Aide `
a l’interpr´
etation des signaux cyclostationnaires
F. Bonnardot, A. Al Zohbi, M. El Badaoui, F. Guillet
Laboratoire d’Analyse des Signaux et des Processus Industriels (LASPI) IUT GIM de Roanne
20, avenue de Paris 42 334 Roanne Cedex
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
R´esum´e : Les signaux vibratoires issus de machines tournantes telles que les engrenages pr´esentent des propri´et´es statistiques p´eriodiques selon l’angle (cyclostationnarit´e). Il est alors int´eressant d’´etudier les signaux non seulement suivant le tour mais aussi suivant l’angle et ainsi de faire des statistiques synchrones. Dans ce contexte nous proposons d’´elaborer des tests statistiques pour discriminer les composantes cyclostationnaires du bruit.
Mots-cl´es : Cyclostationnarit´e, Tests d’hypoth`ese, Analyse vibratoire, Engrenages, Sta-tistiques
Introduction
Les signaux vibratoires issus de machines tournantes sont cycliques (cyclostationna-rit´e). Des outils de diagnostic ont ´et´e con¸cus afin de tirer parti de cette propri´et´e [1] [2] [3] [4] [5] [6]. Nous proposons de revoir deux de ces outils : la moyenne synchrone et la variance synchrone du point de vue statistique afin de d´efinir des seuils permettant de discerner la partie interpr´etable de la partie bruit´ee.
Une premi`ere partie pr´esente la cyclostationnarit´e, une deuxi`eme partie traite du calcul des seuils statistiques. Dans une troisi`eme partie, des exemples sont pr´esent´es.
1
Cyclostationnarit´
e
1.1
Mise en ´
evidence de la cyclostationnarit´
e
Les signaux issus de machines tournantes telles que les engrenages pr´esentent des statistiques p´eriodiques. Pour ces machines, nous avons choisi non pas d’acqu´erir des signaux vibratoires en fonction du temps mais plutˆot en fonction de la variable g´en´erique : l’angle. De cette mani`ere, on obtient r´eellement des signaux avec des propri´et´es statistiques p´eriodiques.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Angle (degrés) Accélération (m/s −2 )
Figure 1 – 10 premiers tours
Afin de mettre en ´evidence cette p´eriodicit´e, il est possible de consid´erer chaque tour comme une r´ealisation et de superposer ces r´ealisations. On obtient ainsi la repr´esentation de la figure 2. 0 50 100 150 200 250 300 350 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Angle (degrés) Accélération (m/s −2 ) 10 tours
Figure 2 – Superposition des 10 premiers tours
Pour des signaux issus d’engrenages, il est ´egalement int´eressant d’utiliser comme p´eriode l’angle entre le choc de deux dents identiques au lieu de 360 degr´es.
1.2
D´
efinitions
Cette repr´esentation nous incite `a faire des statistiques “verticales” c’est `a dire des moyennes d’ensemble [7]. On pourra alors d´efinir la moyenne synchrone (1 ), le r´esidu, ainsi que la variance synchrone (3 ). La figure 3 montre ces statistiques calcul´ees pour chaque configuration angulaire de la machine.
ˆ m (θ) = 1 K K−1 X i=0 s (θ + i · per modulo N ) (1 ) ˆ r (θ) = s (θ) − ˆm (θ) (2 ) ˆ vs (θ) = 1 K K−1 X i=0 ˆ r (θ + i · per modulo N )2 (3 ) 0 50 100 150 200 250 300 350 Variance synchrone Moyenne synchrone 1 er tour Angle (degrés) Accélération (m/s −2 )
Figure 3 – Statistiques synchrones
On voit clairement ici que la moyenne et la variance ne sont pas constantes comme dans le cas stationnaire mais p´eriodiques suivant θ. On parle alors de cyclostationnarit´e. Un signal est cyclostationnaire `a l’ordre n si ses n premiers moments d’ordre n existent et sont p´eriodiques.
— A l’ordre 1, la cyclostationnarit´e se traduit par l’existence de la moyenne synchrone que l’on estimera `a l’aide de (1 ).
— A l’ordre 2, elle se traduit par l’existence et la p´eriodicit´e de la fonction de co-variance Kss(θ, τ ) = Er θ + τ2 · r∗ θ −τ2
= Kss(θ + per, τ + per). On se
limitera ici `a l’´etude de la variance synchrone vs (θ) = Kss(θ, 0). La variance
syn-chrone va traduire la dispersion du signal autour de sa moyenne pour un angle donn´e.
2
Calcul des seuils
2.1
Seuil pour la moyenne synchrone
On mod´elise le signal s (θ) par :
s (θ) = m (θ) + cs (θ) + b (θ) (4 )
O`u
— m (θ) est la moyenne synchrone du signal (partie p´eriodique),
— cs (θ) est la partie cyclostationnaire `a l’ordre sup´erieur `a ou ´egal `a deux,
— b (θ) est un bruit stationnaire ind´ependant de m (θ) et de cs (θ) que l’on supposera Gaussien centr´e et d’´ecart type σb.
Dans le cas d’un signal stationnaire, on aura une composante p´eriodique nulle m (θ) = 0 et cs (θ) = 0. Le calcul de la moyenne synchrone sur le signal s (θ) = r (θ) = b (θ) ´
equivaut au calcul de per moyennes de K points sur b (θ). On aura donc : m (θ) → N
0,√σb
K
dans le cas stationnaire (5 )
Ainsi dans le cas stationnaire, la moyenne est destructive (on d´etruit le signal qui est constitu´e uniquement de bruit). De plus, dans ce cas la moyenne synchrone qui sera une simple moyenne ne d´ependra plus de θ.
Dans le cas cyclostationnaire, l’estimateur de moyenne synchrone ˆm (θ) d´efini dans (1 ) va tendre vers la moyenne synchrone m (θ) qui est d´eterministe. On va donc rechercher un seuil λ permettant de dire avec un risque d’erreur de α si on se trouve face `a un bruit m (θ) < λ ou si on est dans le cas cyclostationnaire m (θ) ≥ λ. Pour ´elaborer ce seuil, il sera n´ecessaire d’estimer la variance. On utilise pour cela le r´esidu (6 ).
r (θ) = cs (θ) + b (θ) (6 )
Comme cs (θ) et b (θ) sont ind´ependants et que b (θ) est stationnaire, la variance synchrone sera :
vs (θ) = vcs(θ) + σb2 o`u vcs(θ) est la variance synchrone de cs (θ) (7 )
D`es lors, on estimera σ (θ) par : ˆ σ (θ) = r ˆ vs (θ) · K K − 1 (8 )
D’apr`es l’´equation (5 ), dans le cas stationnaire, ˆm (θ) suit une loi Gaussienne d’´ecart type √σ
K. ´Etant donn´e que l’on utilise un estimateur pour σ (8 ), ˆ m(θ) ˆ
σ/√K suivra une loi
Student tβ `a K − 1 degr´es de libert´e.
L’´equation (9 ) conduit `a fixer un seuil λ tel que : λ = t1−α · ˆ σ (θ) √ K (10 )
Des applications pourront ˆetre trouv´ees dans le chapitre suivant.
2.2
Seuil pour la variance synchrone
La d´efinition du seuil pour la variance synchrone est bas´ee sur celle de la cyclostatio-narit´ee `a l’ordre 2 : un signal est cyclosationnaire `a l’ordre 2 si ses 2 premiers moments existent et sont p´eriodiques. Si le signal est cyclostationnaire `a l’ordre 2, sa variance synchrone sera p´eriodique et sous la forme indiqu´ee par l’´equation (7 ). Dans le cas sta-tionnaire la variance synchrone sera constante et ´egale `a σ2
b. Le test statistique que l’on va
´
elaborer sera donc un test de Fisher-Sn´ed´ecor. Il permettra de comparer deux ´echantillons afin de savoir s’ils sont issus de la mˆeme population normale.
Dans le cas stationnaire le calcul de la variance synchrone vs (θ) revient au calcul de per variances avec des ´echantillons de K points pris dans une mˆeme population.
Dans le cas cyclostationnaire la variance synchrone vs (θ) n’est plus constante et d´epend de θ. On pourra alors ais´ement imaginer que l’on travaille avec K ´echantillons issus de populations normales diff´erentes. Ce cas sera mis en ´evidence par le test de Fisher-Sn´ed´ecor.
Pour ´elaborer le test, il est n´ecessaire de choisir une s´erie d’´echantillons de r´ef´erence. Pour se rapprocher du cas stationnaire, on choisira l’ensemble des θ + i · per, i ∈ N tel que v (θ) soit minimale cf. (7 ) et on appellera vsmin cette quantit´e. On aura alors dans le
cas stationnaire :
vs (θ) vsmin
→ Fβ o`u Fβ est la loi de Fisher-Sn´ed´ecor `a (per − 1, per − 1) degr´es de libert´e
(11 ) Donc, pour valider l’hypoth`ese de cyclostationnarit´e `a l’ordre 2, avec un risque de se tromper 1 − α on exigera : ˆ vs (θ) ˆ vsmin ≥ F1−α (12 )
L’´equation (12 ) conduit `a fixer un seuil ι tel que :
ι = F1−α· ˆvsmin (13 )
3
Illustrations
calculant le kurtosis (moment d’ordre 4) du r´esidu. Si le kurtosis vaut 3, l’hypoth`ese sera v´erifi´ee. Dans le cas contraire, cela signifie que le r´esidu ne suit pas une loi Gaussienne. Le kurtosis ´etant un indicateur de d´efaut pour les engrenages [4], on peut supposer que dans le cas non Gaussien, le d´efaut sera suffisamment important et se d´etachera distinctement du reste du signal.
3.1
Seuil pour la moyenne synchrone
La figure (4) illustre l’utilisation du seuil. La courbe (a) qui montre le premier tour permet de se rendre compte de la quantit´e de bruit qui a ´et´e ajout´ee. La figure (b) montre la moyenne synchrone et le seuil associ´e calcul´e sur K = 2500 tours. ´Etant donn´e le nombre de moyennes, on obtient un seuil tr`es bas. Ce signal pourra donc ˆetre consid´er´e comme un signal de r´ef´erence. Il sera compar´e au signal (c) qui est une moyenne synchrone sur K = 30 tours. Le seuil qui est ici beaucoup plus ´elev´e, va indiquer une zone correspondante `a une moyenne synchrone nulle avec un risque de se tromper de α. En cons´equence, toute valeur `
a l’int´erieur de la zone pourra ˆetre nulle et ne sera pas interpr´etable (ceci est facilement v´erifiable en comparant les courbes (b) et (c) aux alentours du 350eme ´echantillon.).
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −0.2 0 0.2 Accélération (m/s −2 ) a. 1 tour 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Accélération (m/s −2
) b. Moyenne synchrone estimée sur K=2500 tours et seuil
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Accélération (m/s −2
) c. Moyenne synchrone estimée sur K=30 tours et seuil
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −5 0 5 x 10−3 Echantillons Accélération (m/s −2
) d. Moyenne synchrone estimée avec une mauvaise période per=502 au lieu de 512 − K=2549 tours
La courbe (d) sugg`ere une autre utilisation pour le seuil : la d´etection de cyclostation-narit´e. Pour cette courbe, une p´eriode de 502 points a ´et´e utilis´ee au lieu de 512 points (1 tour). D`es lors, on a un signal qui n’est plus cyclostationnaire `a l’ordre 1 pour la p´eriode cyclique 502. Il est donc naturellement en dessous du seuil. En tirant parti de cette re-marque, il est alors possible en comptabilisant le pourcentage de signal au-dessus du seuil pour diff´erentes p´eriodes de d´etecter le ou les cycles pr´esents dans le signal.
3.2
Seuil pour la variance synchrone
La mˆeme m´ethode a ´et´e utilis´ee pour ´etudier le seuil de la variance synchrone. L’am-plitude du bruit ajout´e au signal a toutefois ´et´e r´eduite. On peut voir que les courbes (b) et (c) se situent au-dessus de la droite en pointill´es symbolisant la fronti`ere entre la zone stationnaire et la zone cyclostationnaire. N´eanmoins, la variance synchrone est estim´ee avec beaucoup moins de pr´ecision pour la courbe (c) `a cause du nombre de moyennes plus faible. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −0.1 0 0.1 0.2 Accélération (m/s −2 ) a. 1 tour 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 1 2 3
x 10−3 b. Variance synchrone estimée sur K=2500 tours et seuil
Variance (m 2/s −4 ) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 2 4 6x 10
−3 c. Variance synchrone estimée sur K=30 tours et seuil
Variance (m 2/s −4 ) 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6
x 10−3 d. Variance synchrone estimée avec une mauvaise période per=629 au lieu de 512 − K=2549 tours
Echantillons
Variance (m
2/s
−4
)
Figure 5 – Illustration du seuil pour la variance synchrone
Pour ce test, le rapport signal sur bruit a une grande importance, en effet d’apr`es l’expression (7 ) la “composante continue” de la variance synchrone est li´ee `a la variance du bruit σ2
b. Si cette variance devient trop importante, elle va “noyer” la partie vcs(θ) qui
deviendra n´egligeable. D`es lors, on risque de confondre ce signal avec un signal station-naire.
Conclusion
Cet article a permis de d´efinir des seuils constituant une aide pour l’interpr´etation des statistiques synchrones. L’utilisation des ces seuils peut ˆetre ´egalement mise `a profit pour d´etecter la cyclostationnarit´e d’une mani`ere simple ou rechercher la p´eriode des cycles. Il est important toutefois de ne pas oublier de v´erifier que le r´esidu est bien gaussien car dans le cas contraire le calcul des seuils ne serait pas valide.
Il serait ´egalement int´eressant d’´etendre ces calculs pour les autres outils de la cyclo-stationnarit´e.
R´
ef´
erences
[1] J. Antoni. Apport de l’´echantillonnage angulaire et de la cyclostationnarit´e au diag-nostic par analyse vibratoire des moteurs thermiques. Th`ese de doctorat, INPG, Gre-noble, 2000.
[2] F. Bonnardot. Analyse vibratoire : Approche cyclostationnaire et d´eterministe. CNR IUT 2002, Le Creusot, France, 2002.
[3] C. Capdessus. Aide au diagnostic des machines tournantes par traitement du signal. Th`ese de doctorat, INPG, Grenoble, 2002.
[4] M. El Badaoui. Contribution au diagnostic vibratoire des r´educteurs complexes `a en-grenages par analyse cepstrale synchrone. Th`ese de doctorat, Universit´e Jean Monnet, St Etienne, 1999.
[5] M. El Badaoui, F. Guillet, J. Dani`ere Surveillance de syst`emes complexes `a engre-nages par analyse cepstrale synchrone. Revue Traitement du Signal volume 16 no5
1999 pp.371-381.
[6] J. Antoni, J. Dani`ere, F. Guillet. Moments spectraux du spectre de Wigner-Ville - Relation avec le cepstre diff´erentiel moyen et application aux signaux vibratoires cyclostationnaires de machines tournantes. Revue Traitement du Signal volume 17 no5/6 2000.
