Soitf :E−→F une application.
On dit quef estinjectivesurE(ou que f est uneinjection) lorsque : ∀(x1,x2)∈E2, f(x1)=f(x2) =⇒ x1=x2
ou encore par contraposée :
∀(x1,x2)∈E2, x16=x2 =⇒ f(x1)6=f(x2) Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes.
De manière équivalente ont peut dire que les points deF ont au plus un antécédent par f. Définition 40 – Application injective
Rédaction. Pour montrer que f est injective sur E on fixe x1 et x2 éléments de E tels que f(x1)=f(x2). On doit alors montrer que x1=x2.
Pour montrer que f n’est pas injective sur E on cherche deux éléments distincts x1et x2dans E tels que f(x1)=f(x2).
Exemple.Montrer que f : R −→ R définie par f(x) = x2 n’est pas injective sur R, et
g:R
+−→Rdéfinie parg(x)=x2est injective surR
+.
Soit f :E−→F une application. On dit que f estsurjectivedeE versF (ou que f est une
surjection) lorsque :
∀y∈F, ∃x∈E; y=f(x)
De manière équivalente on peut dire que les points deF ont tous au moins un antécédent dansE.
Définition 41 – Application surjective
Rédaction.Pour montrer que f est surjective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On doit alors trouver au moins un x élément de E tel que f(x)=y.
Pour montrer que f n’est pas surjective de E vers F on cherche y élément de F qui n’a pas d’antécédent par f dans E, ie tel que f(x)6=y pour tout x∈E.
Exemple.Montrer que f :R−→Rdéfinie par f(x)=x2n’est pas surjective deRversR, et
g:R−→R
+définie parg(x)=x2est surjective deRversR
+.
BAttention à la subtilité suivante : six∈Eon peut toujours posery=f(x) et on définity∈F. Par contre si y ∈F, on ne peut pas en général définir x∈E en posanty = f(x). En effet ceci suppose que y a un antécédent par f. Si f est surjective, il est possible de définir xen posant
y=f(x), mais il est plus clair de dire « on notexun antécédent deypar l’application surjective
f » ; en effet,xn’est en général pas unique.
Soit f :E −→F une application. On dit que f estbijectivedeE versF (ou que f est une
bijection) lorsquef est à la fois injective et surjective : ∀y∈F,∃!x∈E; y=f(x) Un point deF a donc toujours un unique antécédent dansE.
Définition 42 – Application bijective
Rédaction.
1. Pour monter que f est bijective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On doit alors trouver un unique x élément de E tel que f(x)=y.
4 Applications 29 Le diagramme suivant illustre ces notions d’injection/surjection/bijection.
BAttention, en général une application n’est ni injective, ni surjective. Considérer par exemple f :R−→Rdéfinie parf(x)=x2.
Exemple.Montrons que f :R−→R
+définie par f(x)=x2n’est pas bijective deRsurR
+,
g:R
+−→Rdéfinie parg(x)=x2n’est pas non plus bijective deR
+surR, maish:R
+−→R
+
définie parh(x)=x2est bijective deR
+surR
+.
Soient deux applicationsE−→f F −→g G.
1. Si f est injective surEetg injective surF, alorsg◦f est injective surE.
2. Si f est surjective deEversF etg surjective deF versG, alorsg◦f est surjective de
EversG.
3. Si f est bijective deE versF etg bijective deF versG, alorsg◦f est bijective deE
versG.
Proposition 43 – Composée d’injections/surjections/bijections
Le diagramme suivant donne un exemple montrant qu’on peut avoirg◦f etg surjectives, mais
Soitf :E−→F une application.
On dit qu’elle estinversible pour la loi de composition lorsqu’il existe une applicationg :
F−→Etelle queg◦f =idE et f ◦g=idF.
Une telle fonctiong est appelée application réciproque def. Définition 44 – Inversibilité pour la loi de composition
Soitf :E−→F inversible pour la loi de composition.
Alors elle admet une unique application réciproque : on la notef−1. Proposition 45 – Unicité de l’inverse pour la loi de composition
Si elle existe, l’application réciproque de f :E−→F a donc les propriétés suivantes : • f−1:F −→E
• f−1◦f =idE et f ◦f−1=idF
•Pourx∈E ety∈F : f(x)=y⇐⇒x=f−1(y) BLorsquef est à valeurs dansR
∗(ou dansC
∗), ne pas confondref−1avec l’inverse def pour la multiplication! Pour cette raison, l’inverse de f pour la multiplication est souvent notée 1
f .
Soitf :E−→F une application. On a équivalence de : (i) f est bijective deE versF;
(ii) f est inversible pour la loi de composition.
L’applicationf−1est donc bijective deF surE, on l’appelle aussila bijection réciproquede
f. De plus,¡f−1¢−1
=f.
Théorème 46 – Théorème de la bijection réciproque
4 Applications 31 On dispose donc de trois méthodes pour montrer qu’une applicationf est bijective :
1. Montrer que f est injective et surjective.
2. Poury∈F, résoudre l’équationy=f(x) d’inconnuex∈E.
Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, l’expression obtenue donne la fonction f−1:x=f−1(y).
3. On cherche une fonctiong:F −→Etelle que : f ◦g=idF etg◦f =idE.
Si on trouve une telle fonction, on montre quef est bijective. De plusf−1=g.
Remarquez que les deux dernières méthodes donnent aussi la fonction réciproque def, en plus de la bijectivité.
Exemple.Montrons que f : x ∈ R
+ 7−→ ex2 ∈ [1,+∞[ est bijective de réciproque
f−1:y∈[1,+∞[7−→pln(y)∈R
+.
Exemple.Montrons queϕ:z∈C−→z∈C est bijective etϕ−1=ϕ(on dit alors queϕest uneinvolution).
Exemple.Montrons que idE est bijective et id−E1=idE.
BOn peut avoir g◦f =idE et f ◦g 6=idF. Dans ce cas f n’est pas une bijection. Considérer
f :R
+−→Retg :R−→R
+définies par f(x)=pxetg(x)=x2. On peut aussi visualiser cette propriété sur le diagramme suivant (où f est non surjective) :
Dans le cas d’une fonction définie sur un intervalle de Ret à valeurs dansR, on a aussi une quatrième méthode pour démontrer la bijectivité qui repose sur le théorème suivant.
Soitf :I−→R. On suppose que : (i) I est un intervalle deR; (ii) f est continue surI;
(iii) f est strictement monotone surI.
Alorsf induit une bijection deIvers un intervalleJ, à déterminer avec le tableau de varia-tions.
Théorème 47 – Théorème de la bijection monotone
« f induit une bijection de I vers J» signifie que c’est larestriction f||IJ est bijective. En général
f :Df −→Rne l’est pas, donc il faut toujours préciser les intervallesI etJ.
Exemple.Pourn∈N
∗, la fonctionf :x∈R
+7−→xn∈Rinduit une bijection deR
+versR
+.
La bijection réciproque de la fonction f :x∈R
+7−→xn∈R
+ est appelée fonction racine
n-ième notée pn . PourxetydansR
+, on a :xn=y⇐⇒x=pn y. Définition 48 – Fonction racinen-ième
B pn n’est définie que sur R
+. Par exemplep3
−1 n’est pas défini, bien que (−1)3= −1.
SoientE−→f F −→g Gbijectives. Alorsg◦f est bijective et¡g◦f¢−1=f−1◦g−1. Proposition 49 – Bijection réciproque d’une composée
L’ordre a été inversé, mais cela paraît logique intuitivement : pour inverser f composée parg, il faut inverserg puis ensuitef.
4 Applications 33