II Application d’un développement limité à une suite

I Développements limités (quelques rappels)

La théorie des développements limités sera revue plus tard. On ne donne ici que les quelques points utiles à l’étude asymptotique des suites.

I.1 Principes

Soit f une fonction définie sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou com- plexes. On désigne par a un réel qui est un élément deI ou une borne de I. On dit que f admet undéveloppement limité à l’ordren au voisinage dea lorsque, au voisinage dea, on peut écrire

f(x)=

n

X

k=0

αk(x−a)^k + o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢

Autrement dit lorsqu’il existe un réelδ>0 tel que, sur ]a−δ,a+δ[∩I, on ait f(x)=

n

X

k=0

αk(x−a)^k +(x−a)ⁿ²(x) où²(x)−−−→

x→a 0.

I.2 Développements limités usuels

1

1−x =1+x+x²+ · · · +xⁿ+ o

x→0(xⁿ) 1

1+x =1−x+x²+ · · · +(−1)ⁿxⁿ+ o

x→0(xⁿ) ln(1+x)=x−x²

2 +x³

3 + · · · +(−1)ⁿ⁺¹xⁿ n + o

x→0(xⁿ) ln(1−x)= −x−x²

2 −x³

3 + · · · −xⁿ n + o

x→0(xⁿ) (1+x)^α=1+αx+α(α−1)

2 x²+α(α−1)(α−2)

6 x³+ · · ·

+α(α−1) . . . (α−n+1)

n! xⁿ+ o

x→0(xⁿ) e^x=1+x+x²

2 +x³

6 + · · · +xⁿ n! + o

x→0(xⁿ) chx=1+x²

2 +x⁴

24+ · · · + x²ⁿ (2n)!+ o

x→0(x²ⁿ⁺¹) shx=x+x³

6 + · · · + x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!+ o

x→0(x²ⁿ⁺²) cosx=1−x²

2 +x⁴

24+ · · · +(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!+ o

x→0(x²ⁿ⁺¹) sinx=x−x³

6 + · · · +(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!+ o

x→0(x²ⁿ⁺²)

Ces développements sont donnés avec des . . . plutôt qu’avec desΣ. Parce que le plus souvent, on utilise le début du développement, pas sa forme générale.

Probablement, dans les problèmes et exercices posés aux concours, les déve- loppements les plus utilisés sont

ln(1+x)=x−x² 2 + o

x→0(x²) 1

1+x =1−x+ o

x→0(x) 1

1+x =1−x+x² 2 + o

x→0(x²)

I.3 Ailleurs qu’en 0

On remarque que tous les développements limités usuels sont au voisinage de 0. Si on doit chercher un développement de f(x) au voisinage dea, on fait en général le changement de variableu=x−a, c’est-à-dire qu’on définit

g(u)=f(u+a) f(x)=g(x−a)

et on est ramené à chercher un développement degau voisinage de 0. D’ailleurs, la définition vue plus haut :

« On dit que f admet undéveloppement limité à l’ordren au voisinage dea lorsque, au voisinage dea, on peut écrire

f(x)=

n

X

k=0

αk(x−a)^k + o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢

»

gagne à être plutôt écrite : « On dit que f admet un développement limité à l’ordrenau voisinage dealorsque, au voisinage dea, on peut écrire

f(a+u)=

n

X

k=0

αku^k + o

u→0

¡uⁿ¢

»

et on en arrive donc à la remarque bien commode : un développement limité est toujours un développement limité au voisinage de 0.

Quelquefois, il suffit d’utiliser des propriétés fonctionnelles pour se ramener au développement usuels. Par exemple, si on cherche un développement limité de ln au voisinage dee à l"ordre 2, on écrira

ln(e+u)=

Si on cherche un développement limité de exp au voisinage debà l’ordren, on écrira

e^b+u=

Le plus fréquent est de chercher un développement limité de x7−→ 1 a+x au voisinage de 0 (a6=0). Par exemple, à l’ordre 3 :

1 a+x =

II Application d’un développement limité à une suite

II.1 Principe

C’est très simple : on peut appliquer un développement limité enaà une suite qui converge versa.

Plus précisément : si, au voisinage dea, f(x)=

p

X

k=0

αk(x−a)^k + o

x→a

¡(x−a)^p¢ et si la suite (u_n) converge versa, alors

f(u_n)=

p

X

k=0

αk(u_n−a)^k + o

n→+∞

¡(u_n−a)^p¢

La démonstration de ce résultat est simple et intéressante (même si elle ne sera probablement jamais demandée au concours) : le développement limité peut s’écrire comme une limite :

f(x)−

p

X

k=0

αk(x−a)^k (x−a)^p −−−→

x→a 0

(ce n’est pas sous cette forme qu’on l’utilise, mais c’est intéressant pour mon- trer des résultats théoriques). Et il suffit ensuite d’utiliser le résultat général sur la « composition des limites » (qui sera vu plus tard) pour obtenir

f(u_n)−

p

X

k=0

αk(u_n−a)^k

(u_n−a)^p −−−−−→

n→+∞ 0

(on suppose pour écrire ce quotient que la suite (un) converge vers a sans prendre la valeura, ce qui est à peu près toujours le cas en pratique).

II.2 Développement asymptotique

L’application du paragraphe précédent à la suite de terme général u_n=sin

³π 2ⁿ

´

donne par exemple

u_n= π

2ⁿ− π³ 6×2³ⁿ+o

µ 1 2⁴ⁿ

¶

à condition de penser à dire que π

2ⁿ −−−−−→

n→+∞ 0

On peut aussi réécrire ce développement sous la forme u_n= π

2ⁿ− π³ 6×8ⁿ+o

µ 1 16ⁿ

¶

Il s’agit d’un développement asymptotique. Le programme sur ce sujet est clair : aucune théorie des développements asymptotiques n’est à connaître. Pourtant, on fait beaucoup de tels développements. Mais la théorie ne nous apporterait rien. Le principe est assez simple : on développe une expression en somme de termes tels que le suivant est toujours négligeable devant le précédent. Très souvent, le développement est réduit à un terme, par exemple

ln µ

ch µ1

n

¶¶

= 1

2n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶

et est alors équivalent à

ln µ

ch µ1

n

¶¶

∼ 1 2n²

II.3 Exemples

On en verra un grand nombre en étudiant des séries. Les exemples les plus simples ne sont pas les plus rarement rencontrés.

Exemple 1Trouver un équivalent simple de ln µ

1+1 n

¶

−1 n.

− 1 2n² Exemple 2Trouver un équivalent simple de ln

µ cos

µ1 n

¶¶

.

− 1 2n²

Exemple 3Montrer que la suite de terme généralu_n= e^1/n−1

e^−1/n−1 converge. On appelle`sa limite. Déterminer un équivalent deu<sub>n</sub>−`.

Plutôt que de faire les deux séparément, ce qui est possible (déterminer un équivalent du numérateur et un du dénominateur se fait de tête, d’où la limite (−1)), développons suffisamment pour avoir la limite et l’équivalent :

u_n= 1 n+ 1

2n²+o µ 1

n²

¶

−1 n + 1

2n²+o µ 1

n²

¶

On met en facteur en haut et en bas le terme prépondérant (on fait toujours ça. . .) :

u_n= − 1+ 1

2n+o µ1

n

¶

1− 1 2n+o

µ1 n

¶

et donc, utilisant le développement au voisinage de 0 de 1/(1−u) : u_n= −

µ 1+ 1

2n+o µ1

n

¶¶

× µ

1+ 1 2n+o

µ1 n

¶¶

et finalement

u_n= −1−1 n+o

µ1 n

¶

Donc`= −1, l’équivalent cherché est−1/n.

Exemple 4Même question avec la suite de terme généralv_n=

³ 1+x

n

´n

,xétant un réel quelconque fixé.

Même technique que dans l’exercice précédent, on pousse le développement un cran plus loin qu’il ne serait nécessaire pour aboutir à la limite :

vn=exp

³ nln

³ 1+x

n

´´

Donc

vn=exp µ

n µx

n− x² 2n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶¶¶

=exp µ

x− x² 2n+ o

n→+∞

µ1 n

¶¶

On utilise la propriété de morphisme de l’exponentielle, on met en facteure^x, on utilise le développement limité dee^x au voisinage de 0 :

v_n=e^x µ

1−x² n + o

n→+∞

µ1 n

¶¶

La limite este^x (il vaut mieux le savoir), l’équivalent cherché est−x²e^x car ce terme est non nul ! 2n

En effet, une remarque importante en pratique, faite en TD, est la suivante : si on trouve par exemple un résultat du type

u_n=a n+ o

n→+∞

µ1 n

¶

on peut déduire queu_n ∼

n→+∞

a

n seulement si a6=0. D’une manière générale, un développement limité ou asymptotique permet de déduire un équivalent si ce développement n’est pas réduit à un petit o.

Exemple 5Déterminer un développement asymptotique à trois termes de (n+1) lnn−nln(n+1).

Ne pas se laisser impressionner par l’apparente symétrie de l’expression : le premier terme est somme de deux termes d’ordres de grandeur différents, qu’il

s’agit donc de séparer, dans le second, en revanche, on utilise la tactique habi- tuelle de mise en facteur du terme prépondérant.

u_n=nlnn+lnn−nlnn−nln µ

1+1 n

¶

et on est ramené, vu que 1

n −−−−−→

n→+∞ 0, à une utilisation simple du développe- ment de ln(1+u) au voisinage de 0 :

u_n=lnn−1+ 1 2n+ o

n→+∞

µ1 n

¶

Exemple 6Déterminer un développement asymptotique à deux termes de la suite de terme généralun=

µ cos1

n

¶n

D’abord, on met tout sous forme exponentielle-logarithme (on peut, car cos(1/n)>

0 dès quen≥1) :

un=exp µ

nln µ

cos1 n

¶¶

Cela s’annonce bien, car on développe maintenant le cosinus (on peut, vu que 1

n −−−−−→

n→+∞ 0) : cos1

n =1− 1 2n²+o

µ 1 n²

¶

(pourquoi peut-on s’arrêter là ? en fait, il n’est possible de voir que c’est suffisant que si on anticipe un peu sur la suite). Donc

ln µ

cos1 n

¶

= − 1 2n²+o

µ 1 n²

¶

(grâce à ln(1+u)=u+ o

u→0(u)).

Puis, encore grâce au développement de l’exponentielle à l’ordre 1 au voisinage de 0 :

u_n=1−2 n+ o

n→+∞

µ1 n

¶

Exemple 7(Dans un oral des Mines) Soitxun réel fixé dans ]−1, 1[. Donner un développement asymptotique à deux termes de (−1)ⁿ

n(1−xⁿ). Commexⁿ−−−−−→

n→+∞ 0, on peut appliquer directement le développement de 1/(1−u) au voisinage de 0 :

(−1)ⁿ

n(1−xⁿ)=(−1)ⁿ n

³

1+xⁿ+ o

n→+∞(xⁿ)´

=(−1)ⁿ

n +(−1)ⁿxⁿ

n + o

n→+∞

µ(−1)ⁿxⁿ n

¶

Remarque : ici, indexer lesoa du sens, même pour soi-même (on pourrait avoir envie de faire un développement limité au voisinage de x =0 àn fixé, ce ne serait pas du tout le même problème, mais les calculs ressembleraient.

Exemple 8Déterminer un développement asymptotique à deux termes de la suite de terme généralun= 1

n+sinn

On n’a pas de problème de définition. On met en facteur le terme prépondérant dans le dénominateur (technique très habituelle, donc) :

u_n= 1

n× 1 1+sinn

n Commesinn

n −−−−−→

n→+∞ 0, on peut utiliser le développement de 1

1+x au voisinage de 0 :

u_n= 1 n µ

1−sinn n + o

n→+∞

µsinn n

¶¶

= 1

n−sinn n² + o

n→+∞

µsinn n²

¶

Exemple 9Trouver un équivalent de ln

µn−lnn n+lnn

¶

On pourrait commencer par la définition, qui ne pose pas de problème consi- dérable (à partir du rang 1, on prend bien le ln d’un réel>0).

Deux idées intéressantes : mettre en facteur, dans une somme, le terme prépon- dérant. Dans la sommen±lnn, ce terme prépondérant estn. Et aussi, utiliser la propriété de morphisme de ln

On retrouve dans ces derniers exemples l’utilisation d’un principe important : la mise en facteur, dans une somme, du terme prépondérant. Appelonsun le terme ci-dessus :

un=ln µ

1−lnn n

¶

−ln µ

1+lnn n

¶

On dira bien que lnn

n −−−−−→

n→+∞ 0, pour pouvoir appliquer le développement li- mité au voisinage de 0 de ln(1+u). A l’ordre 1, ça suffit, puisque

u_n= −2lnn n + o

n→+∞

µlnn n

¶

La réponse est donc :−2lnn n .