i•

⁞ ⁞ ⁞ ⁞

x_n p_n1 …. p_nj …. p_nm p_n•

p_•1 …. p_•j …. p_•m 1

ij j

 p

ij i

 p

Loi de probabilités conjointes de deux v.a.

continues:

Une v.a. à deux dimensions Z=(X,Y) est dite continue s’il existe une application f (x,y) appelée densité de probabilité conjointe du couple de v.a. (X,Y) vérifiant:

1. f (x,y)≥0; ꓯ(x,y)ϵ IR² 2.

21

( , ) 1

f x y dxdy

 

  

 

Fonction de répartition d’un couple de v.a. continues:

• La fonction de répartition du couple (X,Y) est définie par:

et l’on a

22

 

( , ) ,

( , )

F x y P X x Y y f u v dudv

 

     

2

( , )

( , ) F x y

f x y

x y

 

 

Lois marginales (Fonctions de répartitions marginales):

Les fonctions:

et

sont dites fonctions de répartition marginales des v.a. X et Yrespectivement.

23

( ) ( ) ^x ( , )

F xX P X x ^ f u v dvdu

 

  

 

( ) ( ) ^y ( , )

F yY P Y y ^ f u v dudv

 

  

 

• Les fonctions:

et

sont les densités de probabilités marginales de Xet Y respectivement.

24

Lois marginales (Fonctions de densités marginales):

( ) ( , )

f x

f x v dv

 

( ) ( , )

f y

f u y du

 

Covariance de deux variables aléatoires:

• La covariance entre deux v. a. Xet Y, notéeCov(X,Y), est définie par Cov(X,Y)=E[(X–E(X))(Y–E(Y))]

ou encore Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

• Cas discrèt:

• Cas continue:

) ( ) ( ) ,

( )

,

Cov( ⁿ

1 i

m

1 j

Y E X E y Y x X P y x Y

X 



 

) ( ) (

Cov(X,Y) xy f(x,y)dxdy E X E Y

- - 



 





25 Pr. Mohamed El Merouani

Proprietés:

• SoientXet Ydeux v. a. La covariance est une forme bilinéaire symétrique:

1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

2) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z) 3) Cov(λX,Y)=λCov(X,Y)

26 Pr. Mohamed El Merouani

Remarque:

Pour X=Y, on retrouve la variance de X comme covariance de (X, X):

Cov(X, X)=E[(X-E(X))(X-E(X))]

=E[(X-E(X))²]=Var(X)

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

En effet; Var(X+Y)= E[(X+Y)-E(X+Y)]²=E[(X-E(X))+(Y-E(Y))]²

=E[(X-E(X))²+2(X-E(X))(Y-E(Y))+(Y-E(Y))²]

=E(X-E(X))²+E(Y-E(Y))²+2E((X-E(X))(Y-E(Y)))

=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

27 Pr. Mohamed El Merouani

Proprietés:

Coefficient de corrélation entre deux v. a. :

• Le coefficient de corrélation entre deux v. a. X et Y, de variances non nulles, noté

est définie par:

• Le coefficient de corrélation varie entre -1 et 1:







 

) ( ) (

) , ( )

( )

(

) , , (

Y X

Y X Cov Y

Var X

Var

Y X Y Cov

X  

  

 ^,  ¹

1

-   X Y 

28 Pr. Mohamed El Merouani

• Montrons que ̶ 1 ≤ ρ ≤ 1 En considérant la v.a. aX+Y, on a:

Var(aX+Y)=Var(aX)+Var(Y)+2Cov(aX+Y)

=a²Var(X)+Var(Y)+2aCov(X,Y) où ꓯaϵIR , Var(aX+Y)≥0

La quantité positive Var(aX+Y) est considérée comme un trinôme en ade signe constant.

Son discriminant Δ’ est négatif ou nul:

Δ’=[Cov(X,Y)]²-Var(X)Var(Y)≤0 On en déduit:

29

( , ) ( ) ( ) 1 Cov X Y

X Y 

  ^{ }

Inégalité de Schwarz:

• Soient deux v.a. Xet Y admettant des moments d'ordre 2, l'inégalité de Cauchy- Schwarz ou de Schwarz s’écrit:

• Elle compare l'espérance du produit de deux variables aléatoires au produit des espérances de leurs carrés.

• Si Xet Y sont deux v.a. admettant un moment d’ordre 2, alors la v.a. XY admet une moyenne.

30

  ^{XY E}     ^X

^{E Y}

E 

Pr. Mohamed El Merouani

En effet;

Soit a ϵ IRet on considère la v.a. (aX+Y).

On a E(aX+Y)²≥0.

Comme E(aX+Y)²=E(a²X²+2aXY+Y²)

=a²E(X²)+2aE(XY)+E(Y²) On considère le trinôme en ade signe

constant. Son discriminant Δ’ est négatif ou nul. Δ’=E(XY)^{2 ─}E(X²)E(Y²)≤0

On en déduit

31

2 2

( ) ( ) ( )

E XY  E X E Y

Soit Xune v.a. discrète telle que p_k=P(X=k);

k=1,2,…avec Définition:

La fonction définie par:

qui converge pour |s|≤1, est dite fonction génératrice de probabilité de X.

32

Fonctions génératrices :

1 k 1

k

 p





1

 

( ) _k ^{k X}

k

G s ^ p s E s







Conséquences:

Les moments de la v.a. Xs’ils existent peuvent être déterminés par les dérivées de G(s) au point s=1.

En effet;

et ainsi de suite…

E(X²)=G’(1)+G’’(1)

et Var(X)=G’’(1)+G’(1)-[G’(1)]²

33

Fonctions génératrices :

1 1

( ) _k ^k (1) ( )

k

G s kp s G E X si E X

 



 



 

2 2

1

( ) ( 1) _k ^k (1) ( 1)

k

G s ^ k k p s ^ G E X X si EX



 







E X X E X E X

   

Exemple:

• Soit la v.a. de Poisson définie par:

• On a:

• Donc

34

 

!

k

P X k e k

k

 

    

 

0

( ) ; 1

!

k s s

k

G s s e e e e s

k

   

 ^

   







( ) (1 )^s

G s e^{ }

2 (1 )

( ) ^s

G s   e^{ }

( ) (1)

E X G 





E X X 

2 2

( ) ( ) ( )

Var X  E X E X 

Fonction génératrice des moments:

• La fonction génératrice des moments est définie pour toute v.a. Xpar:

Si E(e^tX) existe dans un voisinage de l’origine.

35

  ^{ }







 

















continue est

si )

(

discrète est

si )

( e f x dx X

X x

X P e e

E t

M tx

x tx

tX

Pr. Mohamed El Merouani

Théorème:

Si M(t) existe pour t Є ]-t₀,t₀[, t₀>0, alors ses dérivées de tout ordre existent pour t=0 et de plus M^(k)(0)=E(X^k), k = 0,1,2,…

C’est-à-dire que:

Tout les moments d’ordre k peuvent être

calculés à l’aide des dérivées de M(t) au point t =0.

36 Pr. Mohamed El Merouani

• En effet,

Si X est discrète:

Si X est continue:

37

 

dt E t d

M( ) 

 





dt x d

X P dt e

t d

M ^tx

x x

tx   



 



 

^{( )} 

 

   

x

txP X x E Xe

xe  



















 



 



 

 e f x dx

dt dx d

x f dt e

t d

M ( ) ^tx ( ) ^tx ( )

  









 xe^txf (x)dx E Xe^tX

• En posant t=0, on a M’(0)=E(X).

• De même,

et

D’une façon générale, on a:

et

38

  



dt E t d

dt M t d

M ( ) ( )  ²

 

) 0

( E X

M  

  ^{, 1}

)

)

(

(

t  E X e k 

M

 

k

E X

M

( 0 ) 

Pr. Mohamed El Merouani

• Où encore, d’après le théorème précédent, Si M(t) existe pour t Є ]-t₀,t₀[, t₀>0, alors on peut développer M(t) en série de Mc-Laurin:

• Ainsi E(X^k) est le coefficient de



  



 



 



 (0) !

! ) 2 0

! ( ) 1 0 ( )

0 ( )

( ^{( )}

2

k M t

M t M t

M t M

k k

! k t ^k

39 Pr. Mohamed El Merouani

Remarque:

• La fonction génératrice des moments M(t) peut ne pas exister.

• En effet, E(e^tX) n’est pas toujours définie.

40 Pr. Mohamed El Merouani

Exemple 1:

• Soit X une v.a. discrète définie par:

• Donc, on a:

 ^  ^{ 6}

¹

^{; k  1 , 2 , ...}

k k X

P 











1 2

2

) 6 (

k

tk

k t e

M 

41 Pr. Mohamed El Merouani

Exemple 2:

• Soit Xune v.a. continue de fonction de densité

• Donc pour t<1/2

et pour t<1/2

On en déduit E(X)=2, E(X ²)=8 et Var(X)=4.

0 2 ,

) 1

(x  e^{ 2} x 

f ^x

t t

M 1 2

) 1 (  





)

(t t

M  





)

(t t

M   

42 Pr. Mohamed El Merouani

Exemple 3:

• Soit Xune v.a. continue de densité de probabilité la fonction f(x)=ce^–|x|α, 0<α<1, xЄIR, où cest une constante déterminée par la condition

• Pour t>0, on a:

et puisque α-1<0, n’est pas finie pour t>0; car









1 ) (x dx f

 

dx e

e^{tx x}





 1



dx e

e^{tx x}



 

x x t

x

e

e

 ^1

~

43

• D’où M(t) n’existe pas!

• Pourtant,

• Par un changement de variable y=x^α, on obtient:

• On remarque, donc, que même si M(t) est infini, les moments peuvent être finis.

  ^ _

^ _

0

2 c x e dx dx

e x c X

E

  ^{2 2 1 *}

0 1 1



 



 



  



 _ ^c 

^y

^e

^dy _ ^{c n} _

X

E

n n

Euler.

d' gamma fonction

la est

* ₄₄

Fonction Gamma Γ d’Euler:

La fonction Γest définie sur ]0,+∞[ par:





 



0

) 1

( e ^tt^ dt

45 Pr. Mohamed El Merouani

Propriétés:

1) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1).

En effet,

2) Γ(1)=1.

En effet,

3) Γ(n)=(n-1)!

En effet, Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=

=(n-1)(n-2)Γ (n-2)=…=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!



 

 



) (

0 0

2

1      



 ^{ }





 





0

1 1 e ^tdt

46 Pr. Mohamed El Merouani