DS de maple (samedi 13 janvier 2007 ; une heure)

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DS de maple

(samedi 13 janvier 2007 ; une heure) A.

1) Afficher une séquence contenant les cubes des entiers de 1 à 7 en utilisant la fonction seq.

2) Même question en utilisant une boucle for.

3) Afficher une séquence contenant les cubes des entiers successifs, ces cubes étant limités à ceux inférieurs à 100, en utilisant une boucle while.

4) Ecrire une procédure qui retourne la séquence des cubes des entiers de 1 à N, N étant passé en paramètre.

5) Comment modifier cette procédure pour qu’elle retourne la liste de ces cubes ? 6) Comment modifier cette procédure pour qu’elle retourne l’ensemble de ces cubes ? 7) Comment contrôler le type du paramètre passé à cette procédure lors de son appel ? B.

Un générateur de fonction (BF) est modélisé par une source de tension de force électromotrice en série avec une résistance r ;

est un signal triangulaire symétrique d’amplitude e et de période . Ce générateur est branché sur un condensateur de capacité C auquel il applique la tension u.

e t( )

e t( ) _m =1 volt

T =1ms e t^{( )}

r

C u

e

t 2

−T

2 T 0

em

− em

L’équation différentielle régissant en fonction de et e est

u t( )

1ms

τ=rC = du

u e τdt + = .

1.a) Affecter à une variable nommée l’expression numérique de

exp ession dépendra e la seu non de T, τ et e_m, dont on prendra en compte les valeurs numér ques.

1.b Affecter à une variable nommée eq1 l’éq 1

e e en fonction de pour . Cette

r d le variable , et i

uation différentielle vérifiée par la valeur de pour 1.c) Résoudre f ellement cette équation différentielle avec la condition pour

onction d ur ms. Cette

ex

d é iel vérifiée par la valeur de pour 2.c) Résoudre formellement cette équation différentielle avec la condition pour

t −0, 5 ms < <t 0 t

1( )

u t u t^{( )} 0, 5 ms < <t 0.

orm

−

1 0

u =u t =0. 2.a) Affecter à une variable nommée e2 l’expression numérique de e en f e t po 0< <t 0, 5 pression dépendra de la seule variable , et non de T, τ et e_m.

2.b Affecter à une variable nommée eq l’équation iff rent le t

2 u t2^{( )} u t^{( )}

0 < <t 0, 5 ms.

2 0

u =u t =0. 3) Calculer ^u⁰ pour que u1(−T/ 2)=u T2( / 2).

Nota : la solu on trouvée ti est unique (équations linéaires par rapport aux constantes d’intégration).

en rouge et en bleu ?

,exp xpr1 tion cond est vérifiée et expr2 dans le cas contraire. La fo

:=em*piecewise(t/T-floor(t/T)<0.5,1-4*(t/T-floor(t/T)),4*(t/T-floor(t/T))-3)

e numériquement l’équation différentielle do

er le e de

rité d ce graphe sur celui tracé à la question 4 ?

4) Superposer les graphes de u t^{( )} et e t^{( )} pour −T/ 2< <t T/ 2 et τ =T. 5) Comment faire pour représenter ^{u t}⁽ ⁾ ^{e t}^{( )}

6) La fonction piecewise(cond,expr1 r2) retourne e si la condi

nction floor(x) retourne l’entier immédiatement inférieur ou égal à x. Avec ces fonctions, l’expression générale eg de e est :

eg

En utilisant cette expression et avec les valeurs numériques précédentes, résoudr nnant u t^{( )} pour u^{( )}0 =0.

7) Trac graph u t^{( )}. 8) Quelle est la supério e

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Corrigé

A.

1) > seq(i^3,i=1..7);

2) > se:=NULL:

for i to 7 do se:=se,i^3 od:

se;

3) > se:=NULL:i:=1:

while i^3<=100 do se:=se,i^3:i:=i+1 od:

se;

4) > seqcube:=proc(N) local i,se1:se1:=NULL:for i to N do se1:=se1,i^3 od:se1:end:

5) > listcube:=proc(N) local i,se:se:=NULL:for i to N do se:=se,i^3 od:[se]:end:

6) > enscube:=proc(N) local i,se:se:=NULL:for i to N do se:=se,i^3 od:{se}:end:

7) > seqcube:=proc(N::integer) local i,se:se:=NULL:for i to N do se:=se,i^3 od:se:end:

B.

> restart:with(plots):

1.a) > e1:=1+4*t:

1.b) > eq1:=diff(u1(t),t)+u1(t)=e1;

:=

eq1 ⎛ + =

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

d d

t u1 ( ) t u1 ( ) t 1 + 4 t

1.c) > sol:=dsolve({eq1,u1(0)=u0},u1(t));

:=

sol u1 ( ) t = − + + 3 4 t e

⁽^−t⁾

( 3 + u0 )

> assign(sol):

2.a) > e2:=1-4*t:

2.b) > eq2:=diff(u2(t),t)+u2(t)=e2;

:=

eq2 ⎛ + =

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

d d

t u2 ( ) t u2 ( ) t 1 − 4 t

2.c) > sol:=dsolve({eq2,u2(0)=u0},u2(t));

:=

sol u2 ( ) t = 5 − + 4 t e

⁽^−t⁾

( − + 5 u0 )

> assign(sol):

3) > u0:=solve(subs(t=-1/2,u1(t))=subs(t=1/2,u2(t)),u0);

:=

u0 − 3 e

⁽^{1 2}^/ ⁾

− 5 + e

⁽^{1 2}^/ ⁾

1

4) et 5) > gr1:=plot([e1,u1(t)],t=-1/2..0,color=[blue,red]):

> gr2:=plot([e2,u2(t)],t=0..1/2,color=[blue,red]):

> display(gr1,gr2);

6) > eg:=piecewise(t-floor(t)<0.5,1-4*(t-floor(t)),4*(t-floor(t))-3):

> sol:=dsolve({diff(u(t),t)+u(t)=eg,u(0)=0},u(t),numeric):

7) > odeplot(sol,[t,u(t)],0..10,numpoints=1000);

8) Ce graphe permet de voir le régime transitoire.