R 2.. gDLUh =Δ

(1)

UFR de Physique & d’ingénierie ex- IPST L3 PAI S56 - Hydraulique – Epreuve CC2 (Daniel Huilier)

UE66 CC2 (Daniel Huilier)

Examen du Mardi 26 mai 2009 10h00-12h00

Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.

Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique (Barême : 10 points)

Perte de charges régulières (linéaires) dans les conduites

Rappels théoriques

Equation de Darcy-Weisbach (1854,1845) Loi générale de la perte de charge Δh , Δp est

g D h LU

2 . . ² λ

=

Δ ,

D h LU

g

p . 2.

ρ 2

λ ρ Δ =

= Δ avec :

λ : coefficient de perte de charge U : vitesse moyenne de débit (=Q/S) Q : débit volumique

S : section de la conduite D : diamètre de la conduite

L : longueur du tronçon de la conduite λ est fonction du nombre de Reynolds

- pour Re < 2400, régime de Poiseuille : λ = 64.Re^-1 - pour Re > 2400, régime de Blasius : λ =0.3164.Re^-1/4

Nombre de Reynolds Re = U.D/ν avec ν : viscosité cinématique du fluide

Calculer la perte de charge pour une conduite en béton, de longueur 300 mètres, de diamètre intérieur égal à 300 mm, quand :

a) de l’eau y coule à 16,5 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit)

b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (on prendra dans ce cas un coefficient de frottement λ de 0.022)

On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes températures (en extrapolant à 16,5°C) et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer le coefficient de frottement à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements (dont le béton) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme.

c) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines. Une des lois possibles est la loi de Hazen-Williams donnée (en unités SI) par :

54 . 0 63 . 0

H S

R C 8492 . 0 V= avec :

V vitesse de débit (m/s) R : rayon hydraulique (m) H

C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams

S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur)

Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 qui donne le coefficient de rugosité C de Hazen-Williams (on pourra le situer à une valeur de 140 qui n’est pas dans la table). Pour ce faire,

1

(2)

à partir de la réponse de la question a), calculez d’abord la perte de charge (exprimée en mètre de colonne d’eau) par unité de longueur, ce qui donne S la pente de la ligne de charge. De même il faudra déterminer le rayon hydraulique est défini comme le rapport de la section mouillée Sm divisé par le périmètre mouillé Pm. Dans le cas d’une conduite circulaire pleine, et

RH

2

m R

S =π P_m =2πR, donc R_H =??

Corrigé : Cas de l’eau

A) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.

Pour le béton, la valeur de conception est de :

012cm .

≈0

ε , ce qui donne une rugosité relative 0.0004 300

12 .

0 =

D = ε

La viscosité cinématique de l’eau à 16,5°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 1.142 e-6 m²/s à 15°C et ν = 1.007 e-6 m²/s à 20°C , soit :

s m x

C C

x x x

C 10 (16.5 15 ) 1.1015 10 /

15 20

007 . 1 142 . 10 1 142 . 1 ) 5 . 16

( ⁻⁶ ⁻⁶ ° − ° = ⁻⁶ ²

−

− −

= ν °

Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 4135430 10

/ 1015 . 1

300 . 0 / 525 .

Re=1 ₂ ₋₆ =

x s m

m x

s m

L’écoulement est ainsi pleinement turbulent.

Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement de l’ordre de 0.0175 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’eau (lois de Darcy-Weisbach) de :

s m m x

x m

s m x

m g

V D

h L 2.068

/ 81 . 9 2 300 . 0

) / 525 . 1 ( 0175 300

. 2 0

. ₂

2

2 ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Δ λ

x kPa m

s m x

m x m kg V

D

p L 20.284

2 300 . 0

) / 525 . 1 ( 300 /

0175 1000 . 2 0

2 3

2 ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= Δ λρ

Cas du fuel-oil moyen

B) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.

Pour la fonte nue, la valeur de conception reste la même et est évidemment indépendante du liquide :

012cm .

≈0

ε , ce qui donne encore une rugosité relative 0.0004 300

12 .

0 =

D = ε

La viscosité cinématique du fuel – oil moyen à 16,5°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :

ν = 4.47 e-6 m²/s à 15°C et ν = 3.94 e-6 m²/s à 20°C , soit :

2

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UFR de Physique & d’ingénierie ex- IPST L3 PAI S56 - Hydraulique – Epreuve CC2 (Daniel Huilier) s

m x

C C

x x x

C 10 (16.5 15 ) 4.31 10 /

15 20

94 . 3 47 . 10 4 47 . 4 ) 5 . 16

( ⁻⁶ ⁻⁶ ° − ° = ⁻⁶ ²

−

− −

= ν °

Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 106150 /

10 31 . 4

300 . 0 / 525 .

Re=1 ₋₆ ₂ =

s m x

m x

s m

L’écoulement est ainsi encore pleinement turbulent.

On prend la valeur proposée de l’ordre de 0.022

Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile de :

s m m x

x m

s m x

m g

V D

h L 2.6008

/ 81 . 9 2 300 . 0

) / 525 . 1 ( 022 300

. 2 0

. ₂

2

2 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Δ λ

Ou en perte de pression (ρ = 857 kg/m³) :

x kPa m

s m x

m x m V kg

D

P L 21.924

2 300 . 0

) / 525 . 1 ( 300 /

022 857 . 2 0 .

2 3

2 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Δ λρ

Réponse à la question c)

Le rayon hydraulique pour une conduite circulaire pleine est :

D m R R

R_H R 0.075

4 2 2

2 = = =

= π π

La pente S est donnée par : 0.0068933 300

068 .

2 =

Δ =

= L S h

On prendra pour le coefficient C de rugosité de Hazen-Williams : C = 140 s m x

x x S

R C

V =0.8492 _H⁰^.⁶³ ⁰^.⁵⁴ =0.8492 140 (0.075)⁰^.⁶³ (0.0068933)⁰^.⁵⁴ =1.582 / Résultat proche de la valeur initiale de 1.525 m/s

Deuxième partie :Exercice sur les écoulements en canaux libres

Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.20 m de large, revêtu de bois non raboté (le coefficient de Manning est donné par la Table 9) ayant une pente de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 600 mm.

Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de Manning.

a) Solution de Kutter

Le coefficient de Kutter est donné par :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+ +

=

S 00155 . 23 0 R 1 n

n 1 S

00155 . 23 0 C

3

(4)

Le rayon hydraulique est : m

m m

m

R m 0.3

60 . 0 20 . 1 60 . 0

) 60 . 0 )(

20 . 1

( =

+

= +

Le calcul du coefficient de Kutter donne : C=63.38 m¹^/² /s

72 2

. 0 60 . 0 20 . 1

/ 694 . 0 0004 . 0 30 . 0 38 . 63

m x

by A

s m x

x RS

C V

=

Le débit est alors : Q= AV = AC RS =(1.20m)(0.60m)(63.38m¹^/² /s) (0.30m)(0.0004) =0.499m³/s b) Solution de Manning

s m m

m m

S n R

A RS AC AV

Q (0.300 ) (0.0004) 0.497 /

013 . 0 ) 1 60 . 0 )(

20 . 1 ( 0 .

.

1 ₂_/₃ ₁_/₂ = ₂_/₃ ₁_/₂ = ₃

=

= soit

encore si on calcule le coefficient de Manning : R m s C =1n.0 ₁_/₆ =62.94 ₁_/₂/ et

s m m

m RS

AC AV

Q= = =(1.20 )(0.60 )(62.94 ¹^/² / ) (0.30 )(0.0004) =0.496 ³/ s

m m

x m A

Q

V = / =0.496/(1.2 0.6 )=0.689 / Nombre de Froude

Fr = 0.284

6 . 0 81 . 9

689 .

0 =

=

= gy x

Fr V , l’écoulement est fluvial.

Les 2 lois donnent des résultats identiques Exercice de sédimentation

(Barême : 5 points)

Rappels de cours Vitesse de sédimentation

En chute sédimentaire à vitesse de chute limite, le poids est compensé par la force d’Archimède et la force de traînée.

Cas des faibles nombres de Reynolds, particules à comportement Stokien Equation du mouvement d’une particule dans un fluide de vitesse u_f :

2

4

1 3 ^D _r

p f p

f

p u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ ⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= où u_r =u_p −u_f est la vitesse de glissement de la particule

Dans un fluide au repos u_f est nul.

A l’équilibre, dans un fluide au repos u_r =u_p,u_f =0

4 0

1 ⎟⎟ −3 ² =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= ^D _r

p f p

f

p u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ

Et la vitesse terminale U de la particule vaut :

4

(5)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= 1

3 4

f p

CD

g D

U ρ

ρ

Pour des nombre de Reynolds particulaires faibles Re=Du_rρ_f /μ <1

Re

= 24

CD et la force de traînée est F =3πμDu_r traînée dite visqueuse, due à la couche limite laminaire et à la répartition de pression autour de la sphère :

Exercice d’Application

Des grains de sable de diamètre D = 0.10 mm et de densité 2.3 sédimentent dans un lac après avoir été soulevé du fond par un bateau à moteur. Déterminez la vitesse de sédimentation dans l’eau du lac au repos. On se placera dans le cadre du régime de Stokes à faible nombre de Reynolds, ce que l’on pourra vérifier à postériori.

5

(6)

6

(7)

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