BÉGYN Arnaud
Cours de mathématiques
PCSI
PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/
TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Logique - Théorie des ensembles 5
2 Arithmétique, dénombrement et manipulation des symbolesΣetΠ 47
3 Nombres complexes 79
4 Généralités sur les fonctions numériques 109
5 Dérivées, primitives et équations différentielles 141
6 Suites réelles et complexes 157
7 Calcul matriciel et systèmes linéaires 185
8 Compléments sur les suites 221
9 Limites et comparaison des fonctions numériques 237
10 Continuité des fonctions numériques 277
11 Polynômes 297
12 Dérivabilité des fonctions numériques 323
13 Introduction aux espaces vectoriels 349
14 Espaces probabilisés finis 377
15 Espaces vectoriels de dimension finie 401
16 Intégration sur un segment 413
17 Applications linéaires 435
18 Variables aléatoires discrètes finies 457
19 Compléments sur les matrices 477
20 Séries numériques 507
21 Produits scalaires et espaces euclidiens 529
22 Couples de variables aléatoires 551
5
Chapitre 1
Notions élémentaires de logique et de théorie des ensembles
Sommaire
1 Notations . . . . 6
2 Logique . . . . 7
2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats . . . 7
2.2 Implication et équivalence . . . 8
2.3 Autres types de raisonnement . . . 10
2.4 Raisonnements par récurrence . . . 11
3 Ensembles . . . 12
3.1 Définitions . . . 12
3.2 Opérations sur les ensembles . . . 17
3.3 Produits cartésiens et familles d’éléments . . . 20
4 Applications . . . 23
4.1 Définitions . . . 23
4.2 Loi de composition . . . 26
4.3 Injection, surjection, bijection . . . 27
4.4 Fonctions caractéristiques . . . 33
4.5 Images directe et réciproque . . . 33
4.6 Relations d’équivalence . . . 34
5 Compétences à acquérir sur ce chapitre . . . 36
6 Exercices . . . 38
1 Notations
Traditionnellement, les objets mathématiques (nombres, fonctions...) sont notés avec une lettre de l’alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitale etc...
Lorsqu’on se donne une liste denobjets on utilise un indice :x1,x2, ...,xn.
On peut aussi utiliser un indice supérieur, placé entre parenthèses pour ne pas le confondre avec la puissance :x(1),x(2), ...,x(n).
Lorsqu’on considère un tableau de nombres, on a recourt au double-indiçage : xi,j désigne l’élément situé à l’intersection de la lignei et de la colonnej.
Pour varier les notations, on utilise aussi l’aplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous les minuscules et majuscules. Il est impératif de bien le connaitre (sous peine de faire sourire son examinateur à l’oral).
Minuscule Majuscule Nom
α A Alpha
β B Bêta
γ Γ Gamma
δ ∆ Delta
ǫ E Epsilon
ζ Z Dzéta
η H Êta
θ Θ Thêta
ι I Iota
κ K Kappa
λ Λ Lambda
µ M Mu
Minuscule Majuscule Nom
ν N Nu
ξ Ξ Xi
o O Omicron
π Π Pi
ρ P Rhô
σ Σ Sigma
τ T Tau
υ Υ Upsilon
ϕ Φ Phi
χ X Chi
ψ Ψ Psi
ω Ω Omega
On utilisera aussi les abréviations suivantes : - cqfd = ce qu’il fallait démontrer : - ie = id est = c’est-à-dire;
- p/r = par rapport à;
- resp. = respectivement.
Ce cours de mathématiques est organisé selon une série dedéfinitions, signalées par un cadre vert et par une série dethéorèmessignalés par un cadre rouge.
Le tout est illustré par des exemples et des exercices, ces derniers étant signalés par un crayon à papier. Certains chapitres comportent des explications sur la manière de rédiger; celles-ci sont elles aussi en italique.
Le motthéorèmeest réservé à des résultats mathématiques jugés importants. Dans le cas d’un théorème « facile », on utilise le motproposition. Parfois, on reformule certains théorèmes dans des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors de corollaire. Enfin certaines démonstrations plus ardues que les autres nécessiteront de démontrer des petites propositions intermédiaires appeléeslemmes.
2 Logique 7
2 Logique
2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats
Unprédicat(ou uneassertion) est un énoncé mathématique qui est soitjuste, soitfaux. On dit qu’un prédicat ne peut prendre quedeux valeurs logiques: V ou F (i.e. Vrai ou Faux).
Par convention, lorsqu’on énonce un prédicat, on sous-entend toujours qu’il est vrai.
Exemple:« La fonctionf est croissante sur l’intervalleI. »
SoientAetB deux prédicats. On définit les opérations suivantes.
• Négation.Lanégation(ou contraire) de A est notéenon(A). Elle est définie par latable de véritésuivante :
A non(A)
V F
F V
On voit facilement quenon(non(A)) etAprennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
• « Et ».Le prédicat³
A et B´
est défini par :
A B A et B
V V V
F V F
V F F
F F F
On voit facilement que³
A et B´ et³
B et A´
prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
• « Ou ».Le prédicat³
A ou B´
est défini par :
A B A ou B
V V V
F V V
V F V
F F F
On voit facilement que³
A ou B´ et³
B ou A´
prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
Remarquons qu’il s’agit d’un « ou »inclusif, c’est-à-dire que les deux prédicats peuvent être vrais en même temps (contrairement au « ou » exclusif).
1. Les prédicatsnon(A et B) et ³
non(A) ou non(B)´
prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.
2. Les prédicatsnon(A ou B) et ³
non(A) et non(B)´
prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.
Proposition 1 – Lois de Morgan
2.2 Implication et équivalence
• Implication :Le prédicatA=⇒B est défini par : A B A=⇒B
V V V
F V V
V F F
F F V
En français, on traduit le prédicatA=⇒B par :
⋆ siAest vraialorsB est vrai;
⋆ pour queAsoit vraiil faut queB soit vrai;
⋆ pour queB soit vraiil suffitqueAsoit vrai.
On dit aussi que :
⋆ Aest unecondition suffisantepourB;
⋆ B est unecondition nécessairepourA.
Exemple.On poseA= « Paul est en Sup1 » etB = « Paul est en PCSI ». Il est clair queA=⇒B est vrai. Par contre on n’a pasB =⇒A (Paul est peut-être en Sup2). Dans ce cas, on dit que la réciproquede l’implicationA=⇒B est fausse. On peut donc dire :
⋆ « pour que Paul soit en Sup1, il faut qu’il soit en PCSI »
⋆ « pour que le Paul soit en PCSI, il suffit qu’il soit en Sup1 ».
BOn ne peut pas dire « pour que Paul soit en PCSI, il faut qu’il soit en Sup1 ».
Rédaction.Pour montrer que A=⇒B, on doit procèder de la façon suivante : on suppose que le prédicat A est vrai; on doit alors montrer que B est vrai.
Exemple.Soitnun entier naturel. Montrer que : 6 divisen=⇒3 divisen.
Les prédicatsA=⇒Betnon(B)=⇒non(A) prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.
Proposition 2 – Raisonnement par contraposée
2 Logique 9 Pour montrer que A =⇒ B, on peut donc à la place montrer que non(B) =⇒non(A) : cela s’appelle leraisonnement par contraposée. Il est parfois beaucoup plus simple que le raison- nement « direct ».
Exemple.Soitnun entier naturel. En raisonnant par contraposée, montrer que : n2est pair=⇒nest pair.
Les prédicatsA =⇒B et ³
non(A) ou B´
prennent les mêmes valeurs dans une table de vérite. La négation deA=⇒Best donc³
A et non(B)´ . Proposition 3 – Négation d’une implication
Pour montrer qu’une implication est fausse, on montre donc queAest vraie et queB est fausse.
Exemple.Donner une valeur de l’entier naturel n, pour laquelle la réciproque de
³6 divisen=⇒3 divisen´
est fausse.
BPour une implication ne pas confondre sa réciproque, sa contraposée et son contraire (=négation).
Exemple.Donner la réciproque, la contraposée et le contraire de l’implication
« Paul est en PCSI »=⇒« Paul est en Sup1 ».
• Équivalence :Le prédicatA⇐⇒Best défini par :
A B A⇐⇒B
V V V
F V F
V F F
F F V
Il est clair que les prédicats A⇐⇒B etB ⇐⇒Aprennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.
En français, on traduit la propositionA⇐⇒B par :
⋆ Aest vraisi et seulement si = (ssi)B est vrai;
⋆ pour queAsoit vraiil faut et il suffit queB soit vrai.
On dit aussi queB est unecondition nécessaire et suffisantepourA.
Les prédicatsA⇐⇒B et³¡
A=⇒B¢ et ¡
B =⇒A¢´
prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.
Proposition 4 – Double implication
Pour montrer qu’une équivalence est vraie on raisonne donc généralement par double implication: on montre queA=⇒B est vrai puis quela réciproque B=⇒Al’est aussi.
Rédaction.Pour montrer que A⇐⇒B, on procède par double implication.
⇒ On suppose que le prédicat A est vrai; on doit alors montrer que B est vrai.
On en déduit que A=⇒B.
⇐ On suppose que le prédicat B est vrai; on doit alors montrer que A est vrai.
On en déduit que B=⇒A.
On peut alors conclure que A⇐⇒B.
Exemple.Soitnun entier naturel. Montrer que :n2est pair⇐⇒nest pair.
2.3 Autres types de raisonnement
• Raisonnement par l’absurde. Pour montrer qu’un prédicat A est vrai, on peut choisir de raisonner par l’absurde : on suppose que Aest faux, et on essaye d’aboutir à une contradiction évidente du type 2<1 ou 0<x<0 etc...
Exemple.Montrer quep
2 n’est pas un nombre rationnel.
BNe pas confondre avec le raisonnement par contraposée qui sert à prouver une implication.
•Raisonnement par disjonction de cas. Pour montrer qu’un prédicatAest vrai, on peut choisir de le montrer dans différents cas particuliers plus simples, à condition que l’union de tous ces cas particuliers redonne le cas général. Il est préférable que ces différents cas soient disjoints, mais ce n’est pas une obligation.
Exemple.Montrer que sinest un entier naturel alorsn(n+1)
2 en est un aussi.
• Raisonnement par analyse-synthèse. Le raisonnement par analyse-synthèse permet de déterminer toutes les solutions d’un problème.
La partieanalyseconsiste à raisonner sur une hypothétique solution au problème (on suppose donc qu’il en existe au moins une). On accumule alors des déductions de propriétés qu’elle doit vérifier, du seul fait qu’elle est solution.
La partie synthèse consiste à examiner tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Exemple.Résoudre l’équationx2+x+1=0 par analyse-synthèse.
2 Logique 11
2.4 Raisonnements par récurrence
SoitP(n) un prédicat qui dépend d’un entier natureln.
Exemple.P(n) = « 6 divisen» ouP(n) = « 3 divise 2n».
On se donne aussi un entier natureln0∈Nfixé, et on souhaite démontrer queP(n) est vraie pour tout les entiers naturelsnsupérieurs ou égaux àn0.
Pour cela on ne peut pas le vérifier en égrénant une à une les valeurs den, puisqu’il y en a une infinité! Cette méthode prendrait donc un temps infini.
Par contre on peut utiliser un raisonnement par récurrence, qui consiste à montrer une initialisation(ouamorce) et unehéréditépour le prédicatP(n).
Ce raisonnement se décline sous plusieurs formes.
Initialisation.P(n0) est vrai.
Hérédité.Pournentier naturel fixé tel quen≥n0, on a :³
P(n) vrai=⇒P(n+1) vrai´ Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0.
Théorème 5 – Récurrence simple
C’est un peu comme une chaîne infinie de dominos : l’initialisation consiste à faire tomber le premier domino, et l’hérédité consiste à s’assurer que chaque domino va entraîner le domino suivant dans sa chute. La conclusion est que tous les dominos vont tomber.
Exemple.Pour n entier naturel non nul, montrer par récurrence simple que 1+2+3+ ··· +n=n(n+1)
2 .
BNe pas oublier l’initialisation! Le prédicat P(n) = « 3 divise 2n» est héréditaire mais n’est jamais initialisé.
Initialisation à deux pas.P(n0) etP(n0+1) sont vrais.
Hérédité à deux pas.
Pournentier naturel fixé tel quen≥n0, on a :³
P(n) etP(n+1) vrais=⇒P(n+2) vrai´ Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0.
Théorème 6 – Récurrence à deux pas
On peut reprendre l’analogie des dominos mais cette fois ils sont plus difficiles à faire tomber : il faut le poids de deux dominos successifs pour faire tomber le suivant (c’est l’hérédité à deux pas), et pour amorcer le processus il faut pousser assez fort pour faire tomber les deux premiers dominos (si on ne pousse que le premier, son poids ne suffit pas à faire tomber le second).
Exemple.On poseF0=F1=1 et pournentier naturel,Fn+2=Fn+Fn+1(suite de Fibonacci).
Montrer par récurrence à deux pas que pournentier naturel,Fn≥0.
Ce principe se généralise : on peut démontrer un propriété par récurrence à trois pas, à quatre pas. . .et même àppas pourpun entier naturel fixé.
Initialisation.P(n0) est vrai.
Hérédité forte.
Pournentier naturel fixé tel que³ n≥n0, on a :
P(n0),P(n0+1),...,P(n) vrais=⇒P(n+1) vrai´
Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0. Théorème 7 – Récurrence forte
Cette fois les dominos sont de plus en plus difficiles à faire tomber : pour faire tomber un domino, il faut le poids de tous les dominos précédents. Pour amorcer il suffit de pousser le premier.
Exemple.On poseu1=3 et pourn≥1,un+1= 2 n
¡u1+u2+ ··· +un¢ . Montrer par récurrence forte que pourn≥1,un=3n.
3 Ensembles
3.1 Définitions
Unensemble E est une collection d’objets appeléséléments.
Définition 8 – Ensembles
On notex∈E lorsquexest élément deE, et on dit quex appartient à E. On notex∉E dans le cas contraire, et on dit quex n’appartient pas à E.
3 Ensembles 13 Exemple.Un ensemble peut être défini par extension ie en énumérant la liste de ses éléments entre accolades :
{a} = ensemble formé d’un unique élémenta, appelé «singleton a»
E= ensemble des couleurs d’un jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trèfle, pique}
N= ensemble des entiers naturels = {0,1,2,3,...} (infinité d’éléments) SoitP(x) un prédicat dépendant dexélément deE.
1. LorsqueP(x) est vraipour tousles élémentsxdeE, on le note :
∀x∈E,P(x)
Le symbole∀est appelé quantificateur « quel que soit ».
2. LorsqueP(x) est vrai pourau moins unélémentxdeE, on le note :
∃x∈E;P(x) Le symbole∃est appelé quantificateur « il existe ».
3. LorsqueP(x) est vrai pourun uniqueélémentxdeE, on le note :
∃!x∈E;P(x)
Le symbole∃! est appelé quantificateur « il existe un unique ».
Définition 9 – Quantificateurs
Rédaction.
1. Pour montrer que «∀x∈E, P(x)», on procède de la manière suivante : on se donne x ∈E fixé quelconque et le but est alors de montrer que P(x)est vrai pour cet x.
2. Pour montrer que «∃x∈E;P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver x∈E tel que P(x)soit vrai, par exemple en résolvant une équation d’inconnue x et en prouvant que cette équation a au moins une solution.
3. Pour montrer que «∃!x∈E;P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver un unique x∈E tel que P(x)soit vrai, par exemple en résolvant une équation d’inconnue x et en prouvant que cette équation a une unique solution.
Remarque importante.Pour montrer qu’un prédicatP(n) est vrai pour tout entier natureln, on peut donc faire une preuve « directe » à la place d’une preuve par récurrence. On fixen entier naturel quelconque, et on montre que P(n) est vrai. On obtient alors qu’il est vrai pour tout entier natureln.
BPour montrer que «∀n ∈N, P(n) est vrai », il ne faudra donc pas mélanger preuve par récurrence et preuve directe.
Exemple.Montrer que∀n∈N, 2n+1≥2.
Il faut connaître la négation de ces quantificateurs.
1. Les prédicatsnon¡
∀x∈E,P(x)¢
et∃x∈E;non¡ P(x)¢
sont égaux.
2. Les prédicatsnon¡
∃x∈E;P(x)¢
et∀x∈E,non¡ P(x)¢
sont égaux.
Proposition 10 – Négation des quantificateurs
En particulier dire que « il n’existe pasx∈E pour lequel le prédicatP(x) est vrai » revient à dire que « pour toutx∈E, le prédicatP(x) est faux ».
Nous allons maintenant voir comment comparer deux ensembles.
SoientEetF deux ensembles. On dit queF estinclusdansEet on le noteF⊂EouF ⊆E, lorsque tout élément deF est aussi élément deE, i.e. lorsque :
∀x∈F,x∈E ou encore :
x∈F =⇒x∈E
On dit aussi queF est unsous-ensembledeE, ou queF est unepartiedeE. Définition 11 – Inclusion
Dans le cas contraire, on le noteF6⊆E et on le traduit par :∃x∈F;x∉E. Exemple.N⊂Z.
Exemple.L’ensemble des élèves de Sup1 est inclus dans l’ensemble des élèves du lycée.
BATTENTION : dans l’ensembleRdes nombres réels, on peut toujours comparer deux nombres xet y : on ax≤y etx≥y. On dit que la relation d’ordre≤esttotale. Mais ce n’est pas le cas pour la relation d’inclusion sur les ensembles : siF etE sont deux ensemble quelconques, on peut avoirF6⊆EetE6⊆F.
Exemple.DansR, siF =ZetE=R+=[0,+∞[, alorsF 6⊆E etE6⊆F. Exemple.Sur l’exemple suivant, on a :F 6⊆EetE6⊆F.
E F
3 Ensembles 15 Rédaction.Pour montrer que F⊆E on se donne x∈F fixé quelconque, et on démontre que x∈E.
Exemple.Montrer queN⊆]−1,+∞[.
SiE,F,Gsont trois ensembles : 1. on aE⊆E;
2. siG⊆F etF ⊆EalorsG⊆E.
Proposition 12 – Propriétés élémentaires de la relation d’inclusion
BNe pas confondre les symboles∈et⊆. Ils sont liés par la propriété : x∈E⇐⇒{x}⊆E
SoientEetF deux ensembles.
On dit queE=F lorsqueE⊆F etF ⊆E, i.e. lorsque :x∈E⇐⇒x∈F. Définition 13 – Egalité de deux ensembles
Dans le cas contraire on le noteE6=F.
Exemple.Ecrire le prédicatE6=F avec des quantificateurs.
SiF ⊆EmaisE6⊆F alors on dit queF eststrictement inclusdansE, et on le noteF (E.
Exemple.N(Z.
Exemple.L’ensemble des élèves de Sup1 est strictement inclus dans l’ensemble des élèves du lycée.
BNe pas confondre les symboles :
• non inclusF6⊆E
E F
• strictement inclusF (E
F E
Dans les deux casF 6=E.
Rédaction.Pour montrer que E=F on procède donc par double-inclusion.
⊆ On se donne x∈E fixé quelconque ; on doit alors montrer que x∈F . On en déduit que E⊆F .
⊇ On se donne x∈F fixé quelconque ; on doit alors montrer que x∈E. On en déduit que F ⊆E.
On peut alors conclure que E=F .
Exemple.On peut dire que l’ensemble E des élèves de Sup1 est égal à l’ensemble F des élèves du lycée qui ont des cheveux bruns, si tous les élèves de Sup1 ont les cheveux bruns (E⊆F) et si tous les élèves du lycée qui ont des cheveux bruns sont en Sup1 (F⊆E).
On définit un ensemble particulier qui ne possède pas d’élément.
On appelleensemble vide, noté;, l’ensemble qui ne posséde aucun élément.
Il est inclus dans tout autre ensemble.
Il ne possède qu’un sous-ensemble : lui-même.
Définition 14 – Ensemble vide
Très souvent on définit un sous-ensemblepar compréhensionie en imposant que ses éléments vérifient une certaine propriété.
SoientE un ensemble etP(x) une propriété dépendant dexélément deE. L’ensembleF des éléments deEvérifiant la propriétéP(x) est noté :F ={x∈E;P(x)}.
C’est un sous-ensemble deE.
Définition 15 – Sous-ensemble défini par compréhension
Avec cette notation il n’est plus nécessaire d’énumérer les éléments (comme dans la définition par extension), ce qui est très pratique pour les ensembles infinis. Pour montrer quex∈F il est donc équivalent de montrer queP(x) est vrai.
Exemple.A={x∈R;x2−3x+2≥1} est une partie deR. Exemple.Montrer que©
x∈R; x2−2x+1=0ª
={1}.
SiEest un ensemble, on noteP(E)l’ensemble des partiesdeE.
On a donc pourF un ensemble quelconque :
F ⊆E ⇐⇒ F ∈P(E) Définition 16 – Ensemble des parties
Un ensembleEa toujours comme parties;etE, donc on a toujours; ∈P(E) etE∈P(E).
Exemple.SiEest vide :P(;)={;}6= ;(ensemble à un élément : l’ensemble vide).
SiE est un singleton :P¡ {a}¢
=©
;,{a}ª . SiE a deux éléments :P¡
{a,b}¢
=©
;,{a},{b},{a,b}ª .
3 Ensembles 17 Exemple.On a donc :x∈E⇐⇒{x}⊆E⇐⇒{x}∈P(E)⇐⇒©
{x}ª
⊆P(E).
Terminons ce paragraphe par un paradoxe célèbre et d’énoncé simple, appelé paradoxe de Russel : il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles. Ce paradoxe est plus facile à comprendre sous la forme du paradoxe du barbier : il n’existe pas de barbier qui raserait tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes (et seulement ceux-là). En effet, qui raserait ce barbier?
3.2 Opérations sur les ensembles
SoientAetBdeux parties d’un ensembleE.
1. On définitl’intersection de A et B, notée A∩B, comme étant l’ensemble des élé- ments deEqui appartiennent à Aet àB, ie :
∀x∈E, ³
x∈A∩B ⇐⇒ x∈Aetx∈B´
2. On définitl’uniondeAetB, notéeA∪B, comme étant l’ensemble des éléments de Equi appartiennent àAou àB, ie :
∀x∈E, ³
x∈A∪B ⇐⇒ x∈Aoux∈B´ Définition 17 – Intersection et union de deux parties d’un ensemble
A∩B etA∪B sont donc deux parties deE.
Les figures suivantes représentent l’union et l’intersection de deux ensemblesAetB.
SiA,B etC sont trois parties d’un ensembleE: 1. A∩B⊆A⊆A∪B
2. Associativité : ¡ A∩B¢
∩C=A∩¡ B∩C¢
et ¡ A∪B¢
∪C=A∪¡ B∪C¢ 3. A∩A=A∪A=A A∩ ; = ; A∪ ; =A
4. Commutativité : A∩B=B∩A et A∪B=B∪A 5. Distributivité de∩par rapport à∪: A∩¡
B∪C¢
=¡ A∩B¢
∪¡ A∩C¢ Proposition 18 – Règles de calcul
Distributivité de∪par rapport à∩: A∪¡ B∩C¢
=¡ A∪B¢
∩¡ A∪C¢
La propriété d’associativité de l’union permet de se dispenser des parenthèses et d’utiliser la notation A ∪B ∪C pour l’union de trois ensembles : en effet, cette notation désigne indifféremment (A∪B)∪C ouA∪(B∪C), et ces deux quantités sont égales donc cela ne pose pas de problème de confusion.
La même remarque est valable pour l’intersection : on peut utiliser la notationA∩B∩C. BPar contre, dans une expression mélangeant union et intersection, on ne peut pas se dispenser des parenthèses.
Par exemple la notation A∪B∩C n’a aucun sens! En effet, elle peut désigner (A∪B)∩C ou A∪(B∩C), et comme ces deux quantités sont différentes, on ne sait plus de quoi on parle!
Les figures suivantes représentent l’union et l’intersection de trois ensemblesA,B etC.
Les propriétés de distributivité sont aussi très importantes : elle sont à rapprocher de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition des nombres. Les figures suivantes permettent de visualiser les formulesA∩¡
B∪C¢
=¡ A∩B¢
∪¡ A∩C¢
etA∪¡ B∩C¢
=¡ A∪B¢
∩¡ A∪C¢
.
3 Ensembles 19
On dit que deux parties AetB d’un ensembleE sontdisjointesouincompatibleslorsque A∩B= ;.
Définition 19 – Parties disjointes/incompatibles
BATTENTION! Ne pas confondre AetB disjoints: A∩B= ;, et AetB distincts:A6=B. Deux ensembles disjoints sont distincts (ou vides), mais deux ensembles distincts ne sont en général pas disjoints.
Les figures suivantes représentent deux ensembles distincts mais non disjoints, et deux ensembles disjoints (donc distincts).
B
A A B
Soit Aune partie d’un ensembleE. Lecomplémentairede A dansE, noté∁EA, est défini par :
∁EA=©
x∈E; x∉Aª
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté surE,∁EAest noté plus simplementA.
Définition 20 – Complémentaire
Les figures suivantes représentent une partie Aet son complémentaire (Eest représenté par un rectangle).
SiAest une partie deE: 1. A=A;
2. ; =E et E= ;;
3. A∪A=E et A∩A= ;. Proposition 21 – Règles de calcul
Exemple.SoientAetB parties deE. Montrer queA∩B= ; ⇐⇒ A⊆B.
SiAetB sont deux parties deE: A∩B=A∪B et A∪B=A∩B. Théorème 22 – Lois de Morgan
Les deux figures suivantes permettent de visualiser les lois de Morgan.
Si A et B sont deux parties deE, on appelledifférencede A etB, notée A−B ou A\B, la partie deEdéfinie par :
A\B=A∩B=©
x∈A;x∉Bª Définition 23 – Différence
3.3 Produits cartésiens et familles d’éléments
1. SoientEetF deux ensembles.
On noteE×F l’ensemble des couples (x,y) tels quex∈Eety∈F : E×F =©
(x,y); x∈Eety∈Fª E×F est appeléproduit cartésiendeEet deF.
2. Plus généralement, si E1, E2, ... , En sont n ensembles, on noteE1×E2× ··· ×En l’ensemble desn-uplets(x1,... ,xn) tels quex1∈E1,x2∈E2, ... ,xn∈En.
3. SiE1=E2= ··· =En =E, alorsE1×E2× ··· ×En est notéEn, et ses éléments sont appelésn-listesd’éléments deE.
Définition 24 – Produit cartésien
3 Ensembles 21 Exemple.R3=R×R×R=©
(x,y,z);x∈R,y∈Retz∈Rª .
SoientI={i1,i2,... ,in} un ensemble fini (appelé ensemble d’indices), etE un ensemble.
On dit que (xi)i∈I est unefamille d’éléments de Eindexée parI lorsque, pour chaquei ∈I, xi est un élément deE.
Définition 25 – Famille finie d’éléments deE
Exemple.PourI={1,2,...,n}, (xi)i∈I =(x1,...,xn) est unn-uplet d’éléments deE.
Une famille généralise donc lesn-uplets à des éléments qu’on veut indicer de manière générale, alors que pour lesn-uplets on les numérote toujours de 1 àn. Lesn-uplets sont donc des cas particuliers de famille.
Exemple.(xPierre,xPaul,xJacques) est une famille de 3 éléments mais n’est pas un 3-uplet.
Dans la suite,I={i1,i2,... ,in} est un ensemble fini.
On dit que (Ai)i∈I est une famille de parties deE, lorsque pouri∈I,Ai est une partie deE. Définition 26 – Famille finie de parties deE
Dans ce cas (Ai)i∈I est une famille d’éléments de P(E), au sens de la définition donnée précédemment.
Exemple.
µ·
1,1+1 k
·¶
1≤k≤nest une famille de parties deR.
Si (A[ i)i∈I est une famille finie de parties deE, on définitl’uniondesAi pouri ∈I, notée
i∈I
Ai, par :
∀x∈E, µ
x∈[
i∈I
Ai ⇐⇒ ∃i ∈I; x∈Ai
¶
De même on définit aussi leurintersection\
i∈I
Ai, par :
∀x∈E, µ
x∈\
i∈I
Ai ⇐⇒ ∀i∈I; x∈Ai
¶ Définition 27 – Union/Intersection d’une famille finie de parties
LorsqueI={1,2,...,n} ces deux parties sont notées [n
k=1
Aket \n
k=1
Aket vérifient :
∀x∈E,
µ x∈[n
k=1
Ak ⇐⇒ ∃k∈{1,2,...,n};x∈Ak
¶
∀x∈E,
µ x∈
\n k=1
Ak ⇐⇒ ∀k∈{1,2,...,n};x∈Ak
¶
Exemple.Montrer que [n
k=1
·
1,1+1 k
·
=[1,2[ et \n
k=1
·
1,1+1 k
·
=
·
1,1+1 n
· .
SiB est une partie deEet (Ai)i∈I est une famille de parties deE, alors : 1. Distributivité de∩par rapport à∪:
Ã[
i∈I
Ai
!
∩B =[
i∈I
¡Ai∩B¢ , et de∪par rapport à∩:
Ã\
i∈I
Ai
!
∪B=\
i∈I
¡Ai∪B¢ . 2. Lois de Morgan : [
i∈I
Ai =\
i∈I
Ai et \
i∈I
Ai=[
i∈I
Ai. Proposition 28 – Règles de calcul
Si (Ai)i∈I famille de parties deE, on dit que lesAi sont deux à deux disjointes lorsque :
∀(i,j)∈I2, i6=j =⇒ Ai∩Aj = ; Définition 29 – Famille de parties deux à deux disjointes
BSi A,BetCsont des parties deEdeux à deux disjointes alorsA∩B∩C= ;:
A B
C
Par contre il est possible que A∩B∩C = ; mais que A, B etC ne soient pas deux à deux disjointes :
A B
C
4 Applications 23 BPrendre garde aux notations.
Lesaccoladesdéfinissent desensembleset lesparenthèsesdéfinissent desfamilles.
Pour les ensembles, lesrépétitionsne sont pas prises en compte, contrairement aux familles : {a,a,b}={a,b} mai (a,a,b)6=(a,b)
Pour les ensemblesl’ordren’est pas pris en compte, contrairement aux familles : {a,b}={b,a} mais (a,b)6=(b,a)
4 Applications
4.1 Définitions
SoientEetF deux ensembles. Uneapplicationdéfinie surEà valeurs dansF se note : f : E−→ F
x7−→ f(x)
est une "relation" qui à chaquex∈E associe un unique élémenty∈F, notéf(x).
On la note plus simplementf :E−→F oux∈E7−→f f(x)∈F.
f(x) est appeléimagedex, et siy=f(x) alorsxest appeléantécédentdey.
Définition 30 – Application
Vocabulaire :
• f :E−→F se lit «f est une application deE versF » ou encore «f est une application définie surEà valeurs dansF ».
•x7−→f(x) se lit « àxon associef(x) ».
• f(x) se lit aussif évaluéeenx.
Lorsque f n’est pas définie surE tout entier, on dit que f est unefonction, mais les confusions de vocabulaire entre applications et fonctions sont fréquentes.
BOn suppose donc dans tout ce chapitre que les applications sont définies surE tout entier.
On ne donnera donc pas l’ensemble de définition de f, puisque ce sera à chaque foisE tout entier.
Si à chaque x∈E la « relation » associe plusieurs éléments deF, on ne parle pas d’application mais decorrespondancedeE versF (mais ce n’est pas du tout au programme).
Exemple.On associe àx∈Rsa valeur absolue : c’est une application deRversR.
Exemple.On associe àn∈Nses diviseurs positifs : c’est une correspondance deNversN. Exemple. f :R2−→Rdéfinie parf(x,y)=x2+x y est une application.
Legraphede f est le sous-ensemble deE×F donné par : G=©
(x,f(x))∈E×F;x∈Eª Définition 31 – Graphe d’une application
Notation.On noteF(E,F) ouFE l’ensemble de toutes les applications définies surEà valeurs dansF.
Une application peut être représentée par un diagramme :
Sur le diagramme précédent on voit qu’un élément de l’ensemble d’arrivée peut n’avoiraucun antécédent, ou en avoirplusieurs.
Important.Lorsque f :E−→F, ie f va deEversF, on suppose en particulier que :
∀x∈E, f(x)∈F
Soientf :E −→F etg :E′−→F′deux applications. On dit que f etg sontégales, et on le notef =g, lorsqueE=E′,F =F′et :
∀x∈E, f(x)=g(x) Définition 32 – Égalité de deux applications
En particulier, siE=E′etF =F′alorsf 6=g si et seulement si :∃x∈E; f(x)6=g(x).
BOn considère que les applications sin :R−→Ret sin :R−→[−1,1] sont différentes.
BL’égalité f =g a lieu dansFE alors que l’égalité f(x)=g(x) a lieu dansF. Ne pas confondre les deux !f =g entraîne toujours quef(x)=g(x), par contref(x)=g(x) doit être vraie pour tout x∈E pourqu’on puisse en déduiref =g.
4 Applications 25
SoientEetF deux ensembles. Une applicationf :E−→F est diteconstantelorsqu’il existe a∈F tel que :
∀x∈E, f(x)=a On dit alors quef est constante égale àa.
Définition 33 – Applications constantes
SiF =Ron dit que f est constante nulle lorsque∀x∈R, f(x)=0.
BNe pas confondref constante nulle avecf s’annule :∃x0∈E;f(x)=0.
SiEest un ensemble on définit l’application : idE : E−→ E
x7−→ idE(x)=x Définition 34 – Application identité
Exemple.Le graphe de la fonction numérique idR est la droite d’équation y =x appelée première bissectrice.
Nous verrons plus loin qu’elle joue le rôle d’élément neutre pour la loi de composition.
Soitf :E−→F une application.
1. SiE1⊆Ealors on appelle restriction de f àE1, notéef|E1, l’application : f|E1: E1−→ F
x7−→ f|E1(x)=f(x) On a donc :∀x∈E1, f|E1(x)=f(x).
2. SoientE1⊆EetF1⊆F tel que :∀x∈E1,f(x)∈F1.
On appelle restriction def àE1au départ et àF1à l’arrivée, notéef|E|F11, l’application : f||FE1
1 : E1−→ F1
x7−→ f||EF11(x)=f(x) On a :∀x∈E1, f|E|F11(x)=f(x).
Définition 35 – Restriction
Exemple.La fonction sin :R−→Rpeut être restreinte à [0,π] au départ et à [0,1] à l’arrivée.
La restriction est alors notée sin|[0,1]|[0,π].
E E1
F
x f||FE1
1(x)=f(x) F1
× ×
× ×
×
Soitf :E−→F une application.
1. SiE⊆E2alors on appelle prolongement def àE2toute applicationg:E2−→F telle queg|E=f ie telle que :∀x∈E,g(x)=f(x).
2. SiE⊆E2etF ⊆F2, alors on appelle prolongement de f àE2au départ etF2à l’arri- vée, toute applicationg:E2−→F2telle queg||EF =f ie telle que :
∀x∈E,g(x)=f(x).
Définition 36 – Prolongement
4.2 Loi de composition
Soient deux applicationsf :E−→F etg :F′−→Gtelles queF ⊆F′. On définit l’application composéeg◦f :E−→Gpar :
∀x∈E, (g◦f)(x)=g¡ f(x)¢ Définition 37 – Composée d’applications
On a le diagramme de composition :
F g //G
E
f
OO
g◦f
??
⑧⑧
⑧⑧
⑧⑧
⑧⑧
BNe pas écrireg(x)◦f(x) à la place deg◦f(x)!
En effet la notation g(x)◦ f(x) n’a pas de sens, et tout calcul qui l’emploie est donc irrémédiablement faux.
BA la place de (g◦f)(x) on écrit souventg◦f(x) mais ce n’est pas la fonctiongcomposée avec l’élément f(x) (ce qui n’a pas de sens), c’est l’applicationg◦f évaluée enx.
Exemple.On considère les applications f :x ∈R7−→x2∈R+ et g :x∈R+7−→px ∈R+. Les applications f ◦g etg◦f existent-elles? Si oui, donner leur expression.
Exemple.Même question avec f :x∈R7−→x2∈R+etg :x∈R+7−→px∈R.
4 Applications 27 Exemple.On définit deux applications f et g de [0,1] vers [0,1] par
f(x)=
½ 1/2−x si 0≤x<1/2
0 sinon et g(x)=
½ 0 si 0≤x<1/2 x−1/2 sinon
Montrer que les fonctionsf ◦g etg◦f sont définies et donner leur expression.
Soitf :E−→F une application. On a f ◦idE =f et idF◦f =f. Proposition 38 – Propriété de l’application identité
C’est pour cette raison que l’identité à un rôle d’élément neutre (un peu comme 0 pour l’addition et 1 pour la multiplication des nombres).
On se donne trois applicationsE−→f F −→g G−→h H.
On a la propriété d’associativité :h◦(g◦f)=(h◦g)◦f. Proposition 39 – Associativité de la loi de composition
On peut donc sans ambiguité utiliser la notationh◦g◦f (les parenthèses sont omises).
On a alors pourx∈E:h◦g◦f(x)=h³ g¡
f(x)¢´
.
Exemple.Soient les applications f :x7−→1+x2,g :x7−→pxeth:x7−→ln(1+x). Montrer queh◦g◦f est définie et donner l’expression deh◦g◦f(x).
4.3 Injection, surjection, bijection
Soitf :E−→F une application.
On dit quef estinjectivesurE(ou que f est uneinjection) lorsque :
∀(x1,x2)∈E2, f(x1)=f(x2) =⇒ x1=x2
ou encore par contraposée :
∀(x1,x2)∈E2, x16=x2 =⇒ f(x1)6=f(x2) Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes.
De manière équivalente ont peut dire que les points deF ont au plus un antécédent par f. Définition 40 – Application injective
Rédaction. Pour montrer que f est injective sur E on fixe x1 et x2 éléments de E tels que f(x1)=f(x2). On doit alors montrer que x1=x2.
Pour montrer que f n’est pas injective sur E on cherche deux éléments distincts x1et x2dans E tels que f(x1)=f(x2).
Exemple.Montrer que f : R −→ R définie par f(x) = x2 n’est pas injective sur R, et g:R+−→Rdéfinie parg(x)=x2est injective surR+.
Soit f :E−→F une application. On dit que f estsurjectivedeE versF (ou que f est une surjection) lorsque :
∀y∈F, ∃x∈E; y=f(x)
De manière équivalente on peut dire que les points deF ont tous au moins un antécédent dansE.
Définition 41 – Application surjective
Rédaction.Pour montrer que f est surjective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On doit alors trouver au moins un x élément de E tel que f(x)=y.
Pour montrer que f n’est pas surjective de E vers F on cherche y élément de F qui n’a pas d’antécédent par f dans E, ie tel que f(x)6=y pour tout x∈E.
Exemple.Montrer que f :R−→Rdéfinie par f(x)=x2n’est pas surjective deRversR, et g:R−→R+définie parg(x)=x2est surjective deRversR+.
BAttention à la subtilité suivante : six∈Eon peut toujours posery=f(x) et on définity∈F. Par contre si y ∈F, on ne peut pas en général définir x∈E en posanty = f(x). En effet ceci suppose que y a un antécédent par f. Si f est surjective, il est possible de définir xen posant y=f(x), mais il est plus clair de dire « on notexun antécédent deypar l’application surjective f » ; en effet,xn’est en général pas unique.
Soit f :E −→F une application. On dit que f estbijectivedeE versF (ou que f est une bijection) lorsquef est à la fois injective et surjective :
∀y∈F,∃!x∈E; y=f(x) Un point deF a donc toujours un unique antécédent dansE.
Définition 42 – Application bijective
Rédaction.
1. Pour monter que f est bijective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On doit alors trouver un unique x élément de E tel que f(x)=y.
2. On peut aussi procéder en deux temps en montrant que f est injective, puis surjective.
4 Applications 29 Le diagramme suivant illustre ces notions d’injection/surjection/bijection.
BAttention, en général une application n’est ni injective, ni surjective.
Considérer par exemple f :R−→Rdéfinie parf(x)=x2.
Exemple.Montrons que f :R−→R+définie par f(x)=x2n’est pas bijective deRsurR+, g:R+−→Rdéfinie parg(x)=x2n’est pas non plus bijective deR+surR, maish:R+−→R+ définie parh(x)=x2est bijective deR+surR+.
Soient deux applicationsE−→f F −→g G.
1. Si f est injective surEetg injective surF, alorsg◦f est injective surE.
2. Si f est surjective deEversF etg surjective deF versG, alorsg◦f est surjective de EversG.
3. Si f est bijective deE versF etg bijective deF versG, alorsg◦f est bijective deE versG.
Proposition 43 – Composée d’injections/surjections/bijections
Le diagramme suivant donne un exemple montrant qu’on peut avoirg◦f etg surjectives, mais f non surjective.
Soitf :E−→F une application.
On dit qu’elle estinversible pour la loi de composition lorsqu’il existe une applicationg : F−→Etelle queg◦f =idE et f ◦g=idF.
Une telle fonctiong est appelée application réciproque def. Définition 44 – Inversibilité pour la loi de composition
Soitf :E−→F inversible pour la loi de composition.
Alors elle admet une unique application réciproque : on la notef−1. Proposition 45 – Unicité de l’inverse pour la loi de composition
Si elle existe, l’application réciproque de f :E−→F a donc les propriétés suivantes :
• f−1:F −→E
• f−1◦f =idE et f ◦f−1=idF
•Pourx∈E ety∈F : f(x)=y⇐⇒x=f−1(y)
BLorsquef est à valeurs dansR∗(ou dansC∗), ne pas confondref−1avec l’inverse def pour la multiplication! Pour cette raison, l’inverse de f pour la multiplication est souvent notée 1
f .
Soitf :E−→F une application. On a équivalence de : (i) f est bijective deE versF;
(ii) f est inversible pour la loi de composition.
L’applicationf−1est donc bijective deF surE, on l’appelle aussila bijection réciproquede f. De plus,¡
f−1¢−1
=f.
Théorème 46 – Théorème de la bijection réciproque
Sur un diagramme, l’inverse f correspond à inverser le sens des flèches.
4 Applications 31 On dispose donc de trois méthodes pour montrer qu’une applicationf est bijective :
1. Montrer que f est injective et surjective.
2. Poury∈F, résoudre l’équationy=f(x) d’inconnuex∈E.
Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, l’expression obtenue donne la fonction f−1:x=f−1(y).
3. On cherche une fonctiong:F −→Etelle que : f ◦g=idF etg◦f =idE.
Si on trouve une telle fonction, on montre quef est bijective. De plusf−1=g.
Remarquez que les deux dernières méthodes donnent aussi la fonction réciproque def, en plus de la bijectivité.
Exemple.Montrons que f : x ∈ R+ 7−→ ex2 ∈ [1,+∞[ est bijective de réciproque f−1:y∈[1,+∞[7−→p
ln(y)∈R+.
Exemple.Montrons queϕ:z∈C−→z∈C est bijective etϕ−1=ϕ(on dit alors queϕest uneinvolution).
Exemple.Montrons que idE est bijective et id−E1=idE.
BOn peut avoir g◦f =idE et f ◦g 6=idF. Dans ce cas f n’est pas une bijection. Considérer f :R+−→Retg :R−→R+définies par f(x)=pxetg(x)=x2. On peut aussi visualiser cette propriété sur le diagramme suivant (où f est non surjective) :
Dans le cas d’une fonction définie sur un intervalle de Ret à valeurs dansR, on a aussi une quatrième méthode pour démontrer la bijectivité qui repose sur le théorème suivant.
Soitf :I−→R. On suppose que : (i) I est un intervalle deR; (ii) f est continue surI;
(iii) f est strictement monotone surI.
Alorsf induit une bijection deIvers un intervalleJ, à déterminer avec le tableau de varia- tions.
Théorème 47 – Théorème de la bijection monotone
« f induit une bijection de I vers J» signifie que c’est larestriction f||JI est bijective. En général f :Df −→Rne l’est pas, donc il faut toujours préciser les intervallesI etJ.
Exemple.Pourn∈N∗, la fonctionf :x∈R+7−→xn∈Rinduit une bijection deR+versR+.
La bijection réciproque de la fonction f :x∈R+7−→xn∈R+ est appelée fonction racine n-ième notée pn .
PourxetydansR+, on a :xn=y⇐⇒x=pn y.
Définition 48 – Fonction racinen-ième
B pn n’est définie que surR+. Par exemplep3
−1 n’est pas défini, bien que (−1)3= −1.
SoientE−→f F −→g Gbijectives. Alorsg◦f est bijective et¡
g◦f¢−1
=f−1◦g−1. Proposition 49 – Bijection réciproque d’une composée
L’ordre a été inversé, mais cela paraît logique intuitivement : pour inverser f composée parg, il faut inverserg puis ensuitef.
4 Applications 33
4.4 Fonctions caractéristiques
SoitAune partie d’un ensembleE.
On appellefonction caractéristiquedeAou encorefonction indicatricedeAl’application : 1A: E−→ {0,1}
x7−→ 1A(x)=
½ 1 six∈A 0 six∉A Définition 50 – Fonction caractéristique d’une partie
Exemple.La fonction1;est constante égale à 0.
La fonction1E est constante égale à 1.
SoientA,B parties deE.
1. On a :A⊆B ⇐⇒ ∀x∈E,1A(x)≤1B(x), et :A=B ⇐⇒ ∀x∈E,1A(x)=1B(x);
2. ∀x∈E,1A(x)=1−1A(x);
3. ∀x∈E,1A∩B(x)=1A(x)×1B(x);
4. ∀x∈E,1A∪B(x)=1A(x)+1B(x)−1A(x)×1B(x).
Proposition 51 – Règles de calcul
Exemple.Redémontrer les lois de Morgan à l’aide des fonctions caractéristiques.
4.5 Images directe et réciproque
Dans tout ce qui suit f :E−→F est une application.
1. SiA⊆E, on appelle image directe deAparf l’ensemble : f(A) = ©
f(x);x∈Aª
= ensemble desy∈F qui ont un antécédent dansA On af(A)⊆F. De plus, siy∈F :y∈f(A)⇐⇒ ∃x∈A;y=f(x)
2. SiB⊆F, on appelle image réciproque deB parf l’ensemble : f−1(B) = ©
x∈E;f(x)∈Bª
= ensemble desx∈Equi ont leur image dansB On af−1(B)⊆E. De plus, six∈E :x∈f−1(B)⇐⇒ f(x)∈B.
Définition 52 – Image directe/réciproque
