Université BORDEAUX 1 L2/2015 Topologie des espaces métriques
Liste d’exercices n
o1
(Espaces topologiques)
Exercice 1
SoitE={1,2,3,4,5}.Lesquelles des familles suivantes définissent des topologies surE? T1={∅,{1}}, T2={∅,{1}{1,2,3,4,5}}, T3={∅,{1},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}},
T4={∅,{1,2},{2,4},{1,2,3,4,5}}.
Exercice 2
Donner toutes les topologies sur un ensemble à 3 éléments.
Exercice 3
SoitRmuni de la topologie usuelle.
1. Trouver les intérieurs et adhérences des ensembles suivants. Lesquels sont ouverts ? fermés ? (a)R (b)]0,1[∪]1,3[; (c)[0,3[; (d){6}; (e) {n1 :n∈(Z+)∗}.
2. SoitA={n1 :n∈(Z+)∗}∪]1,2[∪]2,3[∪{4} ∪(Q∩]7,8]).Déterminer les points limites et les points isolés du sous-ensembleA. Déterminer les parties suivantes :
◦
A,
◦
A,
◦
◦
A, A,
◦
A,
◦
A.
Exercice 4 (espace topologique séparé)
Soit(X,T) un espace topologique. On dit que T est séparée, (ou que l’espace (X,T) est séparé) si pour tout(x, y)∈X2,x6=y, il existe deux ouvertsU, V ∈ T tels queU∩V =∅,x∈U ety∈V.
1. Montrer que la topologie usuelle surRest séparée.
2. Montrer que la topologie discrète sur ensemble X est toujours séparée. À quelle condition la topologie grossière surX est-elle séparée ?
3. Parmi les topologies trouvées à l’exercice 2, lesquelles sont séparées ?
4. Pouver qu’un espace topologique est séparé si et seulement si l’intersection des voisinages fermés d’un point arbitraire est réduite à ce point.
Exercice 5 (topologie des compléments finis)
SoitX un ensemble. On poseT ={U ⊂X;U =∅ ou X\U fini}.
1. Montrer queT est une topologie surX. 2. Décrire T pourX fini.
3. Prouver queT est séparée si et seulement siX est fini.
Exercice 6
On considère l’ensemble des entiers naturelsN muni de la topologie des compléments finis (cf exer- cice 5) notéeT1.
1. Soient A1={1,4}, A2={2n:n∈N}
Trouver les points intérieurs et les points adhérents deA1etA2dansT1. En déduire leurs adhérences et leurs intérieurs.
2. Soit T2 = {∅,{n : n ≥ k}∞k=1,N}. Montrer que T2 définit une topologie sur N et trouver les adhérences et les intérieurs deA1 etA2dans(E,T2).
Exercice 7
Soit(X,≤)un ensemble ordonné. Sia∈X, on pose
[a,→[={x∈X;a≤x} et ]←, a] ={x∈X;x≤a}.
On noteS ⊂ P(X)l’ensemble des réunions de parties de la forme[a,→[.
1. Soient a, b ∈ X. Si x ∈ [a,→ [∩[b,→ [, vérifier que [x,→ [ est inclus dans [a,→ [∩[b,→ [. En déduire que[a,→[∩[b,→[∈ S, puis queT =S ∪ {∅} ⊂ P(X)est une topologie surX.
2. Dans cette question, on prend X=N muni de l’ordre usuel. ComparerT avecT2(cf exercice 6).
3. Si x /∈]←, a](a, x∈X), vérifier que[x,→[∩]←, a] =∅. En déduire que]←, a]est fermé.
4. Prouver que l’adhérence (pourT) d’un pointa∈X (c’est-à-dire de{a}) vaut]←, a].
5. Si aet b sont deux points distincts de X, montrer qu’il existe un voisinage (pour T) de l’un ne comprenant pas l’autre. [on distinguera deux cas, suivant queaetb sont comparables ou non]
6. Expliciter T quand X est l’ensemble des parties d’un ensemble à deux éléments, ordonné par l’inclusion.
