BACCALAUREAT BLANC N°1
Décembre 2013
Mathématiques
Série ES
Durée de l’épreuve :3 heures
Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe.La
calculatrice est autorisée.Aucun document n’est autorisé.
Exercice n° 1 : (4pts)Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions, trois affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correct.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point , une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Pour tout réel x, est égale à:
a) b) c) 2. Pour tout réel x, a dérivée de
a) b) c) 3. Pour tout réel x, a dérivée de
a) b) c) 4. Pour tout réel x , est :
a) strictement positifb) positif c) strictement négatif.
Exercice n° 2 : (5pts)Commun à tous les candidats
Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 50 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 65% desabonnés renouvellent leur abonnement et 35 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
On note an le nombre d’adhérents pour l’année 2010+n ; on a donc pour tout entier naturel n, a0=50 et an+1=0,65an+35.
1.On considère l’algorithme suivant :
Interpréter ce résultat : lorsque l’utilisateur entre la valeur S=70, l’affichage en sortie est n=9.
2. Calculer a1 et a2. A quoi correspondent ces valeurs ? 3. Soit (un) la suite définie par un=an-100pour tout n
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, . d. Montrer que la suite (an) est strictement croissante.
e. Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à plus de 100 mille exemplaires ?
Variables : n et S sont des entiers naturels A est un réel
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de S Initialisation : Affecter à n la valeur 0
Affecter à A la valeur 50 Traitement : Tant que A S :
Affecter à n la valeur n+1
Affecter à A la valeur 0,65 A+35 Fin tant que
Sortie : Afficher n
Exercice n° 3 : (6pts)Commun à tous les candidats Partie A :
Soit g la fonction définie sur [0 ;10 par 1.a) Vérifier que
b)En déduire les variations de g.
c) Montrer que l’équation g(x)=0 admet deux solutions sur [0;10 .
d)Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée au dixième de ces solutions . e) En déduire le signe g sur [0;10 .
2a) vérifier que
b) En déduire la convexité de g et les éventuelles points d’inflexion de g.
Partie B :
La fonction g précédente représente le Bénéfice en centaine d’euros d’une entreprise de fabrication de bic en fonction du nombre x d’objets vendus (exprimé en millier de bic).
1) Déduire du 1) Partie A, lorsque l’entreprise peut espérer faire des bénéfices.
2) Déduire du 2) Partie A, à partir de quel production de bic, la baisse de bénéfice va –t- elle se ralentir?
Exercice n° 4 :(5pts) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A :
Soit g la fonction définie sur [1 ;100] par : 1. Calculer
2. Dresser le tableau de variation de g.
3. Montrer que l’équation admet une unique solution dans l‘intervalle [0 ;88].
4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de arrondie à l’unité.
5. Etudier la convexité de g.
Partie B :
Une entreprise fabrique des tee-shirts ; le coût total de fabrication de x centaines de tee- shirts est donné, pour x appartenant à [1 ;100] par
où C(x) est exprimée en centaine d’euros.
1. Déterminer la quantité de tee-shirts arrondie à l’unité à fabriquer pour que le coût soit minimal.
2. Préciser ce coût minimum pour une centaine de tee-shirts.
Exercice n° 4 :(5pts) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A 3 points
Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux correspondants.
1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme d’un tableau où les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique).
2. (a) Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique).
(b) On donne la matrice M3.
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à F puis donner leur liste.
3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu’un tel parcours est possible.
Partie B 2 points
Lors d’une campagne de marketing, une entreprise distribue un stylo ou un porte-clé ; il en coûte à l’entreprise 0,80 euro par stylo et 1,20 euro par porte-clé distribué. À la fin de la journée, l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 euros. On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.
1. Écrire un système traduisant cette situation.
2. Montrer que le système précédent est équivalent à R × X = T où X et T sont des matrices que l’on précisera et R est la matrice suivante :
3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.