Application des techniques d antennerie à la reconstruction du déplacement d une structure vibrante

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Submitted on 1 Jan 1994

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Application des techniques d’antennerie à la

reconstruction du déplacement d’une structure vibrante

P.-O. Mattei, P. Filippi

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P.-O. Mattei, P. Filippi. Application des techniques d’antennerie à la reconstruction du déplacement d’une structure vibrante. Journal de Physique IV Proceedings, EDP Sciences, 1994, 04 (C5), pp.C5- 765-C5-768. �10.1051/jp4:19945166�. �jpa-00252846�

Application des techniques d'antennerie à la reconstruction du déplacement d'une structure vibrante

P.-O. MATTEI et P.J.T. FILIPPI

Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 31 Chemin Joseph-Aipiel; 13402 Marseille cedex 20, France

Résumé : On s ' i n t e r e s s e au problème de 1 'i d e n t i f i c a t i o n du déplacement d'une plaque mince vibrante à p a r t i r de mesures de pression acoustique. On u t i l i s e une i n t e r p o l a t i o n analytique entre l e s points de mesure, issue d'une décomposition du champ acoustique en s é r i e d'harmoniques sphériques, pour améliorer 1 ' i d e n t i f i c a t i o n du dépl acement de 1 a plaque, modélisé par représentation de Green. Des r é s u l t a t s expérimentaux sont comparés à une s o l u t i o n analytique. La méthode e s t appliquée à l a d é t e c t i o n d'un défaut.

Abstract : One considers t h e problem o f t h e i d e n t i f i c a t i o n o f t h e displacement o f a t h i n v i b r a t i n g p l a t e from measurement o f the acoustic radiated pressure.

The use o f an a n a l y t i c a l i n t e r p o l a t i o n , obtained by a decomposition o f the acoustic sound pressure i n t o a series o f spherical harmonics. gives a b e t t e r i d e n t i f i c a t i o n o f t h e displacement o f t h e p l a t e , modelized by a Green representation. Numerical r e s u l t s are cornpared w i t h an a n a l y t i c a l s o l u t i o n . The method i s applied t o t h e detection o f a defect.

1. INTRODUCTION

On présente dans c e t t e communication quelques aspects des techniques d'antennerie appliquées à l a reconstruction du déplacement d'une s t r u c t u r e mince qui vibre en ambiance anéchoïque. L ' o b j e c t i f vise, non seulement i d e n t i f i e r l a déformée de l a structure en régime harmonique, mais encore à détecter l a présence d'un défaut, i c i une d i s c o n t i n u i t é de masse. L ' i d é e qui e s t développée repose sur une double i d e n t i f i c a t i o n de l a pression acoustique que rayonne l a plaque. Dans un premier temps.

on cherche à i d e n t i f i e r l a décomposition en s é r i e d'harmoniques sphériques Cl]. Dans une deuxième phase. une représentation de Green de l a pression rayonnée par l a plaque est i n t r o d u i t e sous l a forme d'un p o t e n t i e l de double couche. De p a r t l a géométrie c i r c u l a i r e du problème, ce p o t e n t i e l e s t représenté sous forme d'une s é r i e de Fourier angulaire dont l e s c o e f f i c i e n t s sont cherchés sous l a forme de polynômes de Tchebycheff. L ' i n t é r ê t de c e t t e double i d e n t i f i c a t i o n t i e n t au f a i t que l e s harmoniques sphériques sont des fonctions qui s a t i s f o n t 1 'équation de propagation du son, a i n s i , l e champ acoustique e s t i d e n t i f i é avec une t r è s bonne p r é c i s i o n avec peu de mesures. Il e s t a l o r s possible de c o n s t r u i r e une i n t e r p o l a t i o n du champ de acoustique mesuré qui comporte un nombre bien plus important de "points de mesure".

Comme, généralement, l ' é q u a t i o n de propagation des ondes mécaniques n ' e s t pas connue, il e s t nécessaire de disposer de beaucoup plus de mesures pour i d e n t i f i e r correctement l a s é r i e qui représente l e déplacement de 1 a s t r u c t u r e . Cette méthode présente une grande souplesse d ' u t i l i s a t i o n puisque l e nombre de "mesures" dont on dispose e s t adaptée, à t r è s f a i b l e coût numérique, aux besoins de 1 'i d e n t i f i c a t i o n du déplacement.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jp4:19945166

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2. DESCRIPTION DU DISPOSITIF EXPERIMENTAL

On considère une plaque en acier c i r c u l a i r e de 20 cm de rayon e t de 1

mm

d'épaisseur. Son module d'Young e s t de 20 1011 Pa e t son c o e f f i c i e n t de Poisson v=0,3.

Cette plaque e s t excitée par des signaux harmoniques par un pot v i b r a n t f i x é en son centre par 1 'intermédai r e d'une t i g e r i g i d e . Un cadre metal 1 ique supporte l e s microphones de mesure e t entoure l a plaque. Sur c e t t e s t r u c t u r e , 32 microphones ont été disposés régulièrement sur une sphère qui entoure l a plaque. Un dernier microphone, d i t "microphone de référence" e s t f i x é au cadre métal 1 ique. L'ensemble du montage e s t placé en s a l l e anéchoique. Pour diminuer l e coût du montage, nous nous sommes contentés de capteurs dont l e s performances sont modestes mais stables au cours de l a mesure. Tous ces capteurs sont préalablement étalonnés par rapport à un microphone de haute q u a l i t é . Ceci permet de disposer de données d'ampl i tude e t de phase absol ue. Ces étalonnages permettent de converti r l e s données brutes en données exactes. Après a c q u i s i t i o n des signaux, 1 'ensemble des mesures e s t ramené à 1 a valeur de l a pression donnée par l e microphone de référence.

3. RAPPELS THEORIQUES

3 . 1 Modélisation d'un champ acoustique à 1 'aide d'une s é r i e d'harmoniques sphériques On considère une s t r u c t u r e vibrante qui occupe un domaine n, de f r o n t i è r e an.

Cette source rayonne en espace i n d é f i n i une pression acoustique harmonique (ePiwt 1. On nomme q ( M ) ce champ. S o i t 0 , 1 'o r i g i n e d'un système de coordonnées sphériques O , , , . S o i t

z,,

l a plus p e t i t e sphère, centrée sur 0 , qui c o n t i e n t n. Il e s t t o u t à f a i t classique qu'à 1 'e x t é r i e u r de

xo,

+(M) peut ê t r e développé sous l a forme suivante :

où h(n) ( z ) = j, ( z ) + i y, ( z ) sont l e s fonctions de Hankel sphériques de première espèce e t P; ( 2 ) e s t l a f o n c t i o n de Legendre de degré n e t d ' o r d r e m. Pour déterminer les c o e f f i c i e n t s de l a représentation de +(M) en s é r i e d'harmoniques sphériques, l a s u i t e (a,,,p,,) e s t cherchée comme l a s o l u t i o n du problème de minimisation suivant :

trouver a,, e t p,, (n=nl,.

.

,n2 m=O,

. .

,n) t e l s que l a forme quadratique :

i = N

J =

c

^I@(a,, ,en, ; r i ,ei ,(pi 1 - M 1 2 s o i t minimale.

i=l

Dans c e t t e équation, Mi (i =1,2,

.

^{. ,} N) e s t 1 'ensembl e des p o i n t s de mesure, r é p a r t i s sur 2. *(anm ,@,,;ri .ei ,(pi représente l a s é r i e (1) r é d u i t e aux termes n, e t n,. (ri ,ei ,<P sont l e s coordonnées des points Mi.

3.2 Représentation de Green du champ acoustique rayonné par une plaque mince

S o i t une s t r u c t u r e vibrante qui occupe un domaine

r,

de f r o n t i è r e

a r .

^Cette

source rayonne en espace i n d é f i n i n une pression acoustique * ( M l , harmonique (e-lWt 1.

Le f l u i d e qui entoure l a s t r u c t u r e e s t supposé p a r f a i t . La pression acoustique e s t s o l u t i o n du système d'équations suivant :

( A + k 2 ) ~ ( M ) = O dans n

sur

r

⁽²⁾

(

conservation de 1 'énergie

où e s t l a pulsation, u l e déplacement normal de l a plaque e t pf l a densité du f l u i d e . La condition de c o n t i n u i t é des vitesses normales impose un gradient de l a pression continu à l a traversée de l a plaque, l e champ acoustique rayonné par l a plaque Q(M) peut ê t r e a l o r s représenté par un p o t e n t i e l de double couche :

Sr

où d M ' ) est l a densité de double couche. G(M;M') e s t l e noyau de Green de 1 'équation de Helmholtz de 1 'espace n. S o i t l e p o i n t M ' repéré dans l e plan de l a plaque par ses coordonnées p o l a i r e s M ' = ( p ' , e 9 ) . De p a r t l a géométrie de r é v o l u t i o n du système physique. l a densité de double couche p ( M ' e s t cherchée sous forme d'une s é r i e de Fourier par rapport à l a v a r i a b l e 0 ' . Le c o e f f i c i e n t de chaque harmonique angulaire est cherché sous l a forme d'un développement polynômial , on o b t i e n t :

n = + m m = + m

~ ( p ' , e ' ) =

C 2

oc,,~,(~')e~"' . (4)

n = - m m = 0

La pression acoustique s ' é c r i t a l o r s , s i R e s t l e rayon de l a plaque :

Le déplacement e s t u ( x T , y ' ) = u ( p ' , e ' ) = &pfu = a , . ~ ( x ' , y ' , z ' ) , ~ , . Il est c l a i r qu'estimer l e déplacement de l a plaque r e v i e n t a déterminer l a s é r l e ? 4 ) , donc les coefficients oc

,

^. Ceux-ci sont obtenus en minimisant l e c a r r é de l a norme L~ de l a d i f f é r e n c e entre ?a pression théorique e t l a pression mesurée. Sous forme d i s c r è t e , cela revient à minimiser :

expression dans l a q u e l l e

S(Mj)

représente l a mesure de pression au capteur j,

*(anm,Mj) est l a s é r i e ( 5 ) . p r i s e au p o i n t Mj , e t Nmes e s t l e nombre de mesures. Il e s t évident que l ' o n n'a accès qu'a un nombre f i n i de mesures. Le nombre maximum de termes de l a s é r i e (4) q u ' i l e s t possible déterminer e s t donné par Nmes > (2N+l)(M+l). La formule ( 4 ) e s t val able pour t o u t développement polynômi a l Pm (p: ) . Toutefois , non seulement, il e s t préférable de disposer d'une base orthonormée mais en o u t r e , il e s t indispensable que c e t t e base s o i t adaptée au c a l c u l numérique. Nous avons c h o i s i donc de mettre en oeuvre l a base des polynômes de Tchebycheff de première espèce

Le déplacement e s t obtenu simplement à p a r t i r de La condition de c o n t i n u i t é des vitesses normales donne :

u(P) = - 1 a+ *(P) = - ~ f L ( M ' ) a ~ ~ a ~ " , G(P:M3)dM'.

&pf n p c"2~f

où Pf désigne l a p a r t i e f i n i e de 1 'i n t é g r a l e . D'un p o i n t de vue numérique, il e s t nécessaire de procéder - à une i n t é g r a t i o n analytique autour du p o i n t P. Pratiquement

[21,

on " i s o l e " une p e t i t e surface autour de ce p o i n t . Une p e t i t e surface e s t t e l l e que l e s produits de ses dimensions (de rapport v o i s i n de 1 ' u n i t é ) par l e nombre d'onde soient p e t i t s . S o i t a c e t t e surface, on peut montrer que, s i a e s t l e rayon d'un disque de surface équivalente à l a surface de a, l e d é ~ l a ~ e m e n t e s t donné Dar :

3.3 Solution exacte pour une plaque l i b r e

Dans l e cas p a r t i c u l i e r d'une plaque c i r c u l a i r e à bords l i b r e s . une solution analytique [3l s'exprime comme une s é r i e de Fourier de f o n c t i o n de Bessel. Il e s t c l a i r que n=O représente l e mode de v i b r a t i o n s axisymétriques, l e mode n représente l e mode de v i b r a t i o n à n diamètres modaux. s représente l e nombre de c e r c l e modaux.

4. RESULTATS ET COMMENTAIRES

Il e s t t r è s important de noter que s i l e nombre de mesures semble suffisant, du moins aux moyennes fréquences, pour une i d e n t i f i c a t i o n de sources mu1 t i p o l a i res, i 1

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n'en e s t pas de même lorsque 1 'on s ' i n t e r e s s e à l a r e c o n s t i t u t i o n du déplacement. Pour chaque harmonique de l a s é r i e de Fourier de l a densité de double couche, on cherche à i d e n t i f i e r un polynôme. Or, l e s micros sont r é p a r t i s de t e l l e manière que, sur un rayon, on dispose d'une ou de t r o i s mesures. Pour une déformée r a d i a l e qui comporte deux minima (mode s=2), un polynôme de degré au moins égal à deux e s t nécessaire. Pour l e s modes supérieurs, il apparaît manisfestement un sous-échantil lonage r a d i a l . Pour p a l l i e r c e t inconvénient, nous avons r e c o n s t r u i t un champ de "mesures" à p a r t i r de l a décomposition en s é r i e d'harmonique sphériques. Ce champ, qui comporte 114 mesures calculées par (11, présente un r é p a r t i t i o n r a d i a l e de 8 mesures. L ' i d e n t i f i c a t i o n a é t é menée sur l e s deux champs de pression. Les r é s u l t a t s sont présentés f i g u r e s 1-a e t 1-b pour un mode v i b r a t o i r e n=O, s=4. Ce mode correspond à une fréquence de 1240 Hz.

L ' i d e n t i f i c a t i o n a été menée avec un polynôme de Tchebycheff de degré 5 e t un seul terme de l a s é r i e de Fourier, f i g u r e 1 - a , 1 ' i d e n t i f i c a t i o n e s t menée pour l e champ à 32 points e t f i g u r e 1-b, e l l e e s t menée sur l e champ à 114 p o i n t s . Le t r a i t p l e i n représente l a sol u t i o n analytique, l e s t r i a n g l e s matéri a l i sent l e s minima de déplacement mesurés. 11 e s t t o u t à f a i t évident sur ces r é s u l t a t s que l e 1 ' i d e n t i f i c a t i o n sur l e champ à 32 points échoue complètement a l o r s que ce1 l e menée sur l e champ i n t e r p o l é donne des r é s u l t a t s t o u t à f a i t acceptables. Les f i g u r e s 2 présentent 1 a recontruction de 1 a plaque 1 orsque ce1 1 e - c i présente une d i s c o n t i n u i t é de masse (un accéléromètre). La f i g u r e 2-a donne une f i g u r e de Chladni r e c o n t r u i t e à p a r t i r du champ à 114 points de mesure pour un mode v i b r a t o i r e dont l a fréquence correspond à n=O, s=3. l e déplacement e s t d é c r i t par t r o i s termes de l a s é r i e de Fourier. chaque terme e s t d é c r i t par un polynôme de Tchebycheff de degré 5. La f i g u r e 2-b est une vue de l a figure de Chladni expérimentale. Là encore, on constate un excel l e n t accord entre 1 e modèle e t 1 'expérience.

- rolut io:, a n a l y t iqüe

- - - - s o l ü t i o n identifiée ( d e g r é 5 1 '\ ?oc; i t ion c x n é r ixentalc d'an minimum

Figure 1-a

Figure 2 - a REERENCES

Figure 1 - b

Figure 2-b

Cl1 P. Fi1 ip p i , 0. Habault and J. Piraux (1988). Journa 7 of Sound and Vibration 124 (2). D . 285-296.

C21 F'. Cassot (1971). Contribution à 7 'étude de 7a d i f f r a c t i o n par un écran mince.

Thèse de s p é c i a l i t é en Acoustique. M a r s e i l l e .

[31 A. W. Leissa (1969). Vibration o f p l a t e s . NASA SP-160.