06/03/20191Simulation des variables Simulation des variables aléatoiresaléatoiresProf. Mohamed El Merouanihttp://elmerouani.jimdo.come-mail: m_merouani@yahoo.fr

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Simulation des variables Simulation des variables

aléatoires aléatoires

Prof. Mohamed El Merouani http://elmerouani.jimdo.com e-mail: m_merouani@yahoo.fr

1

Simulation par la méthode Simulation par la méthode

d’inversion d’inversion

2

(2)

Introduction:

• on suppose que l’on dispose d’un bon

générateur de nombres pseudo-aléatoires et on se demande comment à partir d’une suite (U_i)_i≥1de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi

uniforme sur [0, 1] construire une variable aléatoire de loi donnée, avec une attention particulière pour les lois usuelles continues et discrètes.

3

Plan Plan

• Rappels sur la fonction de répartition

• Simulation des v.a. continues

• Simulation des v.a. discrètes

(3)

Fonction

Fonction de de répartition répartition (Rappels):

(Rappels):

5

6

Fonction

Fonction de de répartition répartition d’une d’une v.a. v.a.

discrète discrète::

Fonction

Fonction de de répartition répartition d’une d’une v.a. v.a.

discrète discrète::

• La probabilité pour que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x est une fonction F(x).

• Cette fonction est appelée fonction de répartition de x.

F(x)=P(X≤x)

• La fonction F(x) est une fonction en escalier, croissante de 0 à 1.

 







x y

y X P

(4)

7

Exemple

Exemple de de fonction fonction de de répartition répartition::

• Pour l’expérience de lancement d’une pièce de monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée par le tableau suivant:

• Sa fonction de répartition sera:

x_i 0 1 Σp_i

p_i 1/2 1/2 1

















1 si 1

1 0

si 2 1

0 si 0

x x /

x F(x)

Représentation

Représentation graphique graphique de F(x): de F(x):

0 1

1

1/

2 F(x)

x

(5)

9

Fonction

Fonction de de répartition répartition d’une d’une v.a. v.a.

continue continue::

• On définit la fonction de répartitionFd’une v. a.

continueXde la même manière que pour une v.a.

discrète, c’est-à-direF(x)=P(X≤x).

• La fonction continue est

croissante de 0 à 1 lorsquexvarie de -∞ à +∞.

• Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont la fonction de répartition est continue.

• La fonction de densitéfd’une v.a. continueXest la dérivée de da fonction de répartitionF, c’est-à-dire F’(x)=f(x).

_^x_ f(t)dt )

x ( F

10

Représentation

Représentation graphique graphique de F(x) de F(x) continue

continue::

0 1 F(x)

x

(6)

Simulation des

Simulation des v.a v.a. continues . continues

11

Méthode d’inversion (Théorème):

Proposition:

Supposons que la v.a. Xa pour fonction de répartition Fcontinue et strictement croissante, toujours que 0<F(x)<1.

Soit Uv.a.→U(0,1).

Alors, la v.a. F^-1(U) a pour fonction de répartition F.

(7)

Démonstration:

Soit G la fonction de répartition de F^-1(U).

Alors: G(x)=P(F^-1(U)≤x)

=P(F(F^-1(U))≤F(x)). (par la monotonie de F)

=P(U≤F(x))=F(x). (car U→U(0,1))

Méthode d’inversion (

Méthode d’inversion (dém dém):):

13

• Cette méthode suggère que pour générer des échantillons d’une v.a. Xpour laquelle F^-1est connue, on peut générer des nombres aléatoires Uuniformes sur (0,1) et faire X=F^-1(U).

• Nous avons alors l’algorithme d’inversion suivant:

Générer U→U(0,1) Faire X=F^-1(U) Sortir X

Méthode d’inversion (algorithme):

14

(8)

• Une condition minime pour l’application de cette méthode est de connaître la forme explicite de F^-1.

• Cela est vérifié pour plusieurs lois de probabilités, comme l’uniforme, l’exponentielle, de Weibull, de Cauchy,…

• Remarquons qu’une telle condition n’est pas suffisante, par exemple, pour la loi beta, il est possible théoriquement de la simuler par inversion, mais elle peut résulter très

couteuse.

• Parfois, nous disposons d’une bonne approximation de F^-1, d’où on peut utiliser la méthode par approximation.

Méthode d’inversion (Remarques):

15

1. Simulation d’une v.a. U(a,b):

Sa fonction de répartition est:

Dans le schémas général, il suffit de faire:

X=F^-1(U)=a+(b-a)U

Méthode d’inversion

Méthode d’inversion--Exemples: Exemples:

 

 







 

 



b x si

b x a a si

b a x

a x si x

F

1 0 )

(

(9)

2. Simulation d’une v.a. de Weibull W(α,1):

Nous faisons

ou bien puisque (1-U)→U(0,1)

Méthode d’inversion

Méthode d’inversion--Exemples: Exemples:

  

 





 

0 exp

1 0 ) 0

( x si x

x x si

F

_

     

^¹

1 U Ln1 U

F

X  ^   



^Ln^U



^¹

X  

17

2. Simulation d’une v.a. exponentielle Exp(λ):

Nous faisons

Ainsi pour générer un n-echantillon selon une Exp(λ) on pose puisque (1-U)→U(0,1)

Méthode d’inversion

Méthode d’inversion--Exemples: Exemples:

 

 







 

0 exp

1 0 ) 0

( x si x

x x si

F 

   



 



 ^

 U U Ln

F

X ₁ 1

 





 



 

   ⁿ

n

U Ln U

X Ln

X₁,, ¹,, ₁₈

(10)

Exp (λ):

• Voici une implémentation en R:

myrexp<-function(n,lambda) + return(-log(runif(n))/lambda)

##Simulation d’une Exp(5) lambda<- 5

x<- myrexp(500, lambda)

## Comparaison histogramme / densité hist(x, freq=FALSE)##freq=FALSE pour aire=1

curve(dexp(x, lambda), xlim=c(0, max(x)), col="red", add=TRUE)

19

Simulation d’une v.a. exponentielle

Exp (λ):

(11)

Simulation des

Simulation des v.a v.a. . discrètes discrètes

21

• On considère une variable aléatoire discrète X qui peut prendre les valeurs x₁, x₂, …, x_n.

• Soit P(X=x_i)=p_i, i=1,2,…,n

avec p_i≥0 et ∑ p_i=1

• Sa loi de probabilité est donnée par:

22

Les lois de probabilités discrètes:

x_i x₁ x₂ x₃ x₄ …. x_n ∑ p_i p_i p₁ p₂ p₃ p₄ …. p_n 1

(12)

• Sa fonction de répartition F(x_i)=F_i=P(X≤x_i)=

23

probabilité discrète:



ji

pj



































xn

x si

x x x si p

p p

x x x

si p

p

x x x si p

x x si

x F

1 0

) (

4 3

3 2

1

3 2

2 1

1



• On définit la fonction

Fonction de répartition (inverse) Fonction de répartition (inverse) d’une loi de probabilité discrète:

d’une loi de probabilité discrète:

Fonction de répartition (inverse) Fonction de répartition (inverse) d’une loi de probabilité discrète:

d’une loi de probabilité discrète:

F



































1 ) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( 0

) (

4 3

4

3 2

3

2 1

2

1 1

x F x x

F si x

x F u x

F si x

x F u x

F si x

x F u x F si x

x F u si

x

u F



(13)

• Soit

• Si U→U([0,1]), alors la v.a. a pour fonction de répartition F.

• Donc, dans ces conditions joue le rôle de

Méthode d’inversion pour les lois Méthode d’inversion pour les lois

discrètes (Théorème):

Méthode d’inversion pour les lois Méthode d’inversion pour les lois

discrètes (Théorème):

 ^x ^F ^x ^u 

u

F ( )  min : ( ) 

) (U F X 

25

F

^¹

Remarquons le minimum est atteint parce que Fest continue à droite, alors est bien

définie.

En plus, et

D’où l’égalité des ensembles:

et des probabilités:

Méthode d’inversion

Méthode d’inversion--Dém Dém::

F

 ^F ^u  ^u

F ( ) 



^F ^x

 

^y ^F ^y ^F ^x



^x

F ( )  min : ( ) ( ) 



(u,x):F(u) x







(u,x):u  F(x)





^X ^x



^P



^F⁽^U⁾ ^x



^P



^U ^F⁽^x⁾



^F⁽^x⁾

P       ₂₆

(14)

• Pour une loi discrète générale, on a avec F_i-1<u≤F_i, donc la méthode d’inversion est équivalente à chercher l’indice i

convenable dans la liste des F_i.

• En général:

• Algorithme:

27

i u F( ) 

) ( )

( )

(u x_i si F x_i ₁ F_i ₁ u F_i F x_i

F  _  _   

pour les lois discrètes:

Générer U→U(0,1) Tant que F_i≤U, Faire i=i+1 Sortir X=i

Simulation

Simulation d’une loi d’une loi de Bernoulli de de Bernoulli de paramètre

paramètre p p [0, 1] [0, 1]::

Simulation

Simulation d’une loi d’une loi de Bernoulli de de Bernoulli de paramètre

paramètre p p [0, 1] [0, 1]::

• La loi de probabilité de Xsuivant une loi de Bernoulli est:

• Sa fonction de répartition est:

x_i 0 1 Σp_i

p_i q=1-p p 1















 1 0 1

0 0

)

( q p si x

x si x

F

(15)

Simulation

Simulation d’une loi d’une loi de Bernoulli de de Bernoulli de paramètre

paramètre p p [0, 1] [0, 1]::

Simulation

Simulation d’une loi d’une loi de Bernoulli de de Bernoulli de paramètre

paramètre p p [0, 1] [0, 1]::

• Sa fonction de répartition inverse sera:

• D’où l’algorithme:

Générer U→U(0,1) Si U≥1-p, sortir X=1 Autrement, Sortir X=0

29



















 

1 1

1

1 0

) 0

( si q p u

p q

u u si

F

Simulation d’une loi uniforme Simulation d’une loi uniforme

discrète:

Simulation d’une loi uniforme Simulation d’une loi uniforme

discrète:

• Une v.a. X suivant une loi de probabilité uniforme discrète prend les valeurs entiers naturelles i=1,2,…,n avec la même probabilité

• Sa fonction de répartition est:

30

n n i

i X

P 1, 1,2,..., )

(    

1 )

( )

(   



   



i x i n si

p i i

X P x F

i j

j

(16)

discrète:

• Sa fonction de répartition inverse est:

ou encore

31

i nu i   

 1

) 1 (

) ( )

( _i ₁ _i ₁ F_i F x_i

n u i n F i

x F si i X u

F   _  _      

 

^¹

ent nu X