Extraits de Concours

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

Pr´ epa HEC 2 disponible sur www.cayrel.net

Lyc´ ee Lavoisier Feuille d’extraits de concours

Extraits de Concours

1 HEC

Exercice 1 (via HEC - Oral 1997)

Ecrire un programme qui permet de remplir al´ ´ eatoirement un tableau de 200 cases avec 100 fois 0 et 100 fois 1.

Exercice 2 (via HEC 1999)

Une urne contient des boules de s couleurs diff´ erentes not´ ees C _i . On tire n boules de l’urne successivement et avec remise apr` es chaque tirage. On note X i , la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules de couleur C <sub>i</sub> obtenues ` a l’issue des n tirages. On remarque que la variable X _i d´ epend de n et que l’on a : P s

i=1 X _i = n.

Ici il y a trois couleurs, C 1 , C 2 et C 3 dans les proportions respectives suivantes : ¹ ₄ , ¹ ₄ , ¹ ₂ .

Un tableau T, contiendra dans T [i] les valeurs 1, 2 ou 3 selon que la boule tir´ ee au i-` eme coup a la couleur C <sub>1</sub> , C <sub>2</sub> ou C <sub>3</sub> . On utilisera la fonction random(4) qui retourne un entier al´ eatoire compris entre 0 et 3. On note X i la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules de couleur C <sub>i</sub> obtenues ` a l’issue des n tirages. On remarque que la variable X _i d´ epend de n et que P 3

i=1 X _i = n.

On suppose avoir d´ efini dans un programme Pascal : type Tableau = array[1..100] of integer;

1. ´ Ecrire une proc´ edure Pascal :

procedure Tirage(var T:Tableau);

permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans une urne contenant des boules de couleur C ₁ , C ₂ ou C ₃ .

2. ´ Ecrire une fonction difference de param` etre T qui retourne la valeur de X <sub>1</sub> − X <sub>2</sub> . 3. ´ Ecrire une fonction moyenne de param` etre T qui retourne la moyenne des apparitions de

la couleur C ₃ .

Exercice 3 (via HEC ESCP EML 1999 - Voie E)

Une urne contient des boules de couleurs C ₁ , C ₂ et C ₃ en proportion respectivement ¹ ₄ , ¹ ₄ et ¹ ₂ . On d´ esire simuler des tirages dans cette urne. On d´ eclare ` a cette fin un type :

TYPE

tableau = ARRAY[1..100] OF integer;

1. ´ Ecrire une proc´ edure Tirage(VAR c : tableau) permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans notre urne. ` A la sortie de la proc´ edure l’´ el´ ement c[i] vaudra 1,2 ou 3 et repr´ esentera la couleur de la i-` eme boule tir´ ee.

On pourra faire appel ` a random(4).

2. On note X ₁ [resp. X ₂ ] la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules de couleur C ₁ [resp.

C ₂ ] tir´ ees.

Ecrire une fonction ´ difference de param` etre c qui retourne la valeur de X ₁ − X ₂ . Exercice 4 (via HEC 2000 - Voie E)

On consid` ere deux jetons A et B et deux urnes U <sub>0</sub> et U <sub>1</sub> . Au d´ epart, on place les deux jetons dans l’urne U <sub>0</sub> . On proc` ede ensuite ` a une succession de lancers d’un d´ e cubique ´ equilibr´ e.

Apr` es chaque lancer on effectue l’op´ eration suivante : – si on a obtenu 1 ou 2 on change le jeton A d’urne ; – si on a obtenu 3 ou 4 on change le jeton B d’urne ; – si on a obtenu 5 ou 6 on ne change rien.

On note, pour n ∈ N , X _n [respectivement Y _n ] le num´ ero de l’urne dans laquelle se trouve le jeton A [respectivement B] ` a l’issue du n-i` eme lancer. Ainsi X _n = 0 si le jeton A est dans l’urne U ₀ ` a l’issue du n-i` eme lancer.

Ecrire un programme qui simule cette exp´ ´ erience en demandant ` a l’utilisateur un entier m et qui affiche la liste des couples observ´ es (X _n , Y _n ) pour 1 6 n 6 m.

Exercice 5 (via HEC 2001 - Voie S)

Soient a, b, α et β quatre constantes r´ eelles. On consid` ere les suites de nombres r´ eels (S _k ) _06k6n et (R _k ) _06k6n telles que :

∀k ∈ [0, n − 1]

( _S

k+1

−S

S

= a − bR k R

−R

R

= α − βR _k

On suppose que dans le pr´ eambule d’un programme Pascal les constantes a,b,alpha et beta ont ´ et´ e d´ efinies. ´ Ecrire une proc´ edure d’en-tˆ ete :

PROCEDURE Eval(n : integer; SO,RO : REAL; VAR S,R : real);

qui affecte aux variables S et R les valeurs S _n et R _n sachant que S ₀ =SO et R ₀ =RO.

Exercice 6 (via HEC ESCP EML 2002 - Voie E)

On appelle dur´ ee de vie d’un composant ´ electronique la dur´ ee de fonctionnement de ce compo- sant jusqu’` a sa premi` ere panne ´ eventuelle. Un premier composant est mis en service ` a l’instant 0 et, quand il tombe en panne, est remplac´ e instantan´ ement par un composant identique qui sera remplac´ e ` a son tour ` a l’instant de sa premi` ere panne et ainsi de suite.

On mod´ elise la dur´ ee de vie de chacun des composants par une vairable al´ eatoire T g´ eom´ etrique de param` etre p ∈]0, 1[.

1. ´ Ecrire une fonction Pascal utilisant la fonction random r´ eelle, d’en-tˆ ete : FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer;

qui, connaissant le nombre r´ eel p et un nombre entier strictement positif n, simule l’exp´ erience et retourne le nombre de pannes survenues jusqu’` a l’instant n.

2. ´ Ecrire une proc´ edure Pascal d’en-tˆ ete :

PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer);

qui, connais sant le nombre r´ eel p et un nombre entier strictement positif r, simule

l’exp´ erience en l’arrˆ etant d` es que le nombre de pannes atteint le nombre r et affiche

la valeur de l’instant n o` u l’arrˆ et s’est produit.

Exercice 7 (via HEC - Oral 2002)

Toutes les variables al´ eatoires sont dans cet exercice d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P ).

Soit (X _n ) n∈ N

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant toutes la loi E (1). On pose S ₀ = 0 et pour tout n non nul,

S _n =

n

X

k=1

X _k .

Soit λ un r´ eel strictement positif. On d´ efinit l’application T de la mani` ere suivante : pour tout

´

el´ ement ω de Ω, on note T (ω) le plus petit entier naturel n pour lequel S _n (ω) > λ (on admet qu’un tel entier existe presque sˆ urement).

1. Quelle est, pour tout entier n non nul, la loi de la variable S _n ? 2. Montrer que T − 1 suit une loi de Poisson de param` etre λ.

3. On rappelle que l’affectation x := -\ln(1-random) donne ` a x une valeur al´ eatoire suivant une loi exponentielle de param` etre 1. ´ Ecrire une fonction poisson de param` etre lambda simulant une variable al´ eatoire de loi P (λ).

2 ESSEC

Exercice 8 (via ESSEC 1989 - Voie E)

1. Soit (c _n ) _{n∈ N} la suite d´ efinie par son premier terme c ₀ = ⁵ ₄ et la relation : c _n+1 = q

1+c

2 . (a) Montrer que pour tout n ∈ N , c n est sup´ erieur ` a 1.

(b) En d´ eduire que la suite (c n ) est d´ ecroissante puis qu’elle converge vers 1.

2. On consid` ere les suites (S _n ) _{n∈ N} et (T _n ) _{n∈ N} d´ efinies par S ₀ = ³ ₄ , T ₀ = ³ ₅ et les relations : S _n+1 = _c ^S

n+1

et T _n+1 = ^S _c

n+1

(a) Montrer que (S n ) est d´ ecroissante et que (T n ) est croissante.

(b) Montrer que pour tout n ∈ N , ^S _T

n

= c _n .

(c) En d´ eduire que les suites (S _n ) et (T _n ) convergent la mˆ eme limite.

3. On admet que la limite commune de (S _n ) et de (T _n ) est ln(2). Ecrire un programme qui ´ affiche :

– la plus petite valeur de l’entier n telle que : S _n − T _n < 10 ⁻⁴ ; – la valeur approch´ ee par exc` es de ln(2) ainsi obtenue.

Exercice 9 (via ESSEC 2003 - Voie E)

Soit k un entier naturel non nul. On effectue des lancers successifs d’un mˆ eme d´ e cubique

´

equililbr´ e jusqu’` a ce que la somme des r´ esultats obtenus soit sup´ erieure ` a k. On note :

– X ₁ , X ₂ , . . . les variables al´ eatoires donnant le num´ ero amen´ e par le d´ e lors du premier lanc´ e, deuxi` eme lancer, etc.

– pour tout entier n, Y n la somme des points obtenus lors des n permiers lancers ;

– T _k le nombre de celles des variables al´ eatoires y _n qui prennet une valeur inf´ erieure ou ´ egale

` a k.

Par exemple si les lancers successifs am` enenent 1,2,1,3,5,4,6, on a Y 1 = 1, Y 2 = 3, Y 3 = 4, Y 4 = 7, Y ₅ = 12, etc. et T ₄ = 3, T ₁₀ = 4.

Ecrire un programme Pascal appelant la fonction ´ random(6), qui simule des lancers successfs

jusqu’` a ce que la somme des r´ esultats soit sup´ erieure ` a 20, et qui affiche la valeur de T 20 .

Exercice 10 (via ESSEC 2003 - Voie E)

Soit X la variable al´ eatoire ´ egale au r´ esultat de la fonction Pascal suivante : FUNCTION X : integer;

VAR

alea : integer;

BEGIN

alea := random(3);

IF alea = 2 THEN X := random(2)+1 ELSE X := 3;

END;

D´ eterminer la loi de X et calculer son esp´ erance.

3 ESCP

Exercice 11 (via ESCP 1997 - Voie S)

Soit f la fonction de classe C ^∞ sur R d´ efinie par : f(x) = exp ^−x ₂

. On consid` ere, pour tout entier naturel n, la fonction H _n d´ efinie sur R par :

H _n (x) = (−1) ⁿ exp x ²

2 f ⁽ⁿ⁾ (x) o` u f <sup>(n)</sup> (x) d´ esigne la d´ eriv´ ee n-i` eme de f.

1. (a) Calculer pour tout r´ eel x, H ₀ (x) et H ₁ (x).

(b) SCI En remarquant que pour tout x, f ⁰ (x) = −xf (x), ´ etablir pour tout entier naturel n non nul et tout r´ eel x la relation :

H _n+1 (x) = xH _n (x) − nH n−1 (x)

Les lecteurs de la voie Eco. peuvent admettre cette formule et poursuivre l’exercice.

Une simple r´ ecurrence permet alors de montrer que pour tout n ∈ N , H n est une fonction polynˆ ome de degr´ e n, ` a coefficients entiers.

On d´ eclare le type : TYPE

poly = ARRAY[0..20] OF integer;

qui permet de stocker les coefficients de tout polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 20.

2. ´ Ecrire une proc´ edure d’en-tˆ ete :

PROCEDURE Hermite(n : integer; VAR H : poly);

qui ´ etant donn´ e l’entier n compris entre 2 et 20, stocke les coefficients de H _n dans la variable H.

Exercice 12 (via ESCP - Oral 1999)

On lance une pi` ece de monnaie jusqu’` a ce que l’on obtienne pour la premi` ere fois une s´ erie d’au

moins deux r´ esultats identiques suivis d’un r´ esultat contraire. On arrˆ ete alors les lancers. On

suppose que la probabilit´ e d’obtenir pile lorsqu’on lance la pi` ece est p, la probablit´ e d’obtenir

face ´ etant alors q = 1 − p.

1. Que renvoie la fonction suivante lorsqu’on l’ex´ ecute ? FUNCTION f (p : real) : char;

VAR

ok : boolean;

BEGIN

ok := random <= p;

IF ok THEN f := ’P’ ELSE f := ’F’;

END;

2. On suppose que p = 0, 8. On note X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de lancers effectu´ es, et Y la variable al´ eatoire ´ egale au rang du lancer o` u commence la premi` ere s´ erie de r´ esultats identiques. ´ A l’aide de la fonction f, ´ ecrire un programme affichant ` a l’´ ecran une s´ erie de lancers et la valeur correspondante des variables X et Y sous la forme : P F P F P F P P P P P F X = 12 Y = 7

On utilisera une variable r : ARRAY[1..1000] OF char dans laquelle on stockera les r´ esultats des lancers successifs obtenus.

3. Critiquer ce programme et en proposer un plus efficace.

Exercice 13 (via ESCP - Oral 2001)

On consid` ere la fonctionf d´ efinie sur R ^∗ + par : f(x) = exp ⁽⁻

⁾ .

1. Montrer que pour tout entier naturel n la d´ eriv´ ee n-i` eme de f v´ erifie, pour tout r´ eel x strictement positif, la relation :

f ⁽ⁿ⁾ (x) = P _n ( 1 x )f(x)

o` u (P n ) _n>0 est la suite de polynˆ omes d´ efinie par P 0 (X) = 1 et par la relation : P n+1 (X) = X ² [P n (X) − P _n ⁰ (X)]

2. ´ Etablir que pour tout entier n, P _n est ` a coefficients entiers et pr´ eciser son degr´ e.

3. On d´ efinit un type : TYPE

poly = ARRAY[0..20] OF integer;

permettant de stocker de tout polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 20.

(a) ´ Ecrire une proc´ edure d’en-tˆ ete :

PROCEDURE MultiX2(P : poly; VAR Q : poly);

qui stocke dans Q les coefficients du polynˆ ome X ² P (X), P ´ etant le polynˆ ome de degr´ e maximum 18 dont les coefficients sont stock´ es dans P.

(b) ´ Ecrire une proc´ edure d’en-tˆ ete :

PROCEDURE Derive_poly(P : poly; VAR Q : poly);

qui stocke dans Q les coefficients du polynˆ ome d´ eriv´ e de P, et une proc´ edure : PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; VAR R : poly);

qui stocke dans R les coefficients du polynˆ ome P− Q.

(c) ´ Ecrire enfin un programme faisant appel aux trois proc´ edures pr´ ec´ edentes, qui affiche

les coefficients du polynˆ ome P ₁₀ .

Exercice 14 (via ESCP 2002 - Voie E)

Pour toutes suites num´ eriques u = (u _n ) n∈ N et v = (v _n ) n∈ N , on d´ efinit la suite w par :

∀n ∈ N , w n =

n

X

k=0

u k v n−k

On suppose que les suites u et v sont d´ efinies par :

∀n ∈ N , u _n = ln(n + 1) et v _n = 1 n + 1

Ecrire un programme qui demande ` ´ a l’utilisateur une valeur de l’entier naturel n, qui calcule et affiche les valeurs de w ₀ , w ₁ , . . . , w _n .

Exercice 15 (via ESCP - Oral 2002) On consid` ere le programme suivant : VAR

a,u,v,w : real;

BEGIN

Randomize;

ReadLn(a);

u := random*a;

v := a-u;

IF v > u THEN w := -v ELSE w := u;

END.

On note Y, U, V et X les variables al´ eatoires ´ egales aux valeurs des variables y,u,v et x apr` es l’ex´ ecution du programme.

1. Quelle est la loi de Y ?

2. D´ eterminer la loi de U, en d´ eduire la fonction de r´ epartition de V.

3. Soit x un r´ eel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilit´ es totales que : P (X 6 x) = 1

4

√ x + 3

4 (1 − √

1 − x).

En d´ eduire la densit´ e de X.

Exercice 16 (via ESCP - Oral 2003) On consid` ere le programme suivant : VAR

X,i,n : integer;

BEGIN

Randomize;

ReadLn(n);

X := 0;

FOR i := 1 TO n DO Begin

IF X = 0 THEN X := -1 + random(2) * 2 ELSE X := -1 + random(3);

Write(X,’’);

End;

END

1. D´ ecrire l’exp´ erience mod´ elis´ ee par ce programme.

2. On note, pour tout k ∈ [1, n], X _k la variable al´ eatoire ´ egale au k-i` eme nombre affich´ e lors de l’ex´ ecution de ce programme.

Modifier le programme de telle sorte qu’il affiche la premi` ere valeur non nulle de k pour laquelle X _k = 0.

4 ESC

Exercice 17 (via ESC 2003 - Voie E) On consid` ere le programme suivant : CONST

p = 0,25;

VAR

y : integer;

u,v,x : real;

BEGIN

Randomize;

IF random < p THEN y := 0 ELSE y := 1;

u := random;

v := u*u;

x := (1-v)*y+v*(1-y);

END.

On note U, V et W les variables al´ eatoires ´ egales aux valeurs des variables u,v et w apr` es l’ex´ ecution du programme.

1. Quelle est la loi de Y ?

2. D´ eterminer la loi de U, en d´ eduire la fonction de r´ epartition de V.

3. Soit x un r´ eel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilit´ es totales que : P (X 6 x) = 1

4

√ x + 3

4 (1 − √ 1 − x) En d´ eduire la densit´ e de X.

5 EDHEC

Exercice 18 (via EDHEC 2001 - Voie E)

On consid` ere une suite (u _n ) _{n∈ N} d´ efinie par son premier terme u ₀ = 1 et par la relation suivante :

∀n ∈ N , u _n+1 u _n + 1 u _n

1. (a) Montrer que chaque terme de cette suite est d´ efini et strictement positif.

(b) En d´ eduire le sens de variation de la suite (u _n ) (c) ´ Etablr que lim n→+∞ u _n = +∞.

2. ´ Ecrire un programme permettant de d´ eterminer et d’afficher le plus petit entier naturel

n pour lequel u _n > 100.

6 ECRICOME

Exercice 19 (via ECRICOME 1999 - Voie E)

a et b sont des r´ eels sup´ erieurs ou ´ egaux ` a 1. On consid` ere la suite num´ erique (u n ) n∈ N d´ efinie par : u ₀ = a, u ₁ = b et pour tout entier naturel n, u _n+2 = √

u _n + √ u _n+1

Ecrire un programme qui calcule et affiche la valeur de ´ u _n , pour des valeurs de a et b sup´ erieures ou ´ egales ` a 1 et de n entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, entr´ ees par l’utilisateur.

7 EML

Exercice 20 (via EML 1993 - Voie S)

On d´ efinit une suite de polynˆ omes (P n ) n∈ N

par :

∀x ∈ R , P ₁ (x) = x ² 2 − x et la relation de r´ ecurrence :

∀n ∈ N ^∗ , ∀x ∈ R , P n+1 (x) = Z x

0

(t − x)P n (t)dt + x ² 2

Z 1 0

P n (t)dt

1. Montrer par r´ ecurrence que pour tout entier naturel n non nul, P _n est de degr´ e 2n. V´ erifier alors que pour tout entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, les coefficients de P _n v´ erifient :

P _n (x) =

2n

X

k=0

a _n,k x ^k avec







a _n,0 = a _n,1 = 0 a _n,2 = ¹ ₂ P 2n−2 k=1

a

k+1

a _n,k = ^a _k(k−1)

pour tout k > 3

2. (a) D´ eclarer un type polynome en Pascal adapt´ e ` a la repr´ esentation des polynˆ omes P _n pour 1 6 n 6 25.

(b) ´ Ecrire une proc´ edure en Pascal prenant pour param` etre un entier n et une variable P de type polynome qui calcule les coefficients de P _n et qui les stocke dans la variable P.

3. Euler a d´ emontr´ e que pour tout entier n non nul, la s´ erie de Riemann de terme g´ en´ eral

1

k

avait pour somme :

+∞

X

k=1

1

k ²ⁿ = β _n π ²ⁿ avec β _n = − 1 2

Z 1 0

P _n (t)dt

Ecrire un programme utilisant la proc´ ´ edure de la question 2 qui permet de calculer β n

pour tout entier n compris entre 1 et 25 fourni par l’utilisateur.

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

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Lyc´ ee Lavoisier Feuille d’extraits de concours

Extraits de Concours

Correction 1 A venir ` Correction 2

1. PROCEDURE Tirage(VAR c : tableau);

VAR

i, alea : integer;

BEGIN

FOR i :=1 TO 100 DO Begin

alea := random(4);

IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3;

End;

END;

2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer;

VAR

S,i : integer;

BEGIN S := 0;

FOR i := 1 TO 100 DO Begin

IF c[i] = 1 THEN S := S+1;

IF c[i] = 2 THEN S := S-1;

End;

difference := S;

END;

Correction 3

1. PROCEDURE Tirage(VAR c : tableau);

VAR

i, alea : integer;

BEGIN

FOR i :=1 TO 100 DO Begin

alea := random(4);

IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3;

End;

END;

2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer;

VAR

S,i : integer;

BEGIN S := 0;

FOR i := 1 TO 100 DO Begin

IF c[i] = 1 THEN S := S+1;

IF c[i] = 2 THEN S := S-1;

End;

difference := S;

END;

Correction 4 VAR

alea,x,y,n,m : integer;

BEGIN

Randomize;

WriteLn(’valeur de m?’);

ReadLn(m);

x := 0;

y := 0;

FOR n := 1 TO m DO Begin

alea := random(3);

IF alea = 0 THEN x := 1 - x;

IF alea = 1 THEN y := 1 - y;

WriteLn(’X’,n,’=’,x,’ et Y’,n,’=’,y);

End;

END.

Correction 5 Correction 6

1. FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer;

VAR

i,k : integer;

BEGIN k := 0;

FOR i := 1 TO n DO IF random < p THEN k := k+1;

NbP := k;

END;

2. PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer);

VAR

nbp,k : integer;

BEGIN k := 0;

nbp := 0;

REPEAT

k := k+1;

IF random < p THEN nbp := nbp+1;

UNTIL nbp = r;

WriteLn(’L"instant d"arret est’,k);

END;

Correction 7 A venir `

Correction 8 A venir `

Correction 9 A venir `

Correction 10 A venir `

Correction 11 A venir `

Correction 12 A venir `

Correction 13 A venir `

Correction 14 A venir `

Correction 15 A venir `

Correction 16 A venir `

Correction 17 A venir `

Correction 18 A venir `

Correction 19 A venir `

Correction 20 A venir `